الدالة العكسية

تذكر أنه إذا كانت f دالة قابلة للعكس ذات مجال X ومجال مقابل Y ، فإن

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$لكل${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$لكل${\displaystyle y\in Y}$.

باستخدام تركيب الدوال ، يمكن إعادة كتابة هذه العبارة إلى المعادلات التالية بين الدوال:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$و${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

حيث id _X هي دالة التطابق على المجموعة X ؛ أي الدالة التي لا تُغير وسيطها. في نظرية الفئات ، يُستخدم هذا التعريف كتعريف للتشاكل العكسي .

يساعد فهم تركيب الدوال على فهم الرمز f⁻¹ ^. يُطلق على تركيب الدالة f : X → X مع نفسها بشكل متكرر اسم التكرار . إذا طُبقت f عدد n من المرات، بدءًا من القيمة x ، يُكتب ذلك على النحو التالي: ^fⁿ ( x ) ؛ لذا f₂ ( x ) = f ( f ( x )) ^، وهكذا. بما أن ^{f⁻¹ (} f ( x ) ) = x ، فإن تركيب f⁻¹ و fⁿ ^{يُنتج fⁿ⁻¹ ،} مما يُلغي تأثير تطبيق f مرة واحدة .

على الرغم من أن الرمز f ⁻¹ ( x ) قد يُساء فهمه، ^{[ 1 ]} فإن ( f ( x )) ⁻¹ يدل بالتأكيد على المعكوس الضربي لـ f ( x ) ولا علاقة له بالدالة العكسية لـ f . ^{[ 6 ]} الرمز${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$يمكن استخدامها للدالة العكسية لتجنب الغموض مع المعكوس الضربي . ^{[ 7 ]}

تماشيًا مع الترميز العام، يستخدم بعض المؤلفين الإنجليز تعابير مثل sin⁻¹ ( x ) للدلالة على معكوس دالة الجيب المطبقة على x (وهو في الواقع ^معكوس جزئي ؛ انظر أدناه). ^{[ 8 ] [ 6 ]} ويرى مؤلفون آخرون أن هذا قد يُخلط مع ترميز المعكوس الضربي لـ sin( x ) ، والذي يُرمز إليه بـ (sin( x )) ^⁻¹ . ^{[ 6 ]} ولتجنب أي لبس، يُشار غالبًا إلى معكوس الدوال المثلثية بالبادئة " arc " (نسبةً إلى الكلمة اللاتينية arcus ). ^{[ 9 ] [ 10 ]} على سبيل المثال، يُطلق على معكوس دالة الجيب عادةً اسم دالة arcsine ، وتُكتب arcsin ( x ) . ^{[ 9 ] [ 10 ]} وبالمثل، يُشار إلى معكوس الدالة الزائدية بالبادئة " ar " (نسبةً إلى الكلمة اللاتينية ārea ). ^{[ 10 ] على} سبيل المثال، يُكتب معكوس دالة الجيب الزائدي عادةً على الصورة arsinh ( x ) . ^{[ 10 ]} لا تزال تعابير مثل sin⁻¹ ( x ) مفيدة للتمييز بين المعكوس متعدد القيم والمعكوس الجزئي.${\displaystyle \sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}}$تُسبق بعض الدوال الخاصة العكسية أحيانًا بالبادئة "inv"، وذلك لتجنب الغموض الذي قد يسببه رمز f ^{−1 . [ 11 ] [ 10 ]}

الدالة f : R → [0,∞) المعطاة بالعلاقة f ( x ) = x ² ليست دالة أحادية لأن${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$لذلك، فإن الدالة f غير قابلة للعكس.

إذا اقتصر مجال الدالة على الأعداد الحقيقية غير السالبة، أي أننا نأخذ الدالة${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$وباتباع القاعدة نفسها كما في السابق، تكون الدالة تقابلية، وبالتالي قابلة للعكس. ^{[ 12 ]} تُسمى الدالة العكسية هنا دالة الجذر التربيعي (الموجبة) ويُرمز لها بـ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$.

يوضح الجدول التالي العديد من الدوال القياسية ومعكوساتها:

الدوال الحسابية العكسية

الدالة f ( x )	الدالة العكسية f −1 ( y )	ملحوظات
س + أ	ص - أ
أ - س	أ - ص
مكس	ص / م​​	m ≠ 0
1 / x ( أي x −1 )​	1 / y ( أي y −1 )​	x ، y ≠ 0
x p	${\displaystyle {\sqrt[{p}]{y}}}$(أي y 1/ p )	عدد صحيح p > 0 ؛ x ، y ≥ 0 إذا كان p زوجيًا
أ ×	سجل y​	y > 0 و a > 0 و a ≠ 1
x e x	W ( y )	x ≥ −1 و y ≥ −1/ e
الدوال المثلثية	الدوال المثلثية العكسية	قيود مختلفة (انظر الجدول أدناه)
الدوال الزائدية	الدوال الزائدية العكسية	قيود متنوعة
الدالة اللوجستية	لوجيت

العديد من الدوال المعطاة بصيغ جبرية لها صيغة معكوسة. وذلك لأن المعكوس${\displaystyle f^{-1}}$دالة قابلة للعكس${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$له وصف صريح على النحو التالي:

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in \mathbb {R} {\text{ such that }}f(x)=y)}$.

يُتيح ذلك تحديد معكوسات العديد من الدوال بسهولة، والتي تُعطى بصيغ جبرية. على سبيل المثال، إذا كانت f هي الدالة

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

ثم لتحديد${\displaystyle f^{-1}(y)}$لإيجاد عدد حقيقي y ، يجب إيجاد العدد الحقيقي الوحيد x الذي يحقق المعادلة ( 2x + 8) ^³ = y . يمكن حل هذه المعادلة كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

وبالتالي، فإن الدالة العكسية f ⁻¹ تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

في بعض الأحيان، لا يمكن التعبير عن معكوس الدالة بصيغة مغلقة . على سبيل المثال، إذا كانت f هي الدالة

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

إذن ^، f دالة تقابل، وبالتالي تمتلك دالة عكسية f⁻¹ . صيغة هذه الدالة العكسية لها تعبير على شكل مجموع لانهائي:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

If an inverse function exists for a given function f, then it is unique.^[13] This follows since the inverse function must be the converse relation, which is completely determined by f.

There is a symmetry between a function and its inverse. Specifically, if f is an invertible function with domain X and codomain Y, then its inverse f ⁻¹ has domain Y and image X, and the inverse of f ⁻¹ is the original function f. In symbols, for functions f:X → Y and f⁻¹:Y → X,^[13]

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ and ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

This statement is a consequence of the implication that for f to be invertible it must be bijective. The involutory nature of the inverse can be concisely expressed by^[14]

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

The inverse of a composition of functions is given by^[15]

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Notice that the order of g and f have been reversed; to undo f followed by g, we must first undo g, and then undo f.

For example, let f(x) = 3x and let g(x) = x + 5. Then the composition g ∘ f is the function that first multiplies by three and then adds five,

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

To reverse this process, we must first subtract five, and then divide by three,

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

This is the composition (f ⁻¹ ∘ g ⁻¹)(x).

If X is a set, then the identity function on X is its own inverse:

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

More generally, a function f : X → X is equal to its own inverse, if and only if the composition f ∘ f is equal to id_X. Such a function is called an involution.

If f is invertible, then the graph of the function

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

is the same as the graph of the equation

${\displaystyle x=f(y).}$

This is identical to the equation y = f(x) that defines the graph of f, except that the roles of x and y have been reversed. Thus the graph of f ⁻¹ can be obtained from the graph of f by switching the positions of the x and y axes. This is equivalent to reflecting the graph across the line y = x.^[16][1]

By the inverse function theorem, a continuous function of a single variable ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ (where ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$) is invertible on its range (image) if and only if it is either strictly increasing or decreasing (with no local maxima or minima). For example, the function

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

is invertible, since the derivativef′(x) = 3x² + 1 is always positive.

If the function f is differentiable on an interval I and f′(x) ≠ 0 for each x ∈ I, then the inverse f ⁻¹ is differentiable on f(I).^[17] If y = f(x), the derivative of the inverse is given by the inverse function theorem,

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

Using Leibniz's notation the formula above can be written as

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

This result follows from the chain rule (see the article on inverse functions and differentiation).

يمكن تعميم نظرية الدالة العكسية لتشمل الدوال ذات المتغيرات المتعددة. تحديدًا، تكون الدالة f : R ⁿ → R ^n، القابلة للتفاضل باستمرار ، قابلةً للعكس في جوار النقطة p طالما أن مصفوفة جاكوبي للدالة f عند p قابلة للعكس . في هذه الحالة، تكون مصفوفة جاكوبي للدالة f ⁻¹ عند f ( p ) هي معكوس مصفوفة جاكوبي للدالة f عند p .

حتى لو لم تكن الدالة f دالة أحادية، فقد يكون من الممكن تعريف معكوس جزئي لها عن طريق تقييد مجال تعريفها. على سبيل المثال، الدالة

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

ليست دالة أحادية، لأن x² ⁼ (−x ) ² ^. ومع ذلك، تصبح الدالة أحادية إذا اقتصرنا على المجال x ≥ 0 ، وفي هذه الحالة

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

(إذا قمنا بدلاً من ذلك بتقييد المجال x ≤ 0 ، فإن المعكوس هو معكوس الجذر التربيعي لـ y .)

بدلاً من ذلك، لا داعي لتقييد المجال إذا كنا راضين بأن تكون الدالة العكسية دالة متعددة القيم :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

يُطلق على هذا المعكوس متعدد القيم أحيانًا اسم المعكوس الكامل للدالة f ، وتُسمى أجزاؤه (مثل √x و −√x ) بالفروع . يُسمى الفرع الأهم للدالة متعددة القيم (مثل الجذر التربيعي الموجب) بالفرع ^{الرئيسي} ، وتُسمى قيمته عند y بالقيمة الرئيسية للدالة f⁻¹ ( y ) .

بالنسبة للدالة المتصلة على خط الأعداد الحقيقية، يلزم وجود فرع واحد بين كل زوج من القيم القصوى المحلية . على سبيل المثال، الدالة العكسية لدالة تكعيبية ذات قيمة عظمى محلية وقيمة صغرى محلية لها ثلاثة فروع (انظر الصورة المجاورة).

تُعدّ الاعتبارات المذكورة أعلاه ذات أهمية خاصة لتعريف الدوال العكسية للدوال المثلثية . على سبيل المثال، دالة الجيب ليست دالة أحادية، لأن

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

لكل عدد حقيقي x ( وبشكل أعم، sin ( x + 2πn ) = sin( x) لكل عدد صحيح n). مع ذلك، فإن دالة الجيب أحادية على الفترة [−π/2, π / 2 ] ، ويُطلق على معكوسها الجزئي اسم دالة الجيب العكسية . يُعتبر هذا الفرع الرئيسي لدالة الجيب العكسية، لذا فإن القيمة الرئيسية لدالة الجيب العكسية تقع دائمًا بين −π /2 و π / 2 . يوضح الجدول التالي الفرع الرئيسي ^لكل دالة مثلثية عكسية : ^{[ 19} ]

لا يشترط أن تتطابق تركيبات الدوال على اليسار واليمين. بشكل عام، الشروط

1. "يوجد g بحيث يكون g ( f ( x ))= x " و
2. "يوجد g بحيث يكون f ( g ( x ))= x "

تُشير هذه الخصائص المختلفة إلى خصائص مختلفة للدالة f . على سبيل المثال، لنفترض أن ^f : R → [ 0 , ∞) هي دالة التربيع، بحيث f ( x ) = x² لكل x في R ، ولنفترض أن g : [ 0, ∞) → R هي دالة الجذر التربيعي، بحيث g ( x ) = √x لكل x ≥ 0. عندئذٍ f ( g ( x ) ) = x لكل x في [ 0, ∞) ؛ أي أن g هي معكوس يميني للدالة f . مع ذلك، فإن g ليست معكوسًا يساريًا للدالة f ، لأن، على سبيل المثال، g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

معكوسات يمينية

الدالة العكسية اليمنى للدالة f ( أو مقطعها ) هي دالة h : Y → X بحيث

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

أي أن الدالة h تحقق القاعدة

لو${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$، ثم${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

وبالتالي، قد يكون h ( y ) أيًا من عناصر X التي ترتبط بـ y تحت f .

يكون للدالة f معكوس يميني إذا وفقط إذا كانت شاملة (يتحقق هذا التكافؤ إذا وفقط إذا تحققت بديهية الاختيار ).

إذا كانت h هي المعكوس الأيمن للدالة f ، فإن f دالة شاملة. لكل${\displaystyle y\in Y}$، هنالك${\displaystyle x=h(y)}$بحيث${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$.

إذا كانت f دالة شاملة، فإن f لها معكوس يميني h ، والذي يمكن بناؤه على النحو التالي: لكل${\displaystyle y\in Y}$يوجد واحد على الأقل${\displaystyle x\in X}$بحيث${\displaystyle f(x)=y}$(لأن f شاملة)، لذلك نختار واحدًا ليكون قيمة h ( y ) . ^{[ 23 ]}

إذا كانت f : X → Y أي دالة (ليست بالضرورة قابلة للعكس)، فإن الصورة العكسية (أو الصورة المعكوسة ) لعنصر y ∈ Y تُعرَّف بأنها مجموعة جميع عناصر X التي تُسقط على y :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

يمكن اعتبار الصورة العكسية لـ y بمثابة صورة y تحت المعكوس الكامل (متعدد القيم ) للدالة f .

يمكن تعميم هذا المفهوم على المجموعات الجزئية من المدى. تحديدًا، إذا كانت S أي مجموعة جزئية من Y ، فإن الصورة العكسية لـ S ، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle f^{-1}(S)}$، هي مجموعة جميع عناصر X التي تُقابل S :

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

على سبيل المثال، لنأخذ الدالة f : R → R ; x ↦ x ^2. هذه الدالة غير قابلة للعكس لأنها ليست تقابلية، ولكن يمكن تعريف صور عكسية لمجموعات جزئية من المجال المقابل، على سبيل المثال

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$.

يرتبط المفهوم الأصلي وتعميمه بالتطابق.${\displaystyle f^{-1}(y)=f^{-1}(\{y\}),}$تُسمى الصورة العكسية لعنصر واحد y ∈ Y - وهي مجموعة أحادية { y } - أحيانًا بألياف y . عندما ^تكون Y هي مجموعة الأعداد الحقيقية، فمن الشائع الإشارة إلى f⁻¹ ({ y }) على أنها مجموعة مستوى .