ميكانيكا التلامس الاحتكاكي

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 79 صور
الموسوعة الحرة

ميكانيكا التلامس هي دراسة تشوه الأجسام الصلبة المتلامسة عند نقطة واحدة أو أكثر. [ 1 ] [ 2 ] ويمكن تقسيمها إلى قوى ضغط وقوى تلاصق في الاتجاه العمودي على السطح الفاصل، وقوى احتكاك في الاتجاه المماسي. ميكانيكا التلامس الاحتكاكية هي دراسة تشوه الأجسام في وجود تأثيرات الاحتكاك، بينما تفترض ميكانيكا التلامس عديمة الاحتكاك غياب هذه التأثيرات.

يهتم علم ميكانيكا التلامس الاحتكاكي بمجموعة واسعة من المقاييس المختلفة.

  • على المستوى العياني، يُستخدم هذا الأسلوب لدراسة حركة الأجسام المتلامسة (انظر ديناميكيات التلامس ). فعلى سبيل المثال، يعتمد ارتداد كرة مطاطية على سطح ما على الاحتكاك عند نقطة التلامس. وهنا، تُعدّ القوة الكلية مقابل مقدار الانضغاط والإزاحة الجانبية من أهم العوامل المؤثرة.
  • على المستوى المتوسط، يُهتم بالإجهادات والانفعالات والتشوهات الموضعية للأجسام المتلامسة في منطقة التلامس وما حولها. على سبيل المثال، لاستنباط نماذج التلامس أو التحقق من صحتها على المستوى العياني، أو لدراسة تآكل وتلف أسطح الأجسام المتلامسة. تشمل مجالات تطبيق هذا المستوى تفاعل الإطارات مع الرصف، وتفاعل عجلات وقضبان السكك الحديدية، وتحليل محامل الأسطوانات، وغيرها .
  • وأخيرًا، على المستويين المجهري والنانوي، تُستخدم ميكانيكا التلامس لزيادة فهمنا للأنظمة الاحتكاكية (على سبيل المثال، التحقيق في أصل الاحتكاك ) ولهندسة الأجهزة المتقدمة مثل مجاهر القوة الذرية وأجهزة MEMS .

تهتم هذه الصفحة بشكل أساسي بالمقياس الثاني: الحصول على نظرة أساسية حول الإجهادات والتشوهات في منطقة التلامس وبالقرب منها، دون إيلاء الكثير من الاهتمام للآليات التفصيلية التي تحدث بها.

تاريخ

ساهم العديد من العلماء والمهندسين والرياضيين المشهورين في فهمنا للاحتكاك. [ 3 ] ومن بينهم ليوناردو دافنشي ، وغيوم أمونتونس ، وجون ثيوفيلوس ديساغولير ، وليونهارد أويلر ، وشارل أوغستان دي كولوم . وفي وقت لاحق، أضاف نيكولاي بافلوفيتش بيتروف ، وأوزبورن رينولدز، وريتشارد ستريبك إلى هذا الفهم نظريات التشحيم .

درس روبرت هوك وجوزيف لويس لاغرانج تشوه المواد الصلبة في القرنين السابع عشر والثامن عشر ، بينما درسه دالمبير وتيموشينكو في القرنين التاسع عشر والعشرين. وفيما يتعلق بميكانيكا التلامس ، تبرز إسهامات هاينريش هيرتز الكلاسيكية [ 4 ] . كما أن الحلول الأساسية التي قدمها بوسينسك وسيروتي ذات أهمية بالغة لدراسة مسائل التلامس الاحتكاكي في النظام المرن (الخطي) .

في تطبيقات السكك الحديدية، يرغب المرء في معرفة العلاقة بين الزحف (فرق السرعة).ξ{\displaystyle \xi }وقوة الاحتكاكFw{\displaystyle F_{w}}.

تتعلق النتائج الكلاسيكية لمسألة الاحتكاك الحقيقي بأبحاث إف دبليو كارتر (1926) وإتش فروم (1927). وقد قدّم كلٌّ منهما، بشكلٍ مستقل، العلاقة بين الزحف وقوة الزحف لأسطوانة على سطح مستوٍ أو لأسطوانتين في تلامس دحرجة ثابت باستخدام قانون كولوم للاحتكاك الجاف (انظر أدناه). [ 5 ] تُطبَّق هذه النتائج على جرّ قاطرات السكك الحديدية، وعلى فهم التذبذب العشوائي لمركبات السكك الحديدية. أما فيما يتعلق بالانزلاق، فتعود الحلول الكلاسيكية إلى سي كاتانيو (1938) وآر دي ميندلين (1949)، اللذين درسا الإزاحة المماسية لكرة على سطح مستوٍ (انظر أدناه). [ 1 ]

في خمسينيات القرن العشرين، ازداد الاهتمام بدراسة التلامس الدوراني لعجلات السكك الحديدية. وفي عام ١٩٥٨، قدّم كينيث ل. جونسون منهجًا تقريبيًا لمسألة الاحتكاك ثلاثية الأبعاد باستخدام هندسة هيرتز، مع مراعاة الزحف الجانبي أو الدوراني. ومن بين النتائج التي توصل إليها، أن الزحف الدوراني، المتناظر حول مركز منطقة التلامس، يؤدي إلى قوة جانبية صافية في ظروف الدوران. ويعود ذلك إلى الاختلافات بين الأمام والخلف في توزيع قوى الاحتكاك في منطقة التلامس.

في عام ١٩٦٧، نشر جوست جاك كالكر أطروحته الرائدة للدكتوراه حول النظرية الخطية للتلامس المتدحرج. [ ٦ ] تُعدّ هذه النظرية دقيقة في حالة معامل الاحتكاك اللانهائي، حيث تنعدم مساحة الانزلاق، وهي تقريبية في حالة انزلاقات غير معدومة. وتفترض هذه النظرية قانون كولوم للاحتكاك، الذي يتطلب (بشكل دقيق) أسطحًا نظيفة. وتُطبّق هذه النظرية على الأجسام الضخمة، مثل تلامس عجلة السكة الحديدية مع قضيبها. وفيما يتعلق بتفاعل الطريق مع الإطار، تُعدّ صيغة الإطار السحرية لهانز باسيكا إسهامًا هامًا . [ ٧ ]

في سبعينيات القرن العشرين، طُوِّرت العديد من النماذج العددية، ولا سيما المناهج التباينية ، مثل تلك التي تعتمد على نظريات دوفو وليون في الوجود والوحدانية. ومع مرور الوقت، تطورت هذه النماذج إلى مناهج العناصر المحدودة لمسائل التلامس ذات النماذج الهندسية والمواد العامة، وإلى مناهج تعتمد على نصف الفضاء لمسائل التلامس ذات الحواف الملساء للمواد المرنة خطيًا. وقد قدّم لورسن [ 8 ] وريغرز [ 9 ] نماذج من الفئة الأولى . ومن أمثلة الفئة الثانية نموذج كالكر للتلامس [ 10 ] .

من عيوب المناهج التباينية الراسخة طول مدة حساباتها. لذا، تم ابتكار العديد من المناهج التقريبية المختلفة. ومن بين النظريات التقريبية المعروفة لمسألة التلامس الدوار: منهج FASTSIM لكالكر، وصيغة شين-هيدريك-إلكينز، ومنهج بولاش.

تُقدّم ورقة كنوت مزيدًا من المعلومات حول تاريخ مشكلة تلامس العجلة والسكك الحديدية. [ 5 ] كما جمع جونسون في كتابه كمًّا هائلًا من المعلومات حول ميكانيكا التلامس والمواضيع ذات الصلة. [ 1 ] وفيما يتعلق بميكانيكا التلامس المتدحرج، يُقدّم كالكر أيضًا لمحة عامة عن مختلف النظريات. [ 10 ] وأخيرًا، تُعدّ وقائع دورة CISM ذات أهمية، إذ تُقدّم مدخلًا إلى جوانب أكثر تقدّمًا من نظرية التلامس المتدحرج. [ 11 ]

صياغة المشكلة

يُعدّ فهم أن الإجهادات على سطح كل جسم تتغير مكانيًا أمرًا أساسيًا في تحليل مشاكل التلامس الاحتكاكي . ونتيجةً لذلك، تتغير الانفعالات والتشوهات في الأجسام بتغير الموقع أيضًا. وقد تختلف حركة جزيئات الأجسام المتلامسة باختلاف المواقع: ففي جزء من منطقة التلامس، قد تلتصق جزيئات الأجسام المتقابلة ببعضها، بينما في أجزاء أخرى من منطقة التلامس، تحدث حركة نسبية. يُطلق على هذا الانزلاق النسبي الموضعي اسم الانزلاق الدقيق .

يتجلى هذا التقسيم لمنطقة التلامس إلى منطقتي الالتصاق والانزلاق في تآكل الاحتكاك . تجدر الإشارة إلى أن التآكل يحدث فقط عند تبديد الطاقة ، الأمر الذي يتطلب إجهادًا وإزاحة نسبية موضعية (انزلاق) بين السطحين.

عادةً ما يكون حجم وشكل منطقة التلامس نفسها، بالإضافة إلى مناطق الالتصاق والانزلاق فيها، غير معروفين مسبقًا. لو عُرفت هذه المعلومات، لأمكن حل الحقول المرنة في الجسمين بشكل مستقل عن بعضهما، ولما كانت المسألة مسألة تلامس.

يمكن تمييز ثلاثة مكونات مختلفة في مشكلة التلامس.

  1. أولاً، هناك تشوه الأجسام المنفصلة كرد فعل للأحمال المطبقة على أسطحها. هذا هو موضوع ميكانيكا الأوساط المتصلة العامة . ويعتمد هذا التشوه بشكل كبير على هندسة الأجسام وعلى سلوكها المادي (مثل الاستجابة المرنة مقابل الاستجابة اللدنة ، والبنية المتجانسة مقابل البنية الطبقية، إلخ) .
  2. ثانيًا، هناك الحركة الكلية للأجسام بالنسبة لبعضها البعض. على سبيل المثال، يمكن أن تكون الأجسام ساكنة (الحركة الساكنة) أو تقترب من بعضها بسرعة ( التصادم )، ويمكن أن تنزلق (الانزلاق) أو تدور ( التدحرج ) فوق بعضها البعض. تُدرس هذه الحركات الكلية عمومًا في الميكانيكا الكلاسيكية ، انظر على سبيل المثال ديناميكا الأجسام المتعددة .
  3. وأخيراً، هناك العمليات التي تحدث عند سطح التلامس : الضغط والالتصاق في الاتجاه العمودي على السطح، والاحتكاك والانزلاق الدقيق في الاتجاهات المماسية .

يُعدّ الجانب الأخير هو الشغل الشاغل لميكانيكا التلامس، ويُوصَف من خلال ما يُسمى بشروط التلامس . بالنسبة للاتجاه العمودي على السطح الفاصل، أي مسألة التلامس الطبيعي، تكون تأثيرات الالتصاق صغيرة عادةً (على نطاقات مكانية أكبر)، وتُستخدم الشروط التالية عادةً:

  1. الفجوةهـن{\displaystyle e_{n}}يجب أن تكون المسافة بين السطحين صفرًا (تلامس) أو موجبة تمامًا (انفصال).هـن>0{\displaystyle e_{n}>0});
  2. الإجهاد الطبيعيصن{\displaystyle p_{n}}القوة المؤثرة على كل جسم إما صفر (انفصال) أو ضغط (صن>0{\displaystyle p_{n}>0}(على اتصال).

رياضياً:هـن≥0،صن≥0،هـن⋅صن=0{\displaystyle e_{n}\geq 0,p_{n}\geq 0,e_{n}\cdot p_{n}=0\,\!}. هناهـن،صن{\displaystyle e_{n},p_{n}}هي وظائف تتغير بتغير الموضع على طول أسطح الأجسام.

في الاتجاهات المماسية، تُستخدم الشروط التالية غالبًا:

  1. إجهاد القص الموضعي (المماسي)ص→=(صx،صy)تي{\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y})^{\mathsf {T}}\,\!}(بافتراض أن الاتجاه العمودي موازٍ لـz{\displaystyle z}لا يمكن أن يتجاوز (المحور -) حدًا أقصى معينًا يعتمد على الموضع، وهو ما يسمى حد الجرز{\displaystyle g}؛
  2. حيث تنخفض قيمة قوة الجر المماسية عن حد الجر‖ص→‖<ز{\displaystyle \|{\vec {p}}\|<g\,\!}تلتصق الأسطح المتقابلة ببعضها البعض ويختفي الانزلاق الدقيق.s→=(sx،sy)تي=0→{\displaystyle {\vec {s}}=(s_{x},s_{y})^{\mathsf {T}}={\vec {0}}\,\!}؛
  3. يحدث الانزلاق الجزئي عندما تكون قوى الشد المماسية عند حد الشد؛ ويكون اتجاه قوة الشد المماسية حينها معاكساً لاتجاه الانزلاق الجزئي.ص→=-زs→/‖s→‖{\displaystyle {\vec {p}}=-g{\vec {s}}/\|{\vec {s}}\|\,\!}.

يُعرف الشكل الدقيق لحدود الاحتكاك بقانون الاحتكاك المحلي. ولذلك، يُطبق قانون كولوم (الاحتكاك العام) محليًا في كثير من الأحيان.‖ص→‖≤ز=μصن{\displaystyle \|{\vec {p}}\|\leq g=\mu p_{n}\,\!}، معμ{\displaystyle \mu }معامل الاحتكاك. كما يمكن استخدام صيغ أكثر تفصيلاً، على سبيل المثال معμ{\displaystyle \mu }حسب درجة الحرارةتي{\displaystyle T}، سرعة الانزلاق المحلية‖s→‖{\displaystyle \|{\vec {s}}\|}، إلخ.

حلول للحالات الثابتة

حبل على عمود، معادلة الكابستان

رسم توضيحي لحبل مطاطي ملفوف حول جسم ثابت مثل عمود رصيف. تنقسم منطقة التلامس إلى منطقتي تماسك وانزلاق، وذلك تبعاً للأحمال المؤثرة على كلا الطرفين وتاريخ التحميل.

لنفترض وجود حبل حيث تتساوى القوى (مثلاً،Fيمسك=400شمال{\displaystyle F_{\text{hold}}=400\,\mathrm {N} }يتم تطبيق هذه القوى على كلا الجانبين. وبذلك يتم شد الحبل قليلاً ويتولد توتر داخلي.تي{\displaystyle T}يتم تحفيزه (تي=400شمال{\displaystyle T=400\,\mathrm {N} }في كل موضع على طول الحبل). يُلف الحبل حول عنصر ثابت مثل عمود ؛ وهو مثني ويتلامس مع سطح العنصر بزاوية تلامس (على سبيل المثال،180∘{\displaystyle 180^{\circ }}ينشأ ضغط طبيعي بين الحبل والعمود، ولكن لا يحدث احتكاك بعد. ثم تزداد القوة على أحد جانبي العمود إلى قيمة أعلى (مثلاً،Fحمولة=600شمال{\displaystyle F_{\text{load}}=600\,\mathrm {N} }يؤدي هذا إلى إجهادات قص احتكاكية في منطقة التلامس. في الحالة النهائية، يمارس العمود قوة احتكاك على الحبل بحيث يحدث وضع ساكن.

يتم وصف توزيع الشد في الحبل في هذه الحالة النهائية بواسطة معادلة الكابستان ، مع الحل التالي:

تي(ϕ)=تييمسك،ϕ∈[ϕيمسك،ϕواجهة]تي(ϕ)=تيحمولةهـ-μϕ،ϕ∈[ϕواجهة،ϕحمولة]ϕواجهة=1μسجل⁡(تيحمولةتييمسك){\displaystyle {\begin{aligned}T(\phi )&=T_{\text{hold}},&\phi &\in \left[\phi _{\text{hold}},\phi _{\text{intf}}\right]\\T(\phi )&=T_{\text{load}}e^{-\mu \phi },&\phi &\in \left[\phi _{\text{intf}},\phi _{\text{load}}\right]\\\phi _{\text{intf}}&={\frac {1}{\mu }}\log \left({\frac {T_{\text{load}}}{T_{\text{hold}}}}\right)&\end{aligned}}}

يزداد التوتر منتييمسك{\displaystyle T_{\text{hold}}}على الجانب المتراخي (ϕ=ϕيمسك{\displaystyle \phi =\phi _{\text{hold}}}) لتيحمولة{\displaystyle T_{\text{load}}}على الجانب المرتفعϕ=ϕحمولة{\displaystyle \phi =\phi _{\text{load}}}عند النظر من الجانب العلوي، ينخفض ​​الشد بشكل أُسّي، حتى يصل إلى الحمل السفلي عندϕ=ϕواجهة{\displaystyle \phi =\phi _{\text{intf}}}ومن ثمّ، تبقى القيمة ثابتة عند هذه النقطة. نقطة التحوّلϕواجهة{\displaystyle \phi _{\text{intf}}}يتم تحديدها بنسبة الحملين ومعامل الاحتكاك. هنا، الشدتي{\displaystyle T}تُقاس بالنيوتن والزواياϕ{\displaystyle \phi }بالراديان.

التوترتي{\displaystyle T}تزداد قوة الحبل في الحالة النهائية مقارنةً بالحالة الابتدائية، مما يؤدي إلى استطالته قليلاً. هذا يعني أن بعض جزيئات سطح الحبل لم تتمكن من الحفاظ على موضعها الابتدائي على سطح العمود. أثناء عملية التحميل، انزلق الحبل قليلاً على طول سطح العمود في منطقة الانزلاق .ϕ∈[ϕواجهة،ϕحمولة]{\displaystyle \phi \in [\phi _{\text{intf}},\phi _{\text{load}}]}هذا الانزلاق كبير بما يكفي للوصول إلى الاستطالة التي تحدث في الحالة النهائية. لاحظ أنه لا يوجد انزلاق في الحالة النهائية؛ يشير مصطلح منطقة الانزلاق إلى الانزلاق الذي حدث أثناء عملية التحميل. لاحظ أيضًا أن موقع منطقة الانزلاق يعتمد على الحالة الابتدائية وعملية التحميل. إذا كان الشد الابتدائي600شمال{\displaystyle 600\,\mathrm {N} }ويخفّض التوتر إلى400شمال{\displaystyle 400\,\mathrm {N} }عند الجانب المرتخي، تحدث منطقة الانزلاق عند الجانب المرتخي من منطقة التلامس. بالنسبة للتوترات الأولية بين400{\displaystyle 400}و600شمال{\displaystyle 600\,\mathrm {N} }، يمكن أن تكون هناك مناطق انزلاق على كلا الجانبين مع منطقة تماسك بينهما.

تعميم لحبل موضوع على سطح متعامد الخواص عشوائي

إذا كان الحبل موضوعًا في حالة توازن تحت تأثير قوى مماسية على سطح خشن متعامد الخواص، فإن الشروط الثلاثة التالية (جميعها) تتحقق:

  1. لا يوجد انفصال - رد فعل طبيعيشمال{\displaystyle N}تكون القيمة موجبة لجميع نقاط منحنى الحبل:
    شمال=-كنتي>0{\displaystyle N=-k_{n}T>0}، أينكن{\displaystyle k_{n}}هو انحناء طبيعي لمنحنى الحبل.
  2. معامل الاحتكاك الاحتكاكيμز{\displaystyle \mu _{g}}والزاويةα{\displaystyle \alpha }تستوفي جميع نقاط المنحنى المعايير التالية
    -μز<لون برونزي⁡α<+μز{\displaystyle -\mu _{g}<\tan \alpha <+\mu _{g}}
  3. القيم الحدية للقوى المماسية: القوى عند طرفي الحبلتي{\displaystyle T}وتي0{\displaystyle T_{0}}تحقق المتباينة التالية
    تي0هـ-∫sωدs≤تي≤تي0هـ∫sωدs{\displaystyle T_{0}e^{-\int _{s}\omega \mathrm {d} s}\leq T\leq T_{0}e^{\int _{s}\omega \mathrm {d} s}}

    معω=μτكن2-كز2μز2=μτككوس2⁡α-الخطيئة2⁡αμز2// _{ز}^{2}}}}}}،

    أينكز{\displaystyle k_{g}}هو انحناء جيوديسي لمنحنى الحبل،ك{\displaystyle k}هو انحناء في منحنى الحبل،μτ{\displaystyle \mu _{\tau }}هو معامل الاحتكاك في الاتجاه المماسي.

    لوω{\displaystyle \omega }إذا كان ثابتًاتي0هـ-μτكsكوس2⁡α-الخطيئة2⁡αμز2≤تي≤تي0هـμτكsكوس2⁡α-الخطيئة2⁡αμز2{\displaystyle T_{0}e^{-\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}}}\leq T\leq T_{0}e^{\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}}}}.

وقد تم التوصل إلى هذا التعميم بواسطة كونيوخوف أ.، [ 12 ] [ 13 ]

الكرة على مستوى، مسألة كاتانيو (ثلاثية الأبعاد)

تخيل كرةً تُضغط على سطح مستوٍ (نصف فضاء) ثم تُحرَّك فوق سطحه. إذا اعتبرنا الكرة والسطح جسمين صلبين، فإن التلامس سيحدث في نقطة واحدة فقط، ولن تتحرك الكرة حتى تصل القوة المماسية المؤثرة عليها إلى أقصى قوة احتكاك. عندها تبدأ بالانزلاق على السطح حتى تنخفض القوة المؤثرة عليها.

في الواقع، مع الأخذ في الاعتبار التأثيرات المرنة، يختلف الوضع تمامًا. إذا ضُغطت كرة مرنة على سطح مرن من نفس المادة، فإن كلا الجسمين يتشوهان، وتتشكل منطقة تلامس دائرية، وينشأ توزيع ضغط عمودي (هيرتزي). يتحرك مركز الكرة إلى أسفل مسافة معينة.دلتان{\displaystyle \delta _{n}}يُطلق على هذا النهج اسم النهج ، وهو يُعادل أقصى اختراق للأسطح غير المشوهة. بالنسبة لكرة نصف قطرهاR{\displaystyle R}وثوابت المرونةهـ،ν{\displaystyle E,\nu }يُقرأ حل هيرتز هذا على النحو التالي:

صن(x،y)=ص01-ر2أ2ر=x2+y2≤أأ=Rدلتانص0=2πهـ*دلتانRFن=43هـ*Rدلتان32هـ*=هـ2(1-ν2){\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}(x,y)&=p_{0}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}}&r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq a&a&={\sqrt {R\delta _{n}}}\\p_{0}&={\frac {2}{\pi }}E^{*}{\sqrt {\frac {\delta _{n}}{R}}}&F_{n}&={\frac {4}{3}}E^{*}{\sqrt {R}}\delta _{n}^{\frac {3}{2}}&E^{*}&={\frac {E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}\end{aligned}}}

والآن، لنفترض أن قوة مماسيةFx{\displaystyle F_{x}}يتم تطبيق قيمة أقل من حد الاحتكاك الكولومبيμFن{\displaystyle \mu F_{n}}ثم يتم تحريك مركز الكرة جانبياً بمسافة صغيرةدلتاx{\displaystyle \delta _{x}}يُسمى ذلك بالانزياح . ويتحقق توازن سكوني تحدث فيه تشوهات مرنة بالإضافة إلى إجهادات قص احتكاكية في سطح التلامس. في هذه الحالة، إذا انخفضت القوة المماسية، فإن التشوهات المرنة وإجهادات القص تنخفض أيضًا. وتعود الكرة إلى حد كبير إلى موضعها الأصلي، باستثناء الفقد الاحتكاكي الناتج عن الانزلاق الموضعي في منطقة التلامس.

تم حل مسألة التلامس هذه تقريبًا بواسطة كاتانيو باستخدام منهج تحليلي. يتكون توزيع الإجهاد في حالة التوازن من جزأين:

صx(x،y)=μص0(1-ر2أ2-جأ1-ر2ج2)0≤ر≤جصx(x،y)=μصن(x،y)ج≤ر≤أصx(x،y)=0أ≤ر{\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}(x,y)&=\mu p_{0}\left({\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}}-{\frac {c}{a}}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}}}\right)&0\leq {}&r\leq c\\p_{x}(x,y)&=\mu p_{n}(x,y)&c\leq {}&r\leq a\\p_{x}(x,y)&=0&a\leq {}&r\end{aligned}}}

في المنطقة المركزية، منطقة الالتصاق0≤ر≤ج{\displaystyle 0\leq r\leq c}تتحرك جزيئات سطح المستوى فوقux=دلتاx/2{\displaystyle u_{x}=\delta _{x}/2}إلى اليمين بينما تتحرك جزيئات سطح الكرة فوقux=-دلتاx/2{\displaystyle u_{x}=-\delta _{x}/2}إلى اليسار. على الرغم من أن الكرة ككل تتحرك.دلتاx{\displaystyle \delta _{x}}بالنسبة للمستوى، لم تتحرك جزيئات السطح هذه بالنسبة لبعضها البعض. في الحلقة الخارجيةج≤ر≤أ{\displaystyle c\leq r\leq a}لقد تحركت جزيئات السطح بالنسبة لبعضها البعض. ويتم الحصول على إزاحتها المحلية على النحو التالي:

sx(x،y)=دلتاx+uxجسم كروي(x،y)-uxطائرة(x،y){\displaystyle s_{x}(x,y)=\delta _{x}+u_{x}^{\text{sphere}}(x,y)-u_{x}^{\text{plane}}(x,y)}

هذا التحولsx(x،y){\displaystyle s_{x}(x,y)}وهي كبيرة بالتحديد بحيث يتم الحصول على توازن ثابت مع إجهادات القص عند حدود الجر في ما يسمى بمنطقة الانزلاق هذه.

لذا، أثناء التحميل المماسي للكرة، يحدث انزلاق جزئي . وبذلك، تنقسم منطقة التلامس إلى منطقة انزلاق تتحرك فيها الأسطح بالنسبة لبعضها البعض، ومنطقة تماسك لا تتحرك فيها. وفي حالة التوازن، يتوقف الانزلاق تمامًا.

حلول لمسائل الانزلاق الديناميكي

يتألف حل مسألة التلامس من حالة السطح الفاصل (موضع التلامس، وتقسيم منطقة التلامس إلى منطقتي الالتصاق والانزلاق، وتوزيعات الإجهاد العمودي والقصي) بالإضافة إلى المجال المرن داخل الأجسام. ويعتمد هذا الحل على تاريخ التلامس، ويمكن ملاحظة ذلك من خلال توسيع مسألة كاتانيو المذكورة أعلاه.

  • في مسألة كاتانيو، يتم أولاً ضغط الكرة على المستوى ثم تحريكها بشكل مماس. ينتج عن ذلك انزلاق جزئي كما هو موضح أعلاه.
  • إذا تم تحريك الكرة أولاً بشكل مماس ثم ضغطها على المستوى، فلن يكون هناك فرق في الإزاحة المماسية بين الأسطح المتقابلة، وبالتالي لن يكون هناك إجهاد مماس في واجهة التلامس.
  • إذا زاد الاقتراب في الاتجاه العمودي والإزاحة المماسية في آن واحد ("الضغط المائل")، فإنه يمكن تحقيق حالة مع إجهاد مماس ولكن بدون انزلاق موضعي. [ 2 ]

يُبيّن هذا أن حالة سطح التلامس لا تعتمد فقط على المواضع النسبية للجسمين، بل أيضًا على تاريخ حركتهما. مثال آخر على ذلك يحدث عند إعادة الكرة إلى موضعها الأصلي. في البداية، لم يكن هناك إجهاد مماس في سطح التلامس. بعد الإزاحة الأولية، حدث انزلاق دقيق. لا يُزال هذا الانزلاق الدقيق تمامًا بالعودة إلى الموضع الأصلي. لذا، في الحالة النهائية، تبقى الإجهادات المماسية في سطح التلامس، في ما يبدو أنه تكوين مطابق للتكوين الأصلي.

تم تناول تأثير الاحتكاك على التلامسات الديناميكية (الصدمات) بالتفصيل في [ 14 ] .

حل مسائل التلامس الدوار

التلامس المتدحرج بين أسطوانة وسطح مستوٍ. تتحرك الجسيمات عبر منطقة التلامس من اليمين إلى اليسار، وتتعرض لإجهاد متزايد حتى يبدأ الانزلاق الموضعي.

تُعدّ مسائل التلامس المتدحرج مسائل ديناميكية تتحرك فيها الأجسام المتلامسة باستمرار بالنسبة لبعضها البعض. ويكمن أحد الفروق بينها وبين مسائل التلامس الانزلاقي الديناميكي في وجود تنوّع أكبر في حالة جزيئات السطح المختلفة. فبينما تتكون رقعة التلامس في مسألة الانزلاق باستمرار من جزيئات متماثلة تقريبًا، تدخل الجزيئات إلى رقعة التلامس وتخرج منها بشكل متواصل في مسألة التلامس المتدحرج. علاوة على ذلك، في مسألة الانزلاق، تخضع جميع جزيئات السطح في رقعة التلامس لإزاحة مماسية متماثلة تقريبًا في كل مكان، بينما في مسألة التدحرج، تتعرض جزيئات السطح لإجهاد بطرق مختلفة تمامًا. فهي تكون خالية من الإجهاد عند دخولها رقعة التلامس، ثم تلتصق بجزيء من السطح المقابل، وتتعرض لإجهاد ناتج عن فرق الحركة الكلي بين الجسمين، إلى أن يتم تجاوز حدّ الاحتكاك الموضعي ويبدأ الانزلاق الموضعي. وتمر هذه العملية بمراحل مختلفة لأجزاء مختلفة من منطقة التلامس.

إذا كانت الحركة الكلية للأجسام ثابتة، فإنه يمكن الوصول إلى حالة استقرار كلية. في هذه الحالة، تتغير حالة كل جسيم سطحي مع مرور الوقت، لكن التوزيع الكلي يمكن أن يظل ثابتًا. ويتم التعبير عن ذلك باستخدام نظام إحداثيات يتحرك مع منطقة التلامس.

حل كارتر-فروم (ثنائي الأبعاد) لأسطوانة تتدحرج على سطح مستوٍ

لنفترض وجود أسطوانة تتدحرج فوق مستوى (نصف فضاء) في ظل ظروف مستقرة، مع زحف طولي مستقل عن الزمنξ{\displaystyle \xi }. (نسبياً) بعيدًا عن نهايات الأسطوانات يحدث وضع إجهاد مستوي وتكون المشكلة ثنائية الأبعاد.

إذا كان الأسطوانة والسطح المستوي مصنوعين من نفس المواد، فإن مسألة التلامس العمودي لا تتأثر بإجهاد القص. وتكون منطقة التلامس عبارة عن شريط.x∈[-أ،أ]{\displaystyle x\in [-a,a]}ويتم وصف الضغط بواسطة حل هيرتز (ثنائي الأبعاد).

صن(x)=ص0أأ2-x2|x|≤أأ2=4FنRπهـ*ص0=2Fنπأهـ*=هـ2(1-ν2){\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}(x)&={\frac {p_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}&|x|&\leq a&a^{2}&={\frac {4F_{n}R}{\pi E^{*}}}\\p_{0}&={\frac {2F_{n}}{\pi a}}&&&E^{*}&={\frac {E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}&\end{aligned}}}

يُوصَف توزيع إجهاد القص بحل كارتر-فروم. ويتكون من منطقة تماسك عند الحافة الأمامية لمنطقة التلامس ومنطقة انزلاق عند الحافة الخلفية . ويُرمز إلى طول منطقة التماسك بـ2أ′{\displaystyle 2a'}علاوة على ذلك، يتم إدخال إحداثية الالتصاق بواسطةx′=x+أ-أ′{\displaystyle x'=x+a-a'}في حالة وجود قوة موجبةFx>0{\displaystyle F_{x}>0}(زحف سلبي)ξ<0{\displaystyle \xi <0}) إنها:

صx(x)=0|x|≥أصx(x)=μص0أ(أ2-x2-أ′2-x′2)أ-2أ′≤x≤أصx(x)=μصن(x)x≤أ-2أ′{\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}(x)&=0&|&x|\geq a\\p_{x}(x)&={\frac {\mu p_{0}}{a}}\left({\sqrt {a^{2}-x^{2}}}-{\sqrt {a'^{2}-x'^{2}}}\right)&a-2a'\leq {}&x\leq a\\p_{x}(x)&=\mu p_{n}(x)&&x\leq a-2a'\end{aligned}}}

يعتمد حجم منطقة الالتصاق على الزحف ونصف قطر العجلة ومعامل الاحتكاك.

أ′=أ1-|Fx|μFن،ل |Fx|≤μFنξ=-لافتة⁡(Fx)μ(أ-أ′)R،أي |ξ|≤μأRFx=-لافتة⁡(ξ)μFن(1-(1+R|ξ|μأ)2){\displaystyle {\begin{aligned}a'&=a{\sqrt {1-{\frac {|F_{x}|}{\mu F_{n}}}}},&{\mbox{for }}|F_{x}|\leq \mu F_{n}\\\xi &=-\operatorname {sign} (F_{x})\,{\frac {\mu (a-a')}{R}},&{\mbox{i.e. }}|\xi |\leq {\frac {\mu a}{R}}\\F_{x}&=-\operatorname {sign} (\xi )\,\mu F_{n}\left(1-\left(1+{\frac {R|\xi |}{\mu a}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}

للمساحات الأكبرأ′=0{\displaystyle a'=0}بحيث يحدث الانزلاق الكامل.

الأساليب القائمة على نصف الفضاء

عند دراسة مشاكل التلامس على المقاييس المكانية المتوسطة، يتم تجاهل عدم تجانس المواد وخشونة السطح على المستوى الصغير. وتُعتبر الأجسام مكونة من أسطح ملساء ومواد متجانسة. ويُعتمد نهج متصل حيث تُوصف الإجهادات والانفعالات والإزاحات بدوال متصلة (مجزأة).

يُعد أسلوب نصف الفضاء استراتيجية حل أنيقة لما يسمى بمشاكل الاتصال "ذات الحواف الناعمة" أو "المركزة".

  1. إذا تم تحميل جسم مرن ضخم على جزء صغير من سطحه، فإن الإجهادات المرنة تتضاءل بما يتناسب مع1/دأناsتأنجهـ2{\displaystyle 1/distance^{2}}والإزاحات المرنة بواسطة1/دأناsتأنجهـ{\displaystyle 1/distance}عندما يبتعد المرء عن هذه المساحة السطحية.
  2. إذا لم يكن للجسم زوايا حادة في منطقة التلامس أو بالقرب منها، فيمكن تقريب استجابته لحمل سطحي بشكل جيد باستجابة نصف فضاء مرن (مثل جميع النقاط).(x،y،z)تي∈R3{\displaystyle (x,y,z)^{\mathsf {T}}\in \mathbb {R} ^{3}\,\!}معz>0{\displaystyle z>0\,\!}).
  3. تم حل مشكلة نصف الفضاء المرن تحليليًا، انظر حل بوسينسك-سيروتي .
  4. بسبب خطية هذا النهج، قد تتراكب حلول جزئية متعددة.

باستخدام الحل الأساسي لنصف الفضاء، يتم اختزال مشكلة التلامس ثلاثية الأبعاد الكاملة إلى مشكلة ثنائية الأبعاد للأسطح المحيطة بالأجسام.

يحدث تبسيط إضافي إذا كان الجسمان متماثلين هندسيًا ومرنًا. عمومًا، يُحدث الإجهاد داخل الجسم في اتجاه معين إزاحات في الاتجاهات العمودية أيضًا. بالتالي، يوجد تفاعل بين الإجهاد العمودي والإزاحات المماسية في مسألة التلامس، وتفاعل بين الإجهاد المماسي والإزاحات العمودية. ولكن إذا أحدث الإجهاد العمودي في سطح التلامس نفس الإزاحات المماسية في كلا الجسمين المتلامسين، فلن يكون هناك إزاحة مماسية نسبية بين السطحين. في هذه الحالة، تنفصل مسألتا التلامس العمودي والمماسي. إذا كان هذا هو الحال، يُطلق على الجسمين اسم شبه متطابقين . يحدث هذا، على سبيل المثال، إذا كان الجسمان متناظرين انعكاسيًا بالنسبة لمستوى التلامس ولهما نفس الثوابت المرنة.

الحلول الكلاسيكية القائمة على نهج نصف الفضاء هي:

  1. لقد حل هيرتز مشكلة التلامس في غياب الاحتكاك، وذلك بالنسبة لهندسة بسيطة (أسطح منحنية ذات أنصاف أقطار انحناء ثابتة).
  2. درس كارتر التلامس المتدحرج بين أسطوانة وسطح مستوٍ، كما هو موضح أعلاه. ويُقدم حل تحليلي كامل للجر المماسي.
  3. درس كاتانيو انضغاط وانزلاق كرتين، كما هو موضح أعلاه. تجدر الإشارة إلى أن هذا الحل التحليلي تقريبي. في الواقع، تكون قوى الشد المماسية صغيرة.صy{\displaystyle p_{y}}تحدث أمور يتم تجاهلها.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 جونسون، ك. ل. (1985). ميكانيكا التلامس . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.
  2. 1 2 بوبوف، ف. ل. (2010). ميكانيكا التلامس والاحتكاك. المبادئ الفيزيائية والتطبيقات . برلين: سبرينغر-فيرلاغ.
  3. ↑ "مقدمة في علم الاحتكاك - الاحتكاك" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21-12-2008 .
  4. ^ هيرتز، هاينريش (1882). “الاتصال بين الأجسام المرنة الصلبة”. مجلة für die Reine und Angewandte Mathematik . 92 .
  5. 1 2 كنوت، ك. (2008). "تاريخ ميكانيكا التلامس بين العجلة والسكك الحديدية: من ريدتنباخر إلى كالكر". ديناميكيات أنظمة المركبات . 46 ( 1-2 ): 9-26 . doi : 10.1080/00423110701586469 .
  6. ↑ كالكر، جوست ج. (1967). حول التلامس المتدحرج لجسمين مرنين في وجود الاحتكاك الجاف . جامعة دلفت للتكنولوجيا.
  7. ↑ باسيكا، هانز (2002). ديناميكيات الإطارات والمركبات . أكسفورد: باتروورث-هاينمان.
  8. ↑ لورسن، تي إيه، 2002، ميكانيكا التلامس والصدم الحاسوبية، أساسيات نمذجة الظواهر البينية في تحليل العناصر المحدودة غير الخطي ، سبرينغر، برلين
  9. ↑ ريغرز، ب.، 2006، ميكانيكا التلامس الحاسوبية، الطبعة الثانية ، سبرينغر، هايدلبرغ
  10. 1 2 كالكر، جيه جيه (1990). الأجسام المرنة ثلاثية الأبعاد في التلامس المتدحرج . دوردريخت: كلوير أكاديميك بابليشرز.
  11. ^ ب. جاكوبسن وجي جي كالكر، أد. (2000). ظواهر الاتصال المتداول . فيينا نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ.
  12. ↑ كونيوخوف، ألكسندر (2015-04-01). "تلامس الحبال مع الأسطح الخشنة المتعامدة" . مجلة الرياضيات التطبيقية والميكانيكا . 95 (4): 406-423 . Bibcode : 2015ZaMM...95..406K . doi : 10.1002/zamm.201300129 . ISSN 1521-4001 . 
  13. ↑ كونيوخوف أ.، إيزي ر. "مقدمة في ميكانيكا التلامس الحسابية: منهج هندسي" . وايلي.
  14. ^ ويلرت ، إيمانويل (2020). مشكلة في الفيزياء والتقنية والطب: Grundlagen und Anwendungen (باللغة الألمانية). عرض سبرينغر.
  • سيرة البروفيسور الدكتور المهندس جيه جيه كالكر (جامعة دلفت للتكنولوجيا).
  • برنامج الاتصال الهيرتزي/غير الهيرتزي من كالكر.