الفضاء الفرعي المكمل

في فرع الرياضيات المسمى التحليل الوظيفي ، الفضاء الجزئي المكمل للفضاء المتجهي الطوبولوجي${\displaystyle X,}$هو فضاء متجهي جزئي${\displaystyle M}$والتي يوجد لها فضاء متجهي فرعي آخر${\displaystyle N}$ل${\displaystyle X,}$يُطلق عليه اسم مكمله ( الطوبولوجي ) في${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle X}$هو المجموع المباشر${\displaystyle M\oplus N}$في فئة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية . من الناحية الرسمية، تعمل المجاميع المباشرة الطوبولوجية على تقوية المجموع المباشر الجبري من خلال اشتراط أن تكون بعض التطبيقات متصلة؛ وتحتفظ النتيجة بالعديد من الخصائص الجيدة من عملية المجموع المباشر في الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة.

كل فضاء جزئي محدود الأبعاد في فضاء باناخ يكون مكملاً، بينما قد لا تكون الفضاءات الجزئية الأخرى كذلك. وبشكل عام، يُعد تصنيف جميع الفضاءات الجزئية المكملة مشكلة معقدة، لم تُحل إلا لبعض فضاءات باناخ المعروفة .

مفهوم الفضاء الجزئي المكمل مشابه لمفهوم مكمل المجموعة ، ولكنه يختلف عنه . فالمكمل النظري للمجموعة لفضاء جزئي متجهي لا يكون أبدًا فضاءً جزئيًا مكملاً.

لو${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي و${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$هي فضاءات متجهة جزئية من${\displaystyle X}$ثم هناك خريطة جمع محددة جيدًا $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S:\;&&M\times N&&\;\to \;&X\\&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$ الخريطة${\displaystyle S}$هو شكل من أشكال التشكل في فئة الفضاءات المتجهة  - أي الخطية .

لنفترض أن الفضاء المتجهي${\displaystyle X}$هو المجموع الجبري المباشر لـ${\displaystyle M\oplus N}$في فئة الفضاءات المتجهة، تتطابق المنتجات النهائية والمنتجات المشتركة : جبريًا،${\displaystyle M\oplus N}$و${\displaystyle M\times N}$لا يمكن تمييزها. بالنظر إلى مشكلة تتضمن عناصر من${\displaystyle X}$يمكن للمرء أن يحلل العناصر إلى مكوناتها في${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$لأن خرائط الإسقاط المحددة أعلاه تعمل كمعاكس للتضمين الطبيعي لـ${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$داخل${\displaystyle X}$ثم يمكن حل المشكلة في الفضاءات الجزئية المتجهة وإعادة تجميعها لتكوين عنصر من${\displaystyle X}$.

في فئة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية ، يصبح هذا التفكيك الجبري أقل فائدة. يتطلب تعريف الفضاء المتجه الطوبولوجي تطبيق الجمع.${\displaystyle S}$أن يكون متصلاً؛ عكسه${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$قد لا يكون كذلك. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، فإن التعريف الفئوي للمجموع المباشر يتطلب${\displaystyle P_{M}}$و${\displaystyle P_{N}}$أن تكون تشاكلات  - أي خرائط خطية متصلة .

المساحة${\displaystyle X}$هو المجموع المباشر الطوبولوجي لـ${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$إذا (وفقط إذا) تحققت أي من الشروط المكافئة التالية:

1. خريطة الجمع${\displaystyle S:M\times N\to X}$هو تماثل TVS (أي تماثل خطي شامل ). ^{[ 1 ]}
2. ${\displaystyle X}$هو المجموع الجبري المباشر لـ${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$وكذلك أي من الشروط المكافئة التالية:
   1. معكوس خريطة الجمع${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$متصل.
   2. كلا الإسقاطين المتعارف عليهما${\displaystyle P_{M}:X\to M}$و${\displaystyle P_{N}:X\to N}$متصلة.
   3. واحد على الأقل من الإسقاطات المتعارف عليها${\displaystyle P_{M}}$و${\displaystyle P_{N}}$متصل.
   4. خريطة القسمة المتعارف عليها${\displaystyle p:N\to X/M;p(n)=n+M}$هو تماثل للفضاءات المتجهة الطوبولوجية (أي تماثل خطي). ^{[ 2 ]}
3. ${\displaystyle X}$هو المجموع المباشر لـ${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$في فئة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية.
4. الخريطة${\displaystyle S}$هي دالة تقابلية ومفتوحة .
5. عند اعتبارها مجموعات طوبولوجية جمعية ،${\displaystyle X}$هو المجموع الطوبولوجي المباشر للمجموعات الفرعية${\displaystyle M}$و${\displaystyle N.}$

يُكتب المجموع المباشر الطوبولوجي أيضًا${\displaystyle X=M\oplus N}$; عادةً ما يتم توضيح ما إذا كان المجموع بالمعنى الطوبولوجي أو الجبري من خلال السياق .

كل مجموع مباشر طوبولوجي هو مجموع مباشر جبري${\displaystyle X=M\oplus N}$ليس العكس مضموناً. حتى لو كان كلاهما${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$مغلقة في${\displaystyle X}$،${\displaystyle S^{-1}}$قد لا يكون الأمر مستمراً. ${\displaystyle N}$هو مكمل أو مكمل (طوبولوجي) لـ${\displaystyle M}$إذا تجنبت تلك الحالة المرضية  - أي إذا، من الناحية الطوبولوجية،${\displaystyle X=M\oplus N}$. (ثم${\displaystyle M}$ وهو مكمل كذلك لـ${\displaystyle N}$.) ^{[ 1 ]} الشرط 2(د) أعلاه يعني أن أي مكمل طوبولوجي لـ${\displaystyle M}$متماثل، كفضاء متجهي طوبولوجي، مع فضاء المتجهات الخارج.${\displaystyle X/M}$.

${\displaystyle M}$يُطلق عليه اسم مكمل إذا كان له مكمل طوبولوجي${\displaystyle N}$( وإن لم يكن غير مكمل ). اختيار${\displaystyle N}$قد يكون الأمر بالغ الأهمية: كل فضاء فرعي متجهي مكمل${\displaystyle M}$لها مكملات جبرية لا تُكمل بعضها البعض.${\displaystyle M}$من الناحية الطوبولوجية.

لأن الخريطة الخطية بين فضاءين معياريين (أو فضاءات باناخ ) تكون محدودة إذا وفقط إذا كانت متصلة ، فإن التعريف في فئات الفضاءات المعيارية (أو فضاءات باناخ ) هو نفسه في فضاءات المتجهات الطوبولوجية.

• لو${\displaystyle Y}$هي مساحة قياس و${\displaystyle X\subseteq Y}$إذا كان له مقياس إيجابي، فإن${\displaystyle L^{p}(X)}$ويكمل ذلك في${\displaystyle L^{p}(Y)}$.
• ${\displaystyle c_{0}}$، فضاء المتتاليات المتقاربة إلى${\displaystyle 0}$، ويكملها في${\displaystyle c}$، فضاء المتتابعات المتقاربة.
• باستخدام تحليل لوبيغ ،${\displaystyle L^{1}([0,1])}$ويكمل ذلك في${\displaystyle \mathrm {rca} ([0,1])\cong C([0,1])^{*}}$.

لأي فضاءين متجهين طوبولوجيين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، الفضاءات الفرعية${\displaystyle X\times \{0\}}$و${\displaystyle \{0\}\times Y}$هي مكملات طوبولوجية في${\displaystyle X\times Y}$.

كل مكمل جبري لـ${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$إغلاق${\displaystyle 0}$، هو أيضًا مكمل طوبولوجي. وذلك لأن${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$^{[ 6 ]} لها طوبولوجيا غير منفصلة ، ​​وبالتالي فإن الإسقاط الجبري متصل.

لو${\displaystyle X=M\oplus N}$و${\displaystyle A:X\to Y}$إذا كانت شاملة،${\displaystyle Y=AM\oplus AN}$[ ^{2 ]​}

فضاء فرعي مكمل (متجهي) لفضاء هاوسدورف${\displaystyle X}$هي بالضرورة مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X}$وكذلك مكملها. ^{[ 1 ] [ البرهان 2 ]}

انطلاقاً من وجود قواعد هامل ، فإن كل فضاء باناخ لانهائي الأبعاد يحتوي على فضاءات جزئية خطية غير مغلقة. ^{[ البرهان 3 ]} وبما أن أي فضاء جزئي مكمل يكون مغلقاً، فلا يوجد أي من هذه الفضاءات الجزئية مكمل.

وبالمثل، إذا${\displaystyle X}$هو جهاز تلفزيون كامل و${\displaystyle X/M}$إذا لم يكن مكتملاً، فـ${\displaystyle M}$ليس له مكمل طوبولوجي في${\displaystyle X.}$^{[ 11 ]}

لو${\displaystyle A:X\to Y}$إذا كانت دالة خطية متصلة شاملة ، فإن الشروط التالية متكافئة:

1. نواة${\displaystyle A}$له مكمل طوبولوجي.
2. يوجد "معكوس يميني": وهو عبارة عن تطبيق خطي متصل${\displaystyle B:Y\to X}$بحيث${\displaystyle AB=\mathrm {Id} _{Y}}$، أين${\displaystyle \operatorname {Id} _{Y}:Y\to Y}$هي خريطة الهوية. ^{[ 5 ]}

(ملاحظة: هذا الادعاء تمرين خاطئ قدمه تريف. ليكن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$كلاهما يكون${\displaystyle \mathbb {R} }$أين${\displaystyle X}$يتمتع بالطوبولوجيا المعتادة، ولكن${\displaystyle Y}$تتمتع بطوبولوجيا تافهة. خريطة التطابق${\displaystyle X\to Y}$إذن، تكون دالة تقابل خطية متصلة، لكن معكوسها ليس متصلاً، لأن${\displaystyle X}$يتمتع ببنية طوبولوجية أدق من${\displaystyle Y}$النواة${\displaystyle \{0\}}$لديه${\displaystyle X}$كمكمل طوبولوجي، لكننا أثبتنا للتو أنه لا يمكن أن يوجد معكوس يميني مستمر. إذا${\displaystyle A:X\to Y}$إذا كان مفتوحًا أيضًا (وبالتالي متجانس TVS)، فإن النتيجة المزعومة صحيحة.

فهم الفضاءات الفرعية المكملة لفضاء باناخ عشوائي${\displaystyle X}$تُعدّ مسألة التماثل مشكلة كلاسيكية حفّزت الكثير من العمل في نظرية الأساس، ولا سيما تطوير المؤثرات ذات الجمع المطلق . ولا تزال هذه المسألة مفتوحة لمجموعة متنوعة من فضاءات باناخ المهمة، وأبرزها فضاء${\displaystyle L_{1}[0,1]}$[ ^{13 ]​}

بالنسبة لبعض فضاءات باناخ، فإن المسألة محسومة. وأشهرها، إذا${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ثم الفضاءات الفرعية اللانهائية الأبعاد المكملة الوحيدة لـ${\displaystyle \ell _{p}}$متماثلة مع${\displaystyle \ell _{p},}$وينطبق الشيء نفسه على${\displaystyle c_{0}.}$ تُسمى هذه الفضاءات بالفضاءات الأولية (عندما تكون فضاءاتها الفرعية المكملة الوحيدة ذات الأبعاد اللانهائية متماثلة مع الفضاء الأصلي). مع ذلك، هذه ليست الفضاءات الأولية الوحيدة. ^{[ 13 ]}

المساحات${\displaystyle L_{p}[0,1]}$لا تكون أسعارها ممتازة في أي وقت${\displaystyle p\in (1,2)\cup (2,\infty );}$في الواقع، تسمح هذه الفضاءات بعدد لا يحصى من الفضاءات الفرعية المكملة غير المتماثلة. ^{[ 13 ]}

المساحات${\displaystyle L_{2}[0,1]}$و${\displaystyle L_{\infty }[0,1]}$متماثلة مع${\displaystyle \ell _{2}}$و${\displaystyle \ell _{\infty },}$على التوالي، لذا فهما بالفعل أعداد أولية. ^{[ 13 ]}

المساحة${\displaystyle L_{1}[0,1]}$ليس عددًا أوليًا، لأنه يحتوي على نسخة مكملة من${\displaystyle \ell _{1}}$لا توجد فضاءات فرعية مكملة أخرى لـ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$^{[ 13 ]}​

يُطلق على فضاء باناخ ذي الأبعاد اللانهائية اسم غير قابل للتحليل عندما تكون فضاءاته الفرعية المكملة الوحيدة إما ذات أبعاد منتهية أو ذات أبعاد مشتركة. لأن الفضاء الفرعي ذو الأبعاد المشتركة المنتهية في فضاء باناخ${\displaystyle X}$متماثل دائمًا مع${\displaystyle X,}$فضاءات باناخ غير القابلة للتحليل هي فضاءات أولية.

إن أشهر مثال على الفضاءات غير القابلة للتحليل هو في الواقع فضاء غير قابل للتحليل وراثيًا ، مما يعني أن كل فضاء فرعي لا نهائي الأبعاد هو أيضًا غير قابل للتحليل. ^{[ 14 ]}

• المجموع المباشر – بنية جبرية تتكون من مجموعة من البنى الجبرية 
• المجموع المباشر للوحدات - عملية في الجبر المجرد 
• المجموع المباشر للمجموعات الطوبولوجية

• باخمان، جورج؛ ناريسي، لورانس (2000). التحليل الوظيفي (  الطبعة الثانية). مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0486402512. OCLC 829157984 . 
• غروتينديك، ألكسندر (1973). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . ترجمة أورلاندو شَلْجوب. نيويورك: دار نشر غوردون وبريتش للعلوم. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 . 
• جارشو، هانز (1981). الفضاءات المحدبة محليا . شتوتغارت: بي جي تيوبنر. رقم ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 . 
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 
• ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .