مقدمة في نظرية القياس

تاريخيًا، كان الكهرومغناطيسية الكلاسيكية أول مثال يُكتشف لتناظر القياس . ^{[ 9 ]} يمكن وصف المجال الكهربائي الساكن بدلالة جهد كهربائي (فولتية، V ) مُحدد عند كل نقطة في الفضاء، وفي التطبيقات العملية، من المتعارف عليه اعتبار الأرض مرجعًا فيزيائيًا يُحدد مستوى الصفر للجهد، أو الأرض . لكن لا يُمكن قياس سوى فروق الجهد فيزيائيًا، ولهذا السبب يجب أن يحتوي الفولتميتر على قطبين، ولا يُمكنه قياس سوى فرق الجهد بينهما. وبالتالي، يُمكن اختيار تعريف جميع فروق الجهد بالنسبة إلى معيار آخر، بدلًا من الأرض، مما يؤدي إلى إضافة إزاحة ثابتة. ^{[ 10 ]} إذا كان الجهد V حلًا لمعادلات ماكسويل ، فبعد هذا التحويل القياسي، يكون الجهد الجديد V → V + C أيضًا حلًا لمعادلات ماكسويل، ولا يُمكن لأي تجربة التمييز بين هذين الحلين. بعبارة أخرى، تظل قوانين الفيزياء التي تحكم الكهرباء والمغناطيسية (أي معادلات ماكسويل) ثابتة تحت التحويل القياسي. ^{[ 11 ]} معادلات ماكسويل لها تناظر قياسي.

بتعميم مفهوم الكهرباء الساكنة على الكهرومغناطيسية، نحصل على جهد ثانٍ، هو الجهد المغناطيسي المتجه A ، والذي يمكن أن يخضع أيضًا لتحويلات قياسية. قد تكون هذه التحويلات محلية، أي أنه بدلًا من إضافة قيمة ثابتة إلى V ، يمكن إضافة دالة تأخذ قيمًا مختلفة عند نقاط مختلفة في المكان والزمان. إذا تم تغيير A أيضًا بطرق مماثلة، فسينتج عن ذلك نفس المجالين E (الكهربائي) و B (المغناطيسي). ترد العلاقة الرياضية المفصلة بين المجالين E و B والجهدين V و A في مقال "تثبيت القياس" ، إلى جانب بيان دقيق لطبيعة التحويل القياسي. النقطة المهمة هنا هي أن المجالين يظلان كما هما تحت التحويل القياسي، وبالتالي تظل معادلات ماكسويل محققة.

يرتبط تناظر القياس ارتباطًا وثيقًا بحفظ الشحنة . لنفترض وجود عملية ما تسمح بانتهاك حفظ الشحنة لفترة وجيزة عن طريق إنشاء شحنة q عند نقطة معينة في الفضاء، 1، ثم نقلها إلى نقطة أخرى 2، ثم إتلافها. قد نتصور أن هذه العملية تتوافق مع حفظ الطاقة. يمكننا افتراض قاعدة تنص على أن إنشاء الشحنة يتطلب طاقة مقدارها _E₁ = qV₁ ، _وأن إتلافها يُحرر طاقة مقدارها _{E₂ =} qV₂ ، وهو ما يبدو طبيعيًا لأن qV₁ تقيس الطاقة الإضافية المخزنة في المجال الكهربائي نتيجة وجود شحنة عند نقطة معينة. خارج الفترة التي يوجد فيها الجسيم، يتحقق حفظ الطاقة، لأن صافي الطاقة المنبعثة من إنشاء الجسيم وإتلافه، qV₂ - qV₁ _، يساوي الشغل المبذول في نقل الجسيم من 1 إلى 2، _qV₂ - qV₁ _{. ولكن على الرغم من أن هذا السيناريو يحافظ على حفظ الطاقة،} إلا أنه ينتهك تناظر القياس. يتطلب تناظر القياس أن تظل قوانين الفيزياء ثابتة تحت التحويل V → V + C ، مما يعني أنه لا يمكن _لأي تجربة قياس الجهد المطلق دون الرجوع إلى معيار خارجي كالأرضي الكهربائي. لكن القواعد المقترحة _E₁ = qV₁ و E₂ = qV₂ _لطاقتي الخلق والإفناء تسمح للمُجرِّب بتحديد الجهد المطلق، ببساطة عن طريق مقارنة الطاقة المُدخلة اللازمة لخلق الشحنة q عند نقطة معينة في الفضاء عندما يكون الجهد V و V + C _على التوالي. والخلاصة هي أنه إذا تحقق تناظر القياس، وحُفظت الطاقة، فلا بد أن تُحفظ الشحنة. ^{[ 12 ]}

كما ذُكر أعلاه، فإن تحويلات القياس في النسبية العامة الكلاسيكية (أي غير الكمومية) هي تحويلات إحداثيات اختيارية. ^{[ 13 ]} من الناحية التقنية، يجب أن تكون هذه التحويلات قابلة للعكس، وأن يكون كل من التحويل وعكسه سلسين، بمعنى قابلين للتفاضل عددًا اختياريًا من المرات.

حتى ظهور ميكانيكا الكم، كان المثال الوحيد المعروف جيدًا لتناظر القياس موجودًا في الكهرومغناطيسية، ولم تكن الأهمية العامة لهذا المفهوم مفهومة تمامًا. على سبيل المثال، لم يكن واضحًا ما إذا كانت الحقول E و B أو الكمونين V و A هي الكميات الأساسية؛ فإذا كانت E و B هما الكميتان الأساسيتان، فإن تحويلات القياس يمكن اعتبارها مجرد حيلة رياضية تُستخدم على V و A.

في ميكانيكا الكم، يُوصف الجسيم، كالإلكترون مثلاً، بأنه موجة. فعلى سبيل المثال، عند إجراء تجربة الشق المزدوج باستخدام الإلكترونات، يُلاحظ نمط تداخل موجي. وتكون احتمالية رصد الإلكترون أعلى ما يمكن عند المواضع التي تكون فيها أجزاء الموجة المارة عبر الشقين متوافقة في الطور، مما ينتج عنه تداخل بناء . ويرتبط تردد الموجة الإلكترونية ، f ، بالطاقة الحركية للإلكترون عبر العلاقة الكمومية E = hf . في حال غياب المجالات الكهربائية أو المغناطيسية في هذه التجربة، تكون طاقة الإلكترون ثابتة، وبالتالي، على سبيل المثال، تكون احتمالية رصد الإلكترون عالية على طول المحور المركزي للتجربة، حيث يكون جزئي الموجة متوافقين في الطور بحكم التناظر.

لكن لنفترض الآن أن الإلكترونات في التجربة تخضع لمجالات كهربائية أو مغناطيسية. على سبيل المثال، إذا تم تطبيق مجال كهربائي على أحد جانبي المحور دون الآخر، فإن نتائج التجربة ستتأثر. يتذبذب جزء الموجة الإلكترونية المار عبر ذلك الجانب بمعدل مختلف، نظرًا لإضافة طاقة مقدارها -eV إليه ، حيث -e هي شحنة الإلكترون و V هو الجهد الكهربائي. ستكون نتائج التجربة مختلفة، لأن علاقات الطور بين جزئي الموجة الإلكترونية قد تغيرت، وبالتالي ستنتقل مواقع التداخل البنّاء والهدّام إلى أحد الجانبين. الجهد الكهربائي هو ما يحدث هنا، وليس المجال الكهربائي، وهذا دليل على أن الجهود، لا المجالات، هي ذات الأهمية الأساسية في ميكانيكا الكم.

باختصار، تكتسب تناظرية القياس أهميتها القصوى في سياق ميكانيكا الكم. عند تطبيق ميكانيكا الكم على الكهرومغناطيسية، أي الديناميكا الكهربائية الكمية ، تنطبق تناظرية القياس على كلٍ من الموجات الكهرومغناطيسية وموجات الإلكترون. في الواقع، ترتبط هاتان التناظريتان ارتباطًا وثيقًا. فإذا طُبِّق تحويل قياسي θ على موجات الإلكترون، على سبيل المثال، فلا بد من تطبيق تحويل مماثل على الكمونات التي تصف الموجات الكهرومغناطيسية. ^{[ 18 ]} تناظرية القياس ضرورية لجعل الديناميكا الكهربائية الكمية نظرية قابلة لإعادة التطبيع ، أي نظرية تكون فيها التنبؤات المحسوبة لجميع الكميات القابلة للقياس الفيزيائي محدودة.

إن وصف الإلكترونات في القسم الفرعي أعلاه بأنها ساعات صغيرة هو في الواقع بيان للقواعد الرياضية التي تُجمع وتُطرح وفقًا لها أطوار الإلكترونات: تُعامل كأعداد عادية، باستثناء أنه في حالة وقوع نتيجة الحساب خارج النطاق 0 ≤ θ < 360°، فإننا نجبرها على "الالتفاف" داخل النطاق المسموح به، والذي يُشكل دائرة. بعبارة أخرى، تُعتبر زاوية طور مقدارها، على سبيل المثال، 5° مكافئة تمامًا لزاوية مقدارها 365°. وقد تحققت التجارب من صحة هذه العبارة القابلة للاختبار حول أنماط التداخل التي تُشكلها موجات الإلكترون. باستثناء خاصية "الالتفاف"، فإن الخصائص الجبرية لهذا التركيب الرياضي هي نفسها تمامًا خصائص الأعداد الحقيقية العادية.

في المصطلحات الرياضية، تُشكّل أطوار الإلكترون زمرةً أبيليةً تحت عملية الجمع، تُسمى زمرة الدائرة أو U(1). تعني كلمة "أبلية" أن الجمع تبديلي ، بحيث يكون θ + φ = φ + θ . وتعني كلمة " زمرة " أن الجمع تجميعي ، وأن لها عنصرًا محايدًا ، وهو "0"، ولكل طور يوجد معكوس بحيث يكون مجموع الطور ومعكوسه يساوي صفرًا. ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأبيلية: الأعداد الصحيحة تحت الجمع، والصفر، والنفي، والكسور غير الصفرية تحت الضرب، والواحد، والمقلوب.

لتوضيح كيفية اختيار مقياس القياس، تخيل إمكانية معرفة ما إذا كان قد تم ليّ أسطوانة. إذا كانت الأسطوانة خالية من أي نتوءات أو علامات أو خدوش، فلا يمكننا معرفة ذلك. ولكن يمكننا رسم منحنى عشوائي على طول الأسطوانة، مُعرَّف بدالة θ ( x )، حيث x تُمثل المسافة على طول محور الأسطوانة. بمجرد اتخاذ هذا القرار العشوائي (اختيار مقياس القياس)، يصبح من الممكن اكتشاف ذلك إذا قام شخص ما لاحقًا بليّ الأسطوانة.

في عام ١٩٥٤، اقترح تشن نينغ يانغ وروبرت ميلز تعميم هذه الأفكار لتشمل الزمر غير التبادلية. يمكن لزمرة قياس غير تبادلية أن تصف مجالًا، على عكس المجال الكهرومغناطيسي، يتفاعل مع نفسه. على سبيل المثال، تنص النسبية العامة على أن المجالات الجاذبية تمتلك طاقة، وتخلص النسبية الخاصة إلى أن الطاقة تعادل الكتلة. وبالتالي، يُحدث مجال الجاذبية مجال جاذبية آخر. كما تتمتع القوى النووية بهذه الخاصية التفاعلية الذاتية.

من المثير للدهشة أن تناظر القياس يُمكن أن يُقدم تفسيراً أعمق لوجود التفاعلات، مثل التفاعلات الكهربائية والنووية. ينشأ هذا من نوع من تناظر القياس يتعلق بحقيقة أن جميع الجسيمات من نوع معين لا يُمكن تمييزها تجريبياً عن بعضها البعض. تخيل أن أليس وبيتي توأمان متطابقان، وُضعت عليهما عند الولادة أساور تحمل الحرفين A وB. ولأن الفتاتين متطابقتان، فلن يتمكن أحد من معرفة ما إذا تم تبديلهما عند الولادة؛ فالحرفان A وB اختياريان، ويمكن تبديلهما. يُشبه هذا التبادل الدائم لهويتيهما تناظر قياس شامل. يوجد أيضاً تناظر قياس محلي مُقابل، يصف حقيقة أنه في لحظة ما، يُمكن لأليس وبيتي تبادل الأدوار دون أن يلاحظ أحد، ولن يتمكن أحد من معرفة ذلك. إذا لاحظنا أن مزهرية الأم المفضلة مكسورة، فلا يسعنا إلا استنتاج أن اللوم يقع على إحدى التوأمتين، لكننا لا نستطيع الجزم ما إذا كان اللوم يقع على أليس بنسبة 100% وبيتي بنسبة 0%، أو العكس. إذا كانت أليس وبيتي في الواقع جسيمات كمومية وليستا بشريتين، فإنهما تمتلكان أيضًا خصائص موجية، بما في ذلك خاصية التراكب ، التي تسمح بجمع الموجات وطرحها وخلطها كيفما اتفق. ويترتب على ذلك أننا لسنا مقيدين حتى بالتبديل الكامل للهوية. على سبيل المثال، إذا لاحظنا وجود كمية معينة من الطاقة في موقع معين في الفضاء، فلا توجد تجربة يمكنها أن تخبرنا ما إذا كانت تلك الطاقة تمثل 100% من طاقة أليس و0% من طاقة بيتي، أو 0% من طاقة أليس و100% من طاقة بيتي، أو 20% من طاقة أليس و80% من طاقة بيتي، أو أي مزيج آخر. حقيقة أن التناظر محلي تعني أنه لا يمكننا حتى الاعتماد على ثبات هذه النسب أثناء انتشار الجسيمات في الفضاء. تعتمد تفاصيل كيفية تمثيل ذلك رياضيًا على مسائل تقنية تتعلق بدوران الجسيمات ، ولكن لأغراضنا الحالية، نعتبر جسيمًا عديم الدوران، والذي يتضح أنه يمكن تحديد مزجه باختيار عشوائي للمقياس θ ( x )، حيث تمثل الزاوية θ = 0° نسبة 100% من A و0% من B، وتعني θ = 90° نسبة 0% من A و100% من B، وتمثل الزوايا المتوسطة مزيجًا.

وفقًا لمبادئ ميكانيكا الكم، لا تمتلك الجسيمات مسارات محددة في الفضاء. يمكن وصف الحركة فقط من خلال الموجات، وترتبط كمية الحركة (p) للجسيم بطول موجته (λ) بالعلاقة: p = h / λ . من الناحية التجريبية، لا يمكن تحديد طول الموجة إلا بملاحظة تغيرها بين نقطة في الفضاء ونقطة أخرى قريبة (رياضيًا، عن طريق التفاضل ). تتذبذب الموجة ذات الطول الموجي الأقصر بسرعة أكبر، وبالتالي تتغير بسرعة أكبر بين النقاط القريبة. لنفترض الآن أننا نثبت مقياسًا عند نقطة معينة في الفضاء، ونقول إن الطاقة عند تلك النقطة هي 20% من النوع A و80% من النوع B. ثم نقيس الموجتين عند نقطة أخرى قريبة لتحديد طوليهما الموجيين. ولكن هناك سببان مختلفان تمامًا لتغير الموجتين. ربما تغيرت هذه القيم بسبب تذبذبها بطول موجي معين، أو ربما تغيرت بسبب تغير دالة القياس من مزيج 20-80 إلى، على سبيل المثال، 21-79. إذا تجاهلنا الاحتمال الثاني، فإن النظرية الناتجة لن تكون صحيحة؛ ستظهر اختلافات غريبة في الزخم، مما يخالف مبدأ حفظ الزخم. لا بد من تغيير شيء ما في النظرية.

توجد مجددًا مسائل تقنية تتعلق باللف المغزلي، ولكن في العديد من الحالات المهمة، بما في ذلك الجسيمات المشحونة كهربائيًا والجسيمات المتفاعلة عبر القوى النووية، يكمن حل المشكلة في إضفاء طابع فيزيائي على دالة القياس θ ( x ). نقول إنه إذا تذبذبت الدالة θ ، فإنها تمثل نوعًا جديدًا من الموجات الكمومية، وهذه الموجة الجديدة لها زخمها الخاص p = h / λ ، والذي يُسهم في معالجة التناقضات التي كانت ستؤدي لولا ذلك إلى الإخلال بقانون حفظ الزخم. في سياق الكهرومغناطيسية، ستكون الجسيمات A وB جسيمات مشحونة مثل الإلكترونات، وستكون الموجة الكمومية التي تمثلها θ هي المجال الكهرومغناطيسي. (هنا نتجاهل المسائل التقنية الناجمة عن حقيقة أن للإلكترونات في الواقع عزمًا مغزليًا مقداره 1/2، وليس صفرًا. هذا التبسيط المفرط هو السبب في أن حقل القياس θ يصبح كمية قياسية، بينما يُمثَّل الحقل الكهرومغناطيسي في الواقع بمتجه يتكون من V و A. ) والنتيجة هي أن لدينا تفسيرًا لوجود التفاعلات الكهرومغناطيسية: إذا حاولنا بناء نظرية متناظرة قياسيًا لجسيمات متطابقة غير متفاعلة، فإن النتيجة لن تكون متسقة ذاتيًا، ولا يمكن إصلاحها إلا بإضافة مجالات كهربائية ومغناطيسية تُسبب تفاعل الجسيمات.

على الرغم من أن الدالة θ ( x ) تصف موجة، فإن قوانين ميكانيكا الكم تقتضي أن تمتلك أيضًا خصائص جسيمية. في حالة الكهرومغناطيسية، الجسيم المقابل للموجات الكهرومغناطيسية هو الفوتون. تُسمى هذه الجسيمات عمومًا بوزونات القياس ، حيث يشير مصطلح "بوزون" إلى جسيم ذي لف مغزلي صحيح. في أبسط صيغ النظرية، تكون بوزونات القياس عديمة الكتلة، ولكن من الممكن أيضًا بناء صيغ تمتلك فيها كتلة. هذا هو الحال بالنسبة لبوزونات القياس التي تحمل التفاعل الضعيف: القوة المسؤولة عن الاضمحلال النووي.