متعدد السطوح الجيوديسي

يمكن استخدام المجسم العشري الوجوه والمجسمات متعددة الوجوه ذات التناظر المماثل لتعريف مجسم جيوديسي عالي عن طريق تقسيم الوجوه المثلثية إلى مثلثات أصغر وإسقاط جميع الرؤوس على كرة. ويمكن تقسيم الوجوه المضلعة ذات الرتبة الأعلى إلى مثلثات بإضافة رؤوس جديدة متمركزة على كل وجه. الوجوه الجديدة على الكرة ليست مثلثات متساوية الأضلاع ، ولكن أطوال أضلاعها متساوية تقريبًا. جميع الرؤوس من التكافؤ 6 باستثناء 12 رأسًا من التكافؤ 5.

المجسم الجيوديسي هو مجسم محدب مصنوع من مثلثات، ويقارب شكل الكرة. يتميز عادةً بتناظر عشريني الوجوه ، حيث يحتوي كل رأس على ستة مثلثات ، باستثناء الرؤوس الاثني عشر التي تحتوي على خمسة مثلثات. وهو المجسم الثنائي لمجسمات غولدبرغ المناظرة ، والتي تتميز جميعها، باستثناء أصغرها (وهو مجسم اثنا عشري الوجوه منتظم )، بوجوه سداسية في الغالب. يُعد بناء غولدبرغ-كوكسيتر توسيعًا للمفاهيم الأساسية للمجسمات الجيوديسية.

تُعدّ المجسمات الجيوديسية تقريبًا جيدًا للكرة لأغراضٍ عديدة، وتظهر في سياقاتٍ مختلفة. ولعلّ أشهرها القباب الجيوديسية ، وهي هياكل معمارية نصف كروية صمّمها باكمنستر فولر ، والتي سُمّيت المجسمات الجيوديسية نسبةً إليها. كما تتخذ الشبكات الجيوديسية المستخدمة في علم الجيوديسيا شكل المجسمات الجيوديسية. وتتخذ أغلفة بعض الفيروسات شكل المجسمات الجيوديسية، ^{[ 1 ] [ 2 ]} وتعتمد بعض حبوب اللقاح على المجسمات الجيوديسية. ^{[ 3 ]} أما جزيئات الفوليرين فتتخذ شكل مجسمات غولدبيرغ . وتتوفر المجسمات الجيوديسية كعناصر هندسية أساسية في برنامج Blender للنمذجة ثلاثية الأبعاد ، حيث تُسمى "المجسمات الكروية" : وهي بديلٌ للكرة فوق البنفسجية ، إذ تتميز بتوزيعٍ أكثر انتظامًا. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

يمكن إجراء التقسيمات الجيوديسية من خلال مجسم ذي اثني عشر وجهًا معززًا ، وتقسيم الأشكال الخماسية إلى مثلثات بنقطة مركزية، ثم التقسيم من تلك النقطة.

يمكن توسيع المجسمات الكيرالية ذات الأوجه المضلعة ذات الرتبة الأعلى بإضافة رؤوس متمركزة على كل وجه لتقسيمها إلى مثلثات. ثم يمكن تقسيم هذه المثلثات إلى مثلثات أصغر لتكوين مجسمات جيوديسية جديدة. جميع الرؤوس ذات تكافؤ 6 باستثناء الرؤوس الـ 12 المتمركزة على الرؤوس الأصلية، والتي لها تكافؤ 5.

تُنشأ المجسمات الجيوديسية بتقسيم أوجه مجسمات أبسط، ثم إسقاط الرؤوس الجديدة على سطح كرة. يتميز المجسم الجيوديسي بحواف مستقيمة وأوجه مسطحة تُقارب شكل المجسم الكروي المُنشأ من مثلثات جيوديسية .

في كتاب " النماذج الكروية " لماغنوس وينينغر ، تُعطى المجسمات متعددة الأوجه ترميزًا جيوديسيًا على الصورة {3, q +} _{b , c} ، حيث {3, q } هو رمز شلافلي للمجسم المنتظم ذي الأوجه المثلثية، و q عدد رؤوس التكافؤ . يشير الرمز + إلى زيادة تكافؤ الرؤوس. يمثل b و c وصفًا للتقسيم، بينما يمثل 1,0 الشكل الأساسي. توجد ثلاث فئات تناظر للمجسمات: {3,3+} _1,0 للهرم الرباعي ، و{3,4+} _1,0 للهرم الثماني ، و {3,5+} _1,0 للهرم العشرين .

يُرمز لمتعددات وجوه غولدبيرغ بالرمز { q +,3} _{b , c} ، حيث تكون الرؤوس ذات تكافؤ 3، والوجوه ذات q- ضلعية وسداسية. توجد ثلاث فئات تناظر للأشكال: {3+,3} _1,0 للهرم الرباعي ، و {4+,3} _1,0 للمكعب ، و {5+,3} _1,0 للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا .

يتم تقسيم قيم b و c إلى ثلاث فئات:

1. الفئة الأولى ( b = 0 أو c = 0 ): {3, q +} _{b ,0} أو {3, q +} _{0, b} تمثل تقسيمًا بسيطًا حيث يتم تقسيم الحواف الأصلية إلى b حواف فرعية.
2. الفئة الثانية ( ب = ج ): {3، ق +} _{ب ، ب} يسهل رؤيتها من متعدد السطوح المزدوج { ق ،3} مع أوجه q -gonal مقسمة أولاً إلى مثلثات بنقطة مركزية، ثم يتم تقسيم جميع الحواف إلى b حواف فرعية.
3. الفئة الثالثة : {3, _q + }، حيث _b و _c لهما قيم غير صفرية وغير متساوية ، وتوجد في أزواج كيرالية. عندما يكون b > c، يمكننا تعريفها على أنها صيغة يمينية، وعندما يكون c > b ، فهي صيغة يسارية.

لا تتطابق التقسيمات الفرعية في الفئة الثالثة هنا ببساطة مع الحواف الأصلية. يمكن استخراج الشبكات الفرعية من خلال النظر إلى تبليط مثلثي ، ووضع مثلث كبير فوق رؤوس الشبكة، ثم السير من رأس واحد b خطوة في اتجاه واحد، ثم الانعطاف، إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة، ثم الانعطاف c خطوة أخرى إلى الرأس الرئيسي التالي.

على سبيل المثال، يكون المجسم العشري الوجوه {3,5+} _1,0 ، والمجسم الخماسي الاثني عشري الوجوه { 3,5+} _1,1 يُنظر إليه على أنه مجسم خماسي الوجوه منتظم ذو أوجه خماسية مقسمة إلى 5 مثلثات.

يُطلق على الوجه الرئيسي للتقسيم اسم المثلث متعدد السطوح الرئيسي (PPT) أو بنية التفكيك . يسمح حساب مثلث متعدد السطوح رئيسي واحد بإنشاء الشكل بأكمله.

يُعرَّف تردد المجسم الجيوديسي بمجموع الترددين ν = b + c . والتردد التوافقي هو تردد فرعي، ويمكن أن يكون أي قاسم صحيح للتردد ν . تحتوي الفئة الثانية دائمًا على تردد توافقي يساوي 2، لأن ν = 2b .

عدد التثليث هو T = b 2 ⁺ bc + c 2. ^هذا العدد مضروبًا في عدد الأوجه الأصلية يعبر عن عدد المثلثات التي سيحتوي عليها المجسم متعدد السطوح الجديد.

كونواي	u 3 I = (kt)I	(ك)تي	ktI
صورة
استمارة	مجسم عشروني الوجوه مقسم إلى 3 ترددات	مجسم عشروني الوجوه مقطوع	متعدد السطوح الجيوديسي (3,0)

في هذه الحالة، {3,5+} _3,0 ، بتردد ν = 3 ورقم التثليث T = 9 ، كل نسخة من المضلع لها 92 رأسًا (80 حيث تلتقي ستة حواف، و12 حيث تلتقي خمسة)، و270 حافة و180 وجهًا.

يُحدد عدد العناصر بواسطة رقم التثليث T = b² + bc + c² . قد يكون لمجسمين جيوديسيين ^{مختلفين} نفس عدد العناصر، على سبيل المثال، {3,5+} ^5,3 _و { 3,5+} _7,0 كلاهما لهما T = 49 .

التناظر	عشروني الوجوه	ثماني الأوجه	رباعي الأوجه
قاعدة	عشروني الوجوه {3,5} = {3,5+} 1,0	ثماني السطوح {3،4} = {3،4+} 1،0	رباعي الأوجه {3,3} = {3,3+} 1,0
صورة
رمز	{3,5+} ب ، ج	{3,4+} ب ، ج	{3,3+} ب ، ج
الرؤوس	10 T + 2	4 T + 2	2 T + 2
وجوه	20 طن	8 طن	4 تيرابايت
الحواف	${\displaystyle 30T}$	${\displaystyle 12T}$	${\displaystyle 6T}$

المجسمات الجيوديسية هي المجسمات الثنائية لمجسمات غولدبيرغ . وترتبط مجسمات غولدبيرغ أيضًا بأن تطبيق عامل kis (تقسيم الأوجه إلى مثلثات بنقطة مركزية) يُنشئ مجسمات جيوديسية جديدة، كما أن اقتطاع رؤوس مجسم جيوديسي يُنشئ مجسم غولدبيرغ جديدًا. على سبيل المثال، يصبح مجسم غولدبيرغ G(2,1) بعد تطبيق عامل kis عليه {3,5+} _4,1 ، وباقتطاعه يصبح G(6,3) . وبالمثل، يصبح {3,5+} _2,1 بعد اقتطاعه G(4,1) ، ويصبح هذا الأخير بعد تطبيق عامل kis عليه {3,5+} _6,3 .

يستكشف كتاب ماغنوس وينينجر " النماذج الكروية" هذه التقسيمات الفرعية في بناء نماذج متعددة السطوح . بعد شرح بناء هذه النماذج، أوضح استخدامه للشبكات المثلثية لتحديد الأنماط، مع تلوين المثلثات أو استبعادها من النماذج. ^{[ 6 ]}

نموذج مثال

نموذج فني ابتكره الأب ماغنوس وينينجر يُسمى "النظام في الفوضى" ، يُمثل مجموعة فرعية حلزونية من المثلثات في كرة جيوديسية عشرينية الوجوه ذات 16 ترددًا ، {3,5+} 16,0

نسخة افتراضية تُظهر دوائر عظمى ذات تناظر عشريني الوجوه . التناظر الدوراني السداسي وهمي، ولا وجود له على المجسم العشري الوجوه نفسه.

مثلث عشروني الوجوه واحد ذو تقسيم ترددي 16

• تدوين كونواي متعدد السطوح – طريقة لوصف متعددات السطوح ذات الرتبة الأعلى 

• ويليامز، روبرت (1979). الأساس الهندسي للبنية الطبيعية: كتاب مرجعي للتصميم . الصفحات 142-144 ، الشكل 4-49، 50، 51. مجموعات من 12 كرة، 42 كرة، 92 كرة. 
• بو، أنتوني (1976). "الفصل السادس. المجسمات الجيوديسية لـ ر. بوكمينستر فولر والمجسمات ذات الصلة". المجسمات: مدخل بصري .
• وينينجر، ماغنوس (1979). النماذج الكروية . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-29432-4. MR 0552023 . مؤرشف من الأصل في 4 يوليو 2008.  أعيد طبعه بواسطة دار نشر دوفر (1999)، رقم ISBN 978-0-486-40921-4.
• بوبكو، إدوارد س. (2012). "الفصل 8. مخططات التقسيم الفرعي، 8.1 الترميز الجيوديسي، 8.2 رقم التثليث، 8.3 التردد والتوافقيات، 8.4 تناظر الشبكة، 8.5 الفئة الأولى: البدائل والمخاضات، 8.5.1 تعريف المثلث الرئيسي، 8.5.2 نقاط مرجعية للحواف". الكرات المقسمة: الجيوديسيات والتقسيم الفرعي المنظم للكرة .