قانون جاوس

الصيغة التكاملية لقانون جاوس هي:

${\displaystyle {\scriptstyle _{S}}}$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$${\displaystyle ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

لأي سطح مغلق S يحتوي على شحنة Q. وبحسب نظرية التباعد، فإن هذه المعادلة مكافئة لما يلي:

$${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

لأي حجم V يحتوي على شحنة Q. وبحسب العلاقة بين الشحنة وكثافة الشحنة، فإن هذه المعادلة مكافئة لما يلي: $${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\mathrm {d} V}$$ لأي حجم V. لكي تكون هذه المعادلة صحيحة في آنٍ واحد لكل حجم ممكن V ، من الضروري (والكافي) أن تكون الدوال التكاملية متساوية في كل مكان. لذلك، فإن هذه المعادلة مكافئة لما يلي :

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$ وبالتالي فإن الصيغ التكاملية والتفاضلية متكافئة.

ينص قانون كولوم على أن المجال الكهربائي الناتج عن شحنة نقطية ثابتة هو: $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}}$$ أين

• _يمثل e متجه الوحدة الشعاعي،
• r هو نصف القطر، | r |
• ε ₀ هو ثابت العزل الكهربائي ،
• q هي شحنة الجسيم، والتي يفترض أنها تقع عند نقطة الأصل .

باستخدام صيغة قانون كولوم، نحصل على المجال الكلي عند النقطة r عن طريق استخدام التكامل لجمع المجال عند r الناتج عن الشحنة المتناهية الصغر عند كل نقطة s أخرى في الفضاء، لنحصل على $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {د} ^{3}\mathbf {s} }$$ حيث ρ هي كثافة الشحنة. إذا أخذنا تباعد طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى r ، واستخدمنا النظرية المعروفة ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$ حيث δ ( r ) هي دالة ديراك دلتا ، والنتيجة هي $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

باستخدام " خاصية التصفية " لدالة ديراك دلتا، نصل إلى $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},}$$ وهو الشكل التفاضلي لقانون جاوس، كما هو مطلوب.

يترك${\displaystyle \Omega \subseteq R^{3}}$لتكن مجموعة مفتوحة محدودة، و $${\displaystyle \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}d^{3}r'\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )d^{3}r'}$$ليكن المجال الكهربائي، مع${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$دالة متصلة (كثافة الشحنة).

هذا صحيح بالنسبة للجميع${\displaystyle \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$الذي - التي${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$.

فكر الآن في مجموعة صغيرة الحجم${\displaystyle V\subseteq R^{3}}$ذات حدود ناعمة متقطعة${\displaystyle \partial V}$بحيث${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset }$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$وبالتالي، بالنسبة لنظرية التباعد:

$${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV}$$

لكن لأن${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$،

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla _{\mathbf {r} }\cdot e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}=0}$$ بالنسبة للحجة أعلاه (${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$وثم${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$)

لذلك فإن التدفق عبر سطح مغلق ناتج عن كثافة شحنة ما خارجه (السطح) يكون معدوماً.

والآن لننظر إلى الأمر.${\displaystyle \mathbf {r} _{0}\in \Omega }$، و${\displaystyle B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega }$ بينما تتمركز الكرة في${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$تناول${\displaystyle R}$كقطر (يوجد لأن${\displaystyle \Omega }$(مجموعة مفتوحة).

يترك${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}}$و${\displaystyle \mathbf {E} _{C}}$ليكن المجال الكهربائي المتولد داخل الكرة وخارجها على التوالي. ثم،

${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$، ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$و${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}}$

$${\displaystyle \Phi (R)=\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{C}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} }$$

وتتحقق المساواة الأخيرة من خلال ملاحظة أن${\displaystyle (\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset }$والحجة المذكورة أعلاه.

يمثل الطرف الأيمن التدفق الكهربائي الناتج عن كرة مشحونة، وبالتالي:

$${\displaystyle \Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c})|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}$$مع${\displaystyle r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})}$

حيث تُستنتج المساواة الأخيرة من نظرية القيمة المتوسطة للتكاملات. باستخدام نظرية الضغط واستمرارية${\displaystyle \rho }$، ويصل المرء إلى:

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})}$$

باعتبار S في الصيغة التكاملية لقانون جاوس سطحًا كرويًا نصف قطره r ، مركزه الشحنة النقطية Q ، لدينا

$${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

بافتراض التناظر الكروي، فإن الدالة المراد تكاملها ثابتة ويمكن إخراجها من التكامل. والنتيجة هي $${\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$ حيث r̂ متجه وحدة يشير شعاعيًا بعيدًا عن الشحنة. ومرة ​​أخرى، وبسبب التناظر الكروي، يشير E في الاتجاه الشعاعي، وبالتالي نحصل على $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$$ وهو ما يُعادل قانون كولوم أساسًا. وبالتالي، فإن اعتماد المجال الكهربائي على قانون التربيع العكسي في قانون كولوم يتبع من قانون جاوس.