علم التماثل إيتال

في الرياضيات ، تُعدّ مجموعات التماثل الإيتالية لمتنوّع أو مخطط جبري نظائر جبرية لمجموعات التماثل المعتادة ذات المعاملات المحدودة في الفضاء الطوبولوجي ، والتي قدّمها غروتينديك لإثبات حدسيات ويل . يمكن استخدام نظرية التماثل الإيتالية لبناء التماثل ℓ-adic ، وهو مثال على نظرية تماثل ويل في الهندسة الجبرية . ولهذا تطبيقات عديدة، مثل إثبات حدسيات ويل وبناء تمثيلات للمجموعات المحدودة من نوع لي .

تاريخ

طُوِّرت نظرية التماثل الإيتالي على يد ألكسندر غروتينديك ( 1960 ) ، مستعينًا ببعض اقتراحات جان بيير سير ، وكان الدافع وراءها محاولة بناء نظرية تماثل ويل لإثبات حدسيات ويل . وسرعان ما وضع غروتينديك أسسها بالتعاون مع مايكل أرتين ، ونُشرت في ( أرتين 1962 ) و SGA 4. استخدم غروتينديك نظرية التماثل الإيتالي لإثبات بعض حدسيات ويل ( كان برنارد دورك قد تمكن بالفعل من إثبات جزء العقلانية من الحدسيات عام 1960 باستخدام طرق p-adic )، أما الحدسية المتبقية، وهي نظير فرضية ريمان ، فقد أثبتها بيير ديلين (1974) باستخدام نظرية التماثل ℓ-adic.

وُجد اتصال إضافي بالنظرية الكلاسيكية في شكل نسخة غروتينديك من زمرة براور ؛ وقد طُبقت هذه النسخة سريعًا على الهندسة الديوفانتية بواسطة يوري مانين . وكان من أهم متطلبات النظرية العامة ونجاحها دمج كل هذه المعلومات، وإثبات نتائج عامة مثل ازدواجية بوانكاريه ونظرية ليفشيتز للنقطة الثابتة في هذا السياق.

طوّر غروتينديك في الأصل علم التماثل الإيتالي في إطار عام للغاية، مستخدمًا مفاهيم مثل طوبولوجيات غروتينديك وعوالم غروتينديك . وبالنظر إلى الماضي، تبيّن أن الكثير من هذه الآليات غير ضروري لمعظم التطبيقات العملية لنظرية الإيتالي، وقدّم ديلين (1977) شرحًا مبسطًا لنظرية التماثل الإيتالي. وقد أدى استخدام غروتينديك لهذه العوالم (التي لا يمكن إثبات وجودها في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ) إلى بعض التكهنات بأن علم التماثل الإيتالي وتطبيقاته (مثل برهان نظرية فيرما الأخيرة ) تتطلب بديهيات تتجاوز نظرية زيرميلو-فرانكل. ومع ذلك، يُستخدم علم التماثل الإيتالي عمليًا بشكل أساسي في حالة الحزم القابلة للإنشاء على مخططات من النوع المحدود على الأعداد الصحيحة، وهذا لا يحتاج إلى بديهيات عميقة من نظرية المجموعات: فببعض العناية، يمكن إنشاء الكائنات اللازمة دون استخدام أي مجموعات غير قابلة للعد، ويمكن القيام بذلك في نظرية زيرميلو-فرانكل، وحتى في نظريات أضعف بكثير.

سرعان ما وجدت نظرية التماثل الإيتالي تطبيقات أخرى، على سبيل المثال استخدمها ديلين وجورج لوزتيج لبناء تمثيلات للمجموعات المنتهية من نوع لي ؛ انظر نظرية ديلين-لوزتيج .

تحفيز

بالنسبة للأصناف الجبرية المعقدة، تُعدّ الثوابت المستمدة من الطوبولوجيا الجبرية، مثل المجموعة الأساسية ومجموعات التماثل، مفيدة للغاية، ويُفضّل وجود نظائر لها للأصناف على حقول أخرى، كالحقول المنتهية. (أحد أسباب ذلك هو اقتراح ويل إمكانية إثبات حدسيات ويل باستخدام نظرية التماثل هذه). في حالة تماثل الحزم المتماسكة ، بيّن سير أنه يمكن الحصول على نظرية مُرضية باستخدام طوبولوجيا زاريسكي للصنف الجبري، وفي حالة الأصناف المعقدة، يُعطي هذا نفس مجموعات التماثل (للحزم المتماسكة) التي تُعطيها الطوبولوجيا المعقدة الأكثر دقة. مع ذلك، بالنسبة للحزم الثابتة ، كحزمة الأعداد الصحيحة، لا ينجح هذا: فمجموعات التماثل المُعرّفة باستخدام طوبولوجيا زاريسكي غير مُلائمة. على سبيل المثال، تصور ويل نظرية التماثل للأصناف على الحقول المنتهية بقوة مماثلة للتماثل الفردي المعتاد للفضاءات الطوبولوجية، ولكن في الواقع، أي حزمة ثابتة على صنف غير قابل للاختزال لها تماثل تافه (تختفي جميع مجموعات التماثل الأعلى).

يكمن سبب عدم فعالية طوبولوجيا زاريسكي في كونها خشنة للغاية، إذ تحتوي على عدد قليل جدًا من المجموعات المفتوحة. ويبدو أنه لا توجد طريقة جيدة لمعالجة هذه المشكلة باستخدام طوبولوجيا أدق على تنوع جبري عام. تمثلت الفكرة الأساسية لغروتينديك في إدراكه أنه لا يوجد سبب يدعو إلى أن تكون المجموعات المفتوحة الأكثر عمومية مجموعات جزئية من التنوع الجبري: فتعريف الحزمة يعمل بشكل مثالي لأي فئة ، وليس فقط فئة المجموعات الجزئية المفتوحة لفضاء ما. وقد عرّف علم التماثل الإيتالي باستبدال فئة المجموعات الجزئية المفتوحة لفضاء ما بفئة التطبيقات الإيتالية إلى ذلك الفضاء: وبصورة تقريبية، يمكن اعتبار هذه التطبيقات مجموعات جزئية مفتوحة من أغطية غير متفرعة منتهية للفضاء. وقد تبين (بعد جهد كبير) أن هذه التطبيقات توفر عددًا كافيًا من المجموعات المفتوحة الإضافية التي يمكن من خلالها الحصول على مجموعات تماثل معقولة لبعض المعاملات الثابتة، ولا سيما للمعاملات Z/nZ عندما يكون n أوليًا نسبيًا مع خاصية الحقل الذي يتم العمل عليه.

بعض البديهيات الأساسية لهذه النظرية هي كالتالي:

إن شرط إيتال هو الشرط الذي يسمح بتطبيق نظرية الدالة الضمنية إذا كانت صحيحة في الهندسة الجبرية (لكنها ليست كذلك - تسمى الدوال الجبرية الضمنية بالجبرويد في الأدبيات القديمة).
هناك حالات أساسية معينة، ذات أبعاد 0 و 1، ولتنوع أبيلي ، حيث يمكن التنبؤ بالإجابات ذات الحزم الثابتة من المعاملات (عبر علم التماثل لغالوا ووحدات تيت ).

التعريفات

لأي مخطط X، تُعرَّف الفئة Et( X ) بأنها فئة جميع التشكلات الإيتالية من مخطط إلى X. وهي نظير لفئة المجموعات المفتوحة في فضاء طوبولوجي، ويمكن اعتبار عناصرها، بشكل غير رسمي، "مجموعات إيتالية مفتوحة" من X. يقابل تقاطع مجموعتين مفتوحتين في فضاء طوبولوجي سحب خريطتين إيتاليتين إلى X. توجد هنا مشكلة نظرية مجموعات بسيطة، لأن Et( X ) فئة "كبيرة": عناصرها لا تُشكِّل مجموعة.

الحزمة المسبقة على فضاء طوبولوجي X هي دالة متغايرة من فئة المجموعات الجزئية المفتوحة إلى المجموعات. وبالمثل، نُعرّف الحزمة المسبقة الإيتالية على مخطط X بأنها دالة متغايرة من Et( X ) إلى المجموعات.

يُطلق على الحزمة المسبقة F على فضاء طوبولوجي اسم حزمة إذا حققت شرط الحزمة: عندما تُغطى مجموعة جزئية مفتوحة Uᵢ بمجموعة جزئية مفتوحة _Uᵢ ، وتُعطى عناصر من F ( Uᵢ ) لكل _i بحيث تتطابق قيودها على $Uᵢ$ $\cap$ $Uⱼ$ لكل i $و$ $j$ ، فإنها تُمثل صورًا لعنصر وحيد من F ( U ). وبالمثل، تُسمى الحزمة المسبقة الإيتالية حزمة إذا حققت الشرط نفسه (مع استبدال تقاطعات المجموعات المفتوحة بسحب التشكلات الإيتالية، ويُقال إن مجموعة من التشكلات الإيتالية إلى U تُغطي U إذا كان الفضاء الطوبولوجي الذي يقوم عليه U هو اتحاد صورها). وبشكل أعم، يمكن تعريف حزمة لأي طوبولوجيا غروتينديك على فئة بطريقة مماثلة.

تحتوي فئة حزم الزمر الأبيلية فوق مخطط ما على عدد كافٍ من العناصر الحقنية ، لذا يمكن تعريف الدوال المشتقة اليمنى للدوال التامة اليسرى . تُعرَّف زمر التماثل الإيتالية H ⁱ ( F ) لحزمة F من الزمر الأبيلية على أنها الدوال المشتقة اليمنى لدالة المقاطع.

F\to \Gamma (F)

(حيث فضاء المقاطع Γ( F ) من F هو F ( X )). يمكن اعتبار مقاطع الحزمة كـ Hom( Z , F )، حيث Z هي الحزمة التي تُعيد الأعداد الصحيحة كمجموعة أبيلية . تكمن فكرة الدالة المشتقة هنا في أن دالة المقاطع لا تحترم المتتاليات التامة لأنها ليست تامة من اليمين؛ وفقًا للمبادئ العامة للجبر التماثلي، ستكون هناك متتالية من الدوال H₀^،H₁^،^... التي تُمثل "التعويضات" التي يجب إجراؤها لاستعادة قدر من الدقة (متتاليات تامة طويلة ناتجة عن متتاليات قصيرة). تتطابق الدالة H₀ مع دالة المقطع Γ.

بشكلٍ أعم، يُولِّد تشاكل المخططات f : X → Y تطبيقًا f _∗ من الحزم الإيتالية فوق X إلى الحزم الإيتالية فوق Y ، ويُرمز إلى دوالها المشتقة اليمنى بـ R ^q f _∗ ، حيث q عدد صحيح غير سالب. في الحالة الخاصة عندما يكون Y طيف حقل مغلق جبريًا (نقطة)، فإن R ^q f _∗ ( F ) هو نفسه H ^q ( F ).

لنفترض أن X مخطط نوثري . يُطلق على الحزمة الإيتالية الأبيلية F فوق X اسم حزمة محدودة ثابتة محليًا إذا تم تمثيلها بغطاء إيتالي لـ X. وتُسمى قابلة للإنشاء إذا أمكن تغطية X بمجموعة محدودة من المخططات الفرعية التي يكون تقييد F عليها محدودًا ثابتًا محليًا. وتُسمى التواءً إذا كانت F ( U ) زمرة التواء لجميع الأغطية الإيتالية U لـ X. الحزم المحدودة الثابتة محليًا قابلة للإنشاء، والحزم القابلة للإنشاء هي حزم التواء. كل حزمة التواء هي حد استقرائي مُرشَّح للحزم القابلة للإنشاء.

مجموعات التماثل ℓ-adic

في تطبيقات الهندسة الجبرية على حقل منتهٍ F _q ذي خاصية p ، كان الهدف الرئيسي هو إيجاد بديل لمجموعات التماثل الشاذة ذات المعاملات الصحيحة (أو النسبية)، والتي لا تتوفر بنفس طريقة هندسة التنوع الجبري على حقل الأعداد المركبة . يعمل التماثل الإيتالي بشكل جيد للمعاملات Z / n Z حيث n عدد أولي نسبيًا مع p ، ولكنه يعطي نتائج غير مرضية للمعاملات غير الالتوائية. للحصول على مجموعات تماثل بدون التواء من التماثل الإيتالي، يجب أخذ النهاية العكسية لمجموعات التماثل الإيتالي ذات معاملات الالتواء المحددة؛ وهذا ما يسمى بالتماثل ℓ-adic ، حيث يرمز ℓ إلى أي عدد أولي مختلف عن p . بالنسبة للمخططات V ، تُدرس مجموعات التماثل

H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )

ويحدد مجموعة التماثل ℓ- adic

H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })=\varprojlim H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )

باعتبارها حدها العكسي. هنا، يرمز Z _{ℓ إلى}الأعداد الصحيحة ℓ-adic ، ولكن التعريف يتم بواسطة نظام الحزم "الثابتة" ذات المعاملات المحدودة Z /ℓ ^k Z. (يوجد هنا مأزق معروف: لا يتبادل علم التماثل مع أخذ النهايات العكسية، ومجموعة علم التماثل ℓ-adic، المعرفة كحد عكسي، ليست علم التماثل بمعاملات في حزمة إيتال Z _ℓ ؛ توجد مجموعة علم التماثل الأخيرة ولكنها تعطي مجموعات علم التماثل "الخاطئة").

بشكل أعم، إذا كان F نظامًا عكسيًا لحزم إيتال F _i ، فإن تماثل F يُعرَّف بأنه النهاية العكسية لتماثل الحزم F _i

H^{q}(X,F)=\varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

وعلى الرغم من وجود خريطة طبيعية

H^{q}(X,\varprojlim F_{i})\to \varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

هذا ليس عادةً تماثلاً. الحزمة ℓ-adic هي نوع خاص من النظام العكسي للحزم الإيتالية F _i ، حيث يمر i عبر الأعداد الصحيحة الموجبة، و F _i هو وحدة نمطية على Z /ℓ ⁱ Z والتطبيق من F _{i +1} إلى F _i هو مجرد اختزال modulo Z /ℓ ⁱ Z.

عندما يكون V منحنى جبريًا غير شاذ من النوع g ، ^فإنH1 هو وحدة نمطية حرة من النوع Zℓ رتبة 2g _،وهي ثنائية لوحدة تيت لمتنوعة جاكوبيان V. بما أن العدد بيتي الأول لسطح ريمان من النوع g هو 2g ، فإن هذا متماثل مع علم التماثل الشاذ المعتاد بمعاملات Zℓ للمنحنيات الجبرية المعقدة. كما يوضح هذا أحد أسباب اشتراط الشرط ℓ ≠ p : عندما ℓ = p، _تكون رتبة وحدة تيت على الأكثر g .

يمكن أن تظهر زمر الالتواء ، وقد استخدمها مايكل أرتين وديفيد مومفورد في مسائل هندسية . لإزالة أي زمرة التواء من زمر التماثل ℓ-adic والحصول على زمر تماثل تمثل فضاءات متجهة على حقول ذات خاصية صفرية، يتم تعريف

H^{i}(V,\mathbf {Q} _{\ell })=H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }.

هذا الترميز مُضلل: فالرمز Q _ℓ على اليسار لا يُمثل حزمة إيتالية ولا حزمة ℓ-أدية. يوجد أيضًا علم التماثل الإيتالي بمعاملات في الحزمة الإيتالية الثابتة Q _{ℓ، ولكنه يختلف تمامًا عن} $H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }$ إن الخلط بين هاتين المجموعتين خطأ شائع.

ملكيات

بشكل عام، تميل مجموعات التماثل ℓ-adic لمتنوعة ما إلى امتلاك خصائص مشابهة لمجموعات التماثل المفردة للمتنوعات المعقدة، باستثناء أنها وحدات نمطية على الأعداد الصحيحة ℓ-adic (أو الأعداد) بدلاً من الأعداد الصحيحة (أو النسبية). وهي تحقق شكلاً من أشكال ازدواجية بوانكاريه على المتنوعات الإسقاطية غير المفردة، وتميل مجموعات التماثل ℓ-adic لـ "اختزال modulo p" لمتنوعة معقدة إلى امتلاك نفس رتبة مجموعات التماثل المفردة. كما تنطبق صيغة كونيث أيضًا.

على سبيل المثال، فإن مجموعة التماثل الأولى لمنحنى إهليلجي معقد هي وحدة حرة من الرتبة 2 على الأعداد الصحيحة، في حين أن مجموعة التماثل الأولى ℓ-adic لمنحنى إهليلجي على حقل منتهٍ هي وحدة حرة من الرتبة 2 على الأعداد الصحيحة ℓ-adic، بشرط ألا يكون ℓ هو الخاصية المميزة للحقل المعني، وأن تكون ثنائية لوحدة تيت الخاصة بها .

هناك جانب واحد تتفوق فيه مجموعات التماثل ℓ-adic على مجموعات التماثل المفردة: وهو ميلها إلى التأثر بمجموعات غالوا . على سبيل المثال، إذا عُرِّفَ صنفٌ معقدٌ على الأعداد النسبية، فإن مجموعات التماثل ℓ-adic الخاصة به تتأثر بمجموعة غالوا المطلقة للأعداد النسبية: فهي تُتيح تمثيلات غالوا .

لا تؤثر عناصر زمرة غالوا للأعداد النسبية، باستثناء عنصري التطابق والاقتران المركب ، عادةً بشكل متصل على تنوع مركب مُعرَّف على الأعداد النسبية، وبالتالي لا تؤثر على زمر التماثل الشاذة. ترتبط هذه الظاهرة في تمثيلات غالوا بحقيقة أن الزمرة الأساسية للفضاء الطوبولوجي تؤثر على زمر التماثل الشاذة، لأن غروتينديك أثبت أن زمرة غالوا يُمكن اعتبارها نوعًا من الزمر الأساسية. (انظر أيضًا نظرية غالوا لغروتينديك ).

حساب مجموعات التماثل الإيتالي للمنحنيات الجبرية

تتمثل الخطوة الأولية الرئيسية في حساب مجموعات التماثل الإيتالي لمتنوعة ما في حسابها للمنحنيات الجبرية الملساء المتصلة تمامًا X على الحقول المغلقة جبريًا k . ويمكن بعد ذلك التحكم في مجموعات التماثل الإيتالي لمتنوعات عشوائية باستخدام نظائر للآليات المعتادة في الطوبولوجيا الجبرية، مثل المتتالية الطيفية للتليف . بالنسبة للمنحنيات، يتطلب الحساب عدة خطوات، كما يلي ( آرتين 1962 ) . لنرمز بـ G  _m إلى حزمة الدوال غير الصفرية.

حساب H ¹ ( X , G _m )

التسلسل الدقيق لحزم إيتال

1\to \mathbf {G} _{m}\to j_{*}\mathbf {G} _{m,K}\to \bigoplus _{x\in |X|}i_{x*}\mathbf {Z} \to 1

يعطي تسلسلًا دقيقًا طويلًا من مجموعات التماثل

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{0}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{1}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

هنا، _{j هو حقن النقطة العامة، وix هو حقن النقطة المغلقة x، وGm وK هما الحزمة Gm} على Spec K ( النقطة _العامة_لـ X ) ، و _Zx هي _نسخة_من Z لكل نقطة مغلقة في X. تتلاشى المجموعات Hi ( ix * Z ) إذا كان i _> 0 ( لأن ix * _Z هي حزمة ناطحة سحاب )، وعندما i = 0 تكون Z، ^لذا فإن مجموعها هو ببساطة مجموعة القواسم لـ X. علاوة على ذلك، فإن مجموعة التماثل الأولى _H1 ( X , j * _Gm, _K₎ متماثلة مع مجموعة تماثل غالوا H1 ( K , K * ⁾ التي تتلاشى وفقًا لنظرية هيلبرت 90. لذلك، فإن المتتالية التامة الطويلة لمجموعات التماثل الإيتالية تعطي متتالية تامة ^.

K\to \operatorname {Div} (X)\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to 1

حيث Div( X ) هي زمرة قواسم X و K هو حقل الدوال الخاص بها. على وجه الخصوص ^،H1 ( X , Gm ₎ هي زمرة بيكارد Pic( X ) (وزمر التماثل الأولى لـ Gm هي نفسها في كل من طوبولوجيا إيتال وزاريسكي ₎ . هذه الخطوة صالحة للأصناف X من أي بُعد (مع استبدال النقاط بأصناف فرعية ذات بُعد مشترك 1)، وليس فقط للمنحنيات.

حساب H ⁱ ( X , G _m )

يُظهر التسلسل التام الطويل نفسه أعلاه أنه إذا كان i ≥ 2، فإن مجموعة التماثل H ^i ( X , G _m ) متماثلة مع H ^i ( X , j _*G _{m , K} )، والتي بدورها متماثلة مع مجموعة تماثل غالوا H ^i ( K , K *). تنص نظرية تسن على أن مجموعة براور لحقل دالة K في متغير واحد على حقل مغلق جبريًا تتلاشى. وهذا بدوره يعني أن جميع مجموعات تماثل غالوا H ^i ( K , K *) تتلاشى عندما يكون i ≥ 1، وبالتالي فإن جميع مجموعات التماثل H ^i ( X , G _m ) تتلاشى إذا كان i ≥ 2.

حساب H ⁱ ( X , μ _n )

إذا كانت μ _n هي حزمة الجذور النونية للوحدة، وكان n وخاصية الحقل k عددين صحيحين أوليين فيما بينهما، فإن:

H^{i}(X,\mu _{n})={\begin{cases}\mu _{n}(k)&i=0\\\operatorname {Pic} _{n}(X)&i=1\\\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} &i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

حيث تمثل Pic _n ( X ) مجموعة نقاط الالتواء من الرتبة n لـ Pic( X ). وينتج هذا من النتائج السابقة باستخدام المتتالية التامة الطويلة

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,\mu _{n})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{1}(X,\mu _{n})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{2}(X,\mu _{n})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

من التسلسل الدقيق لحزم كومر إيتال

1\to \mu _{n}\to \mathbf {G} _{m}{\xrightarrow {(\cdot )^{n}}}\mathbf {G} _{m}\to 1.

وإدخال القيم المعروفة

H^{i}(X,\mathbf {G} _{m})={\begin{cases}k^{*}&i=0\\\operatorname {Pic} (X)&i=1\\0&i\geqslant 2\end{cases}}

وعلى وجه الخصوص، نحصل على متتالية تامة

1\to H^{1}(X,\mu _{n})\to \operatorname {Pic} (X)\xrightarrow {\times n} \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mu _{n})\to 1.

إذا كان n يقبل القسمة على p، فإن هذه الحجة تنهار لأن الجذور من الرتبة p للوحدة تتصرف بشكل غريب على الحقول ذات الخاصية p . في طوبولوجيا زاريسكي، لا تكون متتالية كومر تامة من اليمين، حيث أن الدالة غير الصفرية لا تمتلك عادةً جذرًا من الرتبة n محليًا في طوبولوجيا زاريسكي، لذا فهذا أحد المواضع التي يكون فيها استخدام طوبولوجيا إيتال بدلًا من طوبولوجيا زاريسكي ضروريًا.

حساب H ⁱ ( X , Z/ n Z)

بتحديد جذر أولي من الرتبة n للوحدة ، يمكننا تعريف المجموعة Z / nZ بأنها المجموعة μn _لجذور الوحدة من الرتبة n . وبالتالي ^، فإن المجموعة الإيتالية Hi ( X , Z / nZ ) هي وحدة حرة على الحلقة Z / nZ ، ورتبتها معطاة بالعلاقة التالية:

\operatorname {rank} (H^{i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ))={\begin{cases}1&i=0\\2g&i=1\\1&i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

حيث g هو جنس المنحنى X. وينتج هذا من النتيجة السابقة، باستخدام حقيقة أن زمرة بيكارد لمنحنى ما هي نقاط تنوعه اليعقوبي ، وهو تنوع أبيلي ذو بُعد g ، وإذا كان n أوليًا نسبيًا مع الخاصية، فإن النقاط من الرتبة التي تقسم n في تنوع أبيلي ذي بُعد g على حقل مغلق جبريًا تُشكل زمرة متماثلة مع (Z/nZ ) ²g . هذه القيم لزمرة إيتال Hi ( ^X^, Z / nZ ) هي نفسها زمر التماثل ^الشاذة المناظرة عندما يكون X منحنىً عقديًا.

حساب H ⁱ ( X , Z/ p Z)

من الممكن حساب مجموعات التماثل الإيتالي بمعاملات ثابتة من رتبة قابلة للقسمة على الخاصية بطريقة مماثلة، باستخدام متتالية آرتين-شراير

0\to \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \to K\ {\xrightarrow {{} \atop x\mapsto x^{p}-x}}\ K\to 0

بدلاً من متتالية كومر. (بالنسبة للمعاملات في Z / p ⁿ Z، توجد متتالية مماثلة تتضمن متجهات ويت ). عادةً ما تكون رتب مجموعات التماثل الناتجة أقل من رتبة المجموعات المقابلة لها في الخاصية 0.

أمثلة على مجموعات علم cohomology étale

إذا كان X هو طيف حقل K مع مجموعة غالوا المطلقة G ، فإن الحزم الإيتالية فوق X تتوافق مع المجموعات المستمرة (أو المجموعات الأبيلية) التي تعمل عليها المجموعة (النهائية) G ، والتماثل الإيتالي للحزمة هو نفسه تماثل المجموعة G ، أي تماثل غالوا لـ K.
إذا كان X صنفًا معقدًا، فإن علم التماثل الإيتالي ذو المعاملات المحدودة يكون متماثلًا مع علم التماثل الشاذ ذي المعاملات المحدودة. (لا ينطبق هذا على المعاملات الصحيحة). وبشكل أعم، يكون علم التماثل ذو المعاملات في أي حزمة قابلة للإنشاء هو نفسه.
إذا كانت F حزمة متماسكة (أو G _m ) فإن التماثل الإيتيلي لـ F هو نفسه التماثل المتماسك للحزمة لسير المحسوب باستخدام طوبولوجيا زاريسكي (وإذا كانت X مجموعة معقدة فهذا هو نفسه التماثل للحزمة المحسوب باستخدام الطوبولوجيا المعقدة المعتادة).
بالنسبة للمتنوعات الأبيلية والمنحنيات، يوجد وصف أولي لعلم التماثل ℓ-adic. ففي المتنوعات الأبيلية، تكون مجموعة التماثل ℓ-adic الأولى هي المجموعة الثنائية لوحدة تيت ، وتُعطى مجموعات التماثل الأعلى بقواها الخارجية. أما بالنسبة للمنحنيات، فتكون مجموعة التماثل الأولى هي مجموعة التماثل الأولى لمصفوفة جاكوبي الخاصة بها. وهذا يفسر سبب تمكن ويل من تقديم برهان أبسط لتخمينات ويل في هاتين الحالتين: فعمومًا، يُتوقع إيجاد برهان أولي كلما وُجد وصف أولي لعلم التماثل ℓ-adic.

ازدواجية بوانكاريه والتماثل مع دعم مضغوط

تُعرَّف مجموعات التماثل الإيتالي ذات الدعم المدمج لمجموعة متنوعة X على النحو التالي:

H_{c}^{q}(X,F)=H^{q}(Y,j_{!}F)

حيث j هو غمر مفتوح لـ X في تنوع مناسب Y، و j _! هو امتداد الحزمة الإيتالية F إلى Y بمقدار 0. وهذا مستقل عن الغمر j . إذا كان بُعد X على الأكثر n وكانت F حزمة التواء، فإن مجموعات التماثل هذه $H_{c}^{q}(X,F)$ تتلاشى المجموعات ذات الدعم المدمج إذا كان q > 2n ، وإذا كان X بالإضافة إلى ذلك خطيًا من النوع المحدود على حقل مغلق قابل للفصل، فإن مجموعات التماثل $H^{q}(X,F)$ يتلاشى لـ q > n (للاطلاع على البيان الأخير، انظر SGA 4، XIV، Cor.3.2).

بشكل أعم، إذا كان f تشاكلًا منفصلاً من نوع محدود من X إلى S (حيث X و S نوثرية)، فإن الصور المباشرة العليا ذات الدعم المضغوط R ^q f _! تُعرَّف بواسطة

R^{q}f_{!}(F)=R^{q}g_{*}(j_{!}F)

لأي حزمة التواء F. هنا، j هو أي غمر مفتوح لـ X في مخطط Y مع تشاكل مناسب g إلى S (حيث f = gj )، وكما في السابق، لا يعتمد التعريف على اختيار j و Y. علم التماثل ذو الدعم المدمج هو حالة خاصة من هذا، حيث S نقطة. إذا كان f تشاكلًا منفصلاً من نوع محدود، فإن R ^q f _! يأخذ الحزم القابلة للإنشاء على X إلى حزم قابلة للإنشاء على S. إذا كانت ألياف f ذات بُعد لا يتجاوز n، فإن R ^q f _! يتلاشى على حزم الالتواء لـ q > 2n . إذا كان X صنفًا معقدًا، فإن R ^q f _! هو نفسه الصورة المباشرة العليا المعتادة ذات الدعم المدمج (للطوبولوجيا المعقدة) لحزم الالتواء.

إذا كان X تنوعًا جبريًا أملسًا ذو بُعد N وكان n أوليًا نسبيًا مع الخاصية، فإنه يوجد تطبيق أثر

\operatorname {Tr} :H_{c}^{2N}(X,\mu _{n}^{N})\rightarrow \mathbf {Z} /n\mathbf {Z}

والصيغة الثنائية الخطية Tr( a ∪ b ) ذات القيم في Z / n Z تحدد كل مجموعة من المجموعات

H_{c}^{i}(X,\mu _{n}^{N})

و

H^{2N-i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )

مع نظير الآخر. هذا هو نظير ثنائية بوانكاريه لعلم التماثل الإيتالي.

تطبيق على المنحنيات

هكذا يمكن تطبيق النظرية على دالة زيتا المحلية لمنحنى جبري .

نظرية. ليكن $X$ منحنى من جنس $g$ معرفًا على $F p$ ، الحقل المنتهي الذي يحتوي على $p$ عنصرًا. عندئذٍ، بالنسبة لـ $n \geq 1$

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=p^{n}+1-\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}^{n},

حيث $α i$ هي أعداد جبرية معينة تحقق $| α i | = \sqrt p$ .

يتفق هذا مع كون $P 1 (F p n)$ منحنى من الجنس0 مع $p n + 1$ نقطة. كما يوضح أن عدد النقاط على أي منحنى قريب جدًا (في حدود $2 gp n / 2$ ) من عدد النقاط على الخط الإسقاطي؛ وعلى وجه الخصوص، فإنه يعمم نظرية هاس على المنحنيات الإهليلجية .

فكرة الإثبات

وفقًا لنظرية ليفشيتز للنقاط الثابتة ، فإن عدد النقاط الثابتة لأي تشاكل $f : X \to X$ يساوي المجموع

\sum _{i=0}^{2\dim(X)}(-1)^{i}\operatorname {Tr} \left(f|_{H^{i}(X)}\right).

هذه الصيغة صحيحة بالنسبة للأصناف الطوبولوجية العادية والطوبولوجيا العادية، لكنها خاطئة بالنسبة لمعظم الطوبولوجيات الجبرية . مع ذلك، فإن هذه الصيغة صحيحة بالنسبة للتماثل الإيتالي (على الرغم من أن إثبات ذلك ليس بالأمر السهل).

النقاط $X$ المعرفة على $F p n$ هي تلك المحددة بواسطة $F n$ ، حيث $F$ هو التشاكل الذاتي Frobenius في الخاصية $p$ .

أعداد بيتي للتماثل الإيتالي لـ $X$ في الأبعاد 0 و 1 و 2 هي 1 و 2 g و 1 على التوالي.

وفقًا لكل هذه المعلومات،

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{0}(X)}\right)-\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{1}(X)}\right)+\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{2}(X)}\right).

وهذا يعطي الشكل العام للنظرية.

إن التأكيد على القيم المطلقة لـ $α i$ هو فرضية ريمان أحادية البعد لتخمينات ويل.

تتناسب الفكرة بأكملها مع إطار الدوافع : رسميًا [ X ] = [نقطة] + [خط] + [جزء واحد]، و[جزء واحد] له شيء مثل $\sqrtp نقطة$ .

انظر أيضاً

مراجع

آرتين، مايكل (1962)، طوبولوجيات غروتينديك ، جامعة هارفارد، قسم الرياضيات
مايكل أرتين (1972)، ألكسندر جروتينديك ؛ جان لويس فيردير (محرران)، Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – المجلد. 1 ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات (باللغة الفرنسية)، المجلد. 269، برلين؛ نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، التاسع عشر، 525
مايكل أرتين (1972)، ألكسندر جروتينديك ؛ جان لويس فيردير (محرران)، Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – المجلد. 2 ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات (باللغة الفرنسية)، المجلد. 270، برلين؛ نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ص. الرابع، 418
مايكل أرتين (1972)، ألكسندر جروتينديك ؛ جان لويس فيردير (محرران)، Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - المجلد. 3 ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات (باللغة الفرنسية)، المجلد. 305، برلين؛ نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ص. السادس، 640
دانيلوف، في. آي. (2001) [1994]، "علم التماثل الإيتالي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
ديلين، بيير (1974)، “La conjecture de Weil.I” ، Inst. الدراسات العليا العلوم. نشر. الرياضيات. ، 43 : 273–307 ، دوى : 10.1007/BF02684373 ، S2CID 123139343
Deligne، Pierre (1980)، “La conjecture de Weil : II” ، منشورات Mathématiques de l’IHÉS ، 52 : 137–252 ، دوى : 10.1007 / BF02684780 ، S2CID 189769469
ديلين، بيير ، أد. (1977)، Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – Cohomologie étale (SGA 4.5) ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات (بالفرنسية)، المجلد. 569، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، دوى : 10.1007 / BFb0091516 ، ISBN 978-0-387-08066-6تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي بتاريخ 15 مايو 2009 ، وتمت معاينته بتاريخ 17 مارس 2007.الفصل الأول: doi : 10.1007/BFb0091518
إيف دولغاتشيف (2001) [1994]، "علم التماثل ℓ-adic" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
فريتاغ، إي. كيهل، راينهاردت (1988)، علم Etale Cohomology وحدسية ويل ، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-0-387-12175-8
فو، لي (2011)، نظرية التماثل الإيتالي. (2011) ، سلسلة نانكاي في الرياضيات، المجلد 13، دار النشر العالمية العلمية ، doi : 10.1142/7773 ، ISBN 9789814307727
غروتينديك، ألكسندر (1960)، "نظرية التماثل للأصناف الجبرية المجردة" ، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات (إدنبرة، 1958) ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ص 103-118 ، MR 0130879
ميلن، جيمس س. (1980)، علم التماثل الإيتالي ، سلسلة برينستون الرياضية، المجلد 33، مطبعة جامعة برينستون ، ISBN 978-0-691-08238-7، MR 0559531
تامي ، غونتر (1994)، مقدمة في علم التجانس étale ، Universitext، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-57116-2

روابط خارجية

علم التجانس أرشيبالد وسافيت إيتالي
برنامج غوريسكي لانغلاندز للفيزيائيين
ميلن، جيمس س. (1998)، محاضرات عن علم Cohomology
دولغاتشيف، الرابع (2001) [1994]، "علم التماثل-L-adic" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗