نظرية المجموعات الساذجة

نظرية المجموعات البسيطة هي إحدى نظريات المجموعات العديدة المستخدمة في مناقشة أسس الرياضيات . ^{[ 3 ]} على عكس نظريات المجموعات البديهية ، التي تُعرَّف باستخدام المنطق الصوري ، تُعرَّف نظرية المجموعات البسيطة بشكل غير رسمي، بلغة طبيعية . وهي تصف جوانب المجموعات الرياضية المألوفة في الرياضيات المتقطعة (على سبيل المثال، مخططات فين والاستدلال الرمزي حول جبرها البولياني )، وتكفي للاستخدام اليومي لمفاهيم نظرية المجموعات في الرياضيات المعاصرة. ^{[ 4 ]}

تُعدّ المجموعات ذات أهمية بالغة في الرياضيات؛ ففي المعالجات الرسمية الحديثة، تُعرَّف معظم الكائنات الرياضية ( الأعداد ، والعلاقات ، والدوال ، وما إلى ذلك) بدلالة المجموعات. وتكفي نظرية المجموعات البسيطة لأغراض عديدة، كما أنها تُشكّل خطوة تمهيدية نحو معالجات أكثر رسمية.

طريقة

النظرية البسيطة، بمعنى "نظرية المجموعات البسيطة"، هي نظرية غير رسمية، أي نظرية تستخدم اللغة الطبيعية لوصف المجموعات والعمليات عليها. وتتعامل هذه النظرية مع المجموعات ككائنات مطلقة أفلاطونية. وتُعامل الكلمات " و "، و"أو "، و"إذا... فإن"، و" ليس" ، و "لبعض "، و"لكل" كما في الرياضيات العادية. ولأسباب تتعلق بالتسهيل، يسود استخدام نظرية المجموعات البسيطة وشكلياتها حتى في الرياضيات المتقدمة ، بما في ذلك في السياقات الأكثر رسمية لنظرية المجموعات نفسها.

كان أول تطور لنظرية المجموعات عبارة عن نظرية مجموعات ساذجة. وقد تم إنشاؤها في نهاية القرن التاسع عشر بواسطة جورج كانتور كجزء من دراسته للمجموعات اللانهائية ^{[ 5 ]} وتم تطويرها كنظام رسمي ولكنه غير متسق ^{[ 6 ]} بواسطة جوتلوب فريجه في كتابه Grundgesetze der Arithmetik .

قد تشير نظرية المجموعات البسيطة إلى عدة مفاهيم متميزة للغاية. وقد تشير إلى

عرض غير رسمي لنظرية مجموعة بديهية، على سبيل المثال كما في نظرية المجموعة الساذجة لبول هالموس .
النسخ المبكرة أو المتأخرة من نظرية جورج كانتور والأنظمة غير الرسمية الأخرى.
النظريات غير المتسقة بشكل واضح (سواء كانت بديهية أم لا)، مثل نظرية جوتلوب فريجه ^{[ 7 ]} التي أدت إلى مفارقة راسل ، ونظريات جوزيبي بيانو ^{[ 8 ]} وريتشارد ديديكيند .

المفارقات

يؤدي افتراض إمكانية استخدام أي خاصية لتكوين مجموعة، دون قيود، إلى مفارقات . ومن الأمثلة الشائعة على ذلك مفارقة راسل : لا توجد مجموعة تتكون من "جميع المجموعات التي لا تحتوي على نفسها". لذا، يجب أن تتضمن الأنظمة المتسقة لنظرية المجموعات (سواء كانت ساذجة أو رسمية) بعض القيود على المبادئ التي يمكن استخدامها لتكوين المجموعات.

نظرية كانتور

يعتقد البعض أن نظرية المجموعات لجورج كانتور لم تكن متورطة فعليًا في مفارقات نظرية المجموعات (انظر فرابولي 1991). إحدى الصعوبات في تحديد ذلك بيقين هي أن كانتور لم يقدم نظامًا بديهيًا لنظريته. بحلول عام 1899، كان كانتور على دراية ببعض المفارقات الناجمة عن التفسير غير المقيد لنظريته، مثل مفارقة كانتور ^{[ 9 ]} ومفارقة بورالي-فورتي ^{[ 10 ]} ، ولم يعتقد أنها تُفنّد نظريته ^{[ 11 ]} . في الواقع، يمكن استنتاج مفارقة كانتور من الافتراض (الخاطئ) المذكور أعلاه - وهو أنه يمكن استخدام أي خاصية $P (x)$ لتكوين مجموعة - باستخدام $P (x)$ حيث " $x$ عدد أصلي ". لقد وضع فريجه بشكل صريح بديهيات لنظرية يمكن من خلالها تفسير نسخة رسمية من نظرية المجموعات الساذجة، وهذه هي النظرية الرسمية التي تناولها برتراند راسل بالفعل عندما قدم مفارقته، وليس بالضرورة نظرية كانتور - الذي كان على دراية بالعديد من المفارقات كما ذكرنا - يفترض أنه كان يفكر فيها.

النظريات البديهية

تم تطوير نظرية المجموعات البديهية استجابةً لهذه المحاولات المبكرة لفهم المجموعات، بهدف تحديد العمليات المسموح بها ومتى.

تناسق

لا تُعدّ نظرية المجموعات البسيطة بالضرورة غير متسقة، إذا حددت بدقة المجموعات المسموح بدراستها. ويمكن تحقيق ذلك من خلال التعريفات، التي تُعتبر بديهيات ضمنية. من الممكن ذكر جميع البديهيات صراحةً، كما في حالة نظرية المجموعات البسيطة لهالموس، والتي تُعدّ في الواقع عرضًا غير رسمي لنظرية زيرميلو-فرانكل البديهية المعتادة . وهي "بسيطة" لأن لغتها ورموزها هي لغة ورموز الرياضيات غير الرسمية العادية، ولأنها لا تتناول اتساق أو اكتمال نظام البديهيات.

وبالمثل، فإن نظرية المجموعات البديهية ليست بالضرورة متسقة، أي ليست بالضرورة خالية من المفارقات. ويترتب على نظريات عدم الاكتمال لغودل أنه لا يمكن إثبات اتساق نظام منطقي من الدرجة الأولى معقد بدرجة كافية (والذي يشمل معظم نظريات المجموعات البديهية الشائعة) ^{[ 12 ]} من داخل النظرية نفسها ، إلا إذا كانت غير متسقة بالفعل. ومع ذلك، يُعتقد عمومًا أن الأنظمة البديهية الشائعة متسقة؛ فهي تستبعد، بموجب بديهياتها، بعض المفارقات، مثل مفارقة راسل . واستنادًا إلى نظرية غودل ، فإنه من غير المعروف - ولن يكون معروفًا أبدًا - ما إذا كانت هذه النظريات خالية تمامًا من المفارقات، أو من أي نظرية مجموعات من الدرجة الأولى معقدة بدرجة كافية، إلا إذا كانت هذه النظريات غير متسقة بالفعل. تجدر الإشارة، مع ذلك، إلى أن نتائج التحليل الترتيبي في نظرية البرهان تُفسر أحيانًا على أنها براهين على الاتساق .

لا يزال مصطلح نظرية المجموعات الساذجة يستخدم حتى اليوم في بعض الأدبيات ^{[ 13 ]} للإشارة إلى نظريات المجموعات التي درسها فريجه وكانتور، بدلاً من النظريات غير الرسمية لنظرية المجموعات البديهية الحديثة.

جدوى

إن الاختيار بين المنهج البديهي والمناهج الأخرى هو في الغالب مسألة ملاءمة. في الرياضيات اليومية، قد يكون الخيار الأمثل هو الاستخدام غير الرسمي لنظرية المجموعات البديهية. وعادةً ما لا تُذكر البديهيات إلا عند الضرورة، كأن تُذكر بديهية الاختيار عند استخدامها. وبالمثل، لا تُستخدم البراهين الرسمية إلا في ظروف استثنائية. ويمكن لهذا الاستخدام غير الرسمي لنظرية المجموعات البديهية أن يُشابه (بحسب الترميز) نظرية المجموعات البسيطة كما هو موضح أدناه. وهو أسهل بكثير في القراءة والكتابة (في صياغة معظم العبارات والبراهين وخطوط النقاش) وأقل عرضةً للأخطاء من المنهج الرسمي البحت.

المجموعات والعضوية والمساواة

في نظرية المجموعات البسيطة، تُعرَّف المجموعة بأنها مجموعة محددة جيدًا من العناصر. تُسمى هذه العناصر بأعضاء المجموعة. يمكن أن تكون العناصر أي شيء: أرقامًا، أشخاصًا، مجموعات أخرى، إلخ. على سبيل المثال، العدد 4 هو عضو في مجموعة جميع الأعداد الزوجية . من الواضح أن مجموعة الأعداد الزوجية لا نهائية؛ فلا يُشترط أن تكون المجموعة منتهية.

يعود تعريف المجموعات إلى جورج كانتور :

Unter `Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die `Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen. ^{[ 14 ]}
[بمصطلح "المجموع" ( Menge ) نفهم أي مجموعة على أنها كل ( Zusammenfassung zu einem Ganzen ) M من الأشياء المحددة والمنفصلة m من حدسنا أو فكرنا. وتسمى هذه الأشياء "عناصر" M. ^{[ 15 ]} ]

— جورج كانتور، Mathematische Annalen (1895)، Band 46، Heft 4، Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre

أحد العناصر هو أحد أفضل أدوات الدمج بين العناصر التي تساعد على الدمج أو الدمج بين العناصر – حيث يتم إنشاء عناصر العناصر – من أجل تحقيق أهدافك. ^{[ 16 ]}
[المجموعة هي تجميع في كل من الأشياء المحددة والمتميزة التي ندركها أو نفكر فيها - والتي تسمى عناصر المجموعة. ]

— جورج كانتور، في H. باومان وآخرون، Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften (1975)، الفصل 2 Grundbegriffe der Mengenlehre

ملاحظة حول الاتساق

لا يُستنتج من هذا التعريف كيفية تكوين المجموعات، وما هي العمليات التي تُنتج مجموعةً جديدةً عند تطبيقها عليها. ولا يُمكن لمصطلح "مُحدد جيدًا" في عبارة "مجموعة مُحددة جيدًا من الأشياء" أن يضمن، في حد ذاته، اتساق ووضوح ما يُشكل مجموعةً وما لا يُشكلها. إن محاولة تحقيق ذلك تقع ضمن نطاق نظرية المجموعات البديهية أو نظرية الأصناف البديهية .

تكمن المشكلة، في هذا السياق، مع نظريات المجموعات المصاغة بشكل غير رسمي، والتي لا تستند إلى أي نظرية بديهية محددة (ولا تتضمنها)، في إمكانية وجود عدة نسخ رسمية متباينة اختلافًا كبيرًا، لكل منها مجموعاتها الخاصة وقواعدها المختلفة لتكوين مجموعات جديدة، مع امتثالها جميعًا للتعريف الأصلي غير الرسمي. على سبيل المثال، يسمح تعريف كانتور الحرفي بحرية كبيرة في تحديد ماهية المجموعة. من ناحية أخرى، من غير المرجح أن يكون كانتور مهتمًا بشكل خاص بالمجموعات التي تحتوي على القطط والكلاب، بل بالمجموعات التي تحتوي على كائنات رياضية بحتة. ومن الأمثلة على هذه الفئة من المجموعات كون فون نيومان . ولكن حتى عند تحديد فئة المجموعات قيد الدراسة، لا يكون من الواضح دائمًا ما هي قواعد تكوين المجموعات المسموح بها دون الوقوع في مفارقات.

لغرض تبسيط النقاش أدناه، ينبغي تفسير مصطلح "مُعَرَّف جيدًا" على أنه نية ، بقواعد ضمنية أو صريحة (بديهيات أو تعريفات)، لاستبعاد التناقضات. والهدف من ذلك هو إبعاد قضايا الاتساق المعقدة والعميقة عن السياق الأبسط المطروح. ولا يمكن استبعاد جميع التناقضات (المفارقات) المحتملة بشكل صريح في نظرية المجموعات البديهية، وذلك بسبب نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل، لذا فإن هذا لا يُقلل من فائدة نظرية المجموعات البسيطة مقارنةً بنظرية المجموعات البديهية في السياقات البسيطة المذكورة أدناه. إنما يُبسِّط النقاش فحسب. ويُفترض الاتساق من الآن فصاعدًا ما لم يُذكر صراحةً.

عضوية

إذا كان x عنصرًا في المجموعة A ، يُقال أيضًا أن x ينتمي إلى A ، أو أن x موجود في A. ويُرمز لذلك بـ x ∈ A. الرمز ∈ مشتق من الحرف اليوناني الصغير إبسيلون (ε)، الذي قدمه جوزيبي بيانو عام 1889، وهو الحرف الأول من كلمة ἐστί (التي تعني "يكون"). أما الرمز ∉ فيُستخدم غالبًا لكتابة x ∉ A ، أي "x ليس في A".

المساواة

تُعرَّف المجموعتان A و B بأنهما متساويتان عندما تحتويان على العناصر نفسها تمامًا، أي إذا كان كل عنصر من A عنصرًا من B وكل عنصر من B عنصرًا من A. (انظر بديهية الامتداد ). وبالتالي، تُحدَّد المجموعة كليًا بعناصرها؛ ولا يهم الوصف. على سبيل المثال، المجموعة التي تحتوي على العناصر 2 و3 و5 تساوي مجموعة جميع الأعداد الأولية الأقل من 6. إذا كانت المجموعتان A و B متساويتين، يُرمز إلى ذلك رمزيًا بـ A = B (كما هو معتاد).

مجموعة فارغة

المجموعة الفارغة ، ويرمز لها بـ $\varnothing$ وأحياناً $\{\}$ المجموعة الفارغة هي مجموعة لا تحتوي على أي عناصر على الإطلاق. ولأن المجموعة تُحدد بالكامل من خلال عناصرها، فلا يمكن أن توجد إلا مجموعة فارغة واحدة. (انظر بديهية المجموعة الفارغة ). ^{[ 17 ]} على الرغم من أن المجموعة الفارغة لا تحتوي على أي عناصر، إلا أنها يمكن أن تكون عنصرًا في مجموعات أخرى. $\varnothing \neq \{\varnothing \}$ لأن الأولى ليس لها أعضاء والثانية لها عضو واحد. ^{[ 18 ]}

تحديد المجموعات

أبسط طريقة لوصف مجموعة هي سرد عناصرها بين قوسين معقوفين (وهو ما يُعرف بتعريف المجموعة امتدادياً ). وهكذا، فإن ${1، 2}$ تُشير إلى المجموعة التي عناصرها الوحيدة هي1 و2. (انظر بديهية الاقتران .) لاحظ النقاط التالية:

ترتيب العناصر غير مهم؛ على سبيل المثال، ${1، 2} = {2، 1}$ .
لا علاقة لتكرار ( تعدد ) العناصر؛ على سبيل المثال، ${1، 2، 2} = {1، 1، 1، 2} = {1، 2}$ .

(هذه نتائج تعريف المساواة في القسم السابق.)

يمكن إساءة استخدام هذا الترميز بشكل غير رسمي من خلال قول شيء مثل ${dogs}$ للإشارة إلى مجموعة جميع الكلاب، ولكن عادةً ما يقرأ علماء الرياضيات هذا المثال على أنه "المجموعة التي تحتوي على عنصر واحد هو الكلاب ".

مثال متطرف (ولكنه صحيح) لهذا الترميز هو ${}$ ، والذي يدل على المجموعة الفارغة.

يُستخدم الرمز ${x : P (x)}$ ، أو أحيانًا ${x | P (x)} ، للدلالة على المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر التي يتحقق فيها الشرط$ $P$ (وهو ما يُعرف بتعريف المجموعة تعريفًا مقصودًا ). على سبيل المثال، ${x | x \in R}$ تُشير إلى مجموعة الأعداد الحقيقية ، و ${x | x له شعر أشقر}$ تُشير إلى مجموعة كل ما له شعر أشقر.

يُطلق على هذا الترميز اسم ترميز بناء المجموعات (أو " فهم المجموعات "، خاصةً في سياق البرمجة الوظيفية ). ومن بين أشكال ترميز بناء المجموعات ما يلي:

${x \in A | P (x)}$ تُشير إلى مجموعة جميع $الأعداد x$ التي تنتمي بالفعل إلى $A$ بحيث يتحقق الشرط $P بالنسبة لـ$ $x$ . على سبيل المثال، إذا كانت $Z$ هي مجموعة الأعداد الصحيحة ، فإن ${x \in Z | x زوجي}$ هي مجموعة جميع الأعداد الزوجية . (انظر بديهية التحديد ).
${F (x) | x \in A}$ تُمثل مجموعة جميع العناصر الناتجة عن وضع عناصر المجموعة $A$ في الصيغة $F.$ على سبيل المثال، ${2 x | x \in Z}$ هي أيضاً مجموعة جميع الأعداد الزوجية. (انظر بديهية الاستبدال ).
${F (x) | P (x)}$ هو الشكل الأكثر عمومية لترميز بناء المجموعات. على سبيل المثال، ${x' s owner | x is a dog}$ هي مجموعة جميع مالكي الكلاب.

المجموعات الفرعية

إذا كان لدينا مجموعتان A و B ، فإن A تكون مجموعة جزئية من B إذا كان كل عنصر من عناصر A هو أيضاً عنصر من عناصر B. وبالتحديد، كل مجموعة B هي مجموعة جزئية من نفسها؛ وتُسمى المجموعة الجزئية من B التي لا تساوي B مجموعة جزئية فعلية .

إذا كانت A مجموعة جزئية من B ، فيمكن القول أيضًا أن B مجموعة شاملة لـ A ، أو أن A مُحتواة في B ، أو أن B تحتوي على A. في الرموز، $A \subseteq B$ تعني أن A مجموعة جزئية من B ، و $B \supseteq A$ تعني أن B مجموعة شاملة لـ A. يستخدم بعض المؤلفين الرمزين ⊂ و⊃ للمجموعات الجزئية، بينما يستخدم آخرون هذين الرمزين فقط للمجموعات الجزئية الفعلية . ولتوضيح المعنى، يمكن استخدام الرمزين ⊊ و⊋ صراحةً للدلالة على عدم التساوي.

كمثال توضيحي، لنفترض أن R هي مجموعة الأعداد الحقيقية، و Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة، و O هي مجموعة الأعداد الفردية، و P هي مجموعة رؤساء الولايات المتحدة الحاليين أو السابقين . عندئذٍ ، O هي مجموعة جزئية من Z ، وZ هي مجموعة جزئية من R ، وبالتالي O هي مجموعة جزئية من R ، حيث يمكن قراءة كلمة "مجموعة جزئية " في جميع الحالات على أنها "مجموعة جزئية فعلية" . ليست كل المجموعات قابلة للمقارنة بهذه الطريقة. على سبيل المثال، ليس صحيحًا أن R هي مجموعة جزئية من P، ولا أن P هي مجموعة جزئية من R.

يستنتج مباشرةً من تعريف تساوي المجموعات أعلاه أنه إذا أُعطيت مجموعتان A و B ، فإن $A = B$ إذا وفقط إذا كانت $A \subseteq B$ و $B \subseteq A.$ في الواقع، غالبًا ما يُقدّم هذا كتعريف للتساوي. عادةً، عند محاولة إثبات تساوي مجموعتين، يُراد إثبات هذين العنصرين المُحتوِلين. المجموعة الفارغة هي مجموعة جزئية من أي مجموعة (العبارة القائلة بأن جميع عناصر المجموعة الفارغة هي أيضًا عناصر في أي مجموعة A صحيحة بشكل بديهي ).

تُسمى مجموعة جميع المجموعات الجزئية لمجموعة معينة A مجموعة القوى لـ A ويُرمز لها بـ $2^{A}$ أو $P(A)$ ; يُكتب حرف " $P " أحيانًا بخط$ مزخرف : ⁠ $\wp (A)$ إذا كانت المجموعة A تحتوي على n عنصرًا، فإن $P(A)$ سوف يكون $2^{n}$ عناصر.

المجموعات العالمية والمكملات المطلقة

في سياقات معينة، يمكن اعتبار جميع المجموعات قيد الدراسة مجموعات جزئية من مجموعة شاملة معينة . على سبيل المثال، عند دراسة خصائص الأعداد الحقيقية R (والمجموعات الجزئية منها ) ، يمكن اعتبار R المجموعة الشاملة. لا تتضمن نظرية المجموعات القياسية مجموعة شاملة حقيقية (انظر المفارقات أدناه)، ولكنها تتضمنها بعض نظريات المجموعات غير القياسية.

بفرض وجود مجموعة شاملة U ومجموعة جزئية A من U ، فإن متممة A ( في U ) تُعرَّف على النحو التالي:

A C := {x \in U | x \notin A}

.

بمعنى آخر، A ^C ( المكمل لـ A ؛ وأحيانًا يُشار إليه ببساطة بـ A' أو " الأول لـ A ") هي مجموعة جميع عناصر U التي ليست عناصر في A. وبالتالي، مع تعريف R و Z و O كما في قسم المجموعات الجزئية، إذا كانت Z هي المجموعة الشاملة، فإن O ^C هي مجموعة الأعداد الزوجية، بينما إذا كانت R هي المجموعة الشاملة، فإن O ^C هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية التي إما أن تكون أعدادًا زوجية أو ليست أعدادًا صحيحة على الإطلاق.

الاتحادات والتقاطعات والمكملات النسبية

إذا كان لدينا مجموعتان A و B ، فإن اتحادهما هو المجموعة التي تتكون من جميع العناصر التي تنتمي إلى A أو إلى B أو إلى كليهما (انظر بديهية الاتحاد ). ويرمز له بـ $A \cup B.$

تقاطع A و B هو مجموعة جميع العناصر الموجودة في كل من A و B. ويرمز له بـ $A \cap B.$

وأخيرًا، فإن المتمم النسبي للمجموعة B بالنسبة للمجموعة A ، والمعروف أيضًا باسم الفرق النظري بين A و B ، هو مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى A ولكنها لا تنتمي إلى B. ويُكتب على النحو التالي : $A ∖ B$ أو $A - B.$

من الناحية الرمزية، هذه هي على التوالي

A \cup B := {x | (x \in A) \lor (x \in B)}

;

A \cap B := {x | (x \in A) \land (x \in B)} = {x \in A | x \in B} = {x \in B | x \in A}

;

A ∖ B := {x | (x \in A) \land \neg (x \in B) } = {x \in A | \neg (x \in B)}

.

لا يجب أن تكون المجموعة B مجموعة جزئية من A حتى يكون $A ∖ B$ منطقيًا؛ هذا هو الفرق بين المكمل النسبي والمكمل المطلق ( $A C = U ∖ A$ ) من القسم السابق.

لتوضيح هذه الأفكار، لنفترض أن A هي مجموعة الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليسرى، و B هي مجموعة الأشخاص ذوي الشعر الأشقر. عندئذٍ، $A \cap B$ هي مجموعة جميع الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليسرى والشعر الأشقر، بينما $A \cup B$ هي مجموعة جميع الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليسرى أو الشعر الأشقر أو كليهما. أما $A ∖ B$ ، فهي مجموعة جميع الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليسرى ولكن ليس لديهم شعر أشقر، بينما $B ∖ A$ هي مجموعة جميع الأشخاص ذوي الشعر الأشقر ولكنهم ليسوا يستخدمون اليد اليسرى.

لنفترض الآن أن E هي مجموعة جميع البشر، و F هي مجموعة جميع الكائنات الحية التي يزيد عمرها عن 1000 عام. ما هو $E \cap F$ في هذه الحالة؟ لا يوجد أي إنسان حي يزيد عمره عن 1000 عام ، لذا فإن $E \cap F$ يجب أن تكون المجموعة الفارغة {}.

لأي مجموعة A ، مجموعة القوى $P(A)$ هو جبر بولياني يخضع لعمليتي الاتحاد والتقاطع.

أزواج مُرتبة ومنتجات ديكارتية

بشكل بديهي، الزوج المرتب هو ببساطة مجموعة من عنصرين بحيث يمكن تمييز أحدهما كعنصر أول والآخر كعنصر ثان ، وله الخاصية الأساسية المتمثلة في أن الزوجين المرتبين متساويان إذا وفقط إذا كانت عناصرهما الأولى متساوية وعناصرهما الثانية متساوية.

بصورة رسمية، يمكن تعريف الزوج المرتب ذي الإحداثي الأول a والإحداثي الثاني b ، والذي يُرمز إليه عادةً بـ ( a , b )، على أنه المجموعة $\{\{a\},\{a,b\}\}.$

ويترتب على ذلك أن الزوجين المرتبين ( أ ، ب ) و ( ج ، د ) متساويان إذا وفقط إذا كان $أ = ج$ و $ب = د$ .

بدلاً من ذلك، يمكن اعتبار الزوج المرتب رسميًا مجموعة {أ، ب} بترتيب كلي .

( يُستخدم الرمز ( a , b ) أيضًا للدلالة على فترة مفتوحة على خط الأعداد الحقيقية ، ولكن يجب أن يوضح السياق المعنى المقصود. وإلا، فقد يُستخدم الرمز ] a , b [ للدلالة على الفترة المفتوحة بينما يُستخدم ( a , b ) للزوج المرتب).

إذا كانت A و B مجموعتين، فإن الضرب الديكارتي (أو ببساطة الضرب ) يُعرَّف على النحو التالي:

A \times B = {(a, b) | a \in A and b \in B}.

أي أن $A \times B$ هي مجموعة جميع الأزواج المرتبة التي يكون إحداثيها الأول عنصرًا من A وإحداثيها الثاني عنصرًا من B.

يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل مجموعة $A \times B \times C$ من الثلاثيات المرتبة، وبشكل أعم ليشمل مجموعات من n-tuples المرتبة لأي عدد صحيح موجب n . بل من الممكن تعريف حاصل الضرب الديكارتي اللانهائي ، لكن هذا يتطلب تعريفًا أكثر تعقيدًا لحاصل الضرب.

طُوِّرت الضربات الديكارتية لأول مرة على يد رينيه ديكارت في سياق الهندسة التحليلية . إذا رمزنا لمجموعة الأعداد الحقيقية $بـ$ R ، فإن $R²$ $:=$ $R$ $\times$ $R$ يمثل المستوى الإقليدي $،$ و $R³$ $:=$ $R$ $\times$ $R$ $\times$ $R$ يمثل الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد .

بعض المجموعات المهمة

توجد بعض المجموعات الشائعة التي يكون ترميزها شبه عالمي. بعض هذه المجموعات مذكورة أدناه. في القائمة، تشير a و b و c إلى الأعداد الطبيعية ، بينما r و s إلى الأعداد الحقيقية .

تُستخدم الأعداد الطبيعية في العد. ( حرف N كبير غامق على السبورة ) $\mathbb {N}$ ) غالباً ما يمثل هذه المجموعة.
تظهر الأعداد الصحيحة كحلول لـ x في معادلات مثل x + a = b . (حرف Z كبير غامق على السبورة ) $\mathbb {Z}$ ) غالباً ما يمثل هذه المجموعة (من الكلمة الألمانية Zahlen ، والتي تعني الأرقام ).
تظهر الأعداد النسبية كحلول لمعادلات مثل a + bx = c . (حرف Q كبير غامق على السبورة ) $\mathbb {Q}$ ) غالباً ما يمثل هذه المجموعة (بالنسبة للقسمة ، لأن R تستخدم لمجموعة الأعداد الحقيقية).
تظهر الأعداد الجبرية كحلول لمعادلات متعددة الحدود (ذات معاملات صحيحة) وقد تتضمن جذورًا (بما في ذلك $i={\sqrt {-1\,}}$ ) وبعض الأعداد غير النسبية الأخرى . حرف Q مع خط فوقه ( ${\overline {\mathbb {Q} }}$ غالباً ما يُمثل الرمز ) هذه المجموعة. يشير الخط العلوي إلى عملية الإغلاق الجبري .
تمثل الأعداد الحقيقية "خط الأعداد الحقيقية" وتشمل جميع الأعداد التي يمكن تقريبها بأعداد نسبية. قد تكون هذه الأعداد نسبية أو جبرية، ولكنها قد تكون أيضًا أعدادًا متسامية ، والتي لا يمكن أن تظهر كحلول لمعادلات متعددة الحدود ذات معاملات نسبية. (حرف R كبير غامق مكتوب على سبورة ) $\mathbb {R}$ ) غالباً ما يمثل هذه المجموعة.
الأعداد المركبة هي مجموع عدد حقيقي وعدد تخيلي: $r+s\,i$ هنا أو $r$ أو $s$ يمكن أن يكون (أو كلاهما) صفرًا؛ وبالتالي، فإن مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعة الأعداد التخيلية البحتة هما مجموعتان جزئيتان من مجموعة الأعداد المركبة، والتي تشكل إغلاقًا جبريًا لمجموعة الأعداد الحقيقية، مما يعني أن كل متعددة حدود ذات معاملات في $\mathbb {R}$ يحتوي على جذر واحد على الأقل في هذه المجموعة. حرف C كبير غامق على السبورة ( $\mathbb {C}$ ) غالباً ما يمثل هذه المجموعة. لاحظ أنه بما أن الرقم $r+s\,i$ يمكن تحديدها بنقطة $(r,s)$ في الطائرة، $\mathbb {C}$ هو في الأساس "نفس" الضرب الديكارتي $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ (متطابقة) بمعنى أن أي نقطة في أحدهما تحدد نقطة فريدة في الآخر، وبالنسبة لنتيجة العمليات الحسابية، لا يهم أي منهما يُستخدم في العملية الحسابية، طالما أن قاعدة الضرب مناسبة. $\mathbb {C}$ ).

المفارقات في نظرية المجموعات المبكرة

مبدأ التكوين غير المقيد للمجموعات، والذي يُشار إليه باسم مخطط البديهيات للفهم غير المقيد ،

إذا كانت

P

خاصية، فإنه يوجد مجموعة

Y = {x : P (x)}

، ^{[ 19 ]}

وهو مصدر العديد من المفارقات التي تظهر مبكراً:

$Y = {x | x هو عدد ترتيبي}$ أدى في عام 1897 إلى مفارقة بورالي فورتي ، وهي أول تناقض منشور .
$Y = {x | x عدد أصلي}$ أنتجت مفارقة كانتور في عام 1897.^{[ 9 ]}
$Y = {x | {} = {}}$ أدت إلى ظهور التناقض الثاني لكانتور في عام 1899.^{[ 11 ]} هنا الخاصية $P$ صحيحة لجميع $x$ ، مهماكانت قيمة $x ، لذا فإن$ $Y$ ستكون مجموعة شاملة ، تحتوي على كل شيء.
$Y = {x | x \notin x}$ ، أي مجموعة جميع المجموعات التي لا تحتوي على نفسها كعناصر ، أعطت مفارقة راسل في عام 1902.

إذا تم إضعاف مخطط البديهيات للفهم غير المقيد إلى مخطط البديهيات للتحديد أو مخطط البديهيات للفصل ،

إذا كانت

P

خاصية، فإنه لأي مجموعة

X

توجد مجموعة

Y = {x \in X : P (x)}

، ^{[ 19 ]}

عندئذٍ تختفي جميع المفارقات المذكورة أعلاه. ^{[ 19 ]} وهناك نتيجة منطقية. مع اعتبار مخطط بديهية الفصل بديهيةً للنظرية، فإنه يترتب على ذلك، كنظريةٍ للنظرية:

مجموعة جميع المجموعات غير موجودة.

أو، بصورة أكثر إثارة (بتعبير هالموس ^{[ 20 ]} ): لا يوجد كون . البرهان : لنفترض أنه موجود ولنسمه $U.$ الآن، نطبق مخطط بديهية الفصل مع $X = U،$ وبالنسبة لـ $P (x)،$ نستخدم $x \notin x$ . هذا يقودنا إلى مفارقة راسل مرة أخرى. وبالتالي، لا يمكن أن يوجد $U$ في هذه النظرية. ^{[ 19 ]}

يرتبط بتكوين المجموعة ما سبق ذكره

$Y = {x | (x \in x) \to {} \neq {}}$ ,

حيث أن العبارة التي تلي الاستلزام خاطئة قطعًا. ويترتب على ذلك، من تعريف $Y$ ، باستخدام قواعد الاستدلال المعتادة (وبعد بعض التفكير عند قراءة البرهان في المقالة المرفقة أدناه)، أن $Y \in Y \to {} \neq {}$ و $Y \in Y$ صحيحة، وبالتالي ${} \neq {}$ . هذه هي مفارقة كاري .

ربما يكون الأمر مفاجئًا، لكن المشكلة لا تكمن في إمكانية أن يكون $x \in x$ . بل تكمن في مخطط البديهيات الخاص بالفهم غير المقيد الذي يسمح بأن يكون $(x \in x) \to {} \neq {}$ لـ $P (x)$ . مع استخدام مخطط البديهيات الخاص بالتحديد بدلًا من الفهم غير المقيد، فإن النتيجة $Y \in Y$ لا تصح، وبالتالي فإن ${} \neq {}$ ليست نتيجة منطقية.

ومع ذلك، غالبًا ما تُزال إمكانية $x \in x صراحةً$ ^{[ 21 ]} أو ضمنيًا، كما في ZFC، ^{[ 22 ]} باشتراط تحقق بديهية الانتظام . ^{[ 22 ]} إحدى نتائج ذلك هي

لا توجد مجموعة

X

بحيث يكون

X \in X

،

أو بعبارة أخرى، لا توجد مجموعة هي عنصر من عناصر نفسها. ^{[ 23 ]}

إن مخطط بديهية الفصل ضعيف للغاية (بينما يُعدّ الفهم غير المقيد بديهية قوية جدًا - أقوى من اللازم لنظرية المجموعات) بحيث لا يُمكنه تطوير نظرية المجموعات بعملياتها وبنياتها المعتادة الموضحة أعلاه. ^{[ 19 ]} كما أن بديهية الانتظام ذات طبيعة تقييدية أيضًا. لذلك، يُضطر المرء إلى صياغة بديهيات أخرى لضمان وجود عدد كافٍ من المجموعات لتكوين نظرية مجموعات. وقد وُصفت بعض هذه البديهيات بشكل غير رسمي أعلاه، وهناك العديد من البديهيات الأخرى الممكنة. لا يُمكن دمج جميع البديهيات الممكنة بحرية في نظريات متسقة. على سبيل المثال، بديهية الاختيار في نظرية ZFC غير متوافقة مع البديهية الممكنة "كل مجموعة من الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ ". فالأولى تستلزم أن الثانية خاطئة.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ "أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض كلمات الرياضيات (S)" . 14 أبريل 2020.
^ هالموس 1960 ، نظرية المجموعة الساذجة .
↑ يكتب جيف ميلر أن نظرية المجموعات الساذجة (على عكس نظرية المجموعات البديهية) كانت تُستخدم أحيانًا في أربعينيات القرن العشرين، وأصبحت مصطلحًا راسخًا في خمسينيات القرن العشرين. وقد ورد ذلك في مراجعة هيرمان ويل لكتاب بي. إيه. شيلب (محرر) (1946). "فلسفة برتراند راسل". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 53 (4): 210،وفي مراجعة بقلم لازلو كالمر ( لازلو كالمر (1946). "مفارقة كلين وروسر". مجلة المنطق الرمزي . 11 (4): 136.^[ 1 ^] وقد شاع استخدام هذا المصطلح لاحقًا في كتاب من تأليف ^بول هالموس . ^[²^]
↑ ماك لين، سوندرز (1971)، "الجبر الفئوي والأسس النظرية للمجموعات"، نظرية المجموعات البديهية (وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد الثالث عشر، الجزء الأول، جامعة كاليفورنيا، لوس أنجلوس، كاليفورنيا، 1967) ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات، الصفحات 231-240 ، MR 0282791 "عادة ما كان علماء الرياضيات العاملون يفكرون من حيث نظرية مجموعة ساذجة (ربما واحدة مكافئة تقريبًا لـ ZF) ... يمكن أن يكون أحد المتطلبات العملية [لأي نظام تأسيسي جديد] هو أن هذا النظام يمكن استخدامه "ببساطة" من قبل علماء الرياضيات غير المتمرسين في البحث التأسيسي" ( ص 236 ).
↑ كانتور 1874 .
↑ "Gottlob Frege (Stanford Encyclopedia of Philosupide)" . plato.stanford.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 أغسطس 2025 .
↑ فريجه 1893 في المجلد 2، يينا 1903. الصفحات 253-261 يناقش فريجه الأنطولوجيا في الخاتمة.
^ بيانو 1889 البديهية 52. الفصل. IV تنتج التناقضات.
1 2 رسالة من كانتور إلى ديفيد هيلبرت في 26 سبتمبر 1897، ميشكوفسكي ونيلسون 1991 ص. 388.
↑ رسالة من كانتور إلى ريتشارد ديديكيند في 3 أغسطس 1899، ميشكوفسكي ونيلسون 1991 ص. 408.
1 2 رسائل من كانتور إلى ريتشارد ديديكيند في 3 أغسطس 1899 وفي 30 أغسطس 1899، زيرميلو 1932 ص 448 (نظام جميع المجموعات الممكنة) وميشكوفسكي ونيلسون 1991 ص 407. (لا توجد مجموعة من جميع المجموعات.)
↑ بتعبير أدق، لا يمكن إثبات جمل معينة (داخل النظام) التي يؤكد تفسيرها الطبيعي على اتساق النظرية نفسها.
↑ إف آر دريك، نظرية المجموعات: مقدمة إلى الأعداد الكبيرة (1974). ISBN 0 444 10535 2.
^ كانتور ، جورج (مارس 1895). مكتوب في هاله. "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" [ مساهمات في تأسيس نظرية الأعداد العابرة للحدود ] (PDF) . Mathematische Annalen (باللغة الألمانية). 46 (4). لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر (نشرت في ٧ نوفمبر ١٨٩٥). ص 481-512 (2-33). دوى : 10.1007/BF02124929 . ISSN 0025-5831 . او سي ال سي 10955667990 . S2CID 125716327 . GDZPPN00225557X . مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 2026-04-01 . تم الاسترجاع 2026/04/07 – عن طريق Göttinger Digitalisierungszentrum . ص. 481: Unter einer `Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die `Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.
^ جوردان، فيليب إي بي (1915) [الأصل مؤلف باللغة الألمانية، مارس ١٨٩٥. Mathematische Annalen، Band 46، Heft 4:1895]. "مساهمات في تأسيس نظرية الأعداد اللامتناهية" . Beiträge zur Begründung der Transfiniten Mengenlehre (PDF) . بقلم كانتور، جورج كتب في هالي. الرياضيات أنالن . المجلد. 46 (4). لندن، بريطانيا العظمى: شركة Open Court Publishing Company . ص 85-136 (101-152). إل سي سي إن 15019614 . او سي ال سي 817921 . ر ال 6580010 م . تم الاسترجاع بتاريخ 11/04/2026 . ص. ٨٥: يُقصد بكلمة " مجموعة " ( Menge ) أي تجميع في كلٍّ ( Zusammenfassung zu einem Ganzen ) M من أشياء محددة ومنفصلة m من حدسنا أو فكرنا. تُسمى هذه الأشياء " عناصر " M.
^ Baumann H، Burosch G، Dück W، Eilhauer R، Elster KH، Freier M، Gärtner KH، Körth H، Lang R، Otto C، Patzer H، Runge W، Sachs H، Schoch M، Strohe HG، Weiß M (1975). "Grundbegriffe der Mengenlehre" [ المفاهيم الأساسية لنظرية المجموعات ] . في Körth H، Otto C، Runge W، Schoch M، Adler W (eds.). Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften [ كتاب الرياضيات للاقتصاد ] (باللغة الألمانية) ( الطبعة الثالثة). برلين: VS Verlag für Sozialwissenschaften Wiesbaden . ثانية. Zusammenfassung; ص. 49 (2). دوى : 10.1007/978-3-322-87545-7 . رقم ISBN 978-3-531-11210-7. رأ 28281352 م . مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 2026-04-12 . تم الاسترجاع 2026-04-12 . ص. 49: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohluntersehiedener Objekte unserer Ansehauung oder unseres Denkens – welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen
↑ هالموس 1974 ، ص 9.
↑ هالموس 1974 ، ص 10.
1 2 3 4 5 Jech 2002 ، ص. 4.
↑ هالموس 1974 ، الفصل 2.
↑ هالموس 1974 ، انظر المناقشة حول مفارقة راسل.
1 2 Jech 2002 ، القسم 1.6.
↑ جيتش 2002 ، ص 61.

مراجع

بورباكي، ن. ، عناصر تاريخ الرياضيات ، جون ميلدروم (مترجم)، سبرينغر-فيرلاغ، برلين، ألمانيا، 1994.
كانتور، جورج (1874)، “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” ، J. Reine Angew. الرياضيات. ، 1874 (77): 258–262 ، دوى : 10.1515/crll.1874.77.258 ، S2CID 124035379 انظر أيضًا نسخة PDF. مؤرشفة بتاريخ 7 فبراير 2012 على موقع Wayback Machine.
ديفلين، كيه جيه ، متعة المجموعات: أساسيات نظرية المجموعات المعاصرة ، الطبعة الثانية، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، نيويورك، 1993.
فرابولي، ماريا ج. ، 1991، "هل نظرية المجموعات الكانتورية مفهوم تكراري للمجموعة؟". المنطق الحديث ، المجلد 1، العدد 4، 1991، 302-318.
فريج ، جوتلوب (1893)، Grundgesetze der Arithmetik ، المجلد. 1، جينا{{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
هالموس ، بول (1960). نظرية المجموعة الساذجة . برينستون، نيوجيرسي: شركة د. فان نوستراند.
- هالموس ، بول (1974). نظرية المجموعة الساذجة (طبع طبع ). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 0-387-90092-6.
- هالموس، بول (2011). نظرية المجموعات البسيطة ( طبعة ورقية). مانسفيلد سنتر، كونيتيكت: شركة دي. فان نوستراند. ISBN 978-1-61427-131-4.
جيتش، توماس (2002). نظرية المجموعات، طبعة الألفية الثالثة (منقحة وموسعة) . سبرينغر. ISBN 3-540-44085-2.
فان هيجينورت، ج. ، من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، مطبعة جامعة هارفارد، كامبريدج، ماساتشوستس، 1967. أعيد طبعه مع تصحيحات، 1977. ISBN 0-674-32449-8.
مشكوفسكي، هربرت [بالألمانية] ؛ نيلسون، وينفريد (1991)، جورج كانتور: موجز. تم تحريره من قبل المؤلفين. ، برلين: سبرينغر، ISBN 3-540-50621-7
بيانو، جوزيبي (1889)، مبادئ الحساب nova Methoda exposita ، تورينو{{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
زيرميلو ، إرنست (1932)، جورج كانتور: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem موجز Wechsel Cantor-Dedekind. تم تحريره من قبل المؤلف. ، برلين: سبرينغر

روابط خارجية

[1] "أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض كلمات الرياضيات (S)" . 14 أبريل 2020.

[FOOTNOTEHalmos1960''Naive_Set_Theory''-2] هالموس 1960 ، نظرية المجموعة الساذجة .

[3] يكتب جيف ميلر أن نظرية المجموعات الساذجة (على عكس نظرية المجموعات البديهية) كانت تُستخدم أحيانًا في أربعينيات القرن العشرين، وأصبحت مصطلحًا راسخًا في خمسينيات القرن العشرين. وقد ورد ذلك في مراجعة هيرمان ويل لكتاب بي. إيه. شيلب (محرر) (1946). "فلسفة برتراند راسل". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 53 (4): 210،وفي مراجعة بقلم لازلو كالمر ( لازلو كالمر (1946). "مفارقة كلين وروسر". مجلة المنطق الرمزي . 11 (4): 136.^[ 1 ^] وقد شاع استخدام هذا المصطلح لاحقًا في كتاب من تأليف ^بول هالموس . ^[²^]

[4] ماك لين، سوندرز (1971)، "الجبر الفئوي والأسس النظرية للمجموعات"، نظرية المجموعات البديهية (وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد الثالث عشر، الجزء الأول، جامعة كاليفورنيا، لوس أنجلوس، كاليفورنيا، 1967) ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات، الصفحات 231-240 ، MR 0282791 "عادة ما كان علماء الرياضيات العاملون يفكرون من حيث نظرية مجموعة ساذجة (ربما واحدة مكافئة تقريبًا لـ ZF) ... يمكن أن يكون أحد المتطلبات العملية [لأي نظام تأسيسي جديد] هو أن هذا النظام يمكن استخدامه "ببساطة" من قبل علماء الرياضيات غير المتمرسين في البحث التأسيسي" ( ص 236 ).

[FOOTNOTECantor1874-5] كانتور 1874 .

[6] "Gottlob Frege (Stanford Encyclopedia of Philosupide)" . plato.stanford.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 أغسطس 2025 .

[7] فريجه 1893 في المجلد 2، يينا 1903. الصفحات 253-261 يناقش فريجه الأنطولوجيا في الخاتمة.

[8] بيانو 1889 البديهية 52. الفصل. IV تنتج التناقضات.

[Letter_to_Hilbert-9] 1 2 رسالة من كانتور إلى ديفيد هيلبرت في 26 سبتمبر 1897، ميشكوفسكي ونيلسون 1991 ص. 388.

[10] رسالة من كانتور إلى ريتشارد ديديكيند في 3 أغسطس 1899، ميشكوفسكي ونيلسون 1991 ص. 408.

[Letters_to_Dedekind-11] 1 2 رسائل من كانتور إلى ريتشارد ديديكيند في 3 أغسطس 1899 وفي 30 أغسطس 1899، زيرميلو 1932 ص 448 (نظام جميع المجموعات الممكنة) وميشكوفسكي ونيلسون 1991 ص 407. (لا توجد مجموعة من جميع المجموعات.)

[12] بتعبير أدق، لا يمكن إثبات جمل معينة (داخل النظام) التي يؤكد تفسيرها الطبيعي على اتساق النظرية نفسها.

[13] إف آر دريك، نظرية المجموعات: مقدمة إلى الأعداد الكبيرة (1974). ISBN 0 444 10535 2.

[14] كانتور ، جورج (مارس 1895). مكتوب في هاله. "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" [ مساهمات في تأسيس نظرية الأعداد العابرة للحدود ] (PDF) . Mathematische Annalen (باللغة الألمانية). 46 (4). لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر (نشرت في ٧ نوفمبر ١٨٩٥). ص 481-512 (2-33). دوى : 10.1007/BF02124929 . ISSN 0025-5831 . او سي ال سي 10955667990 . S2CID 125716327 . GDZPPN00225557X . مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 2026-04-01 . تم الاسترجاع 2026/04/07 – عن طريق Göttinger Digitalisierungszentrum . ص. 481: Unter einer `Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die `Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.

[15] جوردان، فيليب إي بي (1915) [الأصل مؤلف باللغة الألمانية، مارس ١٨٩٥. Mathematische Annalen، Band 46، Heft 4:1895]. "مساهمات في تأسيس نظرية الأعداد اللامتناهية" . Beiträge zur Begründung der Transfiniten Mengenlehre (PDF) . بقلم كانتور، جورج كتب في هالي. الرياضيات أنالن . المجلد. 46 (4). لندن، بريطانيا العظمى: شركة Open Court Publishing Company . ص 85-136 (101-152). إل سي سي إن 15019614 . او سي ال سي 817921 . ر ال 6580010 م . تم الاسترجاع بتاريخ 11/04/2026 . ص. ٨٥: يُقصد بكلمة " مجموعة " ( Menge ) أي تجميع في كلٍّ ( Zusammenfassung zu einem Ganzen ) M من أشياء محددة ومنفصلة m من حدسنا أو فكرنا. تُسمى هذه الأشياء " عناصر " M.

[16] Baumann H، Burosch G، Dück W، Eilhauer R، Elster KH، Freier M، Gärtner KH، Körth H، Lang R، Otto C، Patzer H، Runge W، Sachs H، Schoch M، Strohe HG، Weiß M (1975). "Grundbegriffe der Mengenlehre" [ المفاهيم الأساسية لنظرية المجموعات ] . في Körth H، Otto C، Runge W، Schoch M، Adler W (eds.). Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften [ كتاب الرياضيات للاقتصاد ] (باللغة الألمانية) ( الطبعة الثالثة). برلين: VS Verlag für Sozialwissenschaften Wiesbaden . ثانية. Zusammenfassung; ص. 49 (2). دوى : 10.1007/978-3-322-87545-7 . رقم ISBN 978-3-531-11210-7. رأ 28281352 م . مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 2026-04-12 . تم الاسترجاع 2026-04-12 . ص. 49: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohluntersehiedener Objekte unserer Ansehauung oder unseres Denkens – welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen

[FOOTNOTEHalmos19749-17] هالموس 1974 ، ص 9.

[FOOTNOTEHalmos197410-18] هالموس 1974 ، ص 10.

[FOOTNOTEJech20024-19] 1 2 3 4 5 Jech 2002 ، ص. 4.

[FOOTNOTEHalmos1974Chapter_2-20] هالموس 1974 ، الفصل 2.

[FOOTNOTEHalmos1974See_discussion_around_Russell's_paradox-21] هالموس 1974 ، انظر المناقشة حول مفارقة راسل.

[FOOTNOTEJech2002Section_1.6-22] 1 2 Jech 2002 ، القسم 1.6.

[FOOTNOTEJech200261-23] جيتش 2002 ، ص 61.

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[

بول