مجموعة مولدة نهائياً

في الجبر ، الزمرة المولدة نهائياً هي زمرة G لها مجموعة مولدة نهائية S بحيث يمكن كتابة كل عنصر من G على أنه توليفة (تحت عملية الزمرة) لعدد نهائي من عناصر S ومعكوسات هذه العناصر . ^{[ 1 ]}

بحسب التعريف، كل زمرة منتهية مولدة توليداً منتهياً، إذ يمكن اعتبار S هي G نفسها. كل زمرة لانهائية مولدة توليداً منتهياً يجب أن تكون قابلة للعد، لكن الزمر القابلة للعد ليست بالضرورة مولدة توليداً منتهياً. الزمرة الجمعية للأعداد النسبية Q مثال على زمرة قابلة للعد غير مولدة توليداً منتهياً.

• كل خارج قسمة لمجموعة مولدة نهائياً G يكون مولداً نهائياً؛ يتم توليد مجموعة القسمة بواسطة صور مولدات G تحت الإسقاط الكنسي .
• تُسمى المجموعة التي تتولد بواسطة عنصر واحد مجموعة دورية . كل مجموعة دورية لانهائية متماثلة مع المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة Z.
  • المجموعة الدورية المحلية هي مجموعة تكون فيها كل مجموعة فرعية مولدة بشكل نهائي دورية.
• يتم توليد المجموعة الحرة على مجموعة منتهية بشكل منتهٍ بواسطة عناصر تلك المجموعة ( §أمثلة ).
• من باب أولى ، كل مجموعة معروضة بشكل محدود ( انظر الأمثلة ) مولدة بشكل محدود.

يمكن اعتبار كل زمرة أبيلية وحدة نمطية على حلقة الأعداد الصحيحة Z ، وفي زمرة أبيلية مولدة بشكل نهائي بمولدات x ₁ ، ... ، x _n ، يمكن كتابة كل عنصر من عناصر الزمرة x كتركيبة خطية من هذه المولدات.

س = α ₁ ⋅ س ₁ + α ₂ ⋅ س ₂ + ... + α _ن ⋅ س _ن

مع الأعداد الصحيحة α ₁ , ..., α _n .

المجموعات الفرعية لمجموعة أبيلية مولدة بشكل نهائي هي نفسها مولدة بشكل نهائي.

تنص النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المولدة بشكل محدود على أن المجموعة الأبيلية المولدة بشكل محدود هي المجموع المباشر لمجموعة أبيلية حرة ذات رتبة محدودة ومجموعة أبيلية محدودة، وكل منهما فريدة حتى التشاكل.

لا يشترط أن تكون المجموعة الجزئية من مجموعة مولدة نهائياً مولدة نهائياً. المجموعة الجزئية التبادلية للمجموعة الحرة${\displaystyle F_{2}}$يُعدّ "على مولدين" مثالاً على مجموعة فرعية من مجموعة مولدة نهائياً ولكنها ليست مولدة نهائياً.

من ناحية أخرى، فإن جميع المجموعات الفرعية لمجموعة أبيلية مولدة بشكل نهائي هي مولدة بشكل نهائي.

تكون المجموعة الجزئية ذات الدليل المحدود في مجموعة مولدة نهائياً مولدة نهائياً دائماً، وتعطي صيغة دليل شراير حداً أقصى لعدد المولدات المطلوبة. ^{[ 2 ]}

في عام 1954، أثبت ألبرت ج. هاوسون أن تقاطع مجموعتين جزئيتين مولدتين نهائيًا من مجموعة حرة يكون مولدًا نهائيًا أيضًا. علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$إذا كان عدد مولدات المجموعتين الجزئيتين المولدتين نهائيًا هو n، فإن تقاطعهما يولد بواسطة مولدات على الأكثر${\displaystyle 2mn-m-n+1}$المولدات. ^{[ 3 ]} ثم حسّنت هانا نيومان هذا الحد الأعلى بشكل كبير إلى${\displaystyle 2(m-1)(n-1)+1}$انظر إلى تخمين هانا نيومان .

تحقق شبكة الزمر الجزئية لزمرة شرط السلسلة التصاعدية إذا وفقط إذا كانت جميع الزمر الجزئية لزمرة مولدة توليداً منتهياً. وتُسمى الزمرة التي تكون جميع زمرها الجزئية مولدة توليداً منتهياً زمرة نوثرية .

تُسمى المجموعة التي تكون كل مجموعة جزئية مولدة نهائياً فيها منتهية، مجموعة منتهية محلياً . كل مجموعة منتهية محلياً تكون دورية ، أي أن كل عنصر فيها له رتبة منتهية . وعلى العكس ، فإن كل مجموعة أبيلية دورية تكون منتهية محلياً. ^{[ 4 ]}

تظهر الزمر المولدة نهائيًا في سياقات رياضية وعلمية متنوعة. ومن الطرق الشائعة لظهورها استخدام مبرهنة شفارتس-ميلنور ، أو بشكل أعم، من خلال فعل ترث من خلاله الزمرة خاصية من خواص التناهي للفضاء. تدرس نظرية الزمر الهندسية الروابط بين الخواص الجبرية للزمر المولدة نهائيًا والخواص الطوبولوجية والهندسية للفضاءات التي تؤثر عليها هذه الزمر.

تُعرَّف مسألة الكلمات لمجموعة مولدة نهائيًا بأنها مسألة تحديد ما إذا كانت كلمتان في مولدات المجموعة تمثلان العنصر نفسه. وتكون مسألة الكلمات لمجموعة مولدة نهائيًا معينة قابلة للحل إذا وفقط إذا كان من الممكن تضمين المجموعة في كل مجموعة مغلقة جبريًا .

يُعرَّف رتبة المجموعة عادةً بأنها أصغر عدد لعناصر المجموعة المولدة لتلك المجموعة. وبحسب التعريف، فإن رتبة المجموعة المولدة نهائياً تكون نهائية.

• وحدة مولدة بشكل نهائي
• عرض مجموعة

• روز، جون س. (2012) [إعادة نشر كاملة وغير معدلة لعمل نُشر لأول مرة من قِبل مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، إنجلترا، عام 1978]. دورة في نظرية الزمر . منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-68194-8.