نقاط دائرية

في الهندسة ، يُقال إن مجموعة من النقاط تقع على دائرة واحدة (أو متحدة الدائرة ) إذا كانت تقع على دائرة مشتركة . يُسمى المضلع الذي تقع رؤوسه على دائرة واحدة مضلعًا دائريًا ، وتُسمى الدائرة المحيطة به دائرة محيطة أو دائرة محيطة . جميع النقاط التي تقع على دائرة واحدة متساوية البعد عن مركز الدائرة.

تُعتبر ثلاث نقاط في المستوى لا تقع جميعها على خط مستقيم نقاطًا متحدة الدائرة، لذا فإن كل مثلث هو مضلع دائري ذو دائرة محيطة محددة جيدًا . مع ذلك، فإن أربع نقاط أو أكثر في المستوى ليست بالضرورة متحدة الدائرة. بعد المثلثات، حظيت الحالة الخاصة للأشكال الرباعية الدائرية بأكبر قدر من الدراسة.

بشكل عام، يجب أن يكون مركز الدائرة O ، الذي تقع عليه النقطتان P و Q، بحيث تكون المسافة بين OP و OQ متساوية. لذلك، يجب أن يقع O على المنصف العمودي للقطعة المستقيمة PQ . ^{[ 1 ]} بالنسبة لـ n نقطة مختلفة ، يوجد n ( n -1) / 2 منصفًا ، وشرط الدائرة الواحدة هو أن تلتقي جميعها في نقطة واحدة، وهي المركز O.

تقع رؤوس كل مثلث على دائرة تُسمى الدائرة المحيطة . (لهذا السبب، يُعرّف بعض المؤلفين مصطلح "متحدة الدائرة" فقط في سياق أربع نقاط أو أكثر على دائرة). ^{[ 2 ]} كما أن هناك عدة مجموعات أخرى من النقاط المُعرّفة من مثلث تُعتبر متحدة الدائرة، ولكن بدوائر مختلفة؛ انظر دائرة النقاط التسع ^{[ 3 ]} ونظرية ليستر . ^{[ 4 ]}

نصف قطر الدائرة التي تقع عليها مجموعة من النقاط هو، بحسب التعريف، نصف قطر الدائرة المحيطة بأي مثلث رؤوسه تقع عند أي ثلاث من تلك النقاط. إذا كانت المسافات بين كل زوج من النقاط الثلاث هي a و b و c ، فإن نصف قطر الدائرة هو

$${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}}.}$$

يتم هنا إعطاء معادلة الدائرة المحيطة بالمثلث، وتعبيرات نصف القطر وإحداثيات مركز الدائرة، بدلالة الإحداثيات الديكارتية للرؤوس .

يُطلق على الشكل الرباعي ABCD ذي الرؤوس الواقعة على دائرة واحدة اسم الشكل الرباعي الدائري ؛ ويتحقق ذلك إذا وفقط إذا كانت الزاوية CAD تساوي الزاوية CBD ( نظرية الزاوية المحيطية )، وهي صحيحة إذا وفقط إذا كانت الزوايا المتقابلة داخل الشكل الرباعي متكاملة . ^{[ 6 ]} أما الشكل الرباعي الدائري ذو الأضلاع المتتالية a و b و c و d ونصف محيطه s = ( a + b + c + d) / 2 ، فيُعطى نصف قطر الدائرة المحيطة به بالعلاقة التالية. ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(sa)(sb)(sc)(sd)}}},}$$ تعبير اشتقه عالم الرياضيات الهندي فاتاسيري باراميشوارا في القرن الخامس عشر.

بحسب نظرية بطليموس ، إذا تم تحديد شكل رباعي من خلال المسافات الزوجية بين رؤوسه الأربعة A و B و C و D بالترتيب، فإنه يكون دائريًا إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب الأقطار يساوي مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة:

$${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$$

إذا تقاطع خطان، أحدهما يحتوي على القطعة AC والآخر يحتوي على القطعة BD ، عند النقطة X ، فإن النقاط الأربع A و B و C و D تكون متحدة الدائرة إذا وفقط إذا ^{[ 9 ]}$${\displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}$$

قد يكون التقاطع X داخليًا أو خارجيًا للدائرة. تُعرف هذه النظرية باسم قوة النقطة .

يكون الشكل الرباعي المحدب متعامد الأقطار (له أقطار متعامدة) إذا وفقط إذا كانت نقاط منتصف الأضلاع وقواعد الارتفاعات الأربعة هي ثماني نقاط متحدة الدائرة، على ما يسمى دائرة النقاط الثمانية .

بشكل عام، يُطلق على المضلع الذي تقع جميع رؤوسه على دائرة واحدة اسم المضلع الدوري . ويكون المضلع دوريًا إذا وفقط إذا كانت المنصفات العمودية لأضلاعه متلاقية . ^{[ 10 ]} كل مضلع منتظم هو مضلع دوري.

بالنسبة للمضلع الدائري ذي عدد فردي من الأضلاع، تكون جميع الزوايا متساوية إذا وفقط إذا كان المضلع منتظمًا. أما المضلع الدائري ذو عدد زوجي من الأضلاع، فتكون جميع زواياه متساوية إذا وفقط إذا كانت الأضلاع المتبادلة متساوية (أي أن الأضلاع 1، 3، 5، ... متساوية، والأضلاع 2، 4، 6، ... متساوية). ^{[ 11 ]}

يُعرف الخماسي الدائري ذو الأضلاع والمساحة النسبية باسم خماسي روبنز . في جميع الحالات المعروفة، تكون أقطاره أيضًا ذات أطوال نسبية، إلا أن ما إذا كان هذا صحيحًا لجميع خماسيات روبنز الممكنة لا يزال مسألة غير محلولة. ^{[ 12 ]}

في أي مضلع دائري ذي n ضلعًا، حيث n عدد زوجي ، يكون مجموع مجموعتين من الزوايا المتبادلة (الأولى، الثالثة، الخامسة، إلخ) مساويًا لمجموع مجموعتين أخريين من الزوايا المتبادلة. ويمكن إثبات ذلك بالاستقراء من حالة n = 4 ، وذلك باستبدال ضلع بثلاثة أضلاع إضافية في كل حالة، مع ملاحظة أن هذه الأضلاع الثلاثة الجديدة مع الضلع الأصلي تُشكل شكلًا رباعيًا يتمتع بهذه الخاصية؛ وتمثل الزوايا المتبادلة لهذا الشكل الرباعي الإضافات إلى مجموع الزوايا المتبادلة للمضلع ذي n ضلعًا السابق.

المضلع المماسي هو مضلع تحيط به دائرة مماسة لكل ضلع من أضلاعه؛ وبالتالي، تقع نقاط التماس هذه على دائرة واحدة. لنفترض أن لدينا مضلعًا ذا n ضلعًا مرسومًا داخل دائرة، وأن لدينا مضلعًا آخر ذا n ضلعًا مماسًا لتلك الدائرة عند رؤوس المضلع الأول . عندئذٍ، من أي نقطة P على الدائرة، يكون حاصل ضرب المسافات العمودية من P إلى أضلاع المضلع الأول مساويًا لحاصل ضرب المسافات العمودية من P إلى أضلاع المضلع الثاني . ^{[ 13 ]}

ثابت محيط المضلع

أي مضلع منتظم هو مضلع دائري. لنفترض دائرة الوحدة، ثم نرسم محيطها بمثلث منتظم بحيث تلامس أضلاعه الدائرة. نرسم محيط دائرة، ثم محيط مربع. نرسم محيط دائرة أخرى، ثم محيط خماسي منتظم ، وهكذا. تتقارب أنصاف أقطار الدوائر المحيطة إلى ما يُسمى ثابت محيط المضلع.

$${\displaystyle \prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}=8.7000366\ldots .}$$

(التسلسل A051762 في OEIS ) . مقلوب هذا الثابت هو ثابت كيبلر-بوكامب .

في السياقات التي تُعتبر فيها الخطوط نوعًا من الدوائر المعممة ذات نصف قطر لانهائي، تُعتبر النقاط الواقعة على خط مستقيم واحد (النقاط على خط مستقيم واحد) متحدة الدائرة. تُفيد هذه النظرة، على سبيل المثال، عند دراسة الانعكاس عبر دائرة أو بشكل أعم، تحويلات موبيوس (التحويلات الهندسية الناتجة عن الانعكاسات وانعكاسات الدوائر)، حيث تحافظ هذه التحويلات على توحد النقاط حول الدائرة فقط بهذا المعنى الموسع. ^{[ 16 ]}

في المستوى المركب (الذي يتكون من خلال اعتبار الأجزاء الحقيقية والخيالية للعدد المركب بمثابة الإحداثيات الديكارتية x و y للمستوى)، فإن خاصية التداخل الدائري لها صيغة بسيطة بشكل خاص: أربع نقاط في المستوى المركب تكون إما متداخلة أو متوازية إذا وفقط إذا كانت النسبة التبادلية بينها عددًا حقيقيًا . ^{[ 17 ]}

تتميز بعض المضلعات الدائرية بخاصية أن مساحتها وأطوال أضلاعها جميعها أعداد صحيحة موجبة. تُسمى المثلثات التي تتمتع بهذه الخاصية مثلثات هيرونية ؛ وتُسمى الرباعيات الدائرية التي تتمتع بهذه الخاصية (مع كون أطوال أقطارها الواصلة بين الرؤوس المتقابلة أعدادًا صحيحة) رباعيات براهمغوبتا ؛ وتُسمى الخماسيات الدائرية التي تتمتع بهذه الخاصية خماسيات روبنز . وبشكل عام، فإن نسخ هذه المضلعات الدائرية التي تُكبّر بعدد نسبي ستكون مساحتها وأطوال أضلاعها أعدادًا نسبية.

لنفترض أن _θ₁ هي الزاوية التي يشكلها أحد أضلاع المضلع الدائري عند النظر إليه من مركز الدائرة المحيطة. وبالمثل، عرّف _{الزوايا} المركزية θ₂ _، ...، θₙ للأضلاع المتبقية n − 1. لكل مثلث هيروني ولكل شكل رباعي براهمغوبتا قيمة نسبية لظل ربع الزاوية، tan θₖ /4 _، لكل قيمة من قيم k . كل خماسي روبنز معروف (له أقطار ذات أطوال نسبية) يتمتع بهذه الخاصية، مع أن مسألة ما إذا كان كل خماسي روبنز ممكن يتمتع بهذه الخاصية لا تزال غير محلولة.

ينطبق العكس على جميع المضلعات الدائرية مهما كان عدد أضلاعها؛ فإذا كانت جميع زواياها المركزية ذات مماسات نسبية لأرباعها، فإن المضلع الدائري المُحاط بدائرة الوحدة سيكون له أطوال أضلاع ومساحة نسبية في آنٍ واحد. إضافةً إلى ذلك، سيكون لكل قطر يصل بين رأسين، سواءً كانا متجاورين أم لا، طول نسبي، وكذلك لكل عمود رأسي (apothem) وكل سهم (sagitta ). يمكن تغيير مقياس هذا المضلع الدائري بحيث تكون مساحته وأطواله جميعها أعدادًا صحيحة.

_تُتيح هذه العلاقة العكسية طريقةً لتوليد مضلعات دورية ذات مساحة وأطوال صحيحة. بالنسبة لمضلع ذي _n ضلعًا ، لنفترض أن c₁ _{, ..., cₙ₋₁ أعداد نسبية غير صفرية حيث c₁} < _{... <} cₙ₋₁ . _هذه الأعداد هي مماسات ربع الزوايا التراكمية θ₁ , _θ₁ + θ₂ _{, ...} , θ₁ _{+ ...} + _θₙ₋₁ .

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=\tan {\tfrac {1}{4}}\theta _{1}\\c_{2}&=\tan {\tfrac {1}{4}}(\theta _{1}+\theta _{2})\\\vdots \ \,&\\c_{n-1}&=\tan {\tfrac {1}{4}}(\theta _{1}+\dots +\theta _{n-1})\end{aligned}}}$$

باستخدام صيغة ظل فرق الزوايا ، يمكن إيجاد ظلال زوايا الربع الفردية على النحو التالي:

$$\begin{aligned}q_{1}=c_{1},\\[8pt]q_{k}={\frac {c_{k}-c_{k-1}}{1+c_{k}c_{k-1}}},\quad k=2,\ldots ,n-1\\[4pt]q_{n}={\frac {1}{c_{n-1}}}.\end{aligned}}}$$

ومن خلال هذه المماسات الزاوية q ₁ ، ... ، q _n ، يمكن إيجاد أطوال الأوتار التي تشكل أضلاع المضلع المحيط باستخدام متطابقة نصف الزاوية :

$${\displaystyle s_{k}=2\sin {\frac {\theta _{k}}{2}}={\frac {4q_{k}}{1+q_{k}^{2}}},}$$

وبذلك نحصل على أطوال أضلاع المضلع المحيط (s _k) . تُحسب المساحة النسبية (A) بجمع مساحات جميع المثلثات (k) المتكونة من أنصاف الأقطار والأوتار (مع ملاحظة أن أنصاف الأقطار طولها 1).

$${\displaystyle A=\sum _{k}\sin {\frac {\theta _{k}}{2}}\cos {\frac {\theta _{k}}{2}}=\sum _{k}{\frac {2q_{k}(1-q_{k}^{2})}{(1+q_{k}^{2})^{2}}}.}$$

يمكن تحويل هذه القيم إلى أعداد صحيحة عن طريق ضرب أطوال الأضلاع بثابت مشترك. ينتج عن هذه الطريقة جميع المضلعات الدائرية ذات المساحة وأطوال الأضلاع الصحيحة عندما تكون أقطارها نسبية فقط، لكنها لا تنتج أي مضلع ذي قطر غير نسبي؛ لذا، تبقى مسألة ما إذا كانت هذه الطريقة تنتج جميع أشكال روبنز الخماسية غير محلولة.

تكون مجموعة من خمس نقاط أو أكثر متحدة الدورة إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية من أربع نقاط متحدة الدورة. ^{[ 18 ]} يمكن اعتبار هذه الخاصية نظيراً لخاصية هيلي للمجموعات المحدبة.

ومن المفاهيم ذات الصلة مفهوم الدائرة المحيطة الدنيا ، وهي أصغر دائرة تحتوي بالكامل على مجموعة من النقاط. لكل مجموعة من النقاط في المستوى دائرة محيطة دنيا فريدة، يمكن إنشاؤها باستخدام خوارزمية خطية . ^{[ 19 ]}

حتى لو كانت النقاط من مجموعة ما تقع على دائرة واحدة، فقد تختلف دائرتها المحيطة عن دائرة تحديدها الصغرى. على سبيل المثال، بالنسبة للمثلث المنفرج الزاوية ، فإن دائرة تحديده الصغرى يكون قطرها هو أطول ضلع ولا تمر بالرأس المقابل.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "دوري" . عالم الرياضيات .
• أربع نقاط دائرية متحدة المركز من تصميم مايكل شرايبر، مشروع عروض وولفرام .