حقل الموتر

في الرياضيات والفيزياء ، يُعرَّف حقل الموترات بأنه دالة تُسند قيمة موترية لكل نقطة في منطقة من فضاء رياضي ( عادةً فضاء إقليدي أو متعدد الشعب ) أو فضاء فيزيائي ، وفي هذه الحالة تكتسب كمية الحقل وحدة قياس . تُستخدم حقول الموترات في الهندسة التفاضلية ، والهندسة الجبرية ، والنسبية العامة ، وفي تحليل الإجهاد والانفعال في الأجسام المادية، وفي العديد من التطبيقات في العلوم الفيزيائية . وبما أن الموتر هو تعميم للكمية القياسية (عدد محض يُمثل قيمة، مثل السرعة) والمتجه ( مقدار واتجاه، مثل السرعة المتجهة)، فإن حقل الموترات هو تعميم لحقل قياسي وحقل متجه يُسند، على التوالي، قيمة قياسية أو متجهة لكل نقطة في الفضاء. إذا عُرِّف موتر A على مجموعة حقول متجهة X(M) فوق وحدة M ، فإننا نسمي A حقل موترات على M. ^{[ 1 ]} يُشار إلى حقل الموتر، في الاستخدام الشائع، غالبًا بالصيغة المختصرة "موتر". على سبيل المثال، يشير موتر انحناء ريمان إلى حقل موتر ، حيث إنه يربط موترًا بكل نقطة من نقاط مشعب ريمان ، وهو فضاء طوبولوجي .

يترك${\displaystyle M}$ليكن متعدد الشعب ، على سبيل المثال الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

التعريف. حقل موتر من النوع${\displaystyle (p,q)}$هو قسم

$${\displaystyle T\ \in \ \Gamma (M,V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q})}$$

أين${\displaystyle V=TM}$أن تكون حزمة المماس لـ${\displaystyle M}$(التي تسمى مقاطعها حقول المتجهات أو حقول المتجهات المتغيرة في الفيزياء) و${\displaystyle V^{*}=T^{*}M}$وهي حزمتها الثنائية، الفضاء المماسي المشترك (الذي تسمى مقاطعه أشكال 1، أو حقول المتجهات المتغيرة في الفيزياء)، و${\displaystyle \otimes }$هو حاصل الضرب الموتري لحزم المتجهات.

بصورة مكافئة، حقل الموتر هو مجموعة من العناصر${\displaystyle T_{x}\in V_{x}^{\otimes p}\otimes (V_{x}^{*})^{\otimes q}}$لكل نقطة${\displaystyle x\in M}$، أين${\displaystyle \otimes }$يشير الآن إلى حاصل الضرب الموتري لفضاءات المتجهات، بحيث يشكل خريطة سلسة${\displaystyle T:M\rightarrow V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q}}$العناصر${\displaystyle T_{x}}$تُسمى هذه المتغيرات بالموترات .

محليًا في حي منسق${\displaystyle U}$مع الإحداثيات${\displaystyle x^{1},\ldots x^{n}}$لدينا أساس محلي (Vielbein) لحقول المتجهات${\displaystyle \partial _{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\ldots \partial _{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}}$، وأساس مزدوج من 1 أشكال${\displaystyle dx^{1},\ldots dx^{n}}$لهذا السبب. ${\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\partial _{j}x^{i}=\delta _{j}^{i}}$في الجوار الإحداثي${\displaystyle U}$ثم لدينا $${\displaystyle T_{x}=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\partial _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{i_{p}}\otimes dx^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{j_{q}}}$$ هنا وفيما يلي نستخدم اصطلاحات جمع أينشتاين. لاحظ أنه إذا اخترنا نظام إحداثيات مختلفًا${\displaystyle y^{1}\ldots y^{n}}$ثم${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial y^{k}}}}$و${\displaystyle dx^{j}={\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{\ell }}}dy^{\ell }}$حيث الإحداثيات${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$يمكن التعبير عنها بالإحداثيات${\displaystyle (y^{1},\ldots y^{n}}$والعكس صحيح، بحيث

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{x}&=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{i_{p}}}}\otimes dx^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{j_{q}}\\&=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial y^{k_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial y^{k_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial y^{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial y^{\ell _{q}}}}{\frac {\partial }{\partial y^{k_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial y^{k_{p}}}}\otimes dy^{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes dy^{\ell _{q}}\\&=T_{\ell _{1},\cdots \ell _{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}(y^{1},\ldots y^{n}){\frac {\partial }{\partial y^{k_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial y^{k_{p}}}}\otimes dy^{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes dy^{\ell _{q}}\\\end{aligned}}}$$ أي $${\displaystyle T_{\ell _{1},\cdots \ell _{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}(y^{1},\ldots y^{n})=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial y^{k_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial y^{k_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial y^{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial y^{\ell _{q}}}}}$$ نظام الدوال المفهرسة${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n})}$(نظام واحد لكل اختيار لنظام الإحداثيات) متصلة بالتحويلات كما هو مذكور أعلاه هي الموترات في التعريفات أدناه.

ملاحظة: يمكن للمرء، بشكل عام، أن يأخذ ${\displaystyle V}$أن تكون أي حزمة متجهة على${\displaystyle M}$، و${\displaystyle V^{*}}$حزمتها الثنائية . في هذه الحالة، يمكن أن تكون فضاءً طوبولوجيًا أكثر عمومية. تُسمى هذه المقاطع موترات${\displaystyle V}$أو الموترات اختصاراً إذا لم يكن هناك مجال للالتباس.

يمكن تصور حقل المتجهات بشكل بديهي على أنه "سهم" متصل بكل نقطة في منطقة ما، بطول واتجاه متغيرين. ومن الأمثلة على حقل المتجهات في فضاء منحني خريطة الطقس التي تُظهر سرعة الرياح الأفقية عند كل نقطة من سطح الأرض.

والآن لننظر إلى حقول أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، إذا كان المتشعب ريمانيًا، فإنه يمتلك حقلًا متريًا.${\displaystyle g}$بحيث إذا أعطيت أي متجهين${\displaystyle v,w}$عند النقطة${\displaystyle x}$، منتجهم الداخلي هو${\displaystyle g_{x}(v,w)}$المجال${\displaystyle g}$يمكن تمثيلها بصيغة مصفوفة، لكن ذلك يعتمد على اختيار الإحداثيات. ويمكن بدلاً من ذلك تمثيلها كقطع ناقص نصف قطره 1 عند كل نقطة، وهو شكل لا يعتمد على الإحداثيات. وعند تطبيقها على سطح الأرض، تُعرف هذه الظاهرة بمؤشر تيسو .

بشكل عام، نريد تحديد حقول الموتر بطريقة مستقلة عن الإحداثيات: يجب أن يكون موجودًا بشكل مستقل عن خطوط الطول والعرض، أو أي "إسقاط خرائطي" معين نستخدمه لإدخال الإحداثيات العددية.

استناداً إلى شوتين (1951) وماكونيل (1957) ، يعتمد مفهوم الموتر على مفهوم الإطار المرجعي (أو نظام الإحداثيات )، والذي قد يكون ثابتاً (بالنسبة إلى إطار مرجعي أساسي)، ولكن بشكل عام يمكن السماح له بالتغير ضمن فئة معينة من تحويلات أنظمة الإحداثيات هذه. ^{[ 2 ]}

على سبيل المثال، الإحداثيات التي تنتمي إلى فضاء الإحداثيات الحقيقية ذي الأبعاد n${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$قد تخضع لتحويلات خطية عشوائية :

${\displaystyle x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}}$

(مع مؤشرات ذات أبعاد n ، والجمع ضمني ). المتجه المتغير، أو المتجه المرافق، هو نظام من الدوال${\displaystyle v_{k}}$الذي يتحول تحت هذا التحويل الأفيني وفقًا للقاعدة

${\displaystyle v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.}$

قائمة متجهات أساس الإحداثيات الديكارتية${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$يتحول كمتجه مرافق، لأنه تحت التحويل الأفيني${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}}$المتجه المتغاير هو نظام من الدوال${\displaystyle v^{k}}$من الإحداثيات التي تخضع لتحويل تآلفي كهذا

${\displaystyle v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.}$

هذا هو الشرط المطلوب تحديداً لضمان أن الكمية${\displaystyle v^{k}\mathbf {e} _{k}}$هو كائن ثابت لا يعتمد على نظام الإحداثيات المُختار. وبشكل أعم، فإن إحداثيات موتر التكافؤ ( p , q ) لها p مؤشرات علوية و q مؤشرات سفلية، ويكون قانون التحويل كما يلي:

${\displaystyle {T^{i_{1}\cdots i_{p}}}_{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i'_{1}}^{i_{1}}\cdots A_{i'_{p}}^{i_{p}}{T^{i'_{1}\cdots i'_{p}}}_{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j_{1}}^{j'_{1}}\cdots (A^{-1})_{j_{q}}^{j'_{q}}.}$

يمكن الحصول على مفهوم حقل الموتر بتخصيص تحويلات الإحداثيات المسموح بها لتكون سلسة (أو قابلة للتفاضل ، أو تحليلية ، إلخ). حقل المتجهات المرافقة هو دالة${\displaystyle v_{k}}$من الإحداثيات التي تتحول بواسطة مصفوفة جاكوبي لدوال الانتقال (في الفئة المعطاة). وبالمثل، حقل متجه متغاير${\displaystyle v^{k}}$يتحول بواسطة معكوس جاكوبيان.

الحزمة الموترية هي حزمة ليفية ، حيث تكون الحزمة الليفية ناتج ضرب موتري لأي عدد من نسخ الفضاء المماسي و/أو الفضاء المماسي المشترك للفضاء الأساسي، وهو فضاء متعدد الشعب. وبذلك، تُعتبر الحزمة الليفية فضاءً متجهيًا ، وتُعتبر الحزمة الموترية نوعًا خاصًا من الحزم المتجهة .

تُعدّ الحزمة المتجهة فكرة طبيعية عن "الفضاء المتجهي الذي يعتمد بشكل مستمر (أو سلس) على المعاملات" - والمعاملات هي نقاط متعددة الشعب M. على سبيل المثال، قد يبدو الفضاء المتجهي أحادي البعد الذي يعتمد على زاوية ما كشريط موبيوس أو أسطوانة . وبالنظر إلى حزمة متجهة V على M ، يُطلق على مفهوم الحقل المقابل اسم مقطع الحزمة: بالنسبة لـ m المتغير على M ، فإن اختيار متجه

v _m in V _m ,

حيث V _m هو الفضاء المتجهي "عند" m .

بما أن مفهوم الضرب الموتري مستقل عن أي اختيار للأساس، فإن حساب الضرب الموتري لحزمتين متجهتين على M يُعد إجراءً روتينياً. بدءاً من الحزمة المماسية (حزمة الفضاءات المماسية )، فإن الجهاز بأكمله الموضح في المعالجة غير المعتمدة على المكونات للموترات ينتقل بطريقة روتينية - مرة أخرى بشكل مستقل عن الإحداثيات، كما ذُكر في المقدمة.

لذا، يمكننا تعريف حقل الموتر بأنه مقطع من حزمة موترية . (توجد حزم متجهة ليست حزم موترية، مثل شريط موبيوس). وهذا يضمن محتوى هندسيًا، لأن كل شيء تم بطريقة جوهرية. بتعبير أدق، يُسند حقل الموتر إلى أي نقطة معينة على المتشعب موترًا في الفضاء.

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},}$

حيث V هي الفضاء المماسي عند تلك النقطة، و V ^* هي الفضاء المماسي المرافق . انظر أيضًا الحزمة المماسية والحزمة المماسية المرافقة .

بفرض وجود حزمتين موتريتين E → M و F → M ، يمكن اعتبار التطبيق الخطي A : Γ( E ) → Γ( F ) من فضاء مقاطع E إلى مقاطع F بمثابة مقطع موتري لـ${\displaystyle \scriptstyle E^{*}\otimes F}$إذا وفقط إذا حقق الشرط A ( fs ) = fA ( s )، لكل مقطع s في Γ( E ) ولكل دالة ملساء f على M. وبالتالي، ^فإن مقطع الموتر ليس مجرد دالة خطية على فضاء متجهات المقاطع، بل هو دالة خطية من النوع C∞ ( M ) على وحدة المقاطع. تُستخدم هذه الخاصية للتحقق، على سبيل المثال، من أنه على الرغم من أن مشتقة لي والمشتقة المتغيرة ليستا موترات، فإن موترات الالتواء والانحناء المُنشأة منهما موترات.

قد يكون ترميز حقول الموترات مشابهًا بشكل مربك لترميز فضاءات الموترات. لذا، قد تُكتب حزمة المماس TM = T ( M ) أحيانًا على النحو التالي:

${\displaystyle T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM}$

للتأكيد على أن الحزمة المماسية هي فضاء المدى لحقول الموترات (1,0) (أي حقول المتجهات) على المتشعب M. يجب عدم الخلط بين هذا وبين الترميز المشابه له ظاهريًا.

${\displaystyle T_{0}^{1}(V)}$؛

في الحالة الأخيرة، لدينا فضاء موتر واحد فقط، بينما في الحالة الأولى، لدينا فضاء موتر معرف لكل نقطة في المتشعب M.

تُستخدم الأحرف المائلة (الخطية) أحيانًا للدلالة على مجموعة حقول الموترات القابلة للتفاضل بلا حدود على M. وبالتالي،

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)}$

هي أقسام حزمة الموتر ( m , n ) على M التي يمكن تفاضلها بلا حدود. حقل الموتر هو عنصر من هذه المجموعة.

هناك طريقة أخرى أكثر تجريدًا (لكنها غالبًا ما تكون مفيدة) لتوصيف حقول الموترات على مشعب M ، والتي تجعل حقول الموترات موترات حقيقية (أي تحويلات متعددة الخطية مفردة )، وإن كانت من نوع مختلف (مع أن هذا ليس عادةً سبب قولنا "موتر" عندما نقصد "حقل موترات"). أولًا، يمكننا النظر في مجموعة جميع حقول المتجهات الملساء ( ^C∞ ) على M ،${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M):={\mathcal {T}}_{0}^{1}(M)}$(انظر قسم الرموز أعلاه) كفضاء واحد – وحدة نمطية على حلقة الدوال الملساء، ^C∞ ( M ) ، عن طريق الضرب القياسي النقطي. تمتد مفاهيم الخطية المتعددة وحاصل الضرب الموتري بسهولة إلى حالة الوحدات النمطية على أي حلقة تبديلية .

كمثال تحفيزي، انظر إلى المساحة${\displaystyle \Omega ^{1}(M)={\mathcal {T}}_{1}^{0}(M)}$من حقول المتجهات المشتركة الملساء ( أشكال 1 )، وهي أيضًا وحدة نمطية على الدوال الملساء. تعمل هذه على حقول المتجهات الملساء لإنتاج دوال ملساء عن طريق التقييم النقطي، أي، بالنظر إلى حقل متجه مشترك ω وحقل متجه X ، نُعرّف

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(X)(p):=\omega (p)(X(p)).}$

بسبب الطبيعة النقطية لكل شيء معني، فإن فعل${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$على X هو تطبيق خطي من النوع C ^∞ ( M )، أي

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(fX)(p)=\omega (p)((fX)(p))=\omega (p)(f(p)X(p))=f(p)\omega (p)(X(p))=(f\omega )(p)(X(p))=(f{\tilde {\omega }})(X)(p)}$

لأي قيمة p في M ودالة f سلسة . بالتالي، يمكننا اعتبار حقول المتجهات المرافقة ليس فقط مقاطع من حزمة الظل المرافق، بل أيضًا تحويلات خطية لحقول المتجهات إلى دوال. وباستخدام البناء الثنائي المزدوج، يمكن التعبير عن حقول المتجهات بالمثل كتحويلات لحقول المتجهات المرافقة إلى دوال (أي، يمكننا البدء "مباشرة" بحقول المتجهات المرافقة والتوسع منها).

في توازي تام مع بناء الموترات المفردة العادية (ليست حقول الموترات!) على M كخرائط متعددة الخطية على المتجهات والمتجهات المرافقة، يمكننا اعتبار حقول الموترات العامة ( k , l ) على M كخرائط ^متعددة الخطية من النوع C∞ ( M ) معرفة على k نسخة من${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ونسخ من​${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$إلى C ^∞ ( M ).

الآن، بالنظر إلى أي دالة اختيارية T من ناتج k نسخة من${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ونسخ من​${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$في C∞ ( M )، يتضح أنه ينشأ من حقل موتر على M إذا وفقط إذا كان متعدد الخطية على C∞ ( M ⁾ . أي C∞ ( M ) ^- وحدة حقول الموترات من ^النوع${\displaystyle (k,l)}$^يكون على M متماثلًا قانونيًا مع وحدة C∞ ( M ) من الأشكال متعددة الخطية C∞ ( M ) ^.

${\displaystyle \underbrace {\Omega ^{1}(M)\times \ldots \times \Omega ^{1}(M)} _{l\ \mathrm {times} }\times \underbrace {{\mathfrak {X}}(M)\times \ldots \times {\mathfrak {X}}(M)} _{k\ \mathrm {times} }\to C^{\infty }(M).}$^{[ 3 ]}

هذا النوع من التعدد الخطي يعبر ضمنيًا عن حقيقة أننا نتعامل بالفعل مع كائن محدد نقطيًا، أي حقل موتر، على عكس دالة تعتمد، حتى عند تقييمها عند نقطة واحدة، على جميع قيم حقول المتجهات والأشكال 1 في وقت واحد.

ومن الأمثلة الشائعة لتطبيق هذه القاعدة العامة إثبات أن اتصال ليفي-تشيفيتا ، وهو عبارة عن تحويل لحقول متجهة سلسة${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$إن أخذ زوج من حقول المتجهات إلى حقل متجه لا يُعرّف حقل موتر على M. وذلك لأنه فقط${\displaystyle \mathbb {R} }$-خطي في Y [بدلاً من الخطية الكاملة C ^∞ ( M )، فإنه يحقق قاعدة لايبنيز،${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y}$]. ومع ذلك، يجب التأكيد على أنه على الرغم من أنه ليس حقل موتر، إلا أنه لا يزال مؤهلاً ككائن هندسي ذي تفسير خالٍ من المكونات.

تتم مناقشة موتر الانحناء في الهندسة التفاضلية، وموتر الإجهاد والطاقة مهم في الفيزياء، ويرتبط هذان الموتران بنظرية النسبية العامة لأينشتاين .

في الكهرومغناطيسية ، يتم دمج المجالين الكهربائي والمغناطيسي في مجال موتر كهرومغناطيسي .

الأشكال التفاضلية ، المستخدمة في تعريف التكامل على المشعبات، هي نوع من أنواع حقول الموترات.

في الفيزياء النظرية وغيرها من المجالات، تُوفّر المعادلات التفاضلية المُصاغة بدلالة حقول الموترات طريقةً عامةً للتعبير عن العلاقات ذات الطبيعة الهندسية (المضمونة بطبيعة الموترات) والمرتبطة تقليديًا بحساب التفاضل والتكامل . حتى صياغة هذه المعادلات تتطلب مفهومًا جديدًا، وهو المشتقة المتغيرة . يُعنى هذا المفهوم بصياغة تغير حقل الموترات على طول حقل متجه . وقد أدّى مفهوم حساب التفاضل والتكامل المطلق الأصلي ، الذي سُمّي لاحقًا بحساب الموترات ، إلى عزل المفهوم الهندسي للاتصال .

يتضمن توسيع فكرة حقل الموتر حزمة خطية إضافية L على M. إذا كانت W هي حزمة حاصل الضرب الموتري لـ V مع L ، فإن W هي حزمة من الفضاءات المتجهة لها نفس بُعد V. يسمح هذا بتعريف مفهوم كثافة الموتر ، وهو نوع "ملتوٍ" من حقل الموتر. كثافة الموتر هي الحالة الخاصة حيث L هي حزمة الكثافات على مشعب ، وتحديدًا حزمة المحددات لحزمة الظل التمام . (للدقة التامة، يجب أيضًا تطبيق القيمة المطلقة على دوال الانتقال - وهذا لا يُحدث فرقًا يُذكر بالنسبة للمشعب القابل للتوجيه ). لمزيد من الشرح التقليدي، راجع مقالة كثافة الموتر .

إحدى خصائص حزمة الكثافات (بافتراض قابلية التوجيه) L هي أن L ^s مُعرَّفة جيدًا لقيم s الحقيقية ؛ ويمكن استنتاج ذلك من دوال الانتقال، التي تأخذ قيمًا حقيقية موجبة تمامًا. هذا يعني، على سبيل المثال، أنه يمكننا أخذ نصف كثافة ، وهي الحالة التي يكون فيها s = 1/2 . بشكل عام ، يمكننا أخذ مقاطع من W ، وهو حاصل الضرب الموتري لـ V مع L ^s ، والنظر في حقول كثافة الموترات ذات الوزن s .

يتم تطبيق أنصاف الكثافات في مجالات مثل تعريف المؤثرات التكاملية على المشعبات، والتكميم الهندسي .

عندما يكون M فضاءً إقليديًا ، وتُعتبر جميع الحقول ثابتةً عند إزاحتها بواسطة متجهات M ، نعود إلى حالة يكون فيها حقل الموتر مرادفًا لموتر "يقع عند نقطة الأصل". لا يُسبب هذا ضررًا كبيرًا، ويُستخدم غالبًا في التطبيقات. أما عند تطبيقه على كثافات الموتر، فإنه يُحدث فرقًا. لا يُمكن تعريف حزمة الكثافات تعريفًا دقيقًا "عند نقطة"؛ ولذلك، فإن أحد قيود المعالجة الرياضية المعاصرة للموترات هو تعريف كثافات الموتر بطريقة غير مباشرة.

كشرح متقدم لمفهوم الموتر ، يمكن للمرء أن يفسر قاعدة السلسلة في حالة المتغيرات المتعددة، كما هو مطبق على تغييرات الإحداثيات، وأيضًا على أنها شرط للمفاهيم المتسقة ذاتيًا للموتر التي تؤدي إلى حقول الموتر.

بصورة مجردة، يمكننا تعريف قاعدة السلسلة بأنها دورة مشتركة من الدرجة الأولى . فهي توفر الاتساق اللازم لتعريف حزمة المماس بطريقة جوهرية. أما حزم المتجهات الأخرى للموترات فلها دورات مشتركة مماثلة، ناتجة عن تطبيق الخصائص الوظيفية لبنى الموترات على قاعدة السلسلة نفسها؛ ولهذا السبب تُعتبر هذه الحزم مفاهيم جوهرية (أي "طبيعية").

ما يُعرف عادةً بالنهج "الكلاسيكي" للموترات يحاول قراءة هذا المفهوم بشكل عكسي، ولذلك فهو نهج استدلالي لاحق وليس نهجًا تأسيسيًا حقيقيًا. يتضمن تعريف الموترات من خلال كيفية تحولها عند تغيير الإحداثيات نوعًا من الاتساق الذاتي الذي تعبر عنه الدورة المرافقة. يُعد بناء كثافات الموترات "التواءً" على مستوى الدورة المرافقة. لم يكن لدى علماء الهندسة أي شك في الطبيعة الهندسية لكميات الموترات ؛ فهذا النوع من الحجج التنازلية يبرر النظرية بأكملها بشكل مجرد.

• الموتر الثنائي – كائن موتري يعتمد على نقطتين في متعدد الشعب 
• حزمة النفاثات – البناء في الطوبولوجيا التفاضلية 
• حساب ريتشي – ترميز مؤشر الموتر للحسابات القائمة على الموتر 
• حقل سبينور – صفحات ذات بنية هندسية تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 

• أونيل، باريت (1983). الهندسة شبه الريمانية مع تطبيقات في النسبية . إلسيفير ساينس. ISBN 9780080570570.
• فرانكل، ت. (2012)، هندسة الفيزياء (الطبعة الثالثة) ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-1-107-60260-1.
• لامبورن [الجامعة المفتوحة]، آر جيه إيه (2010)، النسبية، الجاذبية، وعلم الكونيات ، مطبعة جامعة كامبريدج، رمز Bibcode : 2010rgc..book.....L ، ISBN 978-0-521-13138-4.
• ليرنر، آر جي ؛ تريج، جي إل (1991)، موسوعة الفيزياء (الطبعة الثانية) ، دار نشر في إتش سي.
• ماكونيل، أ. ج. (1957)، تطبيقات تحليل الموترات ، منشورات دوفر، رقم ISBN 9780486145020{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
• مكماهون، د. (2006)، تبسيط النسبية ، ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية)، رقم ISBN 0-07-145545-0.
• سي. ميسنر، كيه إس ثورن، جيه إيه ويلر (1973)، الجاذبية ، دبليو إتش فريمان وشركاه، رقم ISBN 0-7167-0344-0{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link ) .
• باركر، سي بي (1994)، موسوعة ماكجرو هيل للفيزياء (الطبعة الثانية) ، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-051400-3.
• شوتين، يان أرنولدوس (1951)، تحليل الموترات للفيزيائيين ، مطبعة جامعة أكسفورد.
• ستينرود، نورمان (5 أبريل 1999). طوبولوجيا حزم الألياف . سلسلة برينستون الرياضية. المجلد  14. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC 40734875 .