فيرسين

الموسوعة الحرة

الجيب العكسي أو الجيب المعكوس هو دالة مثلثية موجودة في بعض أقدم الجداول المثلثية ( السنسكريتية أريابهاتيا ، [ 1 ] القسم الأول) . جيب الزاوية العكسي يساوي 1 ناقص جيب تمامها .

توجد عدة وظائف ذات صلة، أبرزها دالة الجيب المقلوب ودالة الجيب النصفي . وتُعد الأخيرة، وهي نصف دالة الجيب النصفي، ذات أهمية خاصة في صيغة الجيب النصفي للملاحة.

دائرة الوحدة مع الدوال المثلثية . [ 2 ]

ملخص

دالة الجيب المعكوس [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] أو الجيب المعكوس [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] هي دالة مثلثية ظهرت في بعض أقدم جداول الدوال المثلثية. ويُرمز لها في الصيغ باستخدام الاختصارات versin ، sinver ، [ 13 ] [ 14 ] vers ، أو siv . [ 15 ] [ 16 ] وفي اللاتينية ، تُعرف باسم sinus versus (الجيب المعكوس)، أو versinus ، أو versus ، أو sagitta (السهم). [ 17 ]

يُعبّر عن دالة الجيب العكسي بدلالة الدوال المثلثية الشائعة : الجيب، وجيب التمام، والظل، وهي تساوي فيرسين⁡θ=1-كوس⁡θ=2الخطيئة2⁡θ2=الخطيئة⁡θلون برونزي⁡θ2{\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}}

توجد عدة وظائف مرتبطة بدالة الجيب العكسي:

  • دالة الجيب التمامية المعكوسة ، [ 18 ] [ ملاحظة 1 ] أو دالة الجيب التمامية المعكوسة ، أو اختصارًا دالة الجيب التمامية المعكوسة ، أو دالة الجيب التمامية المعكوسة ، أو دالة الجيب التمامية المعكوسة.
  • الجيب المغطى أو الجيب المغطى [ 19 ] (باللاتينية، cosinus versus أو coversinus )، ويختصر إلى coversin ، covers ، [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] cosiv ، أو cvs [ 23 ]

كما تم صنع جداول خاصة من نصف الجيب العمودي، وذلك بسبب استخدامه الخاص في صيغة الجيب العمودي المستخدمة تاريخياً في الملاحة .

  • الجيب المائل [ 24 ] أو الجيب المائل ( باللاتينية: semiversus )، [ 25 ] [ 26 ] ويُختصر إلى haversin ، أو semiversin ، أو semiversinus ، أو havers ، أو hav ، [ 27 ] [ 28 ] أو hvs ، [ nb 2 ] أو sem ، أو hv . [ 29 ] ويُعرَّف على النحو التالي:هاف⁡θ=الخطيئة2⁡(θ2)=1-كوس⁡θ2{\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos \theta }{2}}}

التاريخ والتطبيقات

Versine and coversine

جيب وجيب تمام وجيب الزاوية العكسي للزاوية θ بدلالة دائرة وحدة نصف قطرها 1 ومركزها O. يوضح هذا الشكل أيضًا سبب تسمية الجيب العكسي أحيانًا بالسهم (sagitta) ، وهي كلمة لاتينية تعني السهم . [ 17 ] [ 30 ] إذا نُظر إلى القوس ADB للزاوية المضاعفة Δ  = 2θ على أنه " قوس " والوتر AB على أنه "وتره"، فإن الجيب العكسي CD هو بوضوح "ساق السهم".
رسوم بيانية للدوال المثلثية التاريخية مقارنةً بدالتي الجيب وجيب التمام - في ملف SVG ، مرر مؤشر الماوس فوق الرسم البياني أو انقر عليه لتحديده

كانت دالة الجيب العادية ( انظر الملاحظة حول أصل الكلمة ) تُسمى تاريخيًا أحيانًا بالجيب المستقيم ("sinus rectus ")، وذلك لمقارنتها بالجيب المعكوس ( sinus versus ). [ 31 ] ويتضح معنى هذه المصطلحات عند النظر إلى الدوال في سياق تعريفها الأصلي، وهو دائرة الوحدة .

بالنسبة للوتر الرأسي AB في دائرة الوحدة، فإن جيب الزاوية θ (الذي يمثل نصف الزاوية المقابلة Δ ) هو المسافة AC (نصف طول الوتر). من جهة أخرى، فإن جيب الزاوية θ المعاكس هو المسافة CD من مركز الوتر إلى مركز القوس. بالتالي، فإن مجموع جيب تمام الزاوية θ (الذي يساوي طول الخط OC ) وجيب الزاوية المعاكس للزاوية θ ( الذي يساوي طول الخط CD ) هو نصف القطر OD (طوله 1). بهذا الشكل، يكون الجيب رأسيًا ( rectus ، أي "مستقيم") بينما يكون جيب الزاوية المعاكس أفقيًا ( versa )، وكلاهما يمثلان المسافة من C إلى الدائرة.

يوضح هذا الشكل أيضًا سبب تسمية الفيرسين أحيانًا بالساجيتا ، وهي كلمة لاتينية تعني السهم . [ 17 ] [ 30 ] إذا نُظر إلى القوس ADB للزاوية المزدوجة Δ  = 2 θ على أنه " قوس " والوتر AB على أنه "وتره"، فإن الفيرسين CD هو بوضوح "ساق السهم".

وتماشياً مع تفسير الجيب على أنه "عمودي" والجيب المعكوس على أنه "أفقي"، فإن السهم أيضاً مرادف قديم للمحور الأفقي (المحور الأفقي للرسم البياني). [ 30 ]

في عام 1821، استخدم كوشي مصطلحي sinus مقابل ( siv ) للدلالة على دالة الجيب العكسي و cosinus مقابل ( cosiv ) للدلالة على دالة الجيب العكسي. [ 15 ] [ 16 ] [ ملاحظة 1 ]

يمكن بناء الدوال المثلثية هندسياً بدلالة دائرة الوحدة التي مركزها النقطة O.

عندما تقترب θ من الصفر، فإنّ versin( θ ) هو الفرق بين كميتين متساويتين تقريبًا، لذا فإنّ مستخدم جدول الدوال المثلثية لحساب جيب التمام فقط سيحتاج إلى دقة عالية جدًا للحصول على versin لتجنب الحذف الكارثي ، مما يجعل الجداول المنفصلة للأخيرة مفيدة. [ 12 ] حتى مع استخدام الآلة الحاسبة أو الحاسوب، فإنّ أخطاء التقريب تجعل من المستحسن استخدام صيغة sin² للقيم الصغيرة لـ θ . 

ومن المزايا التاريخية الأخرى لدالة الجيب العكسي أنها دائماً غير سالبة، لذا فإن لوغاريتمها معرف في كل مكان باستثناء الزاوية المفردة ( θ = 0، 2π ، ... ) حيث يكون صفرًا - وبالتالي، يمكن للمرء استخدام جداول اللوغاريتمات لعمليات الضرب في الصيغ التي تتضمن دوال الجيب العكسي.

في الواقع، فإن أقدم جدول باقٍ لقيم الجيب (نصف الوتر ) (على عكس الأوتار التي جدولها بطليموس وغيره من المؤلفين اليونانيين)، والمحسوب من كتاب سوريا سيدانتا الهندي الذي يعود تاريخه إلى القرن الثالث قبل الميلاد، كان جدولًا لقيم الجيب والجيب المعكوس (بزيادات قدرها 3.75 درجة من 0 إلى 90 درجة ). [ 31 ]

يظهر الفيرسين كخطوة وسيطة في تطبيق صيغة نصف الزاوية sin 2 ( ⁠ θ / 2 ⁠ ) = ⁠ 1 / 2 ⁠ versin( θ ) ، التي اشتقها بطليموس ، والتي تم استخدامها لإنشاء مثل هذه الجداول.

هافرسين

كانت دالة هافرسين، على وجه الخصوص، ذات أهمية بالغة في الملاحة ، إذ تظهر في صيغة هافرسين ، التي تُستخدم لحساب المسافات بدقة معقولة على سطح كروي فلكي ( انظر المشكلات المتعلقة بنصف قطر الأرض مقابل الكرة ) بمعلومية المواقع الزاوية (مثل خط الطول وخط العرض ). ويمكن أيضًا استخدام sin² ( θ / 2 ) مباشرةً، ولكن وجود جدول لدالة هافرسين يُغني عن حساب المربعات والجذور التربيعية. [ 12 ]

تم توثيق استخدام مبكر من قبل خوسيه دي ميندوزا إي ريوس لما سيطلق عليه فيما بعد اسم هافرسين في عام 1801. [ 14 ] [ 32 ]

نُشر أول ما يُعرف باللغة الإنجليزية من مكافئ لجدول الهافرسين بواسطة جيمس أندرو عام 1805، تحت اسم "مربعات أنصاف الأوتار الطبيعية". [ 33 ] [ 34 ] [ 17 ]

في عام 1835، صاغ جيمس إنمان مصطلح " هافرسين " (يرمز له طبيعيًا بـ hav. أو لوغاريتميًا بالأساس 10 بـ log. haversine أو log . havers. ) [ 35 ] في الطبعة الثالثة من كتابه " الملاحة وعلم الفلك البحري: لاستخدام البحارة البريطانيين" لتبسيط حساب المسافات بين نقطتين على سطح الأرض باستخدام حساب المثلثات الكروية لتطبيقات الملاحة. [ 3 ] [ 35 ] كما استخدم إنمان مصطلحي " نات. فيرسين" و " نات . فيرس" للدلالة على " فيرسين " . [ 3 ]

ومن بين الجداول الأخرى ذات التقدير العالي لجداول هافرسين تلك التي وضعها ريتشارد فارلي في عام 1856 [ 33 ] [ 38 ] وجون كولفيلد هانينجتون في عام 1876. [ 33 ] [ 39 ]

لا يزال يتم استخدام دالة هافرسين في الملاحة وقد وجدت تطبيقات جديدة في العقود الأخيرة، كما هو الحال في طريقة بروس د. ستارك لتحديد المسافات القمرية باستخدام اللوغاريتمات الغاوسية منذ عام 1995 [ 40 ] [ 41 ] أو في طريقة أكثر اختصارًا لتقليل الرؤية منذ عام 2014. [ 29 ]

الاستخدامات الحديثة

في حين أن استخدام الدوال العكسية والدوال العكسية والدوال العكسية بالإضافة إلى وظائفها العكسية يمكن تتبعه إلى قرون مضت، فإن أسماء الدوال الخمس الأخرى تبدو ذات أصل أحدث بكثير.

تُستخدم دورة واحدة ( 0 < θ < 2π ) من دالة الجيب العكسي، أو بشكل أكثر شيوعًا، دالة الجيب العكسي المرفوعة، بشكل شائع في معالجة الإشارات ونظرية التحكم كشكل للنبضة أو دالة النافذة (بما في ذلك نوافذ هان ، وهان-بواسون ، وتوكي )، لأنها "تبدأ" بسلاسة ( متصلة في القيمة والميل ) من الصفر إلى الواحد (بالنسبة لدالة الجيب العكسي المرفوعة) ثم تعود إلى الصفر. [ ملاحظة 2 ] في هذه التطبيقات، تُسمى دالة هان أو مرشح جيب التمام المرفوع .

المتطابقات الرياضية

التعريفات

فيرسين⁡(θ):=2الخطيئة2(θ2)=1-كوس⁡(θ){\displaystyle \operatorname {versin} (\theta ):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,}[ 4 ]رسم بياني للفيرسين
أغطية⁡(θ):=فيرسين(π2-θ)=1-الخطيئة⁡(θ){\displaystyle \operatorname {coversin} (\theta ):=\operatorname {versin} \!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,}[ 4 ]مخطط التغطية
فيركوسين⁡(θ):=2كوس2(θ2)=1+كوس⁡(θ){\displaystyle \operatorname {vercosin} (\theta ):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,}[ 18 ]رسم بياني للفيركوسين
هافرسين⁡(θ):=فيرسين⁡(θ)2=الخطيئة2(θ2)=1-كوس⁡(θ)2{\displaystyle \operatorname {haversin} (\theta ):={\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{2}}=\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,}[ 4 ]مخطط هافرسين

الدوران الدائري

الدوال عبارة عن دورانات دائرية لبعضها البعض. فيرسين⁡(θ)=أغطية⁡(θ+π2)=فيركوسين⁡(θ+π){\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (\theta )&=\operatorname {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\operatorname {vercosin} \left(\theta +\pi \right)\end{aligned}}}

المشتقات والتكاملات

ددxفيرسين⁡(x)=الخطيئة⁡x{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {versin} (x)=\sin {x}}[ 42 ]∫فيرسين⁡(x)دx=x-الخطيئة⁡x+ج{\displaystyle \int \operatorname {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}[ 4 ] [ 42 ]
ددxفيركوسين⁡(x)=-الخطيئة⁡x{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {vercosin} (x)=-\sin {x}}∫فيركوسين⁡(x)دx=x+الخطيئة⁡x+ج{\displaystyle \int \operatorname {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}
ددxأغطية⁡(x)=-كوس⁡x{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {coversin} (x)=-\cos {x}}[ 19 ]∫أغطية⁡(x)دx=x+كوس⁡x+ج{\displaystyle \int \operatorname {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}[ 19 ]
ددxهافرسين⁡(x)=الخطيئة⁡x2{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}}[ 24 ]∫هافرسين⁡(x)دx=x-الخطيئة⁡x2+ج{\displaystyle \int \operatorname {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}[ 24 ]

الدوال العكسية

الدوال العكسية مثل arcversine (arcversin, arcvers, [ 8 ] avers, [ 43 ] [ 44 ] aver)، و arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, avcs)، و arccoversine (arccoversin, arccovers, [ 8 ] acovers, [ 43 ] [ 44 ] acvs)، و arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc)، و archaversine (archaversin, archav, haversin −1 , [ 45 ] invhav, [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] ahav, [ 43 ] [ 44 ] ahvs, ahv, hav −1 [ 49 ] [ 50 ] )، و archavercosine (archavercosin, archavercos, ahvc), archacoversine (archacoversin, ahcv) أو archacovercosine (archacovercosin, archacovercos, ahcc) موجودة أيضًا:

أركفيرسين⁡(y)=أركوس⁡(1-y){\displaystyle \operatorname {arcversin} (y)=\arccos \left(1-y\right)\,}[ 43 ] [ 44 ]
arcvercos⁡(y)=أركوس⁡(y-1){\displaystyle \operatorname {arcvercos} (y)=\arccos \left(y-1\right)\,}
أرككوفرسين⁡(y)=دالة الجيب العكسية⁡(1-y){\displaystyle \operatorname {arccoversin} (y)=\arcsin \left(1-y\right)\,}[ 43 ] [ 44 ]
arccovercos⁡(y)=دالة الجيب العكسية⁡(y-1){\displaystyle \operatorname {arccovercos} (y)=\arcsin \left(y-1\right)\,}
أرشيفيرسين⁡(y)=2دالة الجيب العكسية⁡(y)=أركوس⁡(1-2y){\displaystyle \operatorname {archaversin} (y)=2\arcsin \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(1-2y\right)\,}[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 49 ] [ 50 ]
archavercos⁡(y)=2أركوس⁡(y)=أركوس⁡(2y-1){\displaystyle \operatorname {archavercos} (y)=2\arccos \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(2y-1\right)}
أركاكوفرسين⁡(y)=دالة الجيب العكسية⁡(1-2y){\displaystyle \operatorname {archacoversin} (y)=\arcsin \left(1-2y\right)\,}
archacovercos⁡(y)=دالة الجيب العكسية⁡(2y-1){\displaystyle \operatorname {archacovercos} (y)=\arcsin \left(2y-1\right)\,}

خصائص أخرى

يمكن توسيع هذه الدوال إلى المستوى المركب . [ 42 ] [ 19 ] [ 24 ]

سلسلة ماكلورين : [ 24 ]فيرسين⁡(z)=∑ك=1∞(-1)ك-1z2ك(2ك)!هافرسين⁡(z)=∑ك=1∞(-1)ك-1z2ك2(2ك)!{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}

ليمθ→0فيرسين⁡(θ)θ=0{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}[ 8 ]

فيرسين⁡(θ)+أغطية⁡(θ)فيرسين⁡(θ)-أغطية⁡(θ)-تنفيذي⁡(θ)+استثناء⁡(θ)تنفيذي⁡(θ)-استثناء⁡(θ)=2فيرسين⁡(θ)أغطية⁡(θ)فيرسين⁡(θ)-أغطية⁡(θ)[فيرسين⁡(θ)+تنفيذي⁡(θ)][أغطية⁡(θ)+استثناء⁡(θ)]=الخطيئة⁡(θ)كوس⁡(θ){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}[ 8 ]

التقريبات

مقارنة دالة الجيب العكسي بثلاثة تقريبات لدوال الجيب العكسي، للزوايا التي تتراوح من 0 إلى 2π
مقارنة دالة الجيب العكسي بثلاثة تقريبات لدوال الجيب العكسي، للزوايا التي تتراوح من 0 إلى π /2

عندما تكون قيمة الجيب v صغيرة مقارنة بنصف القطر r ، يمكن تقريبها من طول نصف الوتر L (المسافة AC الموضحة أعلاه) بواسطة الصيغة [ 51 ].v≈ل22ر.{\displaystyle v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.}

بدلاً من ذلك، إذا كانت زاوية الجيب صغيرة وكانت زاوية الجيب ونصف القطر وطول نصف الوتر معروفة، فيمكن استخدامها لتقدير طول القوس s ( AD في الشكل أعلاه) باستخدام الصيغة s≈ل+v2ر{\displaystyle s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}} كانت هذه الصيغة معروفة لعالم الرياضيات الصيني شين كو ، وتم تطوير صيغة أكثر دقة تتضمن أيضًا السهم بعد قرنين من الزمان بواسطة غو شوجينغ . [ 52 ]

التقريب الأكثر دقة المستخدم في الهندسة [ 53 ] هو v≈s32ل128ر{\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}

منحنيات وأوتار عشوائية

يُستخدم مصطلح "الفيرسين" أحيانًا لوصف الانحرافات عن الاستقامة في أي منحنى مستوٍ، والدائرة المذكورة أعلاه حالة خاصة منه. عند وجود وتر بين نقطتين في منحنى، تُسمى المسافة العمودية v من الوتر إلى المنحنى (عادةً عند منتصف الوتر) قياس الفيرسين . بالنسبة للخط المستقيم، يكون فيرسين أي وتر مساويًا للصفر، لذا يُحدد هذا القياس استقامة المنحنى. عندما يقترب طول الوتر L من الصفر، تقترب النسبة 8v / L² من الانحناء اللحظي . يشيع هذا الاستخدام بشكل خاص في النقل بالسكك الحديدية ، حيث يصف قياسات استقامة مسارات السكك الحديدية [ 54 ] ، وهو أساس طريقة هالاد لمسح السكك الحديدية .

يُستخدم مصطلح sagitta (غالباً ما يتم اختصاره إلى sag ) بشكل مماثل في علم البصريات ، لوصف أسطح العدسات والمرايا .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2تخلط بعض المصادر الإنجليزية بين جيب التمام المقلوب وجيب الزاوية المغطى. تاريخيًا (كما ورد في كوشي، 1821 )، عُرِّف جيب التمام المقلوب (أو جيب التمام المقلوب) على أنه siv( θ ) = 1 − cos( θ ) ، وجيب التمام المقلوب (أو ما يُعرف الآن بجيب الزاوية المغطى) على أنه cosiv( θ ) = 1 − sin( θ ) ، وجيب التمام المقلوب على أنه vcs θ = 1 + cos( θ ) . مع ذلك، في ترجمتهما الإنجليزية لعمل كوشي عام 2009، يربط برادلي وسانديفير جيب التمام المقلوب (وجيب التمام المقلوب) بجيب التمام المقلوب (أو ما يُعرف الآن بجيب التمام المغطى) بدلًا من جيب الزاوية المغطى . وبالمثل، في عملهما 1968/2000، يربط كورن وكورن دالة الأغطية ( θ ) بجيب التمام المعكوس بدلاً من الجيب المغطى .      
  2. 1 2 يُستخدم الاختصار hvs أحيانًا لدالة haversine في معالجة الإشارات والترشيح، كما يُستخدم أحيانًا لدالة Heaviside step function غير ذات الصلة .

مراجع

  1. ↑ كتاب أريابهاتيا من تأليف أريابهاتا
  2. ↑ هاسليت، تشارلز (سبتمبر 1855). هاكلي، تشارلز و. (محرر). كتاب المرجع العملي للميكانيكي، والميكانيكي، والمهندس: يحتوي على جداول وصيغ للاستخدام في القياسات السطحية والصلبة؛ قوة ووزن المواد؛ الميكانيكا؛ الآلات؛ الهيدروليكا، والديناميكا المائية؛ المحركات البحرية، والكيمياء؛ ووصفات متنوعة. مُكيَّف لجميع فئات الميكانيكا العملية. بالإضافة إلى كتاب المهندس الميداني: يحتوي على صيغ لمختلف مسارات تشغيل وتغيير الخطوط، وتحديد مواقع المسارات الجانبية والمحولات، إلخ. جداول أنصاف الأقطار ولوغاريتماتها، والجيوب الطبيعية واللوغاريتمية والقواطع الخارجية، والجيوب والظلال الطبيعية لكل درجة ودقيقة من الربع، ولوغاريتمات الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10000 . نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: جيمس ج. غريغوري، خليفة دبليو إيه تاونسند وشركاه (سترينجر وتاونسند) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 أغسطس 2017. [...] مع ذلك، يمكن توفير الكثير من الجهد الحسابي باستخدام جداول القواطع الخارجية والجيوب المعكوسة ، والتي استخدمها المهندسون بنجاح كبير مؤخرًا في سكة حديد أوهايو وميسيسيبي ، والتي تُقدم الآن للجمهور لأول مرة، مع الصيغ والقواعد اللازمة لتطبيقها على رسم المنحنيات، والتي وضعها السيد هاسليت، أحد مهندسي تلك السكة. [...] عند تقديم هذا العمل للجمهور، يدّعي المؤلف أنه يُطبّق مبدأً جديدًا في التحليل المثلثي للصيغ المستخدمة عادةً في الحسابات الميدانية. وقد أظهرت التجربة أن الجيوب المعكوسة والقواطع الخارجية تدخل في حسابات المنحنيات بنفس قدر دخول الجيوب والظلال؛ وبفضل استخدامها، كما هو موضح في الأمثلة الواردة في هذا العمل، يُعتقد أن العديد من القواعد الشائعة الاستخدام قد تم تبسيطها بشكل كبير، وأصبحت العديد من الحسابات المتعلقة بالمنحنيات والخطوط المستقيمة أقل تعقيدًا، وتم الحصول على نتائج أكثر دقة وبجهد أقل بكثير، مقارنةً بأي طرق أخرى مُدرجة في أعمال من هذا النوع. جميع الأمثلة الواردة مستوحاة من الممارسة العملية، وستوضح نفسها بنفسها. [...] ككتاب للاستخدام العملي في العمل الميداني، يُعتقد بثقة أنه أكثر مباشرة في تطبيق القواعد وسهولة في الحساب من أي عمل آخر مُستخدم حاليًا. بالإضافة إلى الجداول الموجودة عادةً في الكتب من هذا النوع، قام المؤلف، بجهد كبير، بإعداد جدول للجيوب الطبيعية واللوغاريتمية والقواطع الخارجية، محسوبة بالدرجات، لكل دقيقة؛ وكذلك جدول للأقطار ولوغاريتماتها، من 1° إلى 60°. [...]طبعة 1856
  3. 1 2 3 إنمان، جيمس (1835) [1821]. الملاحة وعلم الفلك البحري: لاستخدام البحارة البريطانيين ( الطبعة الثالثة). لندن، المملكة المتحدة: دبليو. وودوارد، سي. وجيه. ريفينجتون . تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 نوفمبر 2015 . (الطبعة الرابعة:.)
  4. 1 2 3 4 5 زوكر، روث (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 4.3.147: الدوال المتسامية الأولية - الدوال الدائرية" . في أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن (محرران). دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 78. ISBN    978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
  5. ↑ تابسون، فرانك (2004). "ملاحظات أساسية حول القياسات: الزوايا" . 1.4. كتب كليف. مؤرشف من الأصل في 9 فبراير 2007. تم الاطلاع عليه في 12 نوفمبر 2015 .
  6. ↑ أولدهام، كيث ب.؛ مايلاند، جان س.؛ سبانير، جيروم (2009) [1987]. "32.13. دالتا جيب التمام cos(x) وجيب sin(x) - الدوال المتشابهة". أطلس الدوال: مع إكواتور، حاسبة دوال الأطلس ( الطبعة الثانية). سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا، ذ.م.م. ص 322. doi : 10.1007 /978-0-387-48807-3 . ISBN   978-0-387-48806-6. إل سي سي إن 2008937525 . 
  7. ↑ بيبي، نيلسون إتش إف (22 أغسطس 2017). "الفصل 11.1. خصائص الجيب وجيب التمام". دليل حساب الدوال الرياضية - البرمجة باستخدام مكتبة برامج MathCW المحمولة ( الطبعة الأولى). سولت ليك سيتي، يوتا، الولايات المتحدة الأمريكية: سبرينغر إنترناشونال بابليشينج إيه جي . ص 301. doi : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN   978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 .  
  8. ١ ٢ ٣ ٤ ٥ هول، آرثر غراهام؛ فرينك، فريد غودريتش (يناير ١٩٠٩). "تمارين مراجعة [١٠٠] الدوال المثلثية الثانوية". كُتب في آن أربور، ميشيغان، الولايات المتحدة الأمريكية. علم المثلثات . المجلد. الجزء الأول: علم المثلثات المستوي. نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: هنري هولت وشركاه / مطبعة نوروود / شركة جيه إس كوشينغ - شركة بيرويك وسميث، نوروود، ماساتشوستس، الولايات المتحدة الأمريكية. الصفحات ١٢٥-١٢٧ . تم الاسترجاع في ٢٠١٧-٠٨-١٢ .  
  9. ↑ بوير، كارل بنجامين (1969) [1959]. "5: تعليق على ورقة إي جيه ديكسترهويس (أصول الميكانيكا الكلاسيكية من أرسطو إلى نيوتن)". في كلاغيت، مارشال (محرر). المشكلات الحرجة في تاريخ العلوم ( الطبعة الثالثة). ماديسون، ميلووكي، ولندن: مطبعة جامعة ويسكونسن المحدودة. ص 185-190 . ISBN   0-299-01874-1LCCN 59-5304 . 9780299018740. تاريخ الاسترجاع: 16-11-2015 . 
  10. ↑ سوانسون، تود؛ أندرسن، جانيت؛ كيلي، روبرت (1999). "5 (الدوال المثلثية)" (ملف PDF) . حساب التفاضل والتكامل التمهيدي: دراسة الدوال وتطبيقاتها . هاركورت بريس وشركاه . ص 344. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 17-06-2003 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-11-2015 . 
  11. ↑كورن، غراندينو آرثر؛ كورن، تيريزا م. (2000) [1961]. "الملحق ب: ب9. حساب المثلثات المستوية والكروية: صيغ معبر عنها بدلالة دالة هافرسين". دليل رياضي للعلماء والمهندسين: تعريفات ونظريات وصيغ للرجوع إليها ومراجعتها (الطبعة الثالثة  ). مينولا، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: منشورات دوفر، ص 892-893 . ISBN  978-0-486-41147-7.(انظر قائمة الأخطاء المطبعية .)
  12. 1 2 3 كالفيرت، جيمس ب. (14-09-2007) [10-01-2004]. "علم المثلثات" . مؤرشف من الأصل في 02-10-2007 . تم الاسترجاع في 08-11-2015 .
  13. ^ إدلر فون برونمول، أنطون (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie - Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart [ محاضرات عن تاريخ علم المثلثات - من اختراع اللوغاريتمات حتى الوقت الحاضر ] (باللغة الألمانية). المجلد. 2. لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر . ص. 231 . تم الاسترجاع 2015/12/09 .  
  14. 1 2 3كاجوري، فلوريان (1952) [مارس 1929]. تاريخ الرموز الرياضية . المجلد  2 (الطبعة الثالثة المصححة لإصدار 1929)  . شيكاغو، الولايات المتحدة الأمريكية: دار نشر أوبن كورت . ص  172. ISBN 978-1-60206-714-1١٦٠٢٠٦٧١٤٧. تاريخ الاسترجاع: ١١ نوفمبر ٢٠١٥. ظهرت دالة الهافرسين لأول مرة في جداول الهافرسين اللوغاريتمية لخوسيه دي ميندوزا إي ريوس (مدريد، ١٨٠١، وأيضًا ١٨٠٥، ١٨٠٩)، ولاحقًا في رسالة عن الملاحة لجيمس إنمان (١٨٢١). انظر جيه دي وايت في مجلة نوتيكال ( فبراير ويوليو ١٩٢٦ ).{{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) (ملاحظة: رقم ISBN ورابط لإعادة طباعة الطبعة الثانية من قبل Cosimo, Inc.، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية، 2013.)
  15. 1 2كوشي، أوغسطين لويس (1821). “تحليل الجبر”. Cours d'Analyse de l'Ecole royale polytechnique (باللغة الفرنسية). المجلد.  1. المطبعة الملكية، ديبوري إخوة، مكتبات الملك، ومكتبة الملك .تاريخ الوصول: 2015-11-07 --> (أعيد إصداره بواسطة مطبعة جامعة كامبريدج ، 2009؛ ISBN) 978-1-108-00208-0)
  16. 1 2برادلي، روبرت إي.؛ سانديفير، تشارلز إدوارد (14 يناير 2010) [2009]. بوخوالد، جيه زد (محرر). دروس كوشي في التحليل: ترجمة مشروحة . مصادر ودراسات في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية. كوشي، أوغسطين لويس . سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا، ذ.م.م. ص  10، 285. doi : 10.1007/978-1-4419-0549-9 . ISBN 978-1-4419-0548-2LCCN 2009932254. 1441905499، 978-1-4419-0549-9 . تاريخ الاسترجاع : 2015-11-09 . (انظر قائمة الأخطاء المطبعية .)
  17. 1 2 3 4 فان بروميلين، جلين روبرت (2013). الرياضيات السماوية: فن حساب المثلثات الكروية المنسي . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 9780691148922. 0691148929 . تم الاسترجاع بتاريخ 10-11-2015 .
  18. 1 2 وايسشتاين، إريك وولفغانغ . "فيركوسين" . ماث وورلد . وولفرام ريسيرش، إنك. مؤرشف من الأصل في 24-03-2014 . تم الاسترجاع في 06-11-2015 .
  19. 1 2 3 4 وايسشتاين، إريك وولفغانغ . "كوفرساين" . ماث وورلد . وولفرام ريسيرش، إنك. مؤرشف من الأصل في 27 نوفمبر 2005. تم الاسترجاع في 6 نوفمبر 2015 .
  20. ↑ لودلو، هنري هانت؛ باس، إدغار ويلز (1891). عناصر حساب المثلثات مع جداول لوغاريتمية وجداول أخرى ( الطبعة الثالثة). بوسطن، الولايات المتحدة الأمريكية: جون وايلي وأولاده . ص 33. تاريخ الاسترجاع: 8 ديسمبر 2015 .  
  21. ↑ وينتورث، جورج ألبرت (1903) [1887]. حساب المثلثات المستوية ( الطبعة الثانية). بوسطن، الولايات المتحدة الأمريكية: جين وشركاه . ص 5 .  
  22. ↑ كينيون، ألفريد مونرو؛ إنجولد، لويس (1913). علم المثلثات . نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: شركة ماكميلان . الصفحات 8-9 . تاريخ الاسترجاع: 8 ديسمبر 2015 . 
  23. ↑ أندريج، فريدريك؛ رو، إدوارد دريك (1896). علم المثلثات: للمدارس والكليات . بوسطن، الولايات المتحدة الأمريكية: جين وشركاه . ص 10. تاريخ الاسترجاع : 8 ديسمبر 2015 . 
  24. 1 2 3 4 5 وايسشتاين، إريك وولفغانغ . "هافرسين" . ماث وورلد . وولفرام ريسيرش، إنك. مؤرشف من الأصل في 10 مارس 2005. تم الاسترجاع في 6 نوفمبر 2015 .
  25. ^ فولست ، أوتو (1972). "17، 18". في لوتجن، يوهانس؛ شتاين والتر. زويبلر، جيرهارد (محرران). Nautische Tafeln (في المانيا) (24 ed.). بريمن، ألمانيا: دار آرثر جيست. 
  26. ^ سوير، فرانك (2015) [2004]. “Semiversus-Verfahren: Logarithmische Berechnung der Höhe” (في المانيا). هوثيم آم تاونوس، ألمانيا: أستروسايل. مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 17-09-2013 . تم الاسترجاع 2015/11/12 .
  27. ↑ رايدر، بول ريس؛ ديفيس، ألفريد (1923). حساب المثلثات المستوية . نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: شركة دي. فان نوستراند . ص 42. تاريخ الاسترجاع: 8 ديسمبر 2015 . 
  28. ↑ "هافرسين" . مركز توثيق لغة ونظام وولفرام . 7.0. 2008. مؤرشف من الأصل في 1 سبتمبر 2014. تم الاطلاع عليه في 6 نوفمبر 2015 .
  29. 1 2 رودزينسكي، جريج (يوليو 2015). "تصغير الرؤية بشكل فائق الصغر" . أوشن نافيغيتور (227). إكس، هانو. بورتلاند، مين، الولايات المتحدة الأمريكية: نافيغيتور للنشر ذ.م.م: 42-43 . الرقم الدولي الموحد للدوريات 0886-0149 . تاريخ الاسترجاع 2015-11-07 . 
  30. 1 2 3 "sagitta" . قاموس أكسفورد الإنجليزي ( النسخة الإلكترونية). مطبعة جامعة أكسفورد. (يشترط الاشتراك أو عضوية المؤسسة المشاركة .)
  31. 1 2 بوير، كارل بنيامين ؛ ميرزباخ، أوتا سي. (6 مارس 1991) [1968]. تاريخ الرياضيات ( الطبعة الثانية). نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: جون وايلي وأولاده . ISBN  978-0471543978. 0471543977 . تم الاسترجاع بتاريخ 10-08-2019 .
  32. ^ دي مندوزا وريوس، جوزيف (1795). ذاكرة حول بعض الطرق الجديدة لحساب الطول للمسافات القمرية: وتطبيق نظري لحل مشكلات الملاحة الأخرى (باللغة الإسبانية). مدريد، إسبانيا: إمبرينتا ريال.
  33. 1 2 3 أرشيبالد، ريموند كلير (1945). "جداول رياضية حديثة : 197 [ ج، د ] - هافرسين الطبيعي واللوغاريتمي ..." جداول رياضية وأدوات أخرى للحساب . 1 (11): 421-422 . doi : 10.1090/S0025-5718-45-99080-6 . 
  34. ↑ أندرو، جيمس (1805). جداول فلكية وملاحية مع مبادئ لإيجاد خطوط الطول والعرض للأماكن . المجلد الثالث عشر. لندن. الصفحات 29-148 .  (جدول هافرسين ذو 7 خانات من 0° إلى 120° بفواصل مقدارها 10 بوصات).
  35. 1 2 "haversine". قاموس أكسفورد الإنجليزي ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة أكسفورد . 1989. 
  36. ↑وايت، جيه دي (فبراير 1926). "(عنوان غير معروف)". مجلة بحرية .(ملاحظة: وفقًا لكاجوري، 1929 ، تحتوي هذه المجلة على مناقشة حول أصل كلمة haversines.)
  37. ↑وايت، جيه دي (يوليو 1926). "(عنوان غير معروف)". مجلة بحرية .(ملاحظة: وفقًا لكاجوري، 1929 ، تحتوي هذه المجلة على مناقشة حول أصل كلمة haversines.)
  38. ↑ فارلي، ريتشارد (1856). الجيوب العمودية الطبيعية من 0 إلى 125 درجة، والجيوب العمودية اللوغاريتمية من 0 إلى 135 درجة . لندن.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط ) ( جدول هافرسين من 0° إلى 125°/135°.)
  39. ↑ هانينغتون، جون كولفيلد (1876). هافرسين، الطبيعي واللوغاريتمي، المستخدم في حساب المسافات القمرية للتقويم البحري . لندن.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher ( link ) (جدول هافرسين من 7 خانات من 0° إلى 180°، لوغاريتمات هافرسين على فترات 15 بوصة، هافرسينات طبيعية على فترات 10 بوصات).
  40. ↑ ستارك، بروس د. (1997) [1995]. جداول ستارك لتحديد المسافة القمرية وإيجاد التوقيت العالمي باستخدام السدس، بما في ذلك طريقة ملائمة لتحسين مهارات الملاحة السماوية على الأرض ( الطبعة الثانية). منشورات ستارباث. ISBN  978-0914025214. 091402521X . تم الاسترجاع بتاريخ 2015-12-02 .(ملاحظة: يحتوي على جدول للوغاريتمات الغاوسية lg (1+10 −x ).)
  41. ↑ كاليفودا، يان (30 يوليو 2003). "بروس ستارك - جداول لتحديد المسافة القمرية وإيجاد التوقيت العالمي المنسق باستخدام السدس (1995، 1997)" (مراجعة). براغ، جمهورية التشيك. مؤرشف من الأصل في 12 يناير 2004. تم الاطلاع عليه في 2 ديسمبر 2015 .
  42. 1 2 3 وايسشتاين، إريك وولفغانغ . "فيرسين" . ماث وورلد . وولفرام ريسيرش، إنك. مؤرشف من الأصل في 31 مارس 2010. تم الاسترجاع في 5 نوفمبر 2015 .
  43. 1 2 3 4 5 6 سيمبسون، ديفيد ج. (2001-11-08). "AUXTRIG" ( شفرة مصدرية بلغة فورتران 90 ). غرينبيلت، ماريلاند، الولايات المتحدة الأمريكية: مركز غودارد لرحلات الفضاء التابع لناسا . مؤرشف من الأصل في 2008-06-16 . تم الاسترجاع في 2015-10-26 .
  44. 1 2 3 4 5 6 فان دن دويل، كيس (25 يناير 2010). "jass.utils Class Fmath" . JASS - نظام توليف الصوت بلغة جافا . 1.25. مؤرشف من الأصل في 2 سبتمبر 2007. تم الاطلاع عليه في 26 أكتوبر 2015 .
  45. 1 2 mf344 (2014-07-04). "ضائع ولكنه جميل: دالة هافرسين" . مجلة بلس . maths.org. مؤرشف من الأصل في 2014-07-18 . تم الاسترجاع في 2015-11-05 .{{cite news}}: صيانة CS1: الأسماء الرقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
  46. 1 2 سكفارك، يوري (1999-03-01). "identify.py: عميل خادم الكويكبات الذي يُحدد القياسات بتنسيق MPC" . فيتسبلينك ( شفرة مصدر بايثون ). مؤرشف من الأصل في 2008-11-20 . تم الاسترجاع في 2015-11-28 .
  47. 1 2 سكفارك، يوري (27-10-2014). "astrotrig.py: دوال متعلقة بعلم المثلثات الفلكي" ( شفرة مصدرية بلغة بايثون ). ليوبليانا، سلوفينيا: تلسكوب فيغا، جامعة ليوبليانا . مؤرشف من الأصل في 28-11-2015 . تم الاسترجاع في 28-11-2015 .
  48. ↑ باليو، بات (2007-02-08) [2003]. "فيرسين" . كلمات رياضية، صفحة 4. فيرسين. مؤرشف من الأصل في 2007-02-08 . تم الاسترجاع في 2015-11-28 .
  49. 1 2 وايسشتاين، إريك وولفغانغ . "دالة هافرسين العكسية" . ماث وورلد . وولفرام ريسيرش، إنك. مؤرشف من الأصل في 2008-06-08 . تم الاسترجاع في 2015-10-05 .
  50. 1 2 "InverseHaversine" . Wolfram Language & System: Documentation Center . 7.0. 2008. تم الاسترجاع في 2015-11-05 .
  51. ↑ وودوارد، إرنست (ديسمبر 1978). الهندسة - حلول مسائل المستوي والمجسم والتحليلي . أدلة حلول المسائل. جمعية البحث والتعليم (REA). ص 359. ISBN  978-0-87891-510-1.
  52. ↑ نيدهام، نويل جوزيف تيرينس مونتغمري (1959). العلم والحضارة في الصين: الرياضيات وعلوم السماء والأرض . المجلد 3. مطبعة جامعة كامبريدج . ص 39. ISBN   9780521058018.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  53. ↑ بوردمان، هاري (1930). جدول للاستخدام في حساب الأقواس والأوتار والزوايا . شركة شيكاغو للجسور والحديد . ص 32. 
  54. ↑ ناير، بي إن بهاسكاران (1972). "أنظمة قياس المسارات - المفاهيم والتقنيات". مجلة السكك الحديدية الدولية . 3 (3). الرابطة الدولية لمؤتمر السكك الحديدية، الاتحاد الدولي للسكك الحديدية : 159-166 . ISSN 0020-8442 . OCLC 751627806 .  

للمزيد من القراءة