مبدأ هويجنز-فرينل

تنص قاعدة هويجنز-فرينل (التي سُميت على اسم الفيزيائي الهولندي كريستيان هويجنز والفيزيائي الفرنسي أوغستين جان فرينل ) على أن كل نقطة على جبهة الموجة هي في حد ذاتها مصدر لموجات كروية، وأن الموجات الثانوية الصادرة عن نقاط مختلفة تتداخل مع بعضها البعض. ^[1] يشكل مجموع هذه الموجات الكروية جبهة موجة جديدة. وعلى هذا النحو، فإن قاعدة هويجنز-فرينل هي طريقة تحليل تُطبق على مشاكل انتشار الموجات المضيئة سواء في حد المجال البعيد أو في حيود المجال القريب وكذلك الانعكاس .

في عام 1678، اقترح هويجنز أن كل نقطة يصل إليها اضطراب مضيء تصبح مصدرًا لموجة كروية؛ ويحدد مجموع هذه الموجات الثانوية شكل الموجة في أي وقت لاحق. ^[2] افترض أن الموجات الثانوية تنتقل فقط في الاتجاه "الأمامي"، ولا يتم تفسير سبب حدوث ذلك في النظرية. كان قادرًا على تقديم تفسير نوعي لانتشار الموجات الخطية والكروية، واستنباط قوانين الانعكاس والانكسار باستخدام هذا المبدأ، لكنه لم يتمكن من تفسير الانحرافات عن الانتشار المستقيمي التي تحدث عندما يواجه الضوء حوافًا وفتحات وشاشات، والمعروفة باسم تأثيرات الحيود . ^[3] تم شرح حل هذا الخطأ أخيرًا من قبل ديفيد إيه بي ميلر في عام 1991. ^[4] الحل هو أن المصدر هو ثنائي القطب (وليس أحادي القطب الذي افترضه هويجنز)، والذي يلغي في الاتجاه المنعكس.

في عام 1818، أظهر فرينل ^[5] أن مبدأ هويجنز، جنبًا إلى جنب مع مبدأ التداخل الخاص به ، يمكن أن يفسر كل من الانتشار المستقيم للضوء وتأثيرات الحيود. للحصول على اتفاق مع النتائج التجريبية، كان عليه تضمين افتراضات تعسفية إضافية حول طور وسعة الموجات الثانوية، بالإضافة إلى عامل الميل. ليس لهذه الافتراضات أساس فيزيائي واضح، لكنها أدت إلى تنبؤات تتفق مع العديد من الملاحظات التجريبية، بما في ذلك بقعة بواسون .

كان بواسون عضوًا في الأكاديمية الفرنسية التي راجعت عمل فرينل. ^[6] استخدم نظرية فرينل للتنبؤ بوجوب ظهور بقعة مضيئة في وسط ظل قرص صغير، واستنتج من هذا أن النظرية غير صحيحة. ومع ذلك، أجرى أراجو، وهو عضو آخر في اللجنة، التجربة وأظهر أن التنبؤ كان صحيحًا . (كان ليسل قد لاحظ هذا قبل خمسين عامًا. ^{[3] [ مشكوك فيه - ناقش ]} ) كان هذا أحد التحقيقات التي أدت إلى انتصار نظرية موجة الضوء على نظرية الجسيمات السائدة آنذاك .

في نظرية الهوائي والهندسة، تُعرف إعادة صياغة مبدأ هويجنز-فرينل لمصادر التيار المشع بمبدأ التكافؤ السطحي . ^{[7] [8]}

يوفر مبدأ هويجنز-فرينل أساسًا معقولاً لفهم وتوقع انتشار الموجة الكلاسيكية للضوء. ومع ذلك، هناك قيود على المبدأ، وهي نفس التقريبات التي تم إجراؤها لاستنباط صيغة حيود كيرشوف وتقريبات المجال القريب بسبب فرينل. يمكن تلخيص ذلك في حقيقة أن الطول الموجي للضوء أصغر بكثير من أبعاد أي مكونات بصرية يتم مواجهتها. ^[6]

توفر صيغة حيود كيرشوف أساسًا رياضيًا صارمًا للحيود، استنادًا إلى معادلة الموجة. تنشأ الافتراضات التعسفية التي وضعها فرينل للوصول إلى معادلة هويجنز-فرينل تلقائيًا من الرياضيات في هذا الاشتقاق. ^[9]

يمكن رؤية مثال بسيط على تشغيل المبدأ عندما يربط باب مفتوح بين غرفتين ويصدر صوت في زاوية بعيدة من إحداهما. سيسمع الشخص الموجود في الغرفة الأخرى الصوت كما لو كان صادرًا من الباب. فيما يتعلق بالغرفة الثانية، فإن الهواء المهتز في الباب هو مصدر الصوت.

لا يتفق جميع الخبراء على أن مبدأ هويجنز يمثل تمثيلًا مجهريًا دقيقًا للواقع. على سبيل المثال، زعم ملفين شوارتز أن "مبدأ هويجنز يعطي الإجابة الصحيحة بالفعل ولكن للأسباب الخاطئة". ^[1]

ويمكن أن ينعكس ذلك في الحقائق التالية:

• تعتمد الميكانيكا المجهرية لإنشاء الفوتونات وانبعاثها، بشكل عام، على تسريع الإلكترونات. ^[1]
• كان التحليل الأصلي الذي أجراه هويجنز ^[10] يأخذ في الاعتبار فقط الجبهات الموجية ذات التردد الموحد والطور وسرعة الانتشار، وبالتالي لا يمكنه تفسير التأثيرات مثل التداخل أو التشتت بشكل صحيح .
• لا يأخذ مبدأ هويجنز الأصلي أيضًا في الاعتبار استقطاب الضوء، والذي يتطلب إمكانات متجهية، على النقيض من الإمكانات القياسية لموجة محيطية بسيطة أو موجة صوتية ، ^[11] وبالتالي لا يمكنه تفسير تأثيرات مثل الازدواج الانكساري .
• في وصف هويجنز ، لا يوجد تفسير لسبب اختيارنا فقط للموجة المتجهة للأمام ( الموجة المتأخرة أو الغلاف الأمامي لجبهات الموجة) مقابل الموجة المتقدمة المنتشرة للخلف (الغلاف الخلفي). ^[11]
• في تقريب فرينل يوجد مفهوم للسلوك غير المحلي بسبب مجموع الموجات الكروية ذات المراحل المختلفة التي تأتي من نقاط مختلفة من جبهة الموجة، والنظريات غير المحلية هي موضوع العديد من المناقشات (على سبيل المثال، عدم كونها متغيرات لورنتز ) وبحث نشط. ^{[ بحاجة لمصدر ]}
• يمكن تفسير تقريب فرينل بطريقة احتمالية كمية ولكن ليس من الواضح إلى أي مدى يمثل مجموع الحالات (أي الموجات على واجهة الموجة) قائمة كاملة من الحالات ذات المعنى الفيزيائي أو تمثل تقريبًا على أساس عام كما هو الحال في طريقة التركيبة الخطية للمدارات الذرية (LCAO).

مبدأ هويجنز متوافق بشكل أساسي مع نظرية المجال الكمومي في تقريب المجال البعيد ، مع الأخذ في الاعتبار المجالات الفعالة في مركز التشتت، مع الأخذ في الاعتبار الاضطرابات الصغيرة ، وبنفس المعنى الذي تتوافق به البصريات الكمومية مع البصريات الكلاسيكية ، فإن التفسيرات الأخرى هي موضوع نقاشات وأبحاث نشطة.

يجب أيضًا تفسير نموذج فاينمان حيث تولد كل نقطة في جبهة موجة وهمية بحجم الغرفة موجة صغيرة، في هذه التقريبات ^[12] وفي سياق احتمالي، في هذا السياق لا يمكن للنقط البعيدة أن تساهم إلا بشكل ضئيل في سعة الاحتمالية الكلية.

لا تتضمن نظرية المجال الكمومي أي نموذج مجهري لإنشاء الفوتون، كما يخضع مفهوم الفوتون الفردي للتدقيق على المستوى النظري.

لنفترض أن مصدرًا نقطيًا يقع عند نقطة P ₀ ، يهتز بتردد f . يمكن وصف الاضطراب بمتغير مركب U ₀ يُعرف باسم السعة المركبة . ينتج عنه موجة كروية بطول موجي λ، ورقم الموجة k = 2 π / λ . ضمن ثابت التناسب، تكون السعة المركبة للموجة الأولية عند النقطة Q الواقعة على مسافة r ₀ من P ₀ هي:

${\displaystyle U(r_{0})\propto {\frac {U_{0}e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$

لاحظ أن المقدار يتناقص بشكل عكسي مع المسافة المقطوعة، وتتغير الطور مع مرور k على المسافة المقطوعة.

باستخدام نظرية هويجنز ومبدأ تراكب الموجات، يتم إيجاد السعة المركبة عند نقطة أخرى P عن طريق جمع المساهمة من كل نقطة على كرة نصف قطرها r _0. من أجل الحصول على اتفاق مع النتائج التجريبية، وجد فرينل أن المساهمات الفردية من الموجات الثانوية على الكرة يجب ضربها بثابت، − i / λ، وبعامل ميل إضافي، K (χ). يعني الافتراض الأول أن الموجات الثانوية تتذبذب عند ربع دورة خارج الطور بالنسبة للموجة الأولية وأن حجم الموجات الثانوية يكون بنسبة 1: λ إلى الموجة الأولية. كما افترض أن K (χ) لها قيمة قصوى عندما χ = 0، وكانت تساوي صفرًا عندما χ = π/2، حيث χ هي الزاوية بين العمودي لجبهة الموجة الأولية والعمودي لجبهة الموجة الثانوية. يتم بعد ذلك إعطاء السعة المركبة عند P ، بسبب مساهمة الموجات الثانوية، بواسطة: ^[13]

${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{\lambda }}U(r_{0})\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}K(\chi )\,dS}$

حيث S يصف سطح الكرة، و s هي المسافة بين Q و P.

استخدم فرينل طريقة بناء المنطقة لإيجاد قيم تقريبية لـ K للمناطق المختلفة، ^[6] مما مكنه من إجراء تنبؤات تتفق مع النتائج التجريبية. تتضمن نظرية كيرشوف التكاملية الفكرة الأساسية لمبدأ هويجنز-فرينل. أظهر كيرشوف أنه في كثير من الحالات، يمكن تقريب النظرية إلى شكل أبسط يعادل تكوين صيغة فرينل. ^[6]

بالنسبة لإضاءة الفتحة المكونة من موجة كروية متوسعة واحدة، إذا كان نصف قطر انحناء الموجة كبيرًا بدرجة كافية، أعطى كيرشوف التعبير التالي لـ K (χ): ^[6]

${\displaystyle ~K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )}$

لدى K قيمة قصوى عند χ = 0 كما هو الحال في مبدأ هويجنز-فريسنل؛ ومع ذلك، فإن K لا تساوي الصفر عند χ = π/2، ولكن عند χ = π.

افترض الاشتقاق أعلاه لـ K (χ) أن فتحة الانعراج مضاءة بموجة كروية واحدة بنصف قطر انحناء كبير بدرجة كافية. ومع ذلك، فإن المبدأ ينطبق على الإضاءات الأكثر عمومية. ^[13] يمكن تحليل الإضاءة التعسفية إلى مجموعة من مصادر النقاط، ويمكن استدعاء خطية معادلة الموجة لتطبيق المبدأ على كل مصدر نقطة على حدة. يمكن التعبير عن K (χ) بشكل عام على النحو التالي: ^[13]

${\displaystyle ~K(\chi )=\cos \chi }$

في هذه الحالة، يلبي K الشروط المذكورة أعلاه (القيمة القصوى عند χ = 0 والصفر عند χ = π/2).

تشير العديد من الكتب والمراجع - على سبيل المثال (Greiner، 2002) ^[14] و (Enders، 2009) ^[15] - إلى مبدأ هويجنز المعمم باستخدام التعريف الموجود في ( Feynman ، 1948). ^[16]

يعرف فاينمان المبدأ المعمم بالطريقة التالية:

"في الواقع، فإن مبدأ هويجنز ليس صحيحًا في البصريات. وقد تم استبداله بتعديل كيرشوف [كذا] الذي يتطلب أن يكون كل من السعة ومشتقها معروفين على السطح المجاور. وهذا نتيجة لحقيقة مفادها أن معادلة الموجة في البصريات من الدرجة الثانية في الزمن. أما معادلة الموجة في ميكانيكا الكم فهي من الدرجة الأولى في الزمن؛ وبالتالي، فإن مبدأ هويجنز صحيح بالنسبة لموجات المادة، حيث يحل الفعل محل الزمن."

وهذا يوضح حقيقة مفادها أن المبدأ المعمم في هذا السياق يعكس خطية ميكانيكا الكم وحقيقة أن معادلات ميكانيكا الكم هي من الدرجة الأولى في الزمن. وأخيرًا، في هذه الحالة فقط ينطبق مبدأ التراكب بالكامل، أي أنه يمكن توسيع دالة الموجة في نقطة P باعتبارها تراكبًا للموجات على سطح حدودي يحيط بـ P. ويمكن تفسير الدوال الموجية بالمعنى الميكانيكي الكمومي المعتاد باعتبارها كثافات احتمالية حيث تنطبق صيغة دوال جرين والمروجين . والجدير بالذكر أن هذا المبدأ المعمم ينطبق على "موجات المادة" وليس على موجات الضوء بعد الآن. وقد تم توضيح عامل الطور الآن كما هو موضح بواسطة الفعل ولم يعد هناك أي ارتباك حول سبب اختلاف أطوار الموجات عن طور الموجة الأصلية وتعديلها بواسطة معلمات فرينل الإضافية.

وفقًا لـ Greiner ^[14] يمكن التعبير عن المبدأ المعمم في النموذج: ${\displaystyle t'>t}$

${\displaystyle \psi '(\mathbf {x} ',t')=i\int d^{3}x\,G(\mathbf {x} ',t';\mathbf {x} ,t)\psi (\mathbf {x} ,t)}$

حيث G هي دالة جرين المعتادة التي تنتشر في الزمن دالة الموجة . هذا الوصف يشبه ويعمم صيغة فرينل الأولية للنموذج الكلاسيكي. ${\displaystyle \psi }$

كانت نظرية هويجنز بمثابة تفسير أساسي للطبيعة الموجية لتداخل الضوء، وقد طورها فرينل ويونج بشكل أكبر، لكنها لم تحل بشكل كامل جميع الملاحظات مثل تجربة الشق المزدوج منخفض الكثافة التي أجراها جي آي تايلور لأول مرة في عام 1909. ولم تبدأ مناقشات نظرية الكم، وخاصة المناقشات المبكرة في مؤتمر سولفاي في بروكسل عام 1927، إلا في أوائل ومنتصف القرن العشرين ، حيث اقترح لويس دي برولي فرضية دي برولي التي تفيد بأن الفوتون موجه بواسطة دالة موجية. ^[17]

تقدم الدالة الموجية تفسيرًا مختلفًا تمامًا للنطاقات الضوئية والداكنة المرصودة في تجربة الشق المزدوج. في هذا المفهوم، يتبع الفوتون مسارًا يمثل اختيارًا احتماليًا لأحد المسارات العديدة المحتملة في المجال الكهرومغناطيسي. تشكل هذه المسارات المحتملة النمط: في المناطق المظلمة، لا تهبط أي فوتونات، وفي المناطق المضيئة، تهبط العديد من الفوتونات. تتوافق مجموعة مسارات الفوتونات المحتملة مع نظرية تكامل المسار لريتشارد فاينمان، والمسارات التي تحددها البيئة المحيطة: نقطة انطلاق الفوتون (الذرة)، والشق، والشاشة، ومن خلال تتبع المراحل وتلخيصها. الدالة الموجية هي حل لهذه الهندسة. وقد تم دعم نهج الدالة الموجية بشكل أكبر من خلال تجارب الشق المزدوج الإضافية في إيطاليا واليابان في السبعينيات والثمانينيات باستخدام الإلكترونات. ^[18]

يمكن اعتبار مبدأ هويجنز نتيجة لتجانس الفضاء - الفضاء موحد في جميع المواقع. ^[19] أي اضطراب يحدث في منطقة صغيرة بما فيه الكفاية من الفضاء المتجانس (أو في وسط متجانس) ينتشر من تلك المنطقة في جميع الاتجاهات الجيوديسية. الموجات الناتجة عن هذا الاضطراب، بدورها، تخلق اضطرابات في مناطق أخرى، وهكذا. يؤدي تراكب جميع الموجات إلى النمط المرصود لانتشار الموجة.

إن تجانس الفضاء أمر أساسي لنظرية المجال الكمومي (QFT) حيث تنتشر دالة الموجة لأي جسم على طول جميع المسارات المتاحة غير المعوقة. عند التكامل على طول جميع المسارات الممكنة ، مع عامل طور متناسب مع الفعل ، فإن تداخل الدوال الموجية يتنبأ بشكل صحيح بالظواهر القابلة للملاحظة. تعمل كل نقطة على واجهة الموجة كمصدر للموجات الثانوية التي تنتشر في مخروط الضوء بنفس سرعة الموجة. يتم العثور على واجهة الموجة الجديدة عن طريق إنشاء مماس السطح للموجات الثانوية.

في عام 1900، لاحظ جاك هادامارد أن مبدأ هويجنز قد انكسر عندما يكون عدد الأبعاد المكانية زوجيًا. ^{[20] [21] [22]} ومن هذا، طور مجموعة من التخمينات التي لا تزال موضوعًا نشطًا للبحث. ^{[23] [24]} على وجه الخصوص، تم اكتشاف أن مبدأ هويجنز ينطبق على فئة كبيرة من المساحات المتجانسة المستمدة من مجموعة كوكستر (على سبيل المثال، مجموعات ويل لجبر لاي البسيط ). ^{[19] [25]}

يؤدي البيان التقليدي لمبدأ هويجنز لداليمبرتيان إلى ظهور التسلسل الهرمي KdV ؛ وعلى نحو مماثل، يؤدي مشغل ديراك إلى ظهور التسلسل الهرمي AKNS . ^{[26] [27]}

• ستراتون، جوليوس آدامز: النظرية الكهرومغناطيسية ، ماكجرو هيل، 1941. (أعيد إصدارها بواسطة وايلي - مطبعة معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات، رقم ISBN 978-0-470-13153-4 ). 
• بي بي بيكر وإي تي كوبسون، النظرية الرياضية لمبدأ هويجنز ، أكسفورد، 1939، 1950؛ إيه إم إس تشيلسي، 1987.