ضوضاء جونسون-نايكويست

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 81 صور
الموسوعة الحرة
الشكل 1. أظهرت تجربة جونسون عام 1927 أنه إذا كان الضجيج الحراري الناتج عن مقاومةR{\displaystyle {\text{R}}}مع درجة الحرارةتي{\displaystyle {\text{T}}}نطاق التردد محدود بعرض النطاق التردديΔو{\displaystyle \Delta f}ثم جذر متوسط ​​مربع الجهد(Vrms){\displaystyle (V_{\text{rms}})}يكون4كبتيRΔو{\displaystyle {\sqrt {4k_{\text{B}}TR\Delta f}}}بشكل عام، حيثكب{\displaystyle k_{\text{B}}}هو ثابت بولتزمان .

ضوضاء جونسون-نايكويست ( الضوضاء الحرارية ، أو ضوضاء جونسون ، أو ضوضاء نايكويست ) هي ضوضاء الجهد أو التيار الناتجة عن الاضطراب الحراري لحاملات الشحنة (عادةً الإلكترونات ) داخل موصل كهربائي في حالة اتزان، بغض النظر عن الجهد المطبق. توجد الضوضاء الحرارية في جميع الدوائر الكهربائية ، وفي الأجهزة الإلكترونية الحساسة (مثل أجهزة استقبال الراديو ) قد تُخفي الإشارات الضعيفة، وقد تكون العامل المحدد لحساسية أجهزة القياس الكهربائية. تتناسب الضوضاء الحرارية طرديًا مع درجة الحرارة المطلقة ، لذا تُبرّد بعض الأجهزة الإلكترونية الحساسة، مثل أجهزة استقبال التلسكوبات الراديوية، إلى درجات حرارة منخفضة جدًا لتحسين نسبة الإشارة إلى الضوضاء . يُطلق على الاشتقاق الفيزيائي الإحصائي العام لهذه الضوضاء اسم نظرية التذبذب والتبدد ، حيث تُستخدم المعاوقة المعممة أو القابلية المعممة لوصف الوسط.

الشكل 2. يتميز ضجيج جونسون-نايكويست بكثافة طيفية ثابتة تقريبًا تبلغ 4 كيلو إلكترون فولت لكل وحدة تردد ، ولكنه يتلاشى إلى الصفر بسبب التأثيرات الكمومية عند الترددات العالية ( تيراهيرتز عند درجة حرارة الغرفة). يستخدم المحور الأفقي لهذا الرسم البياني مقياسًا لوغاريتميًا بحيث يتوافق كل خط رأسي مع قوة من قوى العدد عشرة للتردد.

الضوضاء الحرارية في المقاوم المثالي بيضاء تقريبًا ، أي أن كثافة طيف قدرتها ثابتة تقريبًا عبر طيف التردد (الشكل 2). عند حصرها في نطاق ترددي محدود وعرضها في المجال الزمني (كما هو موضح في الشكل 1)، يكون للضوضاء الحرارية توزيع سعة غاوسي تقريبًا . [ 1 ]

في الحالة العامة، ينطبق هذا التعريف على حاملات الشحنة في أي نوع من الأوساط الموصلة (مثل الأيونات في الإلكتروليت )، وليس فقط على المقاومات . ويختلف الضجيج الحراري عن ضجيج الطلقات ، الذي يتكون من تقلبات إضافية في التيار تحدث عند تطبيق جهد كهربائي وبدء تدفق تيار كبير.

تاريخ الضوضاء الحرارية

في عام 1905، وفي إحدى أوراق ألبرت أينشتاين البحثية التي نُشرت في "عام المعجزات"، تم حل نظرية الحركة البراونية لأول مرة بدلالة التقلبات الحرارية. وفي العام التالي، وفي ورقة بحثية ثانية حول الحركة البراونية، اقترح أينشتاين إمكانية تطبيق الظاهرة نفسها لاستنتاج التيارات المُثارة حراريًا، لكنه لم يُجرِ الحسابات لاعتقاده بعدم إمكانية اختبارها. [ 2 ]

قامت جيرترويدا دي هاس-لورنتز ، ابنة هندريك لورنتز ، في أطروحتها للدكتوراه عام 1912، بتوسيع نظرية أينشتاين العشوائية وطبقتها لأول مرة على دراسة الإلكترونات، واستنتجت صيغة لمتوسط ​​مربع قيمة التيار الحراري. [ 2 ] [ 3 ]

اكتشف والتر إتش. شوتكي ضوضاء الطلقات في عام 1918، أثناء دراسته لنظريات أينشتاين حول الضوضاء الحرارية. [ 2 ]

لاحظ فريتس زيرنيك ، أثناء عمله في مجال القياسات الكهربائية، انحرافات عشوائية غير عادية أثناء استخدامه للجلفانومترات عالية الحساسية . رفض فكرة أن الضوضاء ميكانيكية، وخلص إلى أنها ذات طبيعة حرارية. في عام 1927، أدخل مفهوم الارتباط الذاتي في القياسات الكهربائية وحسب حد الكشف الزمني. وتزامن عمله مع تنبؤات دي هاس-لورنتز. [ 2 ]

في العام نفسه، وبشكل مستقل ودون أي معرفة بأعمال زيرنيكه، وجد جون ب. جونسون ، العامل في مختبرات بيل، نفس نوع الضوضاء في أنظمة الاتصالات، لكنه وصفها بدلالة الترددات. [ 4 ] [ 5 ] [ 2 ] وقد شرح جونسون نتائجه لهاري نيكويست ، الذي كان يعمل أيضًا في مختبرات بيل، والذي استخدم مبادئ الديناميكا الحرارية والميكانيكا الإحصائية لتفسير النتائج، ونُشرت النتائج عام 1928. [ 6 ]

ضوضاء المقاومات المثالية عند الترددات المتوسطة

الشكل 3. بينما تتمتع الضوضاء الحرارية بكثافة طيفية ثابتة تقريبًا لـ4كبتيR{\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}مرشح تمرير نطاقي ذو عرض نطاقيΔو=والجزء العلوي-وأدنى{\displaystyle \Delta f{=}f_{\text{upper}}{-}f_{\text{lower}}}لا يمر إلا بالمنطقة المظللة ذات الارتفاع4كبتيR{\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}والعرضΔو{\displaystyle \Delta f}ملاحظة: لا تحتوي المرشحات العملية على حواف قطع تشبه جدار الطوب ، لذا فإن الحواف اليسرى واليمنى لهذه المنطقة ليست عمودية تمامًا.

أظهرت تجربة جونسون (الشكل 1) أن الضوضاء الحرارية الناتجة عن المقاومةR{\displaystyle R}عند درجة حرارة كلفنتي{\displaystyle T}ومحدود النطاق الترددي بنطاق ترددي ذي عرض نطاقΔو{\displaystyle \Delta f}(الشكل 3) له متوسط ​​مربع الجهد: [ 5 ]

Vن2¯=4كبتيRΔو{\displaystyle {\overline {V_{n}^{2}}}=4k_{\text{B}}TR\,\Delta f}

أينكب{\displaystyle k_{\rm {B}}}ثابت بولتزمان (1.380 649 × 10 −23  J⋅K −1 ). بينما تنطبق هذه المعادلة على المقاومات المثالية (أي المقاومات النقية دون أي اعتماد على التردد) عند الترددات ودرجات الحرارة غير القصوى، فإن معادلة جونسون-نايكويست  الأكثر دقة تأخذ في الاعتبار المعاوقات المعقدة والتأثيرات الكمومية. تعمل الإلكترونيات التقليدية عمومًا ضمن نطاق ترددي محدود ، لذا فإن معادلة جونسون غالبًا ما تكون كافية.

كثافة القدرة الطيفية

متوسط ​​مربع الجهد لكل هرتز من عرض النطاق الترددي هو4كبتيR{\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}ويمكن تسميتها كثافة القدرة الطيفية (الشكل 2). [ ملاحظة 1 ] جذرها التربيعي عند درجة حرارة الغرفة (حوالي 300  كلفن) يقارب 0.13R{\displaystyle {\sqrt {R}}}، والتي لها وحدة نانوفولت / √ هرتز .  على سبيل المثال، ستكون قيمة المقاومة 10 كيلو أوم  حوالي 13 نانوفولت / √ هرتز عند درجة حرارة الغرفة.

جهد الضوضاء RMS

الشكل 4. هذه الدوائر متكافئة: (أ) مقاومة عند درجة حرارة غير صفرية مع ضوضاء حرارية داخلية؛ (ب) دائرة ثيفين المكافئة لها : مقاومة عديمة الضوضاء موصولة على التوالي مع مصدر جهد الضوضاء ؛ (ج) دائرة نورتون المكافئة لها : مقاومة عديمة الضوضاء موصولة على التوازي مع مصدر تيار الضوضاء .

الجذر التربيعي لمتوسط ​​مربع الجهد يعطي جذر متوسط ​​مربع الجهد (RMS) الذي يُلاحظ عبر نطاق الترددΔو{\displaystyle \Delta f}:

Vrms=Vن2¯=4كبتيRΔو.{\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {\overline {V_{n}^{2}}}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\,\Delta f}}\,.}

يمكن تمثيل المقاومة ذات الضوضاء الحرارية بدائرة ثيفينين المكافئة لها (الشكل 4ب) والتي تتكون من مقاومة عديمة الضوضاء متصلة على التوالي بمصدر جهد ضوضاء غاوسي بجهد RMS المذكور أعلاه.

عند درجة حرارة الغرفة تقريبًا، توفر مقاومة 3  كيلو أوم ما يقارب ميكروفولت واحد من الضوضاء RMS على مدى 20  كيلو هرتز ( نطاق السمع البشري ) و60  أوم·هرتز لـRΔو{\displaystyle R\,\Delta f}يتوافق ذلك مع ما يقرب من نانوفولت واحد من ضوضاء RMS.

تيار الضوضاء RMS

يمكن أيضًا تحويل المقاومة ذات الضوضاء الحرارية إلى دائرة نورتون المكافئة لها (الشكل 4C) والتي تتكون من مقاومة خالية من الضوضاء بالتوازي مع مصدر تيار ضوضاء غاوسي بتيار RMS التالي:

أناrms=VrmsR=4كبتيΔوR.{\displaystyle I_{\text{rms}}={V_{\text{rms}} \over R}={\sqrt {{4k_{\text{B}}T\Delta f} \over R}}.}

الضوضاء الحرارية على المكثفات

ضوضاء الجهد من قيمتين مختلفتين للمقاومة R على نفس المكثف C. على الرغم من أن زيادة R بمقدار 100 مرة ينتج عنها كثافة ضوضاء أعلى بمقدار 10 مرات في نطاق تمرير التردد المنخفض، إلا أنها تقلل أيضًا من تردد القطع لمرشح التردد المنخفض بمقدار 1 / 100 ، لذا فإن إجمالي الضوضاء (المجموع على جميع الترددات ) على C متطابق.

المكثفات المثالية ، باعتبارها أجهزة عديمة الفقد، لا تُصدر ضوضاء حرارية. مع ذلك، فإنّ دائرة المقاومة والمكثف ( دائرة RC ، وهي مرشح تمرير منخفض شائع ) تُصدر ما يُسمى بضوضاء kTC . عرض نطاق الضوضاء المكافئ لدائرة RC هوΔو=14Rج.{\displaystyle \Delta f{=}{\tfrac {1}{4RC}}.}[ 7 ] عند إدخال هذا في معادلة الضوضاء الحرارية، تكون النتيجة بسيطة بشكل غير معتاد، حيث تُحذف قيمة المقاومة(R)من المعادلة. ويعود ذلك إلى أن ارتفاع قيمةRيُقلل من عرض النطاق الترددي بقدر ما يزيد من الكثافة الطيفية للضوضاء في نطاق التمرير.

متوسط ​​مربع جهد الضوضاء ومتوسط ​​الجذر التربيعي للجهد الناتج في مثل هذا المرشح هما: [ 8 ]

Vن2¯=4كبتيR4Rج=كبتيج{\displaystyle {\overline {V_{\text{n}}^{2}}}={4k_{\text{B}}TR \over 4RC}={k_{\text{B}}T \over C}}
Vrms=4كبتيR4Rج=كبتيج.{\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR \over 4RC}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.}

رسوم الضوضاءسؤالن{\displaystyle Q_{n}}هي حاصل ضرب السعة في الجهد:

سؤالن=جVن=جكبتيج=كبتيج{\displaystyle Q_{n}=C\,V_{n}=C{\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}}
سؤالن2¯=ج2Vن2¯=ج2كبتيج=كبتيج{\displaystyle {\overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}\,{\overline {V_{n}^{2}}}=C^{2}{k_{\text{B}}T \over C}=k_{\text{B}}TC}

يُعدّ هذا التشويش الناتج عن الشحنة أصل مصطلح " تشويش kTC ". ورغم استقلاليته عن قيمة المقاومة، فإنّ تشويش kTC ينشأ بالكامل داخل المقاومة. لذا، من غير الصحيح احتساب كلٍّ من التشويش الحراري للمقاومة وتشويش kTC المرتبط بها مرتين، [ 7 ] ويجب استخدام درجة حرارة المقاومة وحدها، حتى لو كانت درجة حرارة المقاومة والمكثف مختلفة. بعض القيم مُدرجة في الجدول أدناه:

الضوضاء الحرارية على المكثفات عند 300 كلفن
السعةVrms=كبتيج{\displaystyle V_{\text{rms}}{=}{\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}}ضوضاء الشحنسؤالن=كبتيج{\displaystyle Q_{\text{n}}{=}{\sqrt {k_{\text{B}}TC}}}
كولوم​كإلكترونات [ ملاحظة 2 ]
1 فمتوفاراد2 ملي فولت2 درجة مئوية12.5 إلكترون
10 فمتوفاراد640 ميكروفولت6.4 درجة مئوية40 إلكترون
100 فمت200 ميكروفولت20 درجة مئوية125 إلكترون
1 بيكوفاراد64 ميكروفولت64 درجة مئوية400 إلكترون
10 بيكوفاراد20 ميكروفولت200 درجة مئوية1250 إلكترون
100 بيكوفاراد6.4 ميكروفولت640 درجة مئوية4000 إلكترون
1 نانو فاراد2 ميكروفولت2 درجة مئوية12500 إلكترون

إعادة ضبط الضوضاء

من الحالات القصوى حدّ عرض النطاق الصفري، المعروف بضوضاء إعادة الضبط، التي تُخلّفها فتح مفتاح مثالي على المكثف . ورغم أن مقاومة المفتاح المثالي عند فتحه لا نهائية، إلا أن المعادلة لا تزال سارية. مع ذلك، يجب تفسير جهد RMS الآن ليس كمتوسط ​​زمني، بل كمتوسط ​​لعدد كبير من عمليات إعادة الضبط هذه، لأن الجهد ثابت عندما يكون عرض النطاق صفرًا. وبهذا المعنى، يمكن اعتبار ضوضاء جونسون في دائرة RC متأصلة، وهي ناتجة عن التوزيع الديناميكي الحراري لعدد الإلكترونات على المكثف، حتى بدون وجود مقاومة.

لا ينتج التشويش عن المكثف نفسه، بل عن التقلبات الديناميكية الحرارية لكمية الشحنة عليه. بمجرد فصل المكثف عن الدائرة الموصلة، تتجمد هذه التقلبات عند قيمة عشوائية بانحراف معياري كما ذُكر سابقًا. غالبًا ما يكون تشويش إعادة ضبط المستشعرات السعوية مصدرًا للتشويش المُحدِّد، كما هو الحال في مستشعرات الصور .

أي نظام في حالة اتزان حراري له متغيرات حالة ذات طاقة متوسطة مقدارها kT / 2 لكل درجة حرية . باستخدام صيغة الطاقة على المكثف ( E = ½ CV² ) ، يمكن ملاحظة أن متوسط ​​طاقة الضوضاء على المكثف يساوي أيضًا ½ C kT / C = kT / 2 . يمكن اشتقاق الضوضاء الحرارية على المكثف من هذه العلاقة ، دون الأخذ في الاعتبار المقاومة . 

قياس درجة الحرارة

يُستخدم ضجيج جونسون-نايكويست في القياسات الدقيقة، حيث يُطلق عليه عادةً اسم "مقياس حرارة ضجيج جونسون". [ 9 ]

على سبيل المثال، استخدم المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST) في عام 2017 مقياس جونسون للضوضاء لقياس ثابت بولتزمان بدقة تقل عن 3 جزء في المليون . وقد حقق ذلك باستخدام معيار جهد جوزيفسون ومقاومة هول الكمومية ، عند درجة حرارة النقطة الثلاثية للماء . تم قياس الجهد على مدى 100 يوم ثم تكامله. [ 10 ]

تم ذلك في عام 2017، عندما كانت درجة حرارة الماء عند النقطة الثلاثية 273.16  كلفن بحسب التعريف، وكان ثابت بولتزمان قابلاً للقياس تجريبياً. ولأن دقة قياس درجة حرارة الغاز الصوتي بلغت 0.2  جزء في المليون، وضوضاء جونسون 2.8  جزء في المليون، فقد استوفى ذلك الشروط المسبقة لإعادة التعريف. بعد إعادة التعريف في عام 2019 ، تم تعريف الكلفن بحيث يكون لثابت بولتزمان قيمة دقيقة.1.380 649 × 10 −23  J⋅K −1 )، وأصبحت النقطة الثلاثية للماء قابلة للقياس تجريبياً. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]

الضوضاء الحرارية على المحاثات

المحاثات هي نظير المكثفات. على غرار ضوضاء kTC ، فإن المقاوم المزود بمحث هو مقاوم.ل{\displaystyle L}ينتج عنه تيار ضوضاء مستقل عن المقاومة: [ 14 ]

أنان2¯=كبتيل.{\displaystyle {\overline {I_{\text{n}}^{2}}}={k_{\text{B}}T \over L}\,.}

أقصى نقل لطاقة الضوضاء

الضوضاء المتولدة عند المقاومRS{\displaystyle R_{\text{S}}}يمكن نقل الطاقة إلى الدائرة المتبقية. ويحدث نقل الطاقة الأقصى عندما تكون مقاومة ثيفينين المكافئةRل{\displaystyle R_{\rm {L}}}مباريات الدائرة المتبقيةRS{\displaystyle R_{\text{S}}}[ 14 ] في هذه الحالة، يُبدد كل من المقاومتين الضوضاء في نفسه وفي المقاومة الأخرى. وبما أن نصف جهد المصدر فقط يسقط عبر أي من هاتين المقاومتين، فإن أقصى قدرة لنقل الضوضاء تكون :

Pالأعلى=كبتيΔو.{\displaystyle P_{\text{max}}=k_{\text{B}}\,T\Delta f\,.}

هذه القيمة القصوى مستقلة عن المقاومة وتسمى قدرة الضوضاء المتاحة من المقاوم. [ 14 ]

مستوى طاقة الضوضاء المتاح

غالبًا ما تُقاس قدرة الإشارة بوحدة ديسيبل ميلي واط ( dBm ). وبالتالي ، سيكون مستوى قدرة الضوضاء المتاح هو10 سجل10⁡(كبتيΔو1 ميلي واط){\displaystyle 10\ \log _{10}({\tfrac {k_{\text{B}}T\Delta f}{\text{1 mW}}})}بوحدة ديسيبل ميلي واط. عند درجة حرارة الغرفة (300 كلفن)، يمكن تقريب قدرة الضوضاء المتاحة بسهولة على النحو التالي:10 سجل10⁡(Δو)-173.8{\displaystyle 10\ \log _{10}(\Delta f)-173.8}بوحدة ديسيبل ميلي واط لعرض نطاق ترددي بالهرتز. [ 14 ] [ 15 ] : 260 فيما يلي جدول يوضح بعض الأمثلة على مستويات طاقة الضوضاء المتاحة:

عرض النطاق الترددي(Δو){\displaystyle (\Delta f)}مستوى طاقة الضوضاء الحرارية المتاح عند 300 كلفن [ ديسيبل ميلي واط ]ملحوظات
1  هرتز-174
10  هرتز-164
100  هرتز-154
1  كيلو هرتز-144
10  كيلو هرتز-134قناة FM لجهاز الراديو ثنائي الاتجاه
100  كيلو هرتز-124
180  كيلو هرتز-121.45كتلة موارد LTE واحدة
200  كيلو هرتز-121قناة GSM
1  ميجاهرتز-114قناة بلوتوث
2  ميجاهرتز-111نظام تحديد المواقع العالمي التجاري
3.84  ميجاهرتز-108قناة UMTS
6  ميجاهرتز-106قناة تلفزيونية تناظرية
20  ميجاهرتز-101قناة WLAN 802.11
40  ميجاهرتز-98شبكة WLAN 802.11n قناة 40  ميجاهرتز
80  ميجاهرتز-95شبكة WLAN 802.11ac قناة 80  ميجاهرتز
160  ميجاهرتز-92شبكة WLAN 802.11ac قناة 160  ميجاهرتز
1  جيجاهرتز-84قناة UWB

اشتقاق نايكويست لضوضاء المقاومة المثالية

الشكل 5. رسم تخطيطي لتجربة نايكويست الفكرية لعام 1928 [ 6 ] [ 2 ] باستخدام مقاومتين مشوشتين (يمثل كل منهما هنا بمقاومة خالية من الضوضاء موصولة على التوالي مع مصدر جهد ضوضاء) متصلتين عبر خط نقل طويل عديم الفقد بطولل{\displaystyle l}تنتشر إشارة الضوضاء لكل مقاومة عبر الخط بسرعةv{\displaystyle {\text{v}}}جميع المعاوقات متطابقة، لذا يتم امتصاص الإشارتين بواسطة المقاومة المقابلة بدلاً من انعكاسهما . تخيل نايكويست بعد ذلك توصيل طرفي الخط، مما يؤدي إلى حصر الطاقة المنتقلة على الخط. ولأن جميع الطاقة المنتقلة تنعكس الآن بالكامل (بسبب عدم تطابق المعاوقة)، يمكن تمثيل الطاقة المنتقلة كمجموع موجات جيبية ثابتة . بالنسبة لنطاق من التردداتΔو{\displaystyle \Delta f}، هناك2لΔو/v{\displaystyle 2l\,\Delta f/{\text{v}}}أنماط التذبذب . [ ملاحظة 3 ] يوفر كل نمطكبتي{\displaystyle k_{\rm {B}}T}من الطاقة في المتوسط، منهاكبتي/2{\displaystyle k_{\rm {B}}T/2}كهربائي وكبتي/2{\displaystyle k_{\rm {B}}T/2}وهي مغناطيسية، لذا فإن إجمالي الطاقة في نطاق التردد هذا في المتوسط ​​هوكبتي⋅2لΔو/v.{\displaystyle k_{\rm {B}}T\cdot 2l\,\Delta f/{\text{v}}.}ساهم كل مقاومكبتي⋅لΔو/v{\displaystyle k_{\rm {B}}T\cdot l\,\Delta f/{\text{v}}}(نصف إجمالي تلك الطاقة). ولكن بما أنه لم تكن هناك انعكاسات قبل حدوث قصر الدائرة، فإن قيمة إجمالي الطاقة أثناء الطيران تساوي أيضًا الطاقة المجمعة التي تم نقلها من كلا المقاومين إلى الخط خلال فترة العبور.ل/v{\displaystyle l/{\text{v}}}ينتج عن قسمة متوسط ​​الطاقة المنقولة من كل مقاوم إلى الخط على فترة العبور قدرة إجمالية قدرهاكبتيΔو{\displaystyle k_{\rm {B}}T\,\Delta f}تم نقل البيانات عبر النطاق التردديΔو{\displaystyle \Delta f}بمعدل من كل مقاوم.

استخدمت ورقة نايكويست البحثية لعام 1928 بعنوان "التحريك الحراري للشحنة الكهربائية في الموصلات" [6] مفاهيم حول طاقة الوضع والمذبذبات التوافقية من قانون التوزيع المتساوي للطاقة لبولتزمان وماكسويل [ 16 ] لشرح نتيجة جونسون التجريبية . وقد جمعت تجربة نايكويست الفكرية مساهمة الطاقة لكل نمط من أنماط الموجة المستقرة على خط نقل طويل عديم الفقد بين مقاومتين متساويتين (R1=R2{\displaystyle R_{1}{=}R_{2}}وفقًا لنتائج الشكل 5، فإن متوسط ​​إجمالي الطاقة المنقولة عبر عرض النطاق التردديΔو{\displaystyle \Delta f}منR1{\displaystyle R_{1}}واستوعبهاR2{\displaystyle R_{2}}تم تحديده على النحو التالي:

P1¯=كبتيΔو.{\displaystyle {\overline {P_{1}}}=k_{\rm {B}}T\,\Delta f\,.}

ينص تطبيق بسيط لقانون أوم على أن التيار منV1{\displaystyle V_{1}}(ضوضاء الجهد الحراري لـ فقطR1{\displaystyle R_{1}}) من خلال المقاومة المشتركةأنا1=V1R1+R2=V12R1{\textstyle I_{1}{=}{\tfrac {V_{1}}{R_{1}+R_{2}}}{=}{\tfrac {V_{1}}{2R_{1}}}}وبالتالي فإن الطاقة المنقولة منR1{\displaystyle R_{1}}لR2{\displaystyle R_{2}}مربع هذا التيار مضروبًا فيR2{\displaystyle R_{2}}، وهو ما يتبسط إلى: [ 6 ]

P1=أنا12R2=أنا12R1=(V12R1)2R1=V124R1.{\displaystyle P_{\text{1}}=I_{1}^{2}R_{2}=I_{1}^{2}R_{1}=\left({\frac {V_{1}}{2R_{1}}}\right)^{2}R_{1}={\frac {V_{1}^{2}}{4R_{1}}}\,.}

ضبط هذاP1{\textstyle P_{\text{1}}}يساوي تعبير القدرة المتوسطة السابقP1¯{\textstyle {\overline {P_{1}}}}يسمح بحساب متوسطV12{\textstyle V_{1}^{2}}عبر هذا النطاق الترددي:

V12¯=4كبتيR1Δو.{\displaystyle {\overline {V_{1}^{2}}}=4k_{\text{B}}T{R_{1}}\,\Delta f\,.}

استخدم نايكويست منطقًا مشابهًا لتقديم تعبير عام ينطبق أيضًا على المعاوقات غير المتساوية والمعقدة . وبينما استخدم نايكويست أعلاهكبتي{\displaystyle k_{\rm {B}}T}وفقًا للنظرية الكلاسيكية ، اختتم نيكويست بحثه بمحاولة استخدام تعبير أكثر تعقيدًا يتضمن ثابت بلانكح{\displaystyle h}(من النظرية الجديدة لميكانيكا الكم ). [ 6 ]

الأشكال العامة

ال4كبتيR{\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}يُعدّ ضجيج الجهد الموصوف أعلاه حالةً خاصةً لمكوّن مقاوم بحت عند الترددات المنخفضة إلى المتوسطة. وبشكل عام، يظل الضجيج الكهربائي الحراري مرتبطًا بالاستجابة المقاومة في العديد من الحالات الكهربائية الأكثر عمومية، كنتيجة لنظرية التذبذب والتبدد . وفيما يلي مجموعة من التعميمات. تشترك جميع هذه التعميمات في قيدٍ واحد، وهو أنها لا تنطبق إلا في الحالات التي يكون فيها المكوّن الكهربائي قيد الدراسة سلبيًا وخطيًا تمامًا.

المعاوقات المركبة

قدمت ورقة نايكويست الأصلية أيضًا الضوضاء المعممة للمكونات ذات الاستجابة التفاعلية الجزئية ، مثل المصادر التي تحتوي على مكثفات أو محاثات. [ 6 ] يمكن وصف هذا المكون بواسطة معاوقة كهربائية مركبة تعتمد على الترددZ(و){\displaystyle Z(f)}صيغة كثافة القدرة الطيفية لجهد الضوضاء التسلسلي هي

Svنvن(و)=4كبتيη(و)يكرر⁡[Z(و)].{\displaystyle S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Z(f)].}

الوظيفةη(و){\displaystyle \eta (f)}تبلغ قيمتها حوالي 1، باستثناء الترددات العالية جدًا أو بالقرب من الصفر المطلق (انظر أدناه).

الجزء الحقيقي من المعاوقة،يكرر⁡[Z(و)]{\displaystyle \operatorname {Re} [Z(f)]}بشكل عام، يعتمد ضجيج جونسون-نايكويست على التردد، ولذلك فهو ليس ضجيجًا أبيض. ويُقاس جهد الضجيج الفعال (RMS) على مدى نطاق من الترددات.و1{\displaystyle f_{1}}لو2{\displaystyle f_{2}}يمكن إيجادها عن طريق أخذ الجذر التربيعي لتكامل كثافة القدرة الطيفية:

Vrms=∫و1و2Svنvن(و)دو{\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}}.

بدلاً من ذلك، يمكن استخدام تيار ضوضاء موازٍ لوصف ضوضاء جونسون، وتكون كثافة طيف القدرة الخاصة به هي

Sأنانأنان(و)=4كبتيη(و)يكرر⁡[Y(و)].{\displaystyle S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Y(f)].}

أينY(و)=1Z(و){\displaystyle Y(f){=}{\tfrac {1}{Z(f)}}}هي الموصلية الكهربائية ؛ لاحظ أنيكرر⁡[Y(و)]=يكرر⁡[Z(و)]|Z(و)|2.{\displaystyle \operatorname {Re} [Y(f)]{=}{\tfrac {\operatorname {Re} [Z(f)]}{|Z(f)|^{2}}}\,.}

التأثيرات الكمومية عند الترددات العالية أو درجات الحرارة المنخفضة

مع مراعاة التأثيرات الكمومية (التي تُعدّ ذات صلة بالترددات العالية جدًا أو درجات الحرارة المنخفضة جدًا القريبة من الصفر المطلق )، فإن عامل الضربη(و){\displaystyle \eta (f)}ما ذكر سابقًا يُعطى بشكل عام بواسطة: [ 17 ]

η(و)=حو/كبتيهـحو/كبتي-1+12حوكبتي.{\displaystyle \eta (f)={\frac {hf/k_{\text{B}}T}{e^{hf/k_{\text{B}}T}-1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {hf}{k_{\text{B}}T}}\,.}

عند ترددات عالية جدًا (و≳كبتيح{\displaystyle f\gtrsim {\tfrac {k_{\text{B}}T}{h}}}الكثافة الطيفيةSvنvن(و){\displaystyle S_{v_{n}v_{n}}(f)}يبدأ الآن بالتناقص أُسّيًا حتى يصل إلى الصفر. عند درجة حرارة الغرفة، يحدث هذا الانتقال في نطاق الترددات التيراهيرتزية، وهو نطاق يتجاوز بكثير قدرات الإلكترونيات التقليدية، ولذلك من الصحيح ضبطη(و)=1{\displaystyle \eta (f)=1}لأعمال الإلكترونيات التقليدية.

العلاقة بقانون بلانك

تُعدّ صيغة نايكويست مطابقةً في جوهرها لتلك التي اشتقها بلانك عام 1901 للإشعاع الكهرومغناطيسي لجسم أسود في بُعد واحد، أي أنها النسخة أحادية البُعد من قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود . [ 18 ] بعبارة أخرى، سيُنتج مُقاوم ساخن موجات كهرومغناطيسية على خط نقل تمامًا كما يُنتج جسم ساخن موجات كهرومغناطيسية في الفضاء الحر.

في عام 1946، قام روبرت هـ. ديك بتوضيح هذه العلاقة، [ 19 ] وربطها بشكل أكبر بخصائص الهوائيات، ولا سيما حقيقة أن متوسط ​​فتحة الهوائي في جميع الاتجاهات المختلفة لا يمكن أن يكون أكبر منλ24π{\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{2}}{4\pi }}}حيث λ هو الطول الموجي. وينتج هذا عن اختلاف اعتماد قانون بلانك ثلاثي الأبعاد على التردد مقارنةً بقانون بلانك أحادي البعد.

شبكات كهربائية متعددة المنافذ

قام ريتشارد كيو. تويس بتوسيع معادلات نايكويست لتشمل الشبكات الكهربائية السلبية متعددة المنافذ ، بما في ذلك الأجهزة غير التبادلية مثل الموزعات والعوازل . [ 20 ] يظهر الضجيج الحراري عند كل منفذ، ويمكن وصفه بأنه مصادر جهد عشوائية متصلة على التوالي مع كل منفذ. قد تكون الجهود العشوائية عند المنافذ المختلفة مترابطة، ويتم وصف سعاتها وارتباطاتها بشكل كامل بواسطة مجموعة من دوال كثافة الطيف المتقاطع التي تربط جهود الضجيج المختلفة.

Svمvن(و)=2كبتيη(و)(Zمن(و)+Zنم(و)*){\displaystyle S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})}

حيثZمن{\displaystyle Z_{mn}}هي عناصر مصفوفة المعاوقةZ{\displaystyle \mathbf {Z} }مرة أخرى، يمكن وصف الضوضاء بشكل بديل من خلال مصادر تيار متوازية مطبقة على كل منفذ. وتُعطى كثافة الطيف المتقاطع لهذه المصادر بالعلاقة التالية:

Sأنامأنان(و)=2كبتيη(و)(Yمن(و)+Yنم(و)*){\displaystyle S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*})}

أينY=Z-1{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}}هي مصفوفة السماحية .

ملحوظات

  1. ↑ تستخدم هذه المقالة التردد "أحادي الجانب" (التردد الإيجابي فقط) وليس التردد "ثنائي الجانب".
  2. ↑ شحنة الإلكترون الواحد هي e− ( شحنة أولية سالبة واحدة ). لذا، يمثل كل رقم على يسار e− العدد الإجمالي للإلكترونات التي تشكل شحنة الضوضاء.
  3. ↑ تحدث الموجة المستقرة بتردد يساوي كل مضاعف صحيح لـv2ل{\displaystyle {\tfrac {\text{v}}{2l}}}. الخط طويل بما يكفي لجعل عدد الأنماط داخل عرض النطاق كبيرًا جدًا، بحيث تكون الأنماط قريبة بما يكفي في التردد لتقريب طيف تردد مستمر.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ جون ر. باري؛ إدوارد أ. لي؛ ديفيد ج. ميسرشميت (2004). الاتصالات الرقمية . سبرينتر. ص  69. ISBN 9780792375487.
  2. 1 2 3 4 5 6 دورفيل، ج. (15 أغسطس 2012). "التاريخ المبكر للضوضاء الحرارية: الطريق الطويل نحو تغيير النموذج" . حوليات الفيزياء . 524 (8): 117-121 . رمز Bibcode : 2012AnP...524..117D . doi : 10.1002/andp.201200736 . ISSN 0003-3804 . 
  3. ↑ فان دير زيل، أ. (1980-01-01)، "تاريخ أبحاث الضوضاء" ، في مارتون، ل.؛ مارتون، س. (محرران)، التقدم في الإلكترونيات وفيزياء الإلكترون، المجلد 50 ، المجلد 50، دار النشر الأكاديمية، الصفحات 351-409 ، doi : 10.1016/s0065-2539(08)61066-5 ، ISBN   978-0-12-014650-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 مارس 2024
  4. ↑ مجهول (1927). "محضر اجتماع فيلادلفيا، 28 و29 و30 ديسمبر 1926". مجلة Physical Review . 29 (2): 350-373 . Bibcode : 1927PhRv...29..350. doi : 10.1103 /PhysRev.29.350 .
  5. 1 2 جونسون، ج. (1928). "التحريك الحراري للكهرباء في الموصلات". المراجعة الفيزيائية . 32 (97): 97-109 . Bibcode : 1928PhRv...32...97J . doi : 10.1103/physrev.32.97 .
  6. 1 2 3 4 5 6 نايكويست، هـ. (1928). "التحريك الحراري للشحنة الكهربائية في الموصلات". مجلة Physical Review . 32 (110): 110-113 . Bibcode : 1928PhRv...32..110N . doi : 10.1103/physrev.32.110 .
  7. 1 2 لوندبيرج، كينت هـ. "مصادر الضوضاء في CMOS الضخم" (PDF) . ص 10. 
  8. ↑ ساربشكار، ر.؛ ديلبروك، ت.؛ ميد، كاليفورنيا (نوفمبر 1993). "الضوضاء البيضاء في ترانزستورات ومقاومات MOS" (ملف PDF) . مجلة IEEE للدوائر والأجهزة . 9 (6): 23-29 . doi : 10.1109/101.261888 . S2CID 11974773 . 
  9. ↑ وايت، د. ر.؛ غاليانو، ر.؛ أكتيس، أ.؛ بريكسي، هـ.؛ غروت، م. دي؛ دوبيلدام، ج.؛ ريسينك، أ. ل.؛ إيدلر، ف.؛ ساكوراي، هـ.؛ شيبارد، ر. ل.؛ غالوب، ج. س. (أغسطس 1996). "وضع قياس درجة الحرارة بالضوضاء لجونسون" . مجلة مترولوجيا . 33 (4): 325-335 . رمز Bibcode : 1996Metro..33..325W . doi : 10.1088/0026-1394/33/4/6 . ISSN 0026-1394 . 
  10. ↑ كو، جيفنغ؛ بنز، صموئيل ب؛ كوكلي، كيفن؛ روغالا، هورست؛ تيو، ويستون ل؛ وايت، رود؛ تشو، كونلي؛ تشو، تشن يو (2017-08-01). "تحديد إلكتروني مُحسَّن لثابت بولتزمان باستخدام قياس درجة الحرارة بضوضاء جونسون" . مجلة Metrologia . 54 (4): 549-558 . Bibcode : 2017Metro..54..549Q . doi : 10.1088/1681-7575/aa781e . ISSN 0026-1394 . PMC 5621608. PMID 28970638 .   
  11. ↑ "الضوضاء، ودرجة الحرارة، ونظام الوحدات الدولي الجديد" . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (بيان صحفي). 15 نوفمبر 2016.
  12. ↑ "تقنية قياس درجة الحرارة بالضوضاء من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST) تُسفر عن قياسات جديدة دقيقة لثابت بولتزمان" . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (بيان صحفي). 29-06-2017.
  13. ^ فيشر، ج. فيلموث، ب؛ جايزر، سي؛ زاندت، تي؛ بيتر ، إل. سباراسشي، ف؛ بليمر، دكتور في الطب؛ دي بوديستا، م؛ أندروود، ر. ساتون، ج. ماشين، جي؛ جافيوسو، آر إم؛ ريبا، د مادونا؛ ستور، جزء في المليون؛ تشو، ي (2018). "مشروع بولتزمان" . علم القياس . 55 (2): 10.1088/1681-7575/aaa790. بيب كود : 2018مترو..55R...1F . دوى : 10.1088/1681-7575/aaa790 . ISSN 0026-1394 . بمك 6508687 . بميد 31080297 .   
  14. 1 2 3 4 بيرس، جيه آر (1956). "المصادر الفيزيائية للضوضاء". وقائع معهد مهندسي الراديو . 44 (5): 601-608 . doi : 10.1109/JRPROC.1956.275123 . S2CID 51667159 . 
  15. ↑ فيزمولر، بيتر (1995)، دليل تصميم الترددات اللاسلكية ، دار أرتيك هاوس، رقم ISBN 0-89006-754-6
  16. ↑ توماسي، واين (1994). الاتصالات الإلكترونية . برنتيس هول بي تي آر. رقم ISBN 9780132200622.
  17. ↑ كالين، هربرت ب.؛ ويلتون، ثيودور أ. (1951-07-01). "اللاانعكاسية والضوضاء المعممة" . مجلة Physical Review . 83 (1): 34-40 . Bibcode : 1951PhRv...83...34C . doi : 10.1103/PhysRev.83.34 .
  18. ↑ أوريك، في جيه؛ ويليامز، كيث جيه؛ ماكيني، جيسون دي. (30 يناير 2015). أساسيات الفوتونيات الميكروية . جون وايلي وأولاده. ص 63. ISBN  9781119029786.
  19. ↑ ديك، ر. هـ. (1946-07-01). " قياس الإشعاع الحراري عند ترددات الميكروويف" . مراجعة الأدوات العلمية . 17 (7): 268-275 . Bibcode : 1946RScI...17..268D . doi : 10.1063/1.1770483 . PMID 20991753. S2CID 26658623 .  
  20. ↑ تويس، ر. كيو. (1955). "تعميم نظريتي نيكويست وثيفينين للشبكات الخطية غير التبادلية". مجلة الفيزياء التطبيقية . 26 (5): 599-602 . Bibcode : 1955JAP....26..599T . doi : 10.1063/1.1722048 .

المجال العام تتضمن هذه المقالة موادًا متاحة للعموم من المعيار الفيدرالي 1037C ، إدارة الخدمات العامة . مؤرشفة من الأصل بتاريخ 22 يناير 2022. (دعماً لـ MIL-STD-188 ).