الكائنات الأولية والنهائية

في نظرية الفئات ، وهي فرع من الرياضيات ، يكون الكائن الأولي للفئة $C$ هو كائن $I$ في $C$ بحيث أنه لكل كائن $X$ في $C$ ، يوجد تشاكل واحد فقط $I$ $\to$ $X.$

المفهوم المقابل هو مفهوم الكائن النهائي (ويسمى أيضًا العنصر النهائي ): يكون $T$ نهائيًا إذا كان لكل كائن $X$ في $C$ يوجد تشاكل واحد فقط $X \to T.$ تسمى الكائنات الأولية أيضًا بالكائنات المتطابقة أو الشاملة ، وتسمى الكائنات النهائية أيضًا بالكائنات النهائية .

إذا كان الكائن أوليًا ونهائيًا في آنٍ واحد، يُطلق عليه اسم الكائن الصفري أو الكائن الفارغ . والفئة المُشار إليها هي فئة تحتوي على كائن صفري.

الكائن الأولي الصارم $I هو الكائن الذي$ يكون فيه كل تشاكل إلى $I$ تشاكلاً ( يتم تعريف الكائنات النهائية الصارمة بشكل مماثل).

أمثلة

المجموعة الفارغة هي العنصر الأولي الوحيد في فئة المجموعات ( Set ). كل مجموعة أحادية العنصر ( مجموعة مفردة ) هي عنصر نهائي في هذه الفئة؛ فلا توجد عناصر صفرية. وبالمثل، الفضاء الفارغ هو العنصر الأولي الوحيد في فئة الفضاءات الطوبولوجية ( Top) ، وكل فضاء أحادي النقطة هو عنصر نهائي في هذه الفئة.
في فئة Rel للمجموعات والعلاقات، تعتبر المجموعة الفارغة هي الكائن الأولي الفريد، والكائن النهائي الفريد، وبالتالي الكائن الصفري الفريد.

في فئة المجموعات المُشار إليها (التي تتكون عناصرها من مجموعات غير فارغة بالإضافة إلى عنصر مميز؛ حيث يكون التشكل من $(A, a)$ إلى $(B, b)$ دالة $f : A \to B$ بحيث $f (a) = b$ )، يكون كل عنصر أحادي هو عنصر صفري. وبالمثل، في فئة الفضاءات الطوبولوجية المُشار إليها ، يكون كل عنصر أحادي هو عنصر صفري.
في Grp ، فئة الزمر ، أي زمرة تافهة هي كائن صفري. الكائن التافه هو أيضًا كائن صفري في Ab ، فئة الزمر الأبيلية ، وRng، فئة الحلقات الزائفة ، وR -Mod ، فئة الوحدات فوق حلقة، و K -Vect ، فئة الفضاءات المتجهة فوق حقل. انظر الكائن الصفري (الجبر) لمزيد من التفاصيل. هذا هو أصل مصطلح "الكائن الصفري".
في فئة الحلقات التي تحتوي على عنصر محايد ومورفيزمات تحافظ على العنصر المحايد، تُعتبر حلقة الأعداد الصحيحة Z كائنًا أوليًا. أما الحلقة الصفرية التي تتكون من عنصر واحد فقط $(0 = 1)$ فهي كائن نهائي.
في فئة Rig ، وهي فئة الأطر التي تحتوي على عناصر وحدوية ومورفيزمات تحافظ على الوحدة، يُعد إطار الأعداد الطبيعية N كائنًا أوليًا. أما إطار الصفر، وهو الحلقة الصفرية التي تتكون من عنصر واحد فقط $0 = 1،$ فهو كائن نهائي.
في فئة الحقول ، لا توجد كائنات ابتدائية أو نهائية. مع ذلك، في الفئة الفرعية للحقول ذات الخصائص الثابتة، يُعد الحقل الأولي كائنًا ابتدائيًا.
يمكن تفسير أي مجموعة مرتبة جزئيًا $(P, \leq)$ على أنها فئة: عناصرها هي الكائنات $،$ ويوجد تشاكل واحد من $x$ إلى $y$ إذا وفقط إذا كان $x \leq y$ . تحتوي هذه الفئة على كائن ابتدائي إذا وفقط إذا كان لـ $P$ أصغر عنصر ؛ ولها كائن نهائي إذا وفقط إذا كان لـ $P$ أكبر عنصر .
Cat ، وهي فئة الفئات الصغيرة التي تحتوي على الدوال كتشاكلات ، تحتوي على الفئة الفارغة، 0 (بدون كائنات وبدون تشاكلات)، ككائن أولي والفئة النهائية، 1 (مع كائن واحد بتشاكل هوية واحد)، ككائن نهائي.
في فئة المخططات ، يُعدّ Spec( Z )، وهو الطيف الأولي لحلقة الأعداد الصحيحة، كائنًا نهائيًا. أما المخطط الفارغ (المساوي للطيف الأولي لحلقة الصفر ) فهو كائن ابتدائي.
يمكن وصف نهاية الرسم البياني F بأنها كائن نهائي في فئة المخاريط المتجهة إلى F. وبالمثل ، يمكن وصف النهاية المشتركة لـ F بأنها كائن أولي في فئة المخاريط المشتركة المتجهة من F.
في فئة Ch _R من المركبات السلسلية على حلقة تبديلية R ، يكون المركب الصفري كائنًا صفريًا.
في متتالية تامة قصيرة من الشكل 0 → a → b → c → 0 ، يكون العنصران الابتدائي والنهائي هما العنصر الصفري المجهول. ويُستخدم هذا بشكل متكرر في نظريات التماثل.
في فئة الأنواع، يكون النوع الفارغ هو الكائن الأولي، ويكون نوع الوحدة هو الكائن النهائي.

ملكيات

الوجود والتفرد

$لا يُشترط وجود الكائنات الأولية والنهائية في فئة معينة. مع ذلك$ ، إذا وُجدت، فهي فريدة في جوهرها. تحديدًا، إذا كان $I1$ و $I2$ كائنين أوليين مختلفين، فهناك تماثل فريد بينهما. علاوة على ذلك، إذا كان $I$ كائنًا أوليًا، فإن أي كائن متماثل معه $هو$ $أيضًا$ كائن أولي. وينطبق الأمر نفسه على الكائنات النهائية.

بالنسبة للفئات الكاملة، توجد نظرية وجود للكائنات الأولية. تحديدًا، تحتوي الفئة الكاملة $C ($ الصغيرة محليًا ) على كائن أولي إذا وفقط إذا وُجدت مجموعة $I$ ( ليست فئة فعلية ) وعائلة مفهرسة بـ I $($ $K$ $i$ $)$ $من$ كائنات C $بحيث$ أنه لأي كائن $X$ من $C$ ، يوجد على الأقل تشاكل $واحد$ $Ki$ $\to$ $X$ لبعض $i$ $\in$ $I.$

الصيغ المتكافئة

يمكن تعريف العناصر النهائية في فئة $C أيضًا على أنها$ نهايات المخطط الفارغ الوحيد $0 \to C.$ وبما أن الفئة الفارغة هي فئة منفصلة ، يمكن اعتبار العنصر النهائي بمثابة حاصل ضرب فارغ (حيث أن حاصل الضرب هو في الواقع نهاية المخطط المنفصل ${X i}$ ، بشكل عام). وبالمثل، فإن العنصر الابتدائي هو نهاية مشتركة للمخطط الفارغ $0 \to C،$ ويمكن اعتباره حاصل ضرب مشترك فارغ أو مجموعًا فئويًا.

يترتب على ذلك أن أي دالة تحافظ على النهايات ستنقل الكائنات النهائية إلى كائنات نهائية، وأي دالة تحافظ على النهايات المشتركة ستنقل الكائنات الأولية إلى كائنات أولية. على سبيل المثال، الكائن الأولي في أي فئة ملموسة تحتوي على كائنات حرة سيكون الكائن الحر الناتج عن المجموعة الفارغة (لأن الدالة الحرة ، كونها المرافقة اليسرى للدالة المنسية للمجموعة ، تحافظ على النهايات المشتركة ).

يمكن أيضًا وصف الكائنات الأولية والنهائية من حيث الخصائص الشاملة والدوال المرافقة . ليكن 1 الفئة المنفصلة ذات الكائن الواحد (يرمز له بـ •)، وليكن $U : C \to 1$ الدالة الوحيدة (الثابتة) إلى 1. عندئذٍ

الكائن الأولي $I$ في $C$ هو تشاكل شامل من • إلى $U.$ الدالة التي ترسل • إلى $I$ هي دالة مرافقة يسارية لـ U.
الكائن النهائي $T$ في $C$ هو تشاكل شامل من $U$ إلى •. الدالة التي ترسل • إلى $T$ هي المرافق الأيمن لـ $U.$

العلاقة بالبنى التصنيفية الأخرى

يمكن صياغة العديد من البنى الطبيعية في نظرية الفئات من حيث إيجاد كائن أولي أو نهائي في فئة مناسبة.

يمكن تعريف التشاكل الشامل من كائن $X$ إلى دالة $U$ على أنه كائن ابتدائي في فئة الفاصلة $(X ↓ U)$ . وبالمثل، فإن التشاكل الشامل من $U$ إلى $X$ هو كائن نهائي في $(U ↓ X)$ .
نهاية المخطط $F$ هي كائن نهائي في $Cone(F)$ ، وهي فئة المخاريط إلى $F.$ وبالمثل، فإن النهاية المشتركة لـ $F$ هي كائن ابتدائي في فئة المخاريط من $F.$
إن تمثيل الدالة $F$ إلى المجموعة هو كائن أولي في $فئة$ عناصر F.
إن مفهوم الدالة النهائية (على التوالي، الدالة الأولية) هو تعميم لمفهوم الكائن النهائي (على التوالي، الكائن الأولي).

خصائص أخرى

إن أحادي التشكل الداخلي للكائن الأولي أو النهائي $I$ هو أمر تافه: $End(I) = Hom(I, I) = { id I}$ .
إذا كانت الفئة $C$ تحتوي على كائن صفري $0$ ، فإن التركيب الفريد $X$ $\to 0 \to$ $Y$ هو تشاكل صفري من $X$ إلى $Y$ لأي زوج من الكائنات $X$ و $Y$ في $C.$

مراجع

أداميك، جيري؛ هيرليخ، هورست؛ ستريكر، جورج إي. (1990). فئات مجردة وملموسة. فرحة القطط (PDF) . جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 0-471-60922-6Zbl 0695.18001 . مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 21-04-2015 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15-01-2008 .
بيديكيو، ماريا كريستينا ؛ ثولين، والتر، محرران. (2004). الأسس الفئوية. موضوعات خاصة في الترتيب، والطوبولوجيا، والجبر، ونظرية الحزم . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 97. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .
ماك لين، سوندرز (1998). تصنيفات للرياضي العامل . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 5 ( الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 .
تستند هذه المقالة جزئيًا إلى مقالة PlanetMath حول أمثلة على الكائنات الأولية والنهائية. تم أرشفة هذه المقالة في 11 نوفمبر 2005 على موقع Wayback Machine .