صيغة أويلر

صيغة أويلر ، نسبةً إلى ليونارد أويلر ، هي صيغة رياضية في التحليل المركب تُحدد العلاقة الأساسية بين الدوال المثلثية والدالة الأسية المركبة . تنص صيغة أويلر على أنه لأي عدد حقيقي $x$ ، يكون لدينا $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ حيث $e$ هو أساس اللوغاريتم الطبيعي ، $و i$ هو الوحدة التخيلية ، و $cos$ و $sin$ هما الدالتان المثلثيتان لجيب التمام والجيب على التوالي. يُرمز لهذه الدالة الأسية المركبة أحيانًا بـ $cis$ $x$ ("جيب التمام زائد i جيب"). تظل الصيغة صالحة حتى لو كان $x$ عددًا مركبًا ، وتُسمى أيضًا صيغة أويلر في هذه الحالة الأكثر عمومية. ^[¹^]

تُعدّ صيغة أويلر شائعة الاستخدام في الرياضيات والفيزياء والكيمياء والهندسة. وقد وصفها الفيزيائي ريتشارد فاينمان بأنها "جوهرتنا" و"أروع صيغة في الرياضيات". ^{[ 2 ]}

عندما $x = π$ ، يمكن إعادة كتابة صيغة أويلر على النحو التالي: $e iπ = -1$ أو $e iπ + 1 = 0$ ، وهو ما يُعرف باسم متطابقة أويلر .

تاريخ

في عام 1714، قدم عالم الرياضيات الإنجليزي روجر كوتس حجة هندسية يمكن تفسيرها (بعد تصحيح عامل موضوع في غير موضعه). ${\sqrt {-1}}$ ) كما يلي: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} $ix=\ln(\cos x+i\sin x).$ $برفع هذه المعادلة إلى الأس$ نحصل على صيغة أويلر. لاحظ أن الصيغة اللوغاريتمية ليست صحيحة بشكل عام للأعداد المركبة، لأن اللوغاريتم المركب يمكن أن يأخذ عددًا لا نهائيًا من القيم، تختلف بمضاعفات $2πi$ .

{\displaystyle \theta } — تمثيل صيغة أويلر على شكل حلزون في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يتشكل الحلزون برسم نقاط لقيم مختلفة لـ $\theta$ ويتم تحديدها بواسطة كل من مكوني جيب التمام والجيب في الصيغة. يمثل أحد المنحنيات المكون الحقيقي ( $\cos \theta$ ) من الصيغة، بينما تم تدوير منحنى آخر 90 درجة حول المحور z (بسبب الضرب في $i$ يمثل الجزء التخيلي ( $\sin \theta$ ).

في حوالي عام 1740، وجّه ليونارد أويلر اهتمامه إلى الدالة الأسية، واستنتج المعادلة التي سُمّيت باسمه من خلال مقارنة متسلسلات التعبيرات الأسية والمثلثية. ^{[ 6 ]}^{[ 4 ]} نُشرت الصيغة لأول مرة عام 1748 في كتابه التأسيسي " مقدمة في تحليل اللانهاية" . ^{[ 7 ]}

وجد يوهان برنولي أن ^{[ 8 ]} ${\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).$

ومنذ ذلك الحين $\int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,$ تُخبرنا المعادلة أعلاه بشيء عن اللوغاريتمات المركبة من خلال ربط اللوغاريتمات الطبيعية بالأعداد التخيلية (المركبة). مع ذلك، لم يحسب برنولي قيمة التكامل.

تُظهر مراسلات برنولي مع أويلر (الذي كان على دراية بالمعادلة المذكورة أعلاه أيضًا) أن برنولي لم يكن يفهم اللوغاريتمات المركبة فهمًا كاملًا . وقد أشار أويلر أيضًا إلى أن اللوغاريتمات المركبة يمكن أن تأخذ عددًا لا نهائيًا من القيم.

تم وصف وجهة النظر المتعلقة بالأعداد المركبة كنقاط في المستوى المركب بعد حوالي 50 عامًا من قبل كاسبار ويسل .

تعريفات الأسس المركبة

يمكن تعريف الدالة الأسية $e^x$ للقيم الحقيقية لـ $x$ بعدة طرق متكافئة (انظر: خصائص الدالة الأسية ). ويمكن توسيع العديد من هذه الطرق مباشرةً لإعطاء تعريفات لـ $e^z$ للقيم المركبة لـ $z$ ببساطة عن طريق استبدال $z$ بـ $x$ واستخدام العمليات الجبرية المركبة. على وجه الخصوص، يمكننا استخدام أي من التعريفات الثلاثة التالية، وهي متكافئة. من منظور أكثر تقدماً، يمكن تفسير كل تعريف من هذه التعريفات على أنه يعطي الاستمرار التحليلي الوحيد لـ $e^$ $x$ إلى المستوى المركب.

تعريف المعادلة التفاضلية

الدالة الأسية $f(z)=e^{z}$ هي الدالة الوحيدة القابلة للتفاضل لمتغير مركب والتي تكون مشتقتها مساوية للدالة ${\frac {df}{dz}}=f$ و $f(0)=1.$

تعريف سلسلة القوى

بالنسبة للعقدة $z$ $e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

باستخدام اختبار النسبة ، من الممكن إثبات أن سلسلة القوى هذه لها نصف قطر تقارب لانهائي وبالتالي تحدد $e z$ لجميع $z$ المركبة .

تعريف الحد

بالنسبة للعقدة $z$ $e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$

هنا، يقتصر $n على$ الأعداد الصحيحة الموجبة ، لذلك لا يوجد سؤال حول معنى القوة ذات الأس $n$ .

البراهين

توجد أدلة مختلفة ممكنة على صحة الصيغة.

باستخدام التفاضل

يُظهر هذا البرهان أن ناتج قسمة التعبيرين المثلثي والأسّي هو دالة ثابتة للواحد، لذا يجب أن يكونا متساويين (الدالة الأسية لا تساوي صفرًا أبدًا، ^{[ 9 ]} لذا هذا مسموح به). ^{[ 10 ]}

لنفترض الدالة $f (θ)$ $f(\theta )={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$ بالنسبة للقيم الحقيقية $θ$ . وبإجراء التفاضل، نحصل على ذلك باستخدام قاعدة الضرب. $f'(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0$ إذن، $f (θ)$ ثابت. وبما أن الدالة الأسية تساوي $1$ عند $θ = 0$ ، بحسب التعريف، وبما أن الدالة المثلثية المركبة تساوي $1$ أيضًا عند هذه النقطة، فإن $f (0) = 1/1 = 1$ ، وبالتالي فإن $f (θ) = 1$ لجميع $قيم θ$ الحقيقية ، ومن ثم $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$

استخدام متسلسلات القوى

يدور كل حد متتالٍ في المتسلسلة 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة. الحدود ذات الأسس الزوجية حقيقية، وبالتالي موازية لخط الأعداد الحقيقية، والحدود ذات الأسس الفردية تخيلية، وبالتالي موازية لمحور الأعداد التخيلية. برسم كل حد كمتجه في المستوى المركب موصولًا طرفًا بطرف (جمع المتجهات)، نحصل على لولب خطي متقطع يبدأ من نقطة الأصل ويتقارب إلى النقطة (cos 2, sin 2) على دائرة الوحدة. — رسم بياني للحدود القليلة الأولى من متسلسلة تايلور لـ $e it$ لـ $t = 2$ .

إليكم برهان على صيغة أويلر باستخدام متسلسلات القوى ، بالإضافة إلى الحقائق الأساسية حول قوى $i$ : ^{[ 11 ]} ${\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}$

باستخدام تعريف متسلسلة القوى من الأعلى، نرى أنه بالنسبة للقيم الحقيقية لـ $x$ ${\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}$ في الخطوة الأخيرة، نلاحظ أن الحدين يمثلان متسلسلة ماكلورين لـ $cos x$ و $sin x$ . ويُبرر تقسيم المتسلسلة إلى متسلسلتين لأننا نعلم أن متسلسلتي الجيب وجيب التمام متقاربتان.

باستخدام الإحداثيات القطبية

يستند برهان آخر ^{[ 12 ]} إلى حقيقة أنه يمكن التعبير عن جميع الأعداد المركبة بالإحداثيات القطبية ، وعلى افتراض أن $e^{ix}$ يمكن تمثيلها بالمثل؛ وسيكون هذا هو الحال إذا وجدنا حلاً. لذلك، بالنسبة لبعض $قيم r$ و $θ$ التي تعتمد على $x$ ، $e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).$ لا توجد أي افتراضات مسبقة حول $r$ و $θ$ ؛ سيتم تحديدهما خلال البرهان. من أي تعريف للدالة الأسية، يمكن إثبات أن مشتقة $e ix$ هي $ie ix$ . لذلك، باشتقاق الطرفين نحصل على $ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right){\frac {d\theta }{dx}}.$ بالتعويض عن $e$ $ix$ بـ $r (cos$ $θ$ $+$ $i$ $sin$ $θ$ $)$ $ومساواة$ الأجزاء الحقيقية والخيالية في هذه الصيغة $، نحصل على$ $dr$ $/$ $dx$ $=$ $0$ و $dθ$ $/$ $dx$ $=$ $1.$ بالتالي، $r$ ثابت، و $θ$ تساوي $x$ $+$ $C$ حيث $C$ ثابت . لدينا الآن $e^{i\theta }=re^{iC}(\cos \theta +i\sin \theta );$ بمعرفة أن $e i 0 = 1$ ، بالنسبة $لـ θ = 0$ ، يصبح هذا $1=re^{iC}(\cos(0)+i\sin(0))=re^{iC}(1+i0)=re^{iC},$ مما يمنحنا الثابت $re^{iC}=1$ وإثبات الصيغة $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$

التطبيقات

تطبيقات في نظرية الأعداد المركبة

تفسير الصيغة

يمكن تفسير هذه الصيغة على أنها تعني أن الدالة $e iφ$ هي عدد مركب يساوي واحدًا ، أي أنها ترسم دائرة الوحدة في المستوى المركب عندما تتغير قيمة $φ$ عبر الأعداد الحقيقية. هنا، $φ$ هي الزاوية التي يصنعها خط يصل بين نقطة الأصل ونقطة على دائرة الوحدة مع المحور الحقيقي الموجب ، مقاسة عكس اتجاه عقارب الساعة وبالراديان .

يستند البرهان الأصلي إلى متسلسلات تايلور للدالة الأسية $e^z$ (حيث $z$ عدد مركب) وللدالتين $sin x$ و $cos x$ للأعداد الحقيقية $x$ ( انظر أعلاه ). في الواقع، يُظهر البرهان نفسه أن صيغة أويلر صالحة لجميع الأعداد المركبة $x$ .

يمكن تمثيل أي نقطة في المستوى المركب بعدد مركب مكتوب بالإحداثيات الديكارتية . توفر صيغة أويلر وسيلة للتحويل بين الإحداثيات الديكارتية والإحداثيات القطبية . يُبسط الشكل القطبي العمليات الحسابية عند استخدامه في ضرب أو حساب قوى الأعداد المركبة. يمكن كتابة أي عدد مركب $z = x + iy$ ، ومرافقه المركب $z = x - iy ، على النحو التالي:$ ${\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}$ أين

$x = Re z$ هو الجزء الحقيقي،
$y = Im z$ هو الجزء التخيلي،
$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ يمثل مقدار z و $$
$φ = arg z = atan2 (y, x)$ .

$φ$ هي زاوية المتجه $z$ ، أي الزاوية بين المحور x والمتجه z مقاسة عكس اتجاه $عقارب$ $الساعة$ بالراديان ، وهي مُعرَّفة بدقة تصل إلى 2π . تكتب العديد من المراجع $φ = tan⁻¹ y/x بدلاً من φ = atan²(y$ $,$ $x$ $)$ $،$ $ولكن$ $المعادلة$ الأولى $تحتاج$ $إلى$ $تعديل$ $عندما$ $x$ $\leq$ $0.$ وذلك $لأنه$ $لأي$ قيمتين حقيقيتين $x$ و $y ، غير الصفرين معًا، تختلف$ $زوايا$ المتجهين $($ $x$ $,$ $y$ $)$ و $(-x$ $,$ $-y$ $)$ $بمقدار$ π $راديان$ ، لكن لهما نفس القيمة $tan$ $φ$ $=$ $y$ $/$ $x$ $.$

استخدام الصيغة لتعريف لوغاريتم الأعداد المركبة

الآن، باستخدام هذه الصيغة المشتقة، يمكننا استخدام صيغة أويلر لتعريف لوغاريتم عدد مركب. وللقيام بذلك، نستخدم أيضًا تعريف اللوغاريتم (باعتباره معكوس عملية الأس): $a=e^{\ln a},$ وذلك $e^{a}e^{b}=e^{a+b},$ كلاهما صحيح لأي عددين مركبين $a$ و $b$ . لذلك يمكن كتابة ما يلي: $z=\left|z\right|e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|}e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|+i\varphi }$ لأي قيمة لـ $z \neq 0.$ بأخذ اللوغاريتم لكلا الطرفين، يتضح أن $\ln z=\ln \left|z\right|+i\varphi ,$ وفي الواقع، يمكن استخدام هذا كتعريف للوغاريتم المركب . وبالتالي، فإن لوغاريتم العدد المركب هو دالة متعددة القيم ، لأن $φ$ دالة متعددة القيم.

وأخيرًا، القانون الأسي الآخر $\left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},$ والذي يمكن ملاحظة أنه ينطبق على جميع الأعداد الصحيحة $k$ ، إلى جانب صيغة أويلر، يستلزم العديد من المتطابقات المثلثية ، وكذلك صيغة دي موافر .

العلاقة بعلم المثلثات

تكفي صيغة أويلر، وتعريفات الدوال المثلثية، والمتطابقات القياسية للدوال الأسية، لاستنتاج معظم المتطابقات المثلثية بسهولة. فهي توفر صلة قوية بين التحليل وعلم المثلثات ، وتقدم تفسيراً لدالتي الجيب وجيب التمام كمجموع مرجح للدالة الأسية. ${\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}$

يمكن اشتقاق المعادلتين أعلاه عن طريق جمع أو طرح صيغ أويلر: ${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}$ وحل المعادلة لإيجاد قيمة جيب التمام أو الجيب.

يمكن لهذه الصيغ أن تُستخدم حتى كتعريف للدوال المثلثية للمتغيرات المركبة $x$ . على سبيل المثال، إذا وضعنا $x = iy$ ، فسنحصل على: ${\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned}}$

فضلاً عن ذلك ${\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x,\\\sinh ix&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x.\end{aligned}}$

يمكن للدوال الأسية المركبة تبسيط حساب المثلثات، لأنها أسهل رياضيًا في التعامل معها من مكوناتها الجيبية وجيب التمام. إحدى التقنيات هي ببساطة تحويل الجيب وجيب التمام إلى تعبيرات مكافئة بدلالة الدوال الأسية، والتي تُسمى أحيانًا بالدوال الجيبية المركبة . ^{[ 13 ]} بعد هذه العمليات، تظل النتيجة المبسطة ذات قيم حقيقية. على سبيل المثال:

${\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}$

تتمثل إحدى التقنيات الأخرى في تمثيل الجيب وجيب التمام بدلالة الجزء الحقيقي من تعبير مركب، ثم إجراء العمليات الحسابية على هذا التعبير المركب. على سبيل المثال: ${\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}$

تُستخدم هذه الصيغة لتوليد $cos nx$ بشكل متكرر لقيم $n الصحيحة و$ $x$ العشوائية (بالراديان).

باعتبار $cos x$ كمعامل في المعادلة أعلاه، ينتج عن ذلك صيغة تكرارية لكثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول.

التفسير الطوبولوجي

بلغة الطوبولوجيا ، تنص صيغة أويلر على أن الدالة الأسية التخيلية $t\mapsto e^{it}$ هو تشاكل ( شامل ) للمجموعات الطوبولوجية من الخط الحقيقي $\mathbb {R}$ إلى دائرة الوحدة $\mathbb {S} ^{1}$ في الواقع، هذا يُظهر $\mathbb {R}$ كمساحة تغطية لـ $\mathbb {S} ^{1}$ وبالمثل، تنص متطابقة أويلر على أن نواة هذه الخريطة هي $\tau \mathbb {Z}$ ، أين $\tau =2\pi$ يمكن دمج هذه الملاحظات وتلخيصها في الرسم البياني التبادلي أدناه:

تطبيقات أخرى

في المعادلات التفاضلية ، تُستخدم الدالة $e ix$ غالبًا لتبسيط الحلول، حتى لو كانت الإجابة النهائية دالة حقيقية تتضمن الجيب وجيب التمام. والسبب في ذلك هو أن الدالة الأسية هي دالة ذاتية لعملية التفاضل .

في الهندسة الكهربائية ومعالجة الإشارات والمجالات المشابهة، غالبًا ما تُوصف الإشارات المتغيرة دوريًا بمرور الوقت بأنها مزيج من الدوال الجيبية (انظر تحليل فورييه )، ويُعبَّر عنها بشكل أكثر ملاءمة كمجموع دوال أسية ذات أسس تخيلية ، باستخدام صيغة أويلر. كما يمكن أن يشمل تحليل الطور للدوائر صيغة أويلر لتمثيل معاوقة المكثف أو المحث.

في الفضاء الرباعي الأبعاد للأعداد الرباعية ، توجد كرة من الوحدات التخيلية . لأي نقطة $r$ على هذه الكرة، و $x$ عدد حقيقي، تنطبق صيغة أويلر: $\exp xr=\cos x+r\sin x,$ ويُطلق على العنصر اسم " مُوَجِّه" في الرباعيات. وتشكل مجموعة جميع المُوَجِّهات كرة ثلاثية الأبعاد في الفضاء الرباعي الأبعاد.

انظر أيضاً

مراجع

↑ موسكوفيتز، مارتن أ. (2002). دورة في التحليل المركب لمتغير واحد . دار النشر العالمية العلمية. ص 7. ISBN 981-02-4780-X.
↑ فاينمان، ريتشارد ب. (1977). محاضرات فاينمان في الفيزياء، المجلد الأول . أديسون-ويسلي. ص 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
↑
كتب كوتس: "Nam si Quadrantis circuli quilibet arcus، radio CE descriptus، sinun habeat CX sinumque التكميلية ad Quadrantem XE ؛ sumendo radium CE pro Modulo، arcus eritrationis inter $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE mensura ducta in ${\sqrt {-1}}$ ( وبالتالي، إذا كان لأي قوس في ربع دائرة، موصوف بنصف القطر CE ، جيب CX وجيب متمم الربع XE ؛ مع اعتبار نصف القطر CE هو المعيار، فسيكون القوس هو مقياس النسبة بين $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ و CE مضروبة في ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ أي، لنفترض دائرة مركزها E (عند نقطة الأصل في المستوى (x, y)) ونصف قطرها CE . ولنفترض زاوية θ رأسها E ، أحد أضلاعها هو المحور x الموجب، والضلع الآخر نصف قطره CE . العمود النازل من النقطة C على الدائرة على المحور x هو "جيب" CX ؛ والمستقيم الواصل بين مركز الدائرة E والنقطة X عند مقام العمود هو XE ، وهو "جيب المتمم للربع" أو "جيب التمام". النسبة بين $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ وبالتالي فإن CE هو $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ في مصطلحات كوتس، يُعرف "مقياس" الكمية بأنه لوغاريتمها الطبيعي، و"المعيار" هو عامل تحويل يحول قياس الزاوية إلى طول قوس دائري (هنا، المعيار هو نصف قطر الدائرة ( CE )). ووفقًا لكوتس، فإن حاصل ضرب المعيار في مقياس (لوغاريتم) النسبة، عند ضربه في ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ ، يساوي طول القوس الدائري المقابل للزاوية θ ، والذي يساوي CE • θ لأي زاوية مقاسة بالراديان . وبالتالي، ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ تحتوي هذه المعادلة على عامل في غير موضعه: عامل ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ يجب أن يكون على الجانب الأيمن من المعادلة، وليس الجانب الأيسر. إذا كان تغيير المقياس بواسطة ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ ثم، بعد قسمة كلا الطرفين على CE ورفع كلا الطرفين إلى الأس، تكون النتيجة كالتالي: $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ وهي صيغة أويلر. انظر:
- روجر كوتس (1714)، "لوغومتريا"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 29 (338) : 5-45؛ انظر تحديدًا الصفحة 32. متاح على الإنترنت على: هاثي تراست
- روجر كوتس مع روبرت سميث، محرر، Harmonia mensurarum … (كامبريدج، إنجلترا: 1722)، الفصل: “Logometria”، ص. 28 .
- https://nrich.maths.org/1384
1 2 جون ستيلويل (2002). الرياضيات وتاريخها . سبرينغر. ISBN 9781441960528.
↑ سانديفير، سي. إدوارد (2007)، أعظم إنجازات أويلر ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-88385-563-8
↑ ليونارد أويلر (1748) الفصل 8: حول الكميات المتسامية الناشئة من دائرة مقدمة لتحليل اللانهائي ، الصفحة 214، القسم 138 (ترجمة إيان بروس، رابط pdf من رياضيات القرن السابع عشر).
↑ كونواي وجاي، الصفحات 254-255
^ برنولي ، يوهان (1702). "حل مشكلة في حساب التكامل مع بعض الملاحظات المتعلقة بهذا الحساب" [ حل مشكلة في حساب التكامل مع بعض الملاحظات المتعلقة بهذا الحساب ] . مذكرات الأكاديمية الملكية للعلوم في باريس . 1702 : 289-297 .
↑ أبوستول، توم (1974). التحليل الرياضي . بيرسون. ص 20. ISBN 978-0201002881.النظرية 1.42
↑ user02138 ( https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138 )، كيف يمكن إثبات صيغة أويلر: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$؟، الرابط (الإصدار: 2018-06-25): https://math.stackexchange.com/q/8612
↑ ريكاردو، هنري ج. (23 مارس 2016). مقدمة حديثة للمعادلات التفاضلية . دار نشر إلسيفير للعلوم. ص 428. ISBN 9780123859136.
↑ سترانج، جيلبرت (1991). حساب التفاضل والتكامل . ويليسلي-كامبريدج. ص 389. ISBN 0-9614088-2-0.الدليل الثاني في الصفحة.
↑ "الجيوب القلبية المعقدة" . ccrma.stanford.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 سبتمبر 2024 .

للمزيد من القراءة

ناهين، بول ج. (2006). صيغة الدكتور أويلر الرائعة: تعالج العديد من المشاكل الرياضية . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-11822-2.
ويلسون، روبن (2018). معادلة أويلر الرائدة: أجمل نظرية في الرياضيات . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-879492-9MR 3791469 .

روابط خارجية

عناصر الجبر

[1] موسكوفيتز، مارتن أ. (2002). دورة في التحليل المركب لمتغير واحد . دار النشر العالمية العلمية. ص 7. ISBN 981-02-4780-X.

[2] فاينمان، ريتشارد ب. (1977). محاضرات فاينمان في الفيزياء، المجلد الأول . أديسون-ويسلي. ص 22-10. ISBN 0-201-02010-6.

[3] كتب كوتس: "Nam si Quadrantis circuli quilibet arcus، radio CE descriptus، sinun habeat CX sinumque التكميلية ad Quadrantem XE ؛ sumendo radium CE pro Modulo، arcus eritrationis inter $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE mensura ducta in ${\sqrt {-1}}$ ( وبالتالي، إذا كان لأي قوس في ربع دائرة، موصوف بنصف القطر CE ، جيب CX وجيب متمم الربع XE ؛ مع اعتبار نصف القطر CE هو المعيار، فسيكون القوس هو مقياس النسبة بين $EX+XC{\sqrt {-1}}$ و CE مضروبة في ${\sqrt {-1}}$ أي، لنفترض دائرة مركزها E (عند نقطة الأصل في المستوى (x, y)) ونصف قطرها CE . ولنفترض زاوية θ رأسها E ، أحد أضلاعها هو المحور x الموجب، والضلع الآخر نصف قطره CE . العمود النازل من النقطة C على الدائرة على المحور x هو "جيب" CX ؛ والمستقيم الواصل بين مركز الدائرة E والنقطة X عند مقام العمود هو XE ، وهو "جيب المتمم للربع" أو "جيب التمام". النسبة بين $EX+XC{\sqrt {-1}}$ وبالتالي فإن CE هو $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ في مصطلحات كوتس، يُعرف "مقياس" الكمية بأنه لوغاريتمها الطبيعي، و"المعيار" هو عامل تحويل يحول قياس الزاوية إلى طول قوس دائري (هنا، المعيار هو نصف قطر الدائرة ( CE )). ووفقًا لكوتس، فإن حاصل ضرب المعيار في مقياس (لوغاريتم) النسبة، عند ضربه في ${\sqrt {-1}}$ ، يساوي طول القوس الدائري المقابل للزاوية θ ، والذي يساوي CE • θ لأي زاوية مقاسة بالراديان . وبالتالي، ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ تحتوي هذه المعادلة على عامل في غير موضعه: عامل ${\sqrt {-1}}$ يجب أن يكون على الجانب الأيمن من المعادلة، وليس الجانب الأيسر. إذا كان تغيير المقياس بواسطة ${\sqrt {-1}}$ ثم، بعد قسمة كلا الطرفين على CE ورفع كلا الطرفين إلى الأس، تكون النتيجة كالتالي: $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ وهي صيغة أويلر. انظر:
روجر كوتس (1714)، "لوغومتريا"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 29 (338) : 5-45؛ انظر تحديدًا الصفحة 32. متاح على الإنترنت على: هاثي تراست
روجر كوتس مع روبرت سميث، محرر، Harmonia mensurarum … (كامبريدج، إنجلترا: 1722)، الفصل: “Logometria”، ص. 28 .
https://nrich.maths.org/1384

[mwApM] روجر كوتس (1714)، "لوغومتريا"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 29 (338) : 5-45؛ انظر تحديدًا الصفحة 32. متاح على الإنترنت على: هاثي تراست

[mwApg] روجر كوتس مع روبرت سميث، محرر، Harmonia mensurarum … (كامبريدج، إنجلترا: 1722)، الفصل: “Logometria”، ص. 28 .

[mwAps] ttps://nrich.maths.org/1384

[Stillwell-4] 1 2 جون ستيلويل (2002). الرياضيات وتاريخها . سبرينغر. ISBN 9781441960528.

[5] سانديفير، سي. إدوارد (2007)، أعظم إنجازات أويلر ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-88385-563-8

[6] ليونارد أويلر (1748) الفصل 8: حول الكميات المتسامية الناشئة من دائرة مقدمة لتحليل اللانهائي ، الصفحة 214، القسم 138 (ترجمة إيان بروس، رابط pdf من رياضيات القرن السابع عشر).

[7] كونواي وجاي، الصفحات 254-255

[8] برنولي ، يوهان (1702). "حل مشكلة في حساب التكامل مع بعض الملاحظات المتعلقة بهذا الحساب" [ حل مشكلة في حساب التكامل مع بعض الملاحظات المتعلقة بهذا الحساب ] . مذكرات الأكاديمية الملكية للعلوم في باريس . 1702 : 289-297 .

[Apostol-9] أبوستول، توم (1974). التحليل الرياضي . بيرسون. ص 20. ISBN 978-0201002881.النظرية 1.42

[10] user02138 ( https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138 )، كيف يمكن إثبات صيغة أويلر: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$؟، الرابط (الإصدار: 2018-06-25): https://math.stackexchange.com/q/8612

[11] ريكاردو، هنري ج. (23 مارس 2016). مقدمة حديثة للمعادلات التفاضلية . دار نشر إلسيفير للعلوم. ص 428. ISBN 9780123859136.

[Strang-12] سترانج، جيلبرت (1991). حساب التفاضل والتكامل . ويليسلي-كامبريدج. ص 389. ISBN 0-9614088-2-0.الدليل الثاني في الصفحة.

[13] "الجيوب القلبية المعقدة" . ccrma.stanford.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 سبتمبر 2024 .

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗