معادلات أينشتاين للمجال

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 83 صور
الموسوعة الحرة

في النظرية النسبية العامة ، تربط معادلات أينشتاين للمجال ( المعروفة أيضًا باسم معادلات أينشتاين ) هندسة الزمكان بتوزيع المادة والطاقة داخله. [ 1 ]

نشر ألبرت أينشتاين المعادلات في عام 1915 على شكل معادلة موترية [ 2 ] تربط بين المحليانحناء الزمكان (المعبر عنه بواسطةموتر أينشتاين) مع الطاقة المحليةوالزخموالإجهاد داخل ذلك الزمكان (المعبر عنه بواسطةموتر الإجهاد والطاقة). [ 3 ]

على غرار ارتباط المجالات الكهرومغناطيسية بتوزيع الشحنات والتيارات عبر معادلات ماكسويل ، تربط معادلات أينشتاين الهندسية (EFE) هندسة الزمكان بتوزيع الكتلة والطاقة والزخم والإجهاد، أي أنها تحدد موتر القياس للزمكان لتوزيع معين للإجهاد والطاقة والزخم فيه. تسمح العلاقة بين موتر القياس وموتر أينشتاين بكتابة معادلات أينشتاين الهندسية كمجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية عند استخدامها بهذه الطريقة. حلول معادلات أينشتاين الهندسية هي مكونات موتر القياس. ثم تُحسب المسارات العطالية للجسيمات والإشعاع ( الجيوديسية ) في الهندسة الناتجة باستخدام معادلة الجيوديسية .

بالإضافة إلى الإشارة إلى حفظ الطاقة والزخم محليًا، فإن EFE تختزل إلى قانون نيوتن للجاذبية في حالة مجال جاذبية ضعيف وسرعات أقل بكثير من سرعة الضوء . [ 4 ]

لا يمكن إيجاد حلول دقيقة لمعادلة التوازن الكوني إلا في ظل افتراضات مبسطة كالتناظر . وتُدرس فئات خاصة من الحلول الدقيقة بكثرة لأنها تُحاكي العديد من الظواهر الجاذبية، مثل الثقوب السوداء الدوارة والكون المتوسع . ويتحقق تبسيط إضافي بتقريب الزمكان بافتراض انحرافات طفيفة فقط عن الزمكان المسطح ، مما يؤدي إلى معادلة التوازن الكوني الخطية . وتُستخدم هذه المعادلات لدراسة ظواهر مثل موجات الجاذبية .

الشكل الرياضي

EFE على جدار متحف Rijksmuseum Boerhaave في ليدن ، هولندا

يمكن كتابة معادلات مجال أينشتاين (EFE) بالشكل التالي: [ 5 ] [ 6 ]

جيμν+Λزμν=κتيμν،{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}

أينجيμν{\displaystyle G_{\mu \nu }}هو موتر أينشتاين،زμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}هو موتر القياس،تيμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}هو موتر الإجهاد والطاقة ،Λ{\displaystyle \Lambda }هو الثابت الكوني وκ{\displaystyle \kappa }هو ثابت الجاذبية لأينشتاين.

يُعرَّف موتر أينشتاين على النحو التالي:

جيμν=Rμν-12Rزμν،{\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu } - {\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },}

أينRμν{\displaystyle R_{\mu \nu }}هو موتر انحناء ريتشي ، وR{\displaystyle R}يمثل الانحناء القياسي . وهو موتر متناظر من الدرجة الثانية عديم التباعد يعتمد فقط على موتر القياس ومشتقاته الأولى والثانية.

يُعرَّف ثابت الجاذبية لأينشتاين على النحو التالي [ 7 ] [ 8 ]

κ=8πجيج4≈2.07665×10-43شمال-1،{\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},}

أينجي{\displaystyle G}هو ثابت نيوتن للجاذبية وج{\displaystyle c}هي سرعة الضوء في الفراغ .

وبالتالي يمكن كتابة EFE أيضًا على النحو التالي

Rμν-12Rزμν+Λزμν=κتيμν.{\displaystyle R_{\mu \nu} -{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.}

في الوحدات القياسية، كل مصطلح على اليسار له بُعد كمي L −2 .

يمثل التعبير على اليسار انحناء الزمكان كما هو محدد بالمقياس؛ بينما يمثل التعبير على اليمين محتوى الإجهاد والطاقة والزخم في الزمكان. ويمكن تفسير معادلات الطاقة والزخم (EFE) على أنها مجموعة من المعادلات التي تحدد كيفية تأثير الإجهاد والطاقة والزخم على انحناء الزمكان.

تشكل هذه المعادلات جوهر الصياغة الرياضية للنسبية العامة . وهي تستلزم بسهولة معادلة الجيوديسية ، [ 9 ] التي تحدد كيفية تحرك الأجسام المختبرة الساقطة سقوطًا حرًا عبر الزمكان. [ 10 ]

معادلة EFE هي معادلة موترية تربط مجموعة من الموترات المتناظرة 4  × 4. لكل موتر 10 مركبات مستقلة. تقلل  متطابقات بيانكي الأربع عدد المعادلات المستقلة من 10 إلى 6، مما يترك للمقياس أربع درجات حرية لتثبيت القياس ، والتي تتوافق مع حرية اختيار نظام إحداثيات.

على الرغم من أن معادلات أينشتاين للمجال قد صيغت في البداية في سياق نظرية رباعية الأبعاد، فقد استكشف بعض المنظرين عواقبها فين{\displaystyle n}الأبعاد. [ 11 ] لا تزال المعادلات في سياقات خارج النسبية العامة تُعرف باسم معادلات أينشتاين للمجال. معادلات مجال الفراغ (التي تم الحصول عليها عندماتيμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}(حيث يكون الصفر في كل مكان) تعريف مشعبات أينشتاين .

المعادلات أكثر تعقيدًا مما تبدو عليه. بافتراض توزيع محدد للمادة والطاقة على شكل موتر إجهاد-طاقة، تُفهم معادلات الطاقة الفعالة على أنها معادلات لموتر القياس.زμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}نظرًا لأن كلًا من موتر ريتشي والانحناء القياسي يعتمدان على المقياس بطريقة غير خطية معقدة. عند كتابتها بالكامل، تُشكل المعادلات التفاضلية الجزئية نظامًا من عشر معادلات تفاضلية جزئية غير خطية مترابطة من نوع القطع الزائد والقطع الناقص . [ 12 ]

اتفاقية الإشارات

يُعدّ الشكل المذكور أعلاه لـ EFE هو المعيار الذي وضعه ميسنر، ثورن، وويلر (MTW). [ 13 ] قام المؤلفون بتحليل الاصطلاحات الموجودة وتصنيفها وفقًا لثلاث علامات ([S1] [S2] [S3]): زμν=[S1]×التشخيص⁡(-1،+1،+1،+1)Rμαβγ=[S2]×(Γαγ،βμ-Γαβ،γμ+ΓσβμΓγασ-ΓσγμΓβασ)جيμν=[S3]×κتيμν{\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}

تتعلق الإشارة الثالثة أعلاه باختيار اصطلاح موتر ريتشي: Rμν=[S2]×[S3]×Rαμαν{\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}

بناءً على هذه التعريفات ، يصنف كل من ميسنر وثورن وويلر أنفسهم على أنهم (+ + +) ، بينما وينبرغ (1972) [ 14 ] هو (+ − −) ، وبيبلز (1980) [ 15 ] وإفستاثيو وآخرون (1990) [ 16 ] هم (− + +) ، وريندلير (2006) [ 17 ] وأتووتر (1974) وكولينز مارتن وسكوايرز (1989) [ 18 ] وبيكوك (1999) [ 19 ] هم (− + −) .

استخدم مؤلفون من بينهم أينشتاين إشارة مختلفة في تعريفهم لموتر ريتشي، مما ينتج عنه إشارة ثابتة سالبة على الجانب الأيمن: Rμν-12Rزμν-Λزμν=-κتيμν.{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}

ستتغير إشارة المصطلح الكوني في كلا الإصدارين إذا تم استخدام اصطلاح الإشارة المترية (+ − − −) بدلاً من اصطلاح الإشارة المترية MTW (− + + +) المعتمد هنا.

الصيغ المتكافئة

بأخذ الأثر بالنسبة لمقياس كلا جانبي EFE نحصل على R-د2R+دΛ=κتي،{\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,} أيند{\displaystyle D}هو بُعد الزمكان. حل المعادلة لـR{\displaystyle R}وباستبدال هذا في ملف EFE الأصلي، نحصل على الشكل المكافئ "المعكوس التتبعي" التالي: Rμν-2د-2Λزμν=κ(تيμν-1د-2تيزμν).{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).}

فيد=4{\displaystyle D=4}الأبعاد التي يتقلص إليها هذا Rμν-Λزμν=κ(تيμν-12تيزμν).{\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).}

إن عكس المسار مرة أخرى سيعيد شكل المجال الكهربائي الأصلي. قد يكون الشكل المعكوس للمسار أكثر ملاءمة في بعض الحالات (على سبيل المثال، عندما يكون المرء مهتمًا بحد المجال الضعيف ويمكنه استبداله).زμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}في التعبير الموجود على اليمين مع مقياس مينكوفسكي دون فقدان كبير للدقة).

الثابت الكوني

في معادلات مجال أينشتاين جيμν+Λزμν=κتيμν،{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,} المصطلح الذي يحتوي على الثابت الكونيΛ{\displaystyle \Lambda }كان هذا المصطلح غائبًا عن النسخة التي نشرها بها في الأصل. ثم أضاف أينشتاين المصطلح مع الثابت الكوني للسماح بوجود كون لا يتمدد ولا ينكمش . لكن هذه المحاولة باءت بالفشل للأسباب التالية:

  • أي حل مرغوب فيه لحالة الاستقرار، والذي تصفه هذه المعادلة، يكون غير مستقر، و
  • أظهرت ملاحظات إدوين هابل أن كوننا يتوسع .

ثم تخلى أينشتاينΛ{\displaystyle \Lambda }[ 20 ] ، مشيرًا إلى جورج غاموف إلى أن "إدخال المصطلح الكوني كان أكبر خطأ في حياته".

لا يُحدث إدراج هذا المصطلح أي تناقضات. لسنوات عديدة، كان يُفترض عالميًا تقريبًا أن الثابت الكوني يساوي صفرًا. وقد أظهرت رصدات فلكية أحدث تسارعًا في توسع الكون ، ولتفسير ذلك، تُفترض قيمة موجبة لـΛ{\displaystyle \Lambda }[ 21 ] [ 22 ] تأثير الثابت الكوني ضئيل على نطاق المجرة أو أصغر.

اعتبر أينشتاين الثابت الكوني معلمة مستقلة، ولكن يمكن أيضًا نقل حده في معادلة المجال جبريًا إلى الجانب الآخر وإدراجه كجزء من موتر الإجهاد والطاقة: تيμν(vأج)=-Λκزμν.{\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}

يصف هذا الموتر حالة فراغ ذات كثافة طاقةρبطالة{\displaystyle \rho _{\text{vac}}}والضغط المتساويصبطالة{\displaystyle p_{\text{vac}}}وهي ثوابت ثابتة ومعطاة بواسطة ρvأج=-صvأج=Λκ،{\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},} حيث يُفترض أنΛ{\displaystyle \Lambda }له وحدة قياس في النظام الدولي للوحدات m −2 وκ{\displaystyle \kappa }يتم تعريفها كما سبق.

وبالتالي، فإن وجود ثابت كوني يُعادل وجود طاقة فراغ وضغط ذي إشارة معاكسة. وقد أدى ذلك إلى استخدام مصطلحي "الثابت الكوني" و"طاقة الفراغ" بشكل متبادل في النسبية العامة.

سمات

قانون حفظ الطاقة والزخم

تتفق النسبية العامة مع مبدأ حفظ الطاقة والزخم محليًا، والذي يُعبر عنه بالصيغة التالية: ∇βتيαβ=تيαβ؛β=0.{\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}

اشتقاق قانون حفظ الطاقة والزخم المحلي

تقليص هوية بيانكي التفاضليةRαβ[γدلتا؛ε]=0{\displaystyle R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0} معزαβ{\displaystyle g^{\alpha \beta }}يُعطي ذلك، باستخدام حقيقة أن موتر القياس ثابت تباينيًا، أيزαβ؛γ=0{\displaystyle {g^{\alpha \beta }}_{;\gamma }=0}، Rγβγدلتا؛ε+Rγβεγ؛دلتا+Rγβدلتاε؛γ=0{\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\ varepsilon } + {R ^ {\ gamma }} _ {\ beta \ varepsilon \ gamma  ; \ delta } + {R ^ {\ gamma }} _ {\ beta \ delta \ varepsilon  ; \ gamma } = 0}

يسمح التناظر العكسي لموتر ريمان بإعادة كتابة الحد الثاني في التعبير أعلاه: Rγβγدلتا؛ε-Rγβγε؛دلتا+Rγβدلتاε؛γ=0{\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon  ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon  ;\gamma }=0} وهو ما يكافئ Rβدلتا؛ε-Rβε؛دلتا+Rγβدلتاε؛γ=0{\displaystyle R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon  ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon  ;\gamma }=0} باستخدام تعريف موتر ريتشي .

ثم، قم بالتعاقد مرة أخرى مع المقياس زβدلتا(Rβدلتا؛ε-Rβε؛دلتا+Rγβدلتاε؛γ)=0{\displaystyle g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon  ;\delta}+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon  ;\gamma }\right)=0} للحصول عليه Rدلتادلتا؛ε-Rدلتاε؛دلتا+Rγدلتادلتاε؛γ=0.{\displaystyle {R^{\delta }}_{\delta ؛ \ varepsilon } - {R ^ {\ delta }} _ {\ varepsilon  ; \ delta } + {R ^ {\ gamma \ delta }} _ {\ delta \ varepsilon  ; \ gamma } = 0.}

تُظهر تعريفات موتر انحناء ريتشي والانحناء القياسي أن R؛ε-2Rγε؛γ=0،{\displaystyle R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0,} والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي (Rγε-12زγεR)؛γ=0.{\displaystyle \left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0.}

يؤدي الانقباض النهائي مع g εδ إلى(Rγدلتا-12زγدلتاR)؛γ=0،{\displaystyle \left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0,} والذي، بحسب تناظر الحد الموجود بين قوسين وتعريف موتر أينشتاين ، يعطي، بعد إعادة تسمية المؤشرات، جيαβ؛β=0.{\displaystyle {G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}

باستخدام EFE، ينتج عن ذلك على الفور، ∇βتيαβ=تيαβ؛β=0{\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}

وهو ما يُعبّر عن حفظ الطاقة والإجهاد محلياً. يُعدّ قانون الحفظ هذا شرطاً فيزيائياً. وقد ضمن أينشتاين، من خلال معادلات المجال، أن تكون النسبية العامة متسقة مع شرط الحفظ هذا.

اللاخطية

إن اللاخطية في معادلات الطاقة الكهربائية تميز النسبية العامة عن العديد من النظريات الفيزيائية الأساسية الأخرى. فعلى سبيل المثال، معادلات ماكسويل للكهرومغناطيسية خطية في المجالين الكهربائي والمغناطيسي ، وتوزيعات الشحنة والتيار (أي أن مجموع حلين هو حل أيضاً)؛ ومثال آخر هو معادلة شرودنغر في ميكانيكا الكم ، وهي خطية في دالة الموجة .

مبدأ التوافق

تُختزل معادلة المجال الكهربائي المكافئ (EFE) إلى قانون نيوتن للجاذبية باستخدام كلٍ من تقريب المجال الضعيف وتقريب السرعة المنخفضة . الثابتجي{\displaystyle G}يتم تحديد ظهورها في EFE من خلال إجراء هذين التقريبين.

اشتقاق قانون نيوتن للجاذبية

يمكن كتابة قانون الجاذبية النيوتونية كنظرية حقل قياسي،Φ{\displaystyle \Phi }، وهو الجهد الجاذبي بوحدة الجول لكل كيلوغرام من المجال الجاذبيز=-∇Φ{\displaystyle g=-\nabla \Phi }انظر قانون جاوس للجاذبية∇2Φ(x→،ت)=4πجيρ(x→،ت){\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)} أينρ{\displaystyle \rho }هي كثافة الكتلة. مدار الجسيم الساقط سقوطًا حرًا يحقق المعادلة التالية: x→¨(ت)=ز→=-∇Φ(x→(ت)،ت).{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.}

في تدوين الموتر، تصبح هذه Φ،أناأنا=4πجيρد2xأنادت2=-Φ،أنا.{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}}

في النسبية العامة، يتم استبدال هذه المعادلات بمعادلات أينشتاين للمجال في شكل معكوس الأثر Rμν=ك(تيμν-12تيزμν){\displaystyle R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)} لبعض الثوابت،ك{\displaystyle K}ومعادلة الجيوديسيةد2xαدτ2=-Γβγαدxβدτدxγدτ.{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}

لنرى كيف يتحول الأخير إلى الأول، نفترض أن سرعة جسيم الاختبار تساوي تقريبًا صفرًا. دxβدτ≈(دتدτ،0،0،0){\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)} وبالتالي ددت(دتدτ)≈0{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0} وأن المقياس ومشتقاته ثابتة تقريبًا، وأن مربعات الانحرافات عن مقياس مينكوفسكي ضئيلة. بتطبيق هذه الافتراضات المبسطة على المكونات المكانية لمعادلة الجيوديسية، نحصل على د2xأنادت2≈-Γ٠٠أنا{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}} حيث عاملان مندتدτ{\textstyle {\frac {{\text{d}}t}{{\text{d}}\tau }}}تم تقسيمها. سيتحول هذا إلى نظيره النيوتوني، بشرط Φ،أنا≈Γ٠٠أنا=12زأناα(زα0،0+ز0α،0-ز٠٠،α).{\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.}

فرضياتناα=أنا{\displaystyle \alpha =i}وتكون مشتقات الزمن (0) مساوية للصفر. لذا يتبسط هذا إلى 2Φ،أنا≈زأناج(-ز٠٠،ج)≈-ز٠٠،أنا{\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,} والذي يتحقق عن طريق السماح ز٠٠≈-ج2-2Φ.{\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}

بالانتقال إلى معادلات أينشتاين، نحتاج فقط إلى عنصر الزمن-الزمن R٠٠=ك(تي٠٠-12تيز٠٠){\displaystyle R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)} تشير افتراضات السرعة المنخفضة والمجال الساكن إلى أن تيμν≈التشخيص⁡(تي٠٠،0،0،0)≈التشخيص⁡(ρج4،0،0،0).{\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \operatorname {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatorname {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.}

لذا تي=زαβتيαβ≈ز٠٠تي٠٠≈-1ج2ρج4=-ρج2{\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,} وبالتالي ك(تي٠٠-12تيز٠٠)≈ك(ρج4-12(-ρج2)(-ج2))=12كρج4.{\displaystyle K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.}

من تعريف موتر ريتشي R٠٠=Γ٠٠،ρρ-Γρ0،0ρ+ΓρλρΓ٠٠λ-Γ0λρΓρ0λ.{\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}

إن افتراضاتنا المبسطة تجعل مربعاتΓ{\displaystyle \Gamma }تختفي مع المشتقات الزمنية R٠٠≈Γ٠٠،أناأنا.{\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}

بدمج المعادلات المذكورة أعلاه معًا Φ،أناأنا≈Γ٠٠،أناأنا≈R٠٠=ك(تي٠٠-12تيز٠٠)≈12كρج4{\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}} والتي تُختزل إلى معادلة المجال النيوتوني بشرط 12كρج4=4πجيρ،{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho ,} وهذا ما سيحدث إذا ك=8πجيج4.{\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}

معادلات مجال الفراغ

عملة تذكارية سويسرية من عام 1979، تُظهر معادلات مجال الفراغ مع ثابت كوني صفري (أعلى).

إذا كان موتر الطاقة والزخمتيμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}إذا كانت قيمة تساوي صفرًا في المنطقة قيد الدراسة، فإن معادلات المجال تُعرف أيضًا باسم معادلات مجال الفراغ .تيμν=0{\displaystyle T_{\mu \nu }=0}في معادلات المجال المعكوسة الأثر ، يمكن كتابة معادلات مجال الفراغ، والمعروفة أيضًا باسم "معادلات أينشتاين للفراغ" (EVE)، على النحو التالي: Rμν=0.{\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}

في حالة الثابت الكوني غير الصفري، تكون المعادلات كما يلي: Rμν=Λد2-1زμν.{\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}

تُسمى حلول معادلات مجال الفراغ بالحلول الفراغية . يُعد فضاء مينكوفسكي المسطح أبسط مثال على الحلول الفراغية. ومن الأمثلة غير التافهة حل شوارزشيلد وحل كير .

المتشعبات ذات موتر ريتشي المتلاشي ،Rμν=0{\displaystyle R_{\mu \nu }=0}، ويشار إليها باسم مشعبات ريتشي المسطحة والمشعبات ذات موتر ريتشي المتناسب مع المقياس باسم مشعبات أينشتاين .

معادلات أينشتاين-ماكسويل

إذا كان موتر الطاقة والزخمتيμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}وهو ما ينطبق على المجال الكهرومغناطيسي في الفضاء الحر ، أي إذا كان موتر الإجهاد والطاقة الكهرومغناطيسيتيαβ=-1μ0(FαψFψβ+14زαβFψτFψτ){\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)} إذا تم استخدام معادلات أينشتاين للمجال، فإنها تسمى معادلات أينشتاين-ماكسويل (مع ثابت كوني).Λ{\displaystyle \Lambda }(يُعتبر صفرًا في نظرية النسبية التقليدية): جيαβ+Λزαβ=κμ0(FαψFψβ+14زαβFψτFψτ).{\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}

بالإضافة إلى ذلك، فإن معادلات ماكسويل المتغيرة قابلة للتطبيق أيضًا في الفضاء الحر: [ 23 ]Fαβ؛β=0F[αβ؛γ]=13(Fαβ؛γ+Fβγ؛α+Fγα؛β)=13(Fαβ،γ+Fβγ،α+Fγα،β)=0،{\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta  ;\gamma }+F_{\beta \gamma  ;\alpha }+F_{\gamma \alpha  ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0,\end{aligned}}} حيث تمثل الفاصلة المنقوطة مشتقة متغيرة ، وتشير الأقواس إلى التناظر المضاد . تؤكد المعادلة الأولى أن التباعد الرباعي للشكل الثنائي هو تباعد منF{\displaystyle F}ثانيًا، مشتقته الخارجية تساوي صفرًا. ومن هذا الأخير، يتبين من خلال مبرهنة بوانكاريه أنه من الممكن إدخال جهد المجال الكهرومغناطيسي في مخطط إحداثيات.أα{\displaystyle A_{\alpha }}بحيث [ 23 ]Fαβ=أα؛β-أβ؛α=أα،β-أβ،α{\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta  ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }} حيث تشير الفاصلة إلى مشتقة جزئية. غالبًا ما يُعتبر هذا مكافئًا لمعادلة ماكسويل المتغيرة التي اشتُقّت منها. [ 24 ] ومع ذلك، توجد حلول شاملة للمعادلة قد تفتقر إلى جهد مُعرَّف عالميًا. [ 25 ]

الحلول

حلول معادلات أينشتاين للمجال هي مقاييس الزمكان. تصف هذه المقاييس بنية الزمكان، بما في ذلك الحركة القصورية للأجسام فيه. ولأن معادلات المجال غير خطية، فلا يمكن حلها دائمًا حلًا كاملًا (أي دون إجراء تقريبات). على سبيل المثال، لا يوجد حل كامل معروف لزمكان يحتوي على جسمين ضخمين (وهو نموذج نظري لنظام نجمي ثنائي، على سبيل المثال). ومع ذلك، تُجرى تقريبات عادةً في هذه الحالات، وتُعرف هذه التقريبات بتقريبات ما بعد نيوتن . ومع ذلك، توجد حالات عديدة تم فيها حل معادلات المجال حلًا كاملًا، وتُسمى هذه الحلول بالحلول الدقيقة. [ 11 ]

يُعدّ البحث عن الحلول الدقيقة لمعادلات أينشتاين للمجال أحد أنشطة علم الكونيات ، ويؤدي إلى التنبؤ بوجود الثقوب السوداء وإلى نماذج مختلفة لتطور الكون .

يمكن أيضًا اكتشاف حلول جديدة لمعادلات أينشتاين للمجال باستخدام طريقة الأطر المتعامدة، كما طوّرها إليس وماك كالوم. [ 26 ] في هذا النهج، تُختزل معادلات أينشتاين للمجال إلى مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية المترابطة. وكما ناقش هسو ووينرايت، [ 27 ] فإن الحلول ذاتية التشابه لمعادلات أينشتاين للمجال هي نقاط ثابتة للنظام الديناميكي الناتج . وقد اكتشف لوبلانك [ 28 ] وكوهلي وهاسلام [ 29 ] حلولًا جديدة باستخدام هذه الطرق.

EFE الخطي

تُصعّب اللاخطية في معادلات المجال إيجاد حلول دقيقة. إحدى طرق حل هذه المعادلات هي إجراء تقريب، أي افتراض أن المجال الجاذبي يكون ضعيفًا جدًا بعيدًا عن مصدر (مصادر) المادة الجاذبة، وأن الزمكان يُقارب فضاء مينكوفسكي. عندئذٍ، يُكتب المقياس كمجموع مقياس مينكوفسكي وحدٍّ يُمثل انحراف المقياس الحقيقي عنه ، مع إهمال الحدود ذات الأسس الأعلى. يُمكن استخدام إجراء التخطيط الخطي هذا لدراسة ظواهر الإشعاع الجاذبي .

الصيغة متعددة الحدود

على الرغم من أن معادلات العناصر المحدودة (EFE) كما هي مكتوبة تتضمن معكوس موتر القياس، إلا أنه يمكن ترتيبها في شكل يحتوي على موتر القياس في صورة متعددة الحدود وبدون معكوسه. أولاً، يمكن كتابة محدد القياس في أربعة أبعاد على النحو التالي: المحقق(ز)=124εαβγدلتاεκλμνزακزβλزγμزدلتاν{\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }} باستخدام رمز ليفي-تشيفيتا ؛ ويمكن كتابة معكوس المقياس في 4 أبعاد على النحو التالي: زακ=16εαβγدلتاεκλμνزβλزγμزدلتاνالمحقق(ز).{\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}

بإدخال تعبير معكوس المقياس هذا في المعادلات ثم ضرب كلا الطرفين بقوة مناسبة لـالمحقق(ز){\displaystyle \det(g)}يؤدي حذفها من المقام إلى معادلات متعددة الحدود في موتر القياس ومشتقاته الأولى والثانية. ويمكن أيضًا كتابة فعل أينشتاين-هيلبرت، الذي تُشتق منه المعادلات، في صورة متعددة الحدود عن طريق إعادة تعريف مناسبة للحقول. [ 30 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ كورماك أورايفيرتاي ؛ مايكل أوكيف؛ فيرنر نامب ؛ سيمون ميتون (2018). "مئة عام على الثابت الكوني: من 'حيلة زائدة' إلى الطاقة المظلمة" . المجلة الأوروبية للفيزياء H. 43 : 5. arXiv : 1711.06890 . doi : 10.1140/epjh/e2017-80061-7 . مجموعة من المعادلات المتغيرة التي تربط هندسة منطقة من الزمكان بتوزيع المادة/الطاقة داخلها.
  2. ^ أينشتاين ، ألبرت (25 نوفمبر 1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation" . Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844–847 . تم الاسترجاع 2017/08/21 .
  3. ↑ ميسنر، ثورن وويلر (1973) ، ص 916 [الفصل 34].
  4. ↑ كارول، شون (2004). الزمكان والهندسة - مقدمة في النسبية العامة . أديسون ويسلي. ص 151-159 . ISBN  0-8053-8732-3.
  5. ↑ غرون، أويفيند؛ هيرفيك، سيغبيورن (2007). نظرية النسبية العامة لأينشتاين: مع تطبيقات حديثة في علم الكونيات ( طبعة مصورة). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 180. ISBN   978-0-387-69200-5.
  6. ↑ أينشتاين، ألبرت. "أسس النظرية النسبية العامة". في: أ. ج. كوكس؛ مارتن ج. كلاين؛ روبرت شولمان (محررون). الأوراق الكاملة لألبرت أينشتاين: سنوات برلين: كتابات، ١٩١٤-١٩١٧ . المجلد ٦. ترجمة: و. بيريه؛ ج. ب. جيفري؛ ألفريد إنجل. مطبعة جامعة برينستون . ص ١٤٧-٢٠٠. مؤرشف من الأصل بتاريخ ٢٠١٢-٠٢-٠٦.  
  7. ↑ باختيار ثابت الجاذبية لأينشتاين كما هو موضح هنا، κ = 8 πG / c 4 ، يجب كتابة موتر الإجهاد والطاقة على الجانب الأيمن من المعادلة بحيث تكون كل مركبة بوحدات كثافة الطاقة (أي الطاقة لكل وحدة حجم، أو ما يعادلها الضغط). في منشور أينشتاين الأصلي، كان الاختيار هو κ = 8 πG / c 2 ، وفي هذه الحالة تكون مركبات موتر الإجهاد والطاقة بوحدات كثافة الكتلة.
  8. ↑ أدلر، رونالد؛ بازين، موريس؛ شيفر، مناحيم (1975). مقدمة في النسبية العامة ( الطبعة الثانية). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN  0-07-000423-4OCLC 1046135​​ 
  9. ↑ واينبرغ، ستيفن (1993). أحلام نظرية نهائية: البحث عن القوانين الأساسية للطبيعة . دار فينتج للنشر. ص 107، 233. ISBN  0-09-922391-0.
  10. ↑ إيلرز، يورغن؛ جيروش، روبرت (16-09-2003)، "معادلة حركة الأجسام الصغيرة في النسبية"، حوليات الفيزياء ، 309 : 232-236 ، arXiv : gr-qc/0309074 ، doi : 10.1016/j.aop.2003.08.020
  11. 1 2 ستيفاني، هانز؛ كرامر، د.؛ ماكالوم، م. هونسيليرز، سي. هيرلت، إي. (2003). الحلول الدقيقة لمعادلات أينشتاين الميدانية . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 0-521-46136-7.
  12. ↑ ريندال، آلان د. (2005). "نظريات حول الوجود والديناميكيات العالمية لمعادلات أينشتاين" . مجلة Living Review of Relativ ، 8 (1)، 6. رقم المقالة: 6. arXiv : gr-qc/0505133 . Bibcode : 2005LRR.....8....6R . doi : 10.12942/lrr-2005-6 . PMC: 5256071. PMID : 28179868 .  
  13. ↑ ميسنر، ثورن وويلر (1973) ، ص 501 وما بعدها.
  14. ↑ واينبرغ (1972) .
  15. ↑ بيبلز، فيليب جيمس إدوين (1980). البنية واسعة النطاق للكون . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-08239-1.
  16. ↑ إفستاثيو، ج.؛ ساذرلاند، و. ج.؛ مادكس، س. ج. (1990). "الثابت الكوني والمادة المظلمة الباردة". مجلة نيتشر . 348 (6303): 705. Bibcode : 1990Natur.348..705E . doi : 10.1038/348705a0 . S2CID 12988317 . 
  17. ↑ ريندلير، وولفغانغ (2006). النسبية: الخاصة والعامة والكونية (الطبعة الثانية ). أكسفورد؛ نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 138، 217، 299، 303. ISBN   978-0-19-856732-5.
  18. ↑ كولينز، بي دي بي؛ مارتن، إيه دي؛ سكوايرز، إي جيه (1989). فيزياء الجسيمات وعلم الكونيات . نيويورك: وايلي. ISBN 0-471-60088-1.
  19. ↑ الطاووس (1999) .
  20. ↑ غاموف، جورج (28 أبريل 1970). خط عالمي: سيرة ذاتية غير رسمية . فايكنغ أدلت . ISBN 0-670-50376-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 مارس 2007 .
  21. ↑ وال، نيكول (22 نوفمبر 2005). "هل كان 'أكبر خطأ' لأينشتاين نجاحًا باهرًا؟" . أخبار جامعة تورنتو . جامعة تورنتو. مؤرشف من الأصل في 7 مارس 2007.
  22. ↑ تيرنر، مايكل س. (مايو 2001). "فهم علم الكونيات الجديد". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة أ . 17 (ملحق 1): 180-196 . arXiv : astro-ph/0202008 . Bibcode : 2002IJMPA..17S.180T . doi : 10.1142/S0217751X02013113 . S2CID 16669258 . 
  23. 1 2 التعبير الكامل هنا مع المشتقات الجزئية، المشار إليها بفاصلة، هو متغير تمامًا، على الرغم من أن الحدود الفردية ليست متغيرة.
  24. ↑ براون، هارفي (2005). النسبية الفيزيائية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 164. ISBN  978-0-19-927583-0.
  25. ↑ تراوتمان، أندريه (1977). "حلول معادلات ماكسويل ويانغ-ميلز المرتبطة بألياف هوبف". المجلة الدولية للفيزياء النظرية . 16 (9): 561-565 . Bibcode : 1977IJTP...16..561T . doi : 10.1007/BF01811088 . S2CID 123364248 . .
  26. ↑ إليس، جي إف آر؛ ماك كالوم، إم. (1969). "فئة من النماذج الكونية المتجانسة" . مجلة الفيزياء الرياضية . 12 (2): 108-141 . رمز Bibcode : 1969CMaPh..12..108E . doi : 10.1007/BF01645908 . S2CID 122577276 . 
  27. ↑ هسو، ل.؛ واينرايت، ج. (1986). "نماذج كونية متجانسة مكانيًا ذاتية التشابه: حلول سائل مثالي متعامد وحلول فراغ". فيزياء الكم الكلاسيكية . 3 (6): 1105-1124 . Bibcode : 1986CQGra...3.1105H . doi : 10.1088/0264-9381/3/6/011 . S2CID 250907312 . 
  28. ↑ ليبلانك، ف. ج. (1997). "الحالات التقاربية لنماذج بيانكي المغناطيسية من النوع الأول". الفيزياء الكمية الكلاسيكية . 14 (8): 2281. رمز Bibcode : 1997CQGra..14.2281L . doi : 10.1088/0264-9381/14/8/025 . S2CID 250876974 . 
  29. ↑ كوهلي، إيكجيوت سينغ؛ هاسلام، مايكل سي. (2013). "نهج الأنظمة الديناميكية لنموذج بيانكي من النوع الأول المغناطيسي الهيدروديناميكي اللزج". مجلة فيزيكال ريفيو دي . 88 (6) 063518. arXiv : 1304.8042 . Bibcode : 2013PhRvD..88f3518K . doi : 10.1103/physrevd.88.063518 . S2CID 119178273 . 
  30. ↑ كاتاناييف، م.و. (2006). "الصيغة متعددة الحدود لفعل هيلبرت-أينشتاين". النسبية العامة والجاذبية 38 ( 8): 1233-1240 . arXiv : gr-qc/0507026 . Bibcode : 2006GReGr..38.1233K . doi : 10.1007/s10714-006-0310-5 . S2CID 6263993 . 

مراجع

انظر إلى مصادر النسبية العامة .

صور خارجية