نظام المعادلات الخطية

نظام معادلة واحدة بمجهول واحد

${\displaystyle 2x=4}$

لديه الحل

${\displaystyle x=2.}$

ومع ذلك، فإن معظم الأنظمة الخطية المثيرة للاهتمام تحتوي على معادلتين على الأقل.

أبسط أنواع الأنظمة الخطية غير التافهة تتضمن معادلتين ومتغيرين:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}2x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&6&\\4x&&\;+\;&&9y&&\;=\;&&15&.\end{alignedat}}}$

إحدى طرق حل مثل هذا النظام هي كما يلي. أولاً، حل المعادلة العلوية لـ${\displaystyle x}$من ناحية${\displaystyle y}$:

${\displaystyle x=3-{\frac {3}{2}}y.}$

والآن، استبدل هذا التعبير لـ x في المعادلة السفلية:

${\displaystyle 4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.}$

ينتج عن ذلك معادلة واحدة تتضمن المتغير فقط${\displaystyle y}$. الحل يعطي${\displaystyle y=1}$ثم تعويض هذا في المعادلة لـ${\displaystyle x}$العائد${\displaystyle x={\frac {3}{2}}}$. هذه الطريقة قابلة للتعميم على الأنظمة ذات المتغيرات الإضافية (انظر "إزالة المتغيرات" أدناه، أو المقالة المتعلقة بالجبر الابتدائي ).

إحدى وجهات النظر المفيدة للغاية هي أن كل مجهول يمثل وزنًا لمتجه عمودي في تركيبة خطية .

${\displaystyle x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\dots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

يُتيح هذا تطبيق جميع مفاهيم ونظريات الفضاءات المتجهة (أو بشكل أعم، الوحدات النمطية ). على سبيل المثال، تُسمى مجموعة جميع التراكيب الخطية الممكنة للمتجهات في الطرف الأيسر (LHS) بـ " المدى "، وللمعادلات حلٌّ فقط عندما يكون المتجه الأيمن ضمن هذا المدى. إذا كان لكل متجه ضمن هذا المدى تعبير واحد فقط كتركيبة خطية للمتجهات اليسرى المعطاة، فإن أي حل يكون فريدًا. على أي حال، يمتلك المدى أساسًا من المتجهات المستقلة خطيًا التي تضمن وجود تعبير واحد فقط؛ ولا يمكن أن يكون عدد المتجهات في هذا الأساس (بعده ) أكبر من m أو n ، ولكنه قد يكون أصغر. هذا مهم لأنه إذا كان لدينا m متجهًا مستقلًا، فإن الحل مضمون بغض النظر عن الطرف الأيمن (RHS)، وإلا فلا يُضمن.

المعادلة المتجهة مكافئة لمعادلة مصفوفية من الشكل التالي: $${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$$ حيث A هي مصفوفة من الرتبة m × n ، و x هو متجه عمودي يحتوي على n عنصر، و b هو متجه عمودي يحتوي على m عنصر. ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}.}$$ يتم الآن التعبير عن عدد المتجهات في أساس لمدى متجهات الأعمدة في A على أنه رتبة المصفوفة .

بالنسبة لنظام يتضمن متغيرين ( س و ص )، تحدد كل معادلة خطية خطًا مستقيمًا على المستوى س ص . ولأن حل النظام الخطي يجب أن يحقق جميع المعادلات، فإن مجموعة الحلول هي تقاطع هذه الخطوط، وبالتالي فهي إما خط مستقيم، أو نقطة واحدة، أو المجموعة الفارغة .

بالنسبة لثلاثة متغيرات، تحدد كل معادلة خطية مستوىً في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، ومجموعة الحلول هي تقاطع هذه المستويات. وبالتالي، قد تكون مجموعة الحلول مستوىً، أو خطًا، أو نقطة واحدة، أو المجموعة الفارغة. على سبيل المثال، بما أن ثلاثة مستويات متوازية لا تشترك في نقطة واحدة، فإن مجموعة حلول معادلاتها فارغة؛ ومجموعة حلول معادلات ثلاثة مستويات تتقاطع في نقطة واحدة هي نقطة واحدة؛ وإذا مرت ثلاثة مستويات بنقطتين، فإن معادلاتها لها حلان مشتركان على الأقل؛ في الواقع، مجموعة الحلول لانهائية وتتكون من جميع الخطوط المارة بهذه النقاط. ^{[ 6 ]}

بالنسبة لـ n متغير، تحدد كل معادلة خطية مستوىً فائقًا في فضاء ذي n بُعد . مجموعة الحلول هي تقاطع هذه المستويات الفائقة، وهي فضاء مسطح ، قد يكون له أي بُعد أقل من n .

بشكل عام، يتحدد سلوك النظام الخطي بالعلاقة بين عدد المعادلات وعدد المجاهيل. وكلمة "بشكل عام" هنا تعني أنه قد يحدث سلوك مختلف لقيم محددة لمعاملات المعادلات.

• بشكل عام، يمتلك النظام الذي يحتوي على عدد معادلات أقل من عدد المجاهيل عددًا لا نهائيًا من الحلول، ولكنه قد لا يمتلك أي حل. يُعرف هذا النظام بالنظام غير المحدد .
• بشكل عام، يكون للنظام الذي يحتوي على نفس عدد المعادلات والمجاهيل حل واحد فريد.
• بشكل عام، لا يوجد حل لنظام يحتوي على معادلات أكثر من عدد المجاهيل. يُعرف هذا النظام أيضاً بالنظام المُفرط التحديد .

في الحالة الأولى، يكون بُعد مجموعة الحلول، بشكل عام، مساوياً لـ n − m ، حيث n هو عدد المتغيرات و m هو عدد المعادلات.

توضح الصور التالية هذا التقسيم الثلاثي في ​​حالة متغيرين:

معادلة واحدة	معادلتان	ثلاث معادلات

للنظام الأول عدد لا نهائي من الحلول، وهي جميع النقاط الواقعة على الخط الأزرق. أما النظام الثاني فله حل وحيد، وهو نقطة تقاطع الخطين. بينما لا يوجد حل للنظام الثالث، لأن الخطوط الثلاثة لا تشترك في أي نقطة.

يجب التنويه إلى أن الصور أعلاه تُظهر الحالة الأكثر شيوعًا (الحالة العامة). من الممكن ألا يكون لنظام معادلتين بمجهولين حل (إذا كان الخطان متوازيين)، أو أن يكون لنظام ثلاث معادلات بمجهولين حل (إذا تقاطعت الخطوط الثلاثة في نقطة واحدة).

يتصرف نظام المعادلات الخطية بشكل مختلف عن الحالة العامة إذا كانت المعادلات مرتبطة خطيًا ، أو إذا كان غير متسق ولا يحتوي على معادلات أكثر من عدد المجاهيل.

تكون معادلات النظام الخطي مستقلة إذا لم يكن بالإمكان اشتقاق أي معادلة منها جبريًا من المعادلات الأخرى. عندما تكون المعادلات مستقلة، تحتوي كل معادلة على معلومات جديدة حول المتغيرات، ويؤدي حذف أي معادلة إلى زيادة حجم مجموعة الحلول. بالنسبة للمعادلات الخطية، فإن الاستقلال المنطقي هو نفسه الاستقلال الخطي .

على سبيل المثال، المعادلات

${\displaystyle 3x+2y=6\;\;\;\;{\text{و}}\;\;\;\;6x+4y=12}$

ليست مستقلة - فهي معادلة واحدة عند ضربها بمعامل اثنين، وستنتج رسومًا بيانية متطابقة. هذا مثال على التكافؤ في نظام المعادلات الخطية.

أما بالنسبة للمثال الأكثر تعقيدًا، فالمعادلات

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x&&\;-\;&&2y&&\;=\;&&-1&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;=\;&&8&\\4x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&7&\end{alignedat}}}$

ليست هذه المعادلات مستقلة، لأن المعادلة الثالثة هي مجموع المعادلتين الأخريين. في الواقع، يمكن اشتقاق أيٍّ من هذه المعادلات من المعادلتين الأخريين، ويمكن حذف أيٍّ منها دون التأثير على مجموعة الحلول. تمثل رسوم هذه المعادلات ثلاثة خطوط تتقاطع في نقطة واحدة.

يكون النظام الخطي غير متسق إذا لم يكن له حل، وإلا فإنه يكون متسقًا . ^{[ 7 ]} عندما يكون النظام غير متسق، فمن الممكن استنتاج تناقض من المعادلات، والذي يمكن دائمًا إعادة كتابته على شكل العبارة 0 = 1 .

على سبيل المثال، المعادلات

${\displaystyle 3x+2y=6\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;3x+2y=12}$

المعادلتان غير متسقتين. في الواقع، بطرح المعادلة الأولى من الثانية وضرب طرفي الناتج في 1/6، نحصل على 0 = 1. يمثل تمثيل هاتين المعادلتين بيانيًا على المستوى xy خطين متوازيين .

من الممكن أن تكون ثلاث معادلات خطية غير متسقة، حتى لو كانت أي معادلتين منها متسقتين معًا. على سبيل المثال، المعادلات

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&1&\\2x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&1&\\3x&&\;+\;&&2y&&\;=\;&&3&\end{alignedat}}}$

معادلات غير متسقة. بجمع المعادلتين الأوليين نحصل على 3 س + 2 ص = 2 ، والتي يمكن طرحها من المعادلة الثالثة لنحصل على 0 = 1. أي معادلتين من هذه المعادلات لهما حل مشترك. ويمكن أن تحدث هذه الظاهرة نفسها لأي عدد من المعادلات.

بشكل عام، تحدث التناقضات إذا كانت الأطراف اليسرى للمعادلات في نظام ما مرتبطة خطيًا، ولم تحقق الحدود الثابتة علاقة الارتباط. أما نظام المعادلات الذي تكون أطرافه اليسرى مستقلة خطيًا فهو دائمًا متسق.

بعبارة أخرى، وفقًا لنظرية روشيه-كابيلي ، يكون أي نظام معادلات (سواء كان زائد التحديد أم لا) غير متسق إذا كانت رتبة المصفوفة الموسعة أكبر من رتبة مصفوفة المعاملات . أما إذا كانت رتبتا هاتين المصفوفتين متساويتين، فلا بد أن يكون للنظام حل واحد على الأقل. ويكون الحل وحيدًا إذا وفقط إذا كانت الرتبة تساوي عدد المتغيرات. وإلا، فإن الحل العام يحتوي على k من المعاملات الحرة، حيث k هو الفرق بين عدد المتغيرات والرتبة؛ وبالتالي، في هذه الحالة، يوجد عدد لا نهائي من الحلول. لا يمكن أن تتجاوز رتبة نظام المعادلات (أي رتبة المصفوفة الموسعة) عدد المتغيرات + 1، مما يعني أنه يمكن دائمًا اختزال أي نظام يحتوي على أي عدد من المعادلات إلى نظام يحتوي على عدد من المعادلات المستقلة يساوي على الأكثر عدد المتغيرات + 1.

يكون نظامان خطيان يستخدمان نفس مجموعة المتغيرات متكافئين إذا أمكن اشتقاق كل معادلة في النظام الثاني جبريًا من معادلات النظام الأول، والعكس صحيح. ويكون النظامان متكافئين إذا كانا غير متسقين أو إذا كانت كل معادلة في كل منهما عبارة عن توليفة خطية من معادلات النظام الآخر. وعليه، يكون النظامان الخطيان متكافئين إذا وفقط إذا كان لهما نفس مجموعة الحلول.

عندما تكون مجموعة الحلول محدودة، فإنها تُختزل إلى عنصر واحد. في هذه الحالة، يُوصف الحل الوحيد بسلسلة من المعادلات التي تمثل أطرافها اليسرى أسماء المجاهيل، بينما تمثل أطرافها اليمنى القيم المقابلة لها، على سبيل المثال${\displaystyle (x=3,\;y=-2,\;z=6)}$عندما يتم تحديد ترتيب للمجاهيل، على سبيل المثال الترتيب الأبجدي، يمكن وصف الحل كمتجه من القيم، مثل${\displaystyle (3,\,-2,\,6)}$بالنسبة للمثال السابق.

لوصف مجموعة ذات عدد لا نهائي من الحلول، عادةً ما يتم تحديد بعض المتغيرات على أنها حرة (أو مستقلة ، أو كمعلمات )، مما يعني أنه يُسمح لها بأخذ أي قيمة، بينما تعتمد المتغيرات المتبقية على قيم المتغيرات الحرة.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك النظام التالي:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\end{alignedat}}}$

يمكن وصف مجموعة حلول هذا النظام بالمعادلات التالية:

${\displaystyle x=-7z-1\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;y=3z+2{\text{.}}}$

هنا، z هو المتغير الحر، بينما x و y يعتمدان على z . يمكن الحصول على أي نقطة في مجموعة الحلول عن طريق اختيار قيمة لـ z أولاً ، ثم حساب القيم المقابلة لـ x و y .

يمنح كل متغير حرّ فضاء الحلول درجة حرية واحدة ، ويساوي عدد هذه الدرجات بُعد مجموعة الحلول. على سبيل المثال، مجموعة حلول المعادلة المذكورة أعلاه هي خط مستقيم، إذ يمكن اختيار نقطة ضمن مجموعة الحلول بتحديد قيمة المعامل z . قد يصف حل لانهائي من رتبة أعلى مستوىً أو مجموعة ذات أبعاد أعلى.

قد تؤدي الخيارات المختلفة للمتغيرات الحرة إلى أوصاف مختلفة لنفس مجموعة الحلول. على سبيل المثال، يمكن وصف حل المعادلات المذكورة أعلاه بشكل بديل كما يلي:

${\displaystyle y=-{\frac {3}{7}}x+{\frac {11}{7}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-{\frac {1}{7}}x-{\frac {1}{7}}{\text{.}}}$

هنا x هو المتغير الحر، و y و z متغيران تابعان.

أبسط طريقة لحل نظام المعادلات الخطية هي حذف المتغيرات بشكل متكرر. ويمكن وصف هذه الطريقة على النحو التالي:

1. في المعادلة الأولى، قم بحل أحد المتغيرات بدلالة المتغيرات الأخرى.
2. استبدل هذا التعبير في المعادلات المتبقية. ينتج عن ذلك نظام معادلات بمعادلة واحدة أقل ومجهول أقل.
3. كرر الخطوتين 1 و 2 حتى يتم اختزال النظام إلى معادلة خطية واحدة.
4. قم بحل هذه المعادلة، ثم قم بالتعويض العكسي حتى يتم إيجاد الحل الكامل.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك النظام التالي:

${\displaystyle {\begin{cases}x+3y-2z=5\\3x+5y+6z=7\\2x+4y+3z=8\end{cases}}}$

بحل المعادلة الأولى لإيجاد قيمة x نحصل على${\displaystyle x=5+2z-3y}$وبإدخال هذا في المعادلتين الثانية والثالثة نحصل على

${\displaystyle {\begin{cases}y=3z+2\\y={\tfrac {7}{2}}z+1\end{cases}}}$

بما أن الطرف الأيسر من كلتا المعادلتين يساوي y ، فإن مساواة الطرف الأيمن من المعادلتين ينتج عنه ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}3z+2={\tfrac {7}{2}}z+1\\\Rightarrow z=2\end{aligned}}}$

بالتعويض عن z = 2 في المعادلة الثانية أو الثالثة، نحصل على y = 8، وبتعويض قيمتي y و z في المعادلة الأولى، نحصل على x = −15. إذن، مجموعة الحلول هي الثلاثية المرتبة${\displaystyle (x,y,z)=(-15,8,2)}$.

في اختزال الصفوف (المعروف أيضًا باسم الحذف الغاوسي )، يتم تمثيل النظام الخطي كمصفوفة موسعة ^{[ 8 ].}

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\3&5&6&7\\2&4&3&8\end{array}}\right]{\text{.}}}$

ثم يتم تعديل هذه المصفوفة باستخدام عمليات الصفوف الأولية حتى تصل إلى شكل الصفوف المختزل . وهناك ثلاثة أنواع من عمليات الصفوف الأولية: ^{[ 8 ]}

النوع 1 : تبديل مواقع صفين.

النوع 2 : ضرب صف في عدد قياسي غير صفري .

النوع 3 : أضف إلى صف واحد مضاعفًا عدديًا لصف آخر.

ولأن هذه العمليات قابلة للعكس، فإن المصفوفة الموسعة الناتجة تمثل دائمًا نظامًا خطيًا مكافئًا للنظام الأصلي.

توجد عدة خوارزميات محددة لتقليل عدد صفوف المصفوفة الموسعة، وأبسطها خوارزمية الحذف الغاوسي وخوارزمية الحذف الغاوسي-جوردان . يوضح الحساب التالي تطبيق خوارزمية الحذف الغاوسي-جوردان على المصفوفة أعلاه:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\3&5&6&7\\2&4&3&8\end{array}}\right]&\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&-4&12&-8\\2&4&3&8\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&-4&12&-8\\0&-2&7&-2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&-3&2\\0&-2&7&-2\end{array}}\right]\\&\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&-3&2\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&0&9\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&-15\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right].\end{aligned}}}$

المصفوفة الأخيرة في شكل صفوف مختزلة، وتمثل النظام x = − 15 ، y = 8 ، z = 2. تُظهر المقارنة مع المثال الوارد في القسم السابق حول الحذف الجبري للمتغيرات أن هاتين الطريقتين متطابقتان في الواقع؛ ويكمن الاختلاف في كيفية كتابة العمليات الحسابية.

قاعدة كرامر هي صيغة صريحة لحل نظام من المعادلات الخطية، حيث يُعطى كل متغير بواسطة حاصل قسمة محددين . ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، حل النظام

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;5\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;7\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;8\end{alignedat}}}$

يُعطى بواسطة

${\displaystyle x={\frac {\,{\begin{vmatrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}},\;\;\;\;y={\frac {\,{\begin{vmatrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}},\;\;\;\;z={\frac {\,{\begin{vmatrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}}.}$

بالنسبة لكل متغير، يكون المقام هو محدد مصفوفة المعاملات ، بينما يكون البسط هو محدد مصفوفة تم فيها استبدال أحد الأعمدة بمتجه الحدود الثابتة.

على الرغم من أهمية قاعدة كرامر من الناحية النظرية، إلا أنها قليلة الفائدة العملية للمصفوفات الكبيرة، نظرًا لصعوبة حساب المحددات الكبيرة. (في الواقع، يُفضل حساب المحددات الكبيرة باستخدام اختزال الصفوف). علاوة على ذلك، تتميز قاعدة كرامر بخصائص عددية ضعيفة للغاية، مما يجعلها غير مناسبة لحل حتى الأنظمة الصغيرة بدقة، إلا إذا أُجريت العمليات باستخدام الحساب الكسري بدقة غير محدودة.

إذا تم التعبير عن نظام المعادلات في شكل المصفوفة${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$يمكن أيضًا التعبير عن مجموعة الحلول الكاملة في شكل مصفوفة. إذا كانت المصفوفة A مربعة (تحتوي على m صفوف و n = m أعمدة) ولها رتبة كاملة (جميع صفوفها m مستقلة)، فإن النظام له حل وحيد يُعطى بواسطة

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} }$

أين${\displaystyle A^{-1}}$هو معكوس المصفوفة A. وبشكل أعم، بغض النظر عما إذا كان m = n أم لا، وبغض النظر عن رتبة A ، فإن جميع الحلول (إن وجدت) تُعطى باستخدام معكوس مور-بنروز للمصفوفة A ، والذي يُرمز إليه بـ${\displaystyle A^{+}}$، كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{+}\mathbf {b} +\left(I-A^{+}A\right)\mathbf {w} }$

أين${\displaystyle \mathbf {w} }$هو متجه من المعاملات الحرة يمتد على جميع المتجهات الممكنة من الرتبة n × 1. الشرط الضروري والكافي لوجود أي حل (أو حلول) هو أن الحل المحتمل الذي تم الحصول عليه باستخدام${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {0} }$مُرضٍ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$— أي أن${\displaystyle AA^{+}\mathbf {b} =\mathbf {b} .}$إذا لم يتحقق هذا الشرط، فإن نظام المعادلات يكون غير متسق وليس له حل. أما إذا تحقق الشرط، فإن النظام يكون متسقًا وله حل واحد على الأقل. على سبيل المثال، في الحالة المذكورة أعلاه حيث تكون المصفوفة A مربعة وذات رتبة كاملة،${\displaystyle A^{+}}$ببساطة يساوي${\displaystyle A^{-1}}$وتتبسط معادلة الحل العامة إلى

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} +\left(I-A^{-1}A\right)\mathbf {w} =A^{-1}\mathbf {b} +\left(I-I\right)\mathbf {w} =A^{-1}\mathbf {b} }$

كما ذكرنا سابقاً، حيث${\displaystyle \mathbf {w} }$لقد اختفى هذا الخيار تماماً من الحل، ولم يتبق سوى حل واحد. أما في حالات أخرى،${\displaystyle \mathbf {w} }$ويبقى عدد لا نهائي من القيم المحتملة لمتجه المعامل الحر${\displaystyle \mathbf {w} }$أعطِ عددًا لا نهائيًا من حلول المعادلة.

بينما يمكن حل أنظمة المعادلات المكونة من ثلاث أو أربع معادلات يدويًا بسهولة (انظر كراكوفيان )، غالبًا ما تُستخدم الحواسيب لحل الأنظمة الأكبر. تعتمد الخوارزمية القياسية لحل نظام المعادلات الخطية على طريقة الحذف الغاوسي مع بعض التعديلات. أولًا، من الضروري تجنب القسمة على أعداد صغيرة، لأنها قد تؤدي إلى نتائج غير دقيقة. يمكن تحقيق ذلك بإعادة ترتيب المعادلات عند الضرورة، وهي عملية تُعرف باسم التمحور . ثانيًا، لا تُجري الخوارزمية عملية الحذف الغاوسي بدقة، بل تحسب تحليل LU للمصفوفة A. يُعد هذا التحليل أداة تنظيمية في المقام الأول، ولكنه أسرع بكثير عند الحاجة إلى حل عدة أنظمة لها نفس المصفوفة A ولكن بمتجهات b مختلفة .

إذا كانت للمصفوفة A بنية خاصة، فيمكن استغلال ذلك للحصول على خوارزميات أسرع أو أكثر دقة. على سبيل المثال، يمكن حل الأنظمة ذات المصفوفة المتناظرة الموجبة المحددة بسرعة مضاعفة باستخدام تحليل تشوليسكي . يُعدّ التكرار الليفنسوني طريقة سريعة لمصفوفات توبليتز . كما توجد طرق خاصة للمصفوفات التي تحتوي على العديد من العناصر الصفرية (ما يُسمى بالمصفوفات المتفرقة )، والتي تظهر بكثرة في التطبيقات.

غالبًا ما يُتبع نهج مختلف تمامًا للأنظمة الكبيرة جدًا، والتي قد تستغرق وقتًا أو ذاكرة كبيرين لولا ذلك. تقوم الفكرة على البدء بتقريب أولي للحل (لا يشترط أن يكون دقيقًا على الإطلاق)، وتغيير هذا التقريب على عدة خطوات لتقريبه من الحل الحقيقي. بمجرد أن يصبح التقريب دقيقًا بدرجة كافية، يُعتبر هذا هو حل النظام. وهذا ما يُؤدي إلى فئة الطرق التكرارية . بالنسبة لبعض المصفوفات المتفرقة، يُحسّن إدخال العشوائية من سرعة الطرق التكرارية. ^{[ 10 ]} أحد الأمثلة على الطرق التكرارية هو طريقة جاكوبي ، حيث تكون المصفوفة${\displaystyle A}$ينقسم إلى مكونه القطري${\displaystyle D}$ومكونه غير القطري${\displaystyle L+U}$تخمين مبدئي${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(0)}}$يُستخدم في بداية الخوارزمية. ويتم حساب كل تخمين لاحق باستخدام المعادلة التكرارية التالية:

${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k+1)}=D^{-1}({\mathbf {b}}-(L+U){\mathbf {x}}^{(k)})}$

عندما يكون الفرق بين التخمينات${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k)}}$و${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k+1)}}$إذا كانت قيمة صغيرة بما يكفي، يُقال إن الخوارزمية قد تقاربت نحو الحل. ^{[ 11 ]}

يوجد أيضًا خوارزمية كمومية للأنظمة الخطية للمعادلات . ^{[ 12 ]}

لكل نظام متجانس حل واحد على الأقل، يُعرف بالحل الصفري (أو التافه )، والذي يُحصل عليه بتعيين القيمة صفر لكل متغير. إذا كان للنظام مصفوفة غير منفردة ( det( A ) ≠ 0 )، فإنه الحل الوحيد. أما إذا كان للنظام مصفوفة منفردة، فإنه توجد مجموعة حلول تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. تتميز مجموعة الحلول هذه بالخصائص الإضافية التالية:

1. إذا كان u و v متجهين يمثلان حلولاً لنظام متجانس، فإن مجموع المتجهات u + v هو أيضًا حل للنظام.
2. إذا كان u متجهًا يمثل حلًا لنظام متجانس، و r أي عدد قياسي ، فإن r u هو أيضًا حل للنظام.

هذه هي بالضبط الخصائص المطلوبة لكي تكون مجموعة الحلول فضاءً جزئياً خطياً من R ⁿ . وعلى وجه الخصوص، فإن مجموعة حلول النظام المتجانس هي نفسها الفضاء الصفري للمصفوفة A المقابلة .

توجد علاقة وثيقة بين حلول النظام الخطي وحلول النظام المتجانس المقابل:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \qquad {\text{and}}\qquad A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

على وجه التحديد، إذا كان p أي حل محدد للنظام الخطي A x = b ، فيمكن وصف مجموعة الحلول بأكملها على النحو التالي:

${\displaystyle \left\{\mathbf {p} +\mathbf {v}$ :\mathbf {v} {\text{ هو أي حل للمعادلة }}A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}

هندسياً، يعني هذا أن مجموعة حلول المعادلة A x = b هي إزاحة لمجموعة حلول المعادلة A x = 0. وبالتحديد، يمكن الحصول على المستوى المسطح للنظام الأول عن طريق إزاحة الفضاء الخطي الفرعي للنظام المتجانس بواسطة المتجه p .

ينطبق هذا المنطق فقط إذا كان للنظام A x = b حل واحد على الأقل. ويحدث هذا إذا وفقط إذا كان المتجه b يقع في صورة التحويل الخطي A.

• أنطون، هوارد (1987)، الجبر الخطي الابتدائي (  الطبعة الخامسة)، نيويورك: وايلي ، رقم ISBN 0-471-84819-0
• بوريجارد، ريموند أ.؛ فرالي، جون ب. (1973)، دورة تمهيدية في الجبر الخطي: مع مقدمة اختيارية للمجموعات والحلقات والحقول ، بوسطن: شركة هوتون ميفلين ، رقم ISBN 0-395-14017-X
• بيردن، ريتشارد ل.؛ فيرز، ج. دوغلاس (1993)، التحليل العددي (  الطبعة الخامسة)، بوسطن: بريندل، ويبر وشميدت ، ISBN 0-534-93219-3
• كولين، تشارلز ج. (1990)، المصفوفات والتحويلات الخطية ، ماساتشوستس: دوفر، رقم ISBN 978-0-486-66328-9
• جولوب، جين هـ.؛ فان لون، تشارلز ف. (1996)، حسابات المصفوفات (  الطبعة الثالثة)، بالتيمور: مطبعة جامعة جونز هوبكنز ، ISBN 0-8018-5414-8
• هاربر، تشارلي (1976)، مقدمة في الفيزياء الرياضية ، نيو جيرسي: برنتيس هول ، رقم ISBN 0-13-487538-9
• هارو، آرام و.؛ حسيديم، أفيناتان؛ لويد، سيث (2009)، "خوارزمية كمومية لأنظمة المعادلات الخطية"، رسائل المراجعة الفيزيائية ، 103 (15) 150502، arXiv : 0811.3171 ، Bibcode : 2009PhRvL.103o0502H ، doi : 10.1103/PhysRevLett.103.150502 ، PMID 19905613 ، S2CID 5187993  
• ستيرلينغ، ماري ج. (2009)، الجبر الخطي للمبتدئين ، إنديانابوليس، إنديانا: وايلي، رقم ISBN 978-0-470-43090-3
• وايتلو، تي إيه (1991)، مقدمة في الجبر الخطي (الطبعة الثانية  )، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 0-7514-0159-5