مثلث

يحتوي كل مثلث على العديد من النقاط الخاصة داخله، أو على حوافه، أو المرتبطة به بطرق أخرى. تُنشأ هذه النقاط بإيجاد ثلاثة خطوط متناظرة مع الأضلاع الثلاثة (أو الرؤوس)، ثم إثبات أن هذه الخطوط الثلاثة تلتقي في نقطة واحدة. تُعد نظرية سيفا أداة مهمة لإثبات وجود هذه النقاط ، إذ تُقدم معيارًا لتحديد متى تتقاطع ثلاثة خطوط من هذا النوع . ^{[ 18 ]} وبالمثل، غالبًا ما تُنشأ الخطوط المرتبطة بالمثلث بإثبات أن ثلاث نقاط متناظرة تقع على استقامة واحدة ؛ وهنا تُقدم نظرية مينلاوس معيارًا عامًا مفيدًا. ^{[ 19 ]} في هذا القسم، سنشرح بعضًا من أكثر عمليات الإنشاء شيوعًا.

المنصف العمودي لضلع في مثلث هو خط مستقيم يمر بمنتصف الضلع ويكون عموديًا عليه، ويشكل زاوية قائمة معه. ^{[ 20 ]} تلتقي المنصفات العمودية الثلاثة في نقطة واحدة، وهي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ؛ وهذه النقطة هي مركز الدائرة المحيطة ، وهي الدائرة التي تمر برؤوس المثلث الثلاثة. ^{[ 21 ]} تنص نظرية طاليس على أنه إذا كان مركز الدائرة المحيطة يقع على ضلع المثلث، فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة. ^{[ 22 ]} إذا كان مركز الدائرة المحيطة يقع داخل المثلث، فإن المثلث حاد الزوايا؛ وإذا كان يقع خارجه، فإن المثلث منفرج الزوايا. ^{[ 23 ]}

نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة هي مركز الدائرة المحيطة .

نقطة تقاطع منصفات الزوايا هي مركز الدائرة الداخلية.

نقطة تقاطع الوسيطين هي مركز الثقل

نقطة تقاطع الارتفاعات هي مركز التعامد.

ارتفاع المثلث هو خط مستقيم يمر برأس المثلث ويكون عموديًا على الضلع المقابل. يُسمى هذا الضلع المقابل قاعدة الارتفاع، وتُسمى نقطة تقاطع الارتفاع مع القاعدة (أو امتدادها) مِقدمة الارتفاع. [ ^{24 ] طول} الارتفاع هو المسافة بين القاعدة والرأس. تتقاطع الارتفاعات الثلاثة في نقطة واحدة تُسمى مركز تعامد المثلث. ^{[ 25 ]} يقع مركز التعامد داخل المثلث إذا وفقط إذا كان المثلث حاد الزوايا. ^{[ 26 ]}

تُظهر دائرة النقاط التسع تناظرًا حيث تقع ست نقاط على حافة المثلث. خط أويلر هو خط مستقيم يمر عبر مركز التعامد (الأزرق)، ومركز دائرة النقاط التسع (الأحمر)، ومركز الثقل (البرتقالي)، ومركز الدائرة المحيطة (الأخضر).

منصف زاوية المثلث هو خط مستقيم يمر برأس ويقسم الزاوية المقابلة إلى نصفين. تتقاطع منصفات الزوايا الثلاث في نقطة واحدة، هي مركز الدائرة الداخلية (incenter) ، وهي مركز الدائرة الداخلية للمثلث . الدائرة الداخلية هي أكبر دائرة تقع داخل المثلث، وتلامس أضلاعه الثلاثة. يُسمى نصف قطرها نصف قطر الدائرة الداخلية. توجد ثلاث دوائر أخرى مهمة، هي الدوائر الخارجية (excircles) ؛ تقع خارج المثلث وتلامس أحد أضلاعه، بالإضافة إلى امتدادات الضلعين الآخرين. تشكل مراكز الدوائر الداخلية والخارجية نظامًا متعامدًا . ^{[ 27 ]} تقع منتصفات الأضلاع الثلاثة وقواعد الارتفاعات الثلاثة على دائرة واحدة، هي دائرة النقاط التسع للمثلث . ^{[ 28 ]} النقاط الثلاث المتبقية التي سُميت الدائرة نسبةً إليها هي منتصفات جزء الارتفاع الواقع بين الرؤوس ومركز التعامد . نصف قطر دائرة النقاط التسع يساوي نصف نصف قطر الدائرة المحيطة. تلامس الدائرة الداخلية (عند نقطة فيورباخ ) والدوائر الخارجية الثلاث . يقع مركز التعامد (النقطة الزرقاء)، ومركز الدائرة التساعية (النقطة الحمراء)، ومركز الثقل (النقطة البرتقالية)، ومركز الدائرة المحيطة (النقطة الخضراء) جميعها على خط واحد يُعرف بخط أويلر (الخط الأحمر). يقع مركز الدائرة التساعية في منتصف المسافة بين مركز التعامد ومركز الدائرة المحيطة، والمسافة بين مركز الثقل ومركز الدائرة المحيطة تساوي نصف المسافة بين مركز الثقل ومركز التعامد. ^{[ 28 ]} عمومًا، لا يقع مركز الدائرة الداخلية على خط أويلر. ^{[ 29 ] [ 30 ]}

متوسط ​​المثلث هو خط مستقيم يمر برأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل، ويقسم المثلث إلى قسمين متساويين. تتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة واحدة، هي مركز المثلث أو مركز ثقله الهندسي. مركز جسم مثلثي صلب (مقطوع من صفيحة رقيقة ذات كثافة منتظمة) هو أيضًا مركز كتلته : يمكن موازنة الجسم على مركزه في مجال جاذبية منتظم. ^{[ 31 ]} يقطع المركز كل متوسط ​​بنسبة 2:1، أي أن المسافة بين الرأس والمركز تساوي ضعف المسافة بين المركز ومنتصف الضلع المقابل. إذا عُكس متوسط ​​حول منصف الزاوية المار بالرأس نفسه، نحصل على متوسط ​​متناظر . تتقاطع المتوسطات المتناظرة الثلاثة في نقطة واحدة، هي نقطة المتوسط ​​المتناظر للمثلث. ^{[ 32 ]}

مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث في الفضاء الإقليدي يساوي دائمًا 180 درجة. ^{[ 33 ]} هذه الحقيقة تُكافئ مسلمة التوازي لإقليدس . وهذا يسمح بتحديد قياس الزاوية الثالثة لأي مثلث، بمعرفة قياس زاويتين. ^{[ 34 ]} الزاوية الخارجية للمثلث هي زاوية تُكمل زاوية داخلية على خط مستقيم . قياس الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين غير المتجاورتين لها؛ وهذه هي نظرية الزاوية الخارجية . ^{[ 35 ]} مجموع قياسات الزوايا الخارجية الثلاث (زاوية لكل رأس) لأي مثلث يساوي 360 درجة، وهذا صحيح بالفعل لأي مضلع محدب، بغض النظر عن عدد أضلاعه. ^{[ 36 ]}

تُنشئ علاقة أخرى بين الزوايا الداخلية والمثلثات مفهومًا جديدًا للدوال المثلثية . الدوال المثلثية الأساسية هي الجيب وجيب التمام ، بالإضافة إلى دوال أخرى. ويمكن تعريفها بأنها النسبة بين أي ضلعين في مثلث قائم الزاوية . ^{[ 37 ]} في المثلث المختلف الأضلاع، يمكن استخدام الدوال المثلثية لإيجاد قياس مجهول إما لضلع أو زاوية داخلية؛ وتعتمد طرق القيام بذلك على قانون الجيب وقانون جيب التمام . ^{[ 38 ]}

أي ثلاث زوايا مجموعها 180° يمكن أن تكون زوايا داخلية لمثلث. يوجد عدد لا نهائي من المثلثات التي لها نفس الزوايا، لأن تحديد زوايا المثلث لا يحدد حجمه. المثلث المنحط ، الذي تقع رؤوسه على استقامة واحدة ، له زوايا داخلية قياسها 0° و180°؛ ومسألة اعتبار هذا الشكل مثلثًا من عدمها مسألة اصطلاحية. ^{[ 39 ] [ 40 ]} شروط الزوايا الثلاث${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$، و${\displaystyle \gamma }$يمكن أيضًا التعبير عن زوايا المثلث، التي تتراوح قياساتها بين 0° و180°، باستخدام الدوال المثلثية. على سبيل المثال، مثلث ذو زوايا${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$، و${\displaystyle \gamma }$موجود إذا وفقط إذا ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1.}$$

يُقال إن مثلثين متشابهان إذا كانت كل زاوية في أحدهما لها نفس قياس الزاوية المقابلة لها في الآخر. كما أن أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة متناسبة، وهذه الخاصية كافية أيضاً لإثبات التشابه. ^{[ 42 ]}

بعض النظريات الأساسية حول المثلثات المتشابهة هي:

• إذا وفقط إذا كان لزوج من الزوايا الداخلية في مثلثين نفس القياس، وكان لزوج آخر نفس القياس أيضاً، فإن المثلثين متشابهان. ^{[ 43 ]}
• إذا وفقط إذا كان زوج من الأضلاع المتناظرة في مثلثين متناسبين بنفس النسبة مع زوج آخر من الأضلاع المتناظرة، وكانت الزوايا المحصورة بينهما متساوية في القياس، فإن المثلثين متشابهان. ^{[ 44 ]} ( الزاوية المحصورة بين أي ضلعين في مضلع هي الزاوية الداخلية بين هذين الضلعين).
• إذا وفقط إذا كانت ثلاثة أزواج من الأضلاع المتناظرة في مثلثين متناسبة بنفس النسبة، فإن المثلثين متشابهان. ^{[ ب ]}

المثلثان المتطابقان لهما نفس الحجم والشكل تمامًا. جميع أزواج المثلثات المتطابقة متشابهة أيضًا، ولكن ليس كل أزواج المثلثات المتشابهة متطابقة. عند وجود مثلثين متطابقين، تكون جميع أزواج الزوايا الداخلية المتناظرة متساوية في القياس، وجميع أزواج الأضلاع المتناظرة متساوية في الطول. هذا يعني ست مساواة، ولكن غالبًا ما تكفي ثلاث منها لإثبات التطابق. ^{[ 45 ]}

بعض الشروط الضرورية والكافية بشكل فردي لكي يكون زوج من المثلثات متطابقًا هي: ^{[ 46 ]}

• مسلمة SAS: ضلعان في مثلث لهما نفس طول ضلعين في مثلث آخر، والزوايا المحصورة بينهما لها نفس القياس.
• ASA: زاويتان داخليتان والضلع المحصور بينهما في مثلث لهما نفس القياس والطول، على التوالي، كما هو الحال في المثلث الآخر. (هذا هو أساس المسح بالتثليث ).
• SSS: كل ضلع من أضلاع المثلث له نفس طول الضلع المقابل له في المثلث الآخر.
• AAS: زاويتان وضلع متناظر (غير محصور بينهما) في مثلث لهما نفس القياس والطول، على التوالي، كما في المثلث الآخر. (يُشار إلى هذا أحيانًا بـ AAcorrS ، ويشمل ذلك ASA المذكور أعلاه).

في المستوى الإقليدي، تُعرَّف المساحة بالمقارنة مع مربع طول ضلعه ⁠${\displaystyle 1}$، والتي مساحتها 1. هناك عدة طرق لحساب مساحة أي مثلث. إحدى أقدم وأبسط هذه الطرق هي أخذ نصف حاصل ضرب طول أحد أضلاعه .${\displaystyle b}$( القاعدة) مضروبة في الارتفاع المقابل${\displaystyle h}$⁠ : ^{[ 47 ]}$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh.}$$

يمكن إثبات هذه الصيغة بتقطيع المثلث ونسخة مطابقة له إلى أجزاء وإعادة ترتيب هذه الأجزاء على شكل مستطيل قاعدته ⁠${\displaystyle b}$والطول​​${\displaystyle h}$⁠ .

إذا كان هناك جانبان${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$والزاوية المحصورة بينهما${\displaystyle \gamma }$إذا كانت هذه المعطيات معروفة، فيمكن حساب الارتفاع باستخدام حساب المثلثات .${\displaystyle h=a\sin(\gamma )}$إذن ، مساحة المثلث هي: $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$$

صيغة هيرون ، التي سميت على اسم هيرون الإسكندري ، هي صيغة لإيجاد مساحة المثلث من أطوال أضلاعه${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$،${\displaystyle c}$تأجير${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ليكن نصف المحيط ، ^{[ 48 ]}$${\displaystyle T={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}.}$$

بما أن التحويلات الأفينية تحافظ على نسب مساحات الأشكال في المستوى نفسه ، فإنه يمكن تحديد المساحات النسبية للمثلثات في أي مستوى أفيني دون الرجوع إلى مفهوم المسافة أو المربعات. في أي فضاء أفيني (بما في ذلك المستويات الإقليدية)، يقع رأس كل مثلث له نفس القاعدة والمساحة الموجهة (الرأس الثالث) على خط موازٍ للقاعدة، ومساحتهما المشتركة تساوي نصف مساحة متوازي أضلاع له نفس القاعدة ويقع ضلعه المقابل على الخط الموازي. وقد طُوِّر هذا النهج الأفيني في الكتاب الأول من كتاب الأصول لإقليدس . ^{[ 49 ]}

بالنظر إلى الإحداثيات الأفينية ( مثل الإحداثيات الديكارتية )${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$،​​${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$،​​${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$بالنسبة لرؤوس المثلث، يمكن حساب مساحته النسبية الموجهة باستخدام صيغة رباط الحذاء .

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}\\y_{A}&y_{B}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{C}&x_{A}\\y_{C}&y_{A}\end{vmatrix}}\\&={\tfrac {1}{2}}(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}+x_{C}y_{A}-x_{A}y_{C}),\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle |\cdot |}$هو محدد المصفوفة . ^{[ 50 ]}

تنص متباينة المثلث على أن مجموع طولي أي ضلعين في مثلث يجب أن يكون أكبر من أو يساوي طول الضلع الثالث. ^{[ 51 ]} وبالعكس، يوجد مثلث بثلاثة أطوال أضلاع موجبة معطاة إذا وفقط إذا كانت أطوال تلك الأضلاع تحقق متباينة المثلث. ^{[ 52 ]} لا يمكن أن يساوي مجموع طولي ضلعين طول الضلع الثالث إلا في حالة المثلث المنحط ، أي المثلث الذي تقع رؤوسه على استقامة واحدة.

على عكس المستطيل، الذي قد يتحول إلى متوازي أضلاع بفعل الضغط الواقع على إحدى زواياه، ^{[ 53 ]} فإن المثلثات متينة لأن تحديد أطوال أضلاعها الثلاثة يحدد زواياها. ^{[ 54 ]} لذلك، لا يتغير شكل المثلث إلا إذا انحنت أضلاعه أو امتدت أو انكسرت، أو إذا انكسرت وصلاته؛ ففي جوهر الأمر، يدعم كل ضلع من الأضلاع الثلاثة الضلعين الآخرين. أما المستطيل، فيعتمد بشكل أكبر على قوة وصلاته من الناحية الإنشائية. ولهذا السبب، غالبًا ما تُبنى الأشكال الرباعية الإنشائية بوصلة قطرية لتقسيمها إلى مثلثين صلبين.

من الناحية الرياضية، تعتبر المثلثات صلبة بمعنى أنه لا يوجد سوى مثلث واحد ممكن من بين مجموعة من أطوال الأضلاع الثلاثة ، أي لا يمكن تعديل الزوايا.

تتميز المثلثات بقوتها من حيث الصلابة، ولكن عند ترتيبها بشكل متداخل، لا تكون بنفس قوة السداسيات تحت الضغط (ومن هنا شيوع الأشكال السداسية في الطبيعة ). ومع ذلك، لا تزال المثلثات المتداخلة تحتفظ بقوة فائقة في حالة الرفع ، ولهذا السبب تستخدم الهندسة الجمالونات رباعية الأوجه .

التثليث هو تقسيم أي شكل مستوٍ إلى مجموعة من المثلثات. على سبيل المثال، في تثليث المضلعات ، يُقسّم المضلع إلى عدة مثلثات متصلة من حافة إلى حافة، بحيث تتطابق رؤوسها مع مجموعة رؤوس المضلع. ^{[ 55 ]} في حالة المضلع البسيط ذي${\displaystyle n}$هناك جوانب${\displaystyle n-2}$المثلثات التي تفصل بينها${\displaystyle n-3}$الأقطار. يرتبط تثليث المضلع البسيط بالأذن ، وهي رأس متصل برأسين آخرين، ويقع القطر بينهما بالكامل داخل المضلع. تنص نظرية الأذنين على أن كل مضلع بسيط ليس مثلثًا في حد ذاته له أذنان على الأقل. ^{[ 56 ]}

كما ذُكر سابقًا، لكل مثلث دائرة داخلية فريدة (دائرة داخلية) تقع داخل المثلث وتمس أضلاعه الثلاثة. ولكل مثلث أيضًا قطع ناقص داخلي فريد (قطع ناقص شتاينر) يقع داخل المثلث ويمس أضلاعه عند منتصفاتها. تُبين نظرية ماردن كيفية إيجاد بؤرتي هذا القطع الناقص . ^{[ 59 ]} يتميز هذا القطع الناقص بأكبر مساحة بين جميع القطع الناقص المماسية لأضلاع المثلث الثلاثة. أما القطع الناقص الداخلي لماندارت للمثلث فهو القطع الناقص المرسوم داخل المثلث والمماس لأضلاعه عند نقاط تماس دوائره الخارجية. بالنسبة لأي قطع ناقص مرسوم داخل مثلث،${\displaystyle ABC}$، فلتكن البؤر${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$ثم: ^{[ 60 ]}$${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

مثلث الدواسة ومثلث جيرجون

انطلاقًا من نقطة داخلية في مثلث مرجعي، تُشكّل أقرب النقاط على أضلاعه الثلاثة رؤوس المثلث القاعدي لتلك النقطة. إذا كانت النقطة الداخلية هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث المرجعي، فإن رؤوس المثلث القاعدي هي منتصفات أضلاع المثلث المرجعي، ولذا يُسمى المثلث القاعدي مثلث المنتصف أو المثلث المتوسط. يقسم مثلث المنتصف المثلث المرجعي إلى أربعة مثلثات متطابقة تُشابه المثلث المرجعي. ^{[ 61 ]}

المثلث الداخلي لمثلث مرجعي رؤوسه عند نقاط التماس الثلاث بين أضلاع المثلث المرجعي ودائرته الداخلية. ^{[ 62 ]} أما المثلث الخارجي لمثلث مرجعي رؤوسه عند نقاط التماس بين دوائره الخارجية وأضلاعه (غير الممتدة). ^{[ 63 ]}

المربعات الداخلية التي تمس رؤوسها أضلاع المثلث هي حالة خاصة من مسألة المربع الداخلي ، على الرغم من أن المسألة تطلب إيجاد مربع تقع رؤوسه على منحنى مغلق بسيط . ومن الأمثلة البارزة على هذه العلاقة الشكلية مثلث كالابي ، حيث تمس رؤوس كل ثلاثة مربعات جميع أضلاع المثلث المنفرج الزاوية. يحتوي كل مثلث حاد الزوايا على ثلاثة مربعات داخلية (مربعات داخله بحيث تقع جميع رؤوس المربع الأربعة على ضلع واحد من المثلث، وبالتالي يقع اثنان منها على نفس الضلع، ومن ثم يتطابق أحد أضلاع المربع مع جزء من ضلع المثلث). في المثلث القائم الزاوية، يتطابق مربعان داخليان ولهما رأس عند الزاوية القائمة للمثلث، لذا فإن المثلث القائم الزاوية يحتوي على مربعين داخليين مختلفين فقط . أما المثلث المنفرج الزاوية فيحتوي على مربع داخلي واحد فقط، ويتطابق أحد أضلاعه مع جزء من أطول ضلع في المثلث. ضمن أي مثلث، يرتبط الضلع المشترك الأطول بمربع داخلي أصغر. إذا كان للمربع المرسوم طول ضلع${\displaystyle q_{a}}$والمثلث له ضلع طوله${\displaystyle a}$، حيث يتطابق جزء من أحد أضلاعه مع ضلع من أضلاع المربع، ثم${\displaystyle q_{a}}$،${\displaystyle a}$،${\displaystyle h_{a}}$من الجانب${\displaystyle a}$ومساحة المثلث${\displaystyle T}$ترتبط وفقًا لـ ^{[ 64 ]}$${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$$أكبر نسبة ممكنة لمساحة المربع المرسوم داخل المثلث هي 1/2، والتي تحدث عندما${\displaystyle a^{2}=2T}$،${\displaystyle q=a/2}$وارتفاع المثلث من قاعدته هو طول${\displaystyle a}$يساوي${\displaystyle a}$أصغر نسبة ممكنة بين طول ضلع مربع مرسوم داخل مثلث غير منفرج الزاوية هي${\displaystyle 2{\sqrt {2}}/3}$[ ^{65 ]} تحدث كلتا الحالتين المتطرفتين بالنسبة للمثلث القائم الزاوية متساوي الساقين ^.

سداسي ليموين هو سداسي دائري رؤوسه ناتجة عن تقاطع أضلاع مثلث مع ثلاثة خطوط موازية لهذه الأضلاع وتمر بنقطة التناظر المتوسط . سواء في صورته البسيطة أو صورته المتقاطعة ذاتيًا ، يقع سداسي ليموين داخل المثلث، وله رأسان على كل ضلع من أضلاعه.

كل مضلع محدب مساحته${\displaystyle T}$يمكن رسمها داخل مثلث مساحته لا تتجاوز 10 ...${\displaystyle 2T}$لا تتحقق المساواة إلا إذا كان المضلع متوازي أضلاع . ^{[ 66 ]}

الدائرة المحيطة المماسية للمثلث والقطع الناقص المحيطي لستاينر

المثلث المماسي لمثلث مرجعي (بخلاف المثلث القائم الزاوية) هو المثلث الذي تقع أضلاعه على الخطوط المماسية للدائرة المحيطة بالمثلث المرجعي عند رؤوسه. ^{[ 67 ]}

كما ذُكر سابقًا، لكل مثلث دائرة محيطة فريدة، وهي دائرة تمر برؤوس المثلث الثلاثة، ومركزها نقطة تقاطع المنصفات العمودية لأضلاع المثلث. علاوة على ذلك، لكل مثلث قطع ناقص محيط فريد من نوعه (قطع ناقص شتاينر) ، يمر برؤوس المثلث ومركزه مركز ثقل المثلث. ومن بين جميع القطوع الناقصة التي تمر برؤوس المثلث، يتميز هذا القطع الناقص بأصغر مساحة. ^{[ 68 ]}

يُعد القطع الزائد لكيبرت قطعًا مخروطيًا فريدًا يمر عبر رؤوس المثلث الثلاثة ومركزه ومركز الدائرة المحيطة به. ^{[ 69 ]}

من بين جميع المثلثات الموجودة في مضلع محدب معين ، يمكن إيجاد مثلث ذي مساحة قصوى في وقت خطي؛ ويمكن اختيار رؤوسه على أنها ثلاثة من رؤوس المضلع المعطى. ^{[ 70 ]}

المثلث الدائري هو مثلث ذو حواف دائرية . قد تكون حواف المثلث الدائري محدبة (منحنية للخارج) أو مقعرة (منحنية للداخل). ^{[ ج ]} يتشكل مثلث دائري ذو حواف محدبة من تقاطع ثلاثة أقراص . ومن أمثلة المثلث الدائري ذي الحواف المحدبة مثلث رولو ، الذي يمكن إنشاؤه بتقاطع ثلاث دوائر متساوية الحجم. يمكن إنشاء هذا المثلث باستخدام الفرجار فقط دون الحاجة إلى مسطرة، وذلك وفقًا لنظرية مور-ماسكيروني . أو يمكن إنشاؤه بتقريب أضلاع مثلث متساوي الأضلاع. ^{[ 71 ]}

يمكن ملاحظة حالة خاصة من المثلث الدائري المقعر في المثلث الزائف . ^{[ 72 ]} المثلث الزائف هو مجموعة فرعية بسيطة الاتصال من المستوى تقع بين ثلاث مناطق محدبة متماسّة. هذه الأضلاع عبارة عن ثلاثة خطوط منحنية ملساء تصل بين نقاط نهايتها، وتُسمى هذه النقاط بنقاط التحدب . يمكن تقسيم أي مثلث زائف إلى العديد من المثلثات الزائفة بحدود من أقراص محدبة وخطوط ثنائية التماس ، وهي عملية تُعرف باسم التثليث الزائف.${\displaystyle n}$الأقراص في مثلث زائف، التقسيم يعطي${\displaystyle 2n-2}$المثلثات الزائفة و${\displaystyle 3n-3}$الخطوط المماسّة مرتين. ^{[ 73 ]} الغلاف المحدب لأي مثلث زائف هو مثلث. ^{[ 74 ]}

المثلث الزائدي والمثلث الكروي

المثلث غير المستوي هو مثلث غير مغمور في فضاء إقليدي ، أي فضاء مسطح تقريبًا. وهذا يعني أنه يمكن أيضًا إيجاد المثلثات في عدة فضاءات، كما هو الحال في الفضاء الزائدي والهندسة الكروية . يُسمى المثلث في الفضاء الزائدي مثلثًا زائديًا ، ويمكن الحصول عليه برسمه على سطح ذي انحناء سالب، مثل سطح سرجي . وبالمثل، يُسمى المثلث في الهندسة الكروية مثلثًا كرويًا ، ويمكن الحصول عليه برسمه على سطح ذي انحناء موجب، مثل كرة . ^{[ 75 ]}

للمثلثات في كلا الفضاءين خصائص مختلفة عن المثلثات في الفضاء الإقليدي. على سبيل المثال، كما ذُكر سابقًا، فإن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث في الفضاء الإقليدي يساوي دائمًا 180 درجة. مع ذلك، فإن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث الزائدي أقل من 180 درجة، بينما يكون أكبر من 180 درجة لأي مثلث كروي. ^{[ 75 ]} على وجه الخصوص، من الممكن رسم مثلث على كرة بحيث يكون قياس كل زاوية من زواياه الداخلية 90 درجة، ليصبح المجموع الكلي 270 درجة. وبحسب نظرية جيرارد ، فإن مجموع زوايا المثلث على الكرة يساوي 180 درجة.${\displaystyle 180^{\circ }\times (1+4f)}$، أين${\displaystyle f}$يمثل هذا الجزء من مساحة الكرة المحصورة داخل المثلث. ^{[ 76 ] [ 77 ]}

في الفضاءات الأكثر عمومية، توجد نظريات مقارنة تربط خصائص مثلث في الفضاء بخصائص مثلث مماثل في فضاء نموذجي كالفضاء الزائدي أو الإهليلجي. ^{[ 78 ]} على سبيل المثال، يتميز فضاء CAT(k) بهذه المقارنات. ^{[ 79 ]}

تشمل الأشكال الكسورية القائمة على المثلثات شكل سيربينسكي وشكل ندفة الثلج لكوخ . ^{[ 80 ]}