الخطية

في الرياضيات، الدالة الخطية أو الدالة الخطية f ( x ) هي دالة تحقق الخاصيتين التاليتين: ^{[ 1 ]}

• خاصية الجمع : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) .
• التجانس من الدرجة 1: f (α x ) = α f ( x ) لجميع α.

تُعرف هذه الخصائص بمبدأ التراكب . في هذا التعريف، لا يُشترط أن يكون x عددًا حقيقيًا ، ولكنه قد يكون عنصرًا من أي فضاء متجهي . يُستخدم تعريفٌ أكثر تحديدًا للدالة الخطية ، لا يتطابق مع تعريف التحويل الخطي، في الرياضيات الابتدائية (انظر أدناه).

خاصية الجمع وحدها تستلزم التجانس بالنسبة لـ α النسبي ، لأن${\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}$يشير إلى${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$لأي عدد طبيعي n بالاستقراء الرياضي ، ثم${\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}$يشير إلى${\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}$. إن كثافة الأعداد النسبية في الأعداد الحقيقية تعني أن أي دالة جمعية متصلة تكون متجانسة لأي عدد حقيقي α، وبالتالي فهي خطية.

يمكن توسيع مفهوم الخطية ليشمل المؤثرات الخطية . ومن الأمثلة المهمة على المؤثرات الخطية المشتقة باعتبارها مؤثرًا تفاضليًا ، ومؤثرات أخرى مشتقة منها، مثل دل ولابلاس . عندما يمكن التعبير عن معادلة تفاضلية بصيغة خطية، يمكن حلها عمومًا بتقسيم المعادلة إلى أجزاء أصغر، وحل كل جزء منها، ثم جمع الحلول.

في استخدام مختلف عن التعريف أعلاه، يُقال إن كثيرة الحدود من الدرجة الأولى خطية، لأن الرسم البياني لدالة من هذا الشكل هو خط مستقيم. ^{[ 2 ]}

بالنسبة للأعداد الحقيقية، يُعطى مثال بسيط للمعادلة الخطية كما يلي:$${\displaystyle y=mx+b,}$$ حيث يُطلق على m غالبًا اسم الميل أو التدرج ، و b هو المقطع الصادي ، والذي يعطي نقطة التقاطع بين الرسم البياني للدالة والمحور الصادي  .

لاحظ أن استخدام مصطلح "خطي" هنا يختلف عن استخدامه في القسم السابق، لأن كثيرات الحدود الخطية على الأعداد الحقيقية لا تحقق عمومًا خاصيتي الجمع والتجانس. في الواقع، تحقق هاتين الخاصيتين فقط إذا كان الحد الثابت - b في المثال - يساوي صفرًا. إذا كان b ≠ صفرًا ، تُسمى الدالة دالة تآلفية (انظر بشكل أعم التحويل التآلفي ).   

الجبر الخطي هو فرع من فروع الرياضيات يهتم بأنظمة المعادلات الخطية.

في الجبر البولياني ، الدالة الخطية هي دالة${\displaystyle f}$والتي يوجد لها${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}$بحيث

${\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$، أين${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}$

لاحظ أنه إذا${\displaystyle a_{0}=1}$، تعتبر الدالة المذكورة أعلاه دالة خطية في الجبر الخطي (أي ليست خطية).

تكون الدالة المنطقية خطية إذا تحقق أحد الشروط التالية في جدول الحقيقة الخاص بها :

1. في كل صف تكون فيه قيمة الصواب للدالة T ، يُخصص عدد فردي من قيم T للوسائط، وفي كل صف تكون فيه قيمة الصواب للدالة F، يُخصص عدد زوجي من قيم T للوسائط. تحديدًا، f (F, F, ..., F) = F ، وهذه الدوال تُقابل تحويلات خطية على فضاء المتجهات المنطقية.
2. في كل صف تكون فيه قيمة الدالة T، يوجد عدد زوجي من قيم T مُخصصة لمتغيرات الدالة؛ وفي كل صف تكون فيه قيمة الدالة F، يوجد عدد فردي من قيم T مُخصصة لمتغيرات الدالة. في هذه الحالة، f (F, F, ..., F) = T.

وهناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك وهي أن كل متغير يحدث فرقًا دائمًا في قيمة الصواب للعملية أو أنه لا يحدث فرقًا على الإطلاق.

النفي ، والشرط الثنائي المنطقي ، و"أو الحصري" ، والتكرار ، والتناقض هي دوال خطية.

بالنسبة للجهاز الإلكتروني (أو أي جهاز مادي آخر) الذي يحول كمية إلى كمية أخرى، كتب بيرترام إس. كولتس: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

تُستخدم ثلاثة تعريفات أساسية للخطية التكاملية: الخطية المستقلة، والخطية الصفرية، وخطية نقطة النهاية. في كل حالة، تُحدد الخطية مدى تقارب أداء الجهاز الفعلي، ضمن نطاق تشغيل مُحدد، مع خط مستقيم. تُقاس الخطية عادةً من حيث الانحراف، أو اللاخطية، عن خط مستقيم مثالي، ويُعبر عنها عادةً كنسبة مئوية من النطاق الكامل ، أو بوحدة جزء في المليون (ppm ) من النطاق الكامل. عادةً، يُستخلص الخط المستقيم من خلال تطبيق طريقة المربعات الصغرى على البيانات. تختلف التعريفات الثلاثة في طريقة تحديد موضع الخط المستقيم بالنسبة لأداء الجهاز الفعلي. كما تتجاهل جميع هذه التعريفات أي أخطاء في الكسب أو الإزاحة قد تكون موجودة في خصائص أداء الجهاز الفعلي.