تكافؤ موريتا

في الجبر المجرد ، يُعرف تكافؤ موريتا بأنه علاقة بين حلقتين تحافظ على العديد من خصائص نظرية الحلقات . وبشكل أدق، فإن حلقتين R و S متكافئتان وفقًا لموريتا (يرمز لهما بـ${\displaystyle R\approx S}$) إذا كانت فئات وحداتهم متكافئة جمعيًا (يرمز لها بـ${\displaystyle {}_{RM}\approx {}_{S}M}$^{[ أ ]} ). ^{[ 2 ]} سميت على اسم عالم الرياضيات اليابانيكيتي موريتاالذي عرّف التكافؤ ومفهومًا مشابهًاللازدواجيةفي عام 1958.

تُدرس الحلقات عادةً من خلال وحداتها ، إذ يمكن اعتبار الوحدات تمثيلاتٍ للحلقات. لكل حلقة R بنية وحدات R طبيعية على نفسها، حيث يُعرَّف فعل الوحدة بأنه الضرب في الحلقة، لذا فإنّ المنهج القائم على الوحدات أكثر عموميةً ويُقدّم معلوماتٍ مفيدة. لهذا السبب، غالبًا ما تُدرس الحلقة بدراسة فئة الوحدات فوقها. يأخذ تكافؤ موريتا هذا المنظور إلى نتيجة طبيعية بتعريف الحلقات بأنها متكافئة موريتا إذا كانت فئات وحداتها متكافئة . هذا المفهوم ذو أهمية فقط عند التعامل مع الحلقات غير التبادلية ، إذ يمكن إثبات أن حلقتين تبادليتين متكافئتان موريتا إذا وفقط إذا كانتا متماثلتين .

يُقال إن حلقتين R و S (تجميعيتين، مع 1) متكافئتان ( موريتا ) إذا وُجد تكافؤ بين فئة الوحدات (اليسرى) على R ، R-Mod ، وفئة الوحدات (اليسرى) على S ، S-Mod . يمكن إثبات أن فئتي الوحدات اليسرى R-Mod و S-Mod متكافئتان إذا وفقط إذا كانت فئتا الوحدات اليمنى Mod-R و Mod-S متكافئتين. علاوة على ذلك، يمكن إثبات أن أي دالة من R-Mod إلى S-Mod تُنتج تكافؤًا تكون جمعية تلقائيًا .

أي حلقتين متماثلتين تكونان متكافئتين وفقًا لنظرية موريتا.

حلقة المصفوفات من الرتبة n × n التي عناصرها تنتمي إلى R ، والتي يُرمز لها بـ MⁿR _، تُكافئ R وفقًا لموريتا لأي عدد صحيح n > 0. يُلاحظ أن هذا يُعمم تصنيف حلقات أرتين البسيطة المُقدمة في نظرية أرتين-ويدربورن . ولإثبات التكافؤ، لاحظ أنه إذا كانت X وحدة نمطية يسارية على R، ^{فإن Xⁿ} هي وحدة نمطية _من Mⁿ ( R ) حيث تُعطى بنية الوحدة النمطية بضرب المصفوفات على يسار متجهات الأعمدة من X. يُتيح هذا تعريف دالة من فئة الوحدات النمطية اليسارية على R إلى فئة الوحدات النمطية اليسارية من Mⁿ ( R ) . تُعرَّف الدالة العكسية بإدراك أنه لأي وحدة نمطية من _Mⁿ ( R )، _توجد وحدة نمطية يسارية X على R بحيث تُستنتج الوحدة النمطية من Mⁿ( R ₎ من X كما هو موضح أعلاه.

يمكن وصف التكافؤات على النحو التالي: إذا كان F  : R-Mod${\displaystyle \to }$S-Mod و G  : S-Mod${\displaystyle \to }$إذا كانت الدوال R-Mod دوالًا جمعية (متغايرة)، فإن F و G تكونان متكافئتين إذا وفقط إذا كان هناك ثنائي نمطي متوازن ( S ، R ) P بحيث يكون _S P و P _R مولدين إسقاطيين منتهيين ، وهناك تماثلات طبيعية بين الدوال.${\displaystyle \operatorname {F} (-)\cong P\otimes _{R}-}$و من الدوال${\displaystyle \operatorname {G} (-)\cong \operatorname {Hom} (_{S}P,-).}$تُسمى المولدات الإسقاطية ذات التوليد المحدود أحيانًا بالمولدات الأولية نسبةً إلى فئة وحداتها. ^{[ 3 ]}

لكل دالة تامة من اليمين F من فئة الوحدات النمطية R اليسرى إلى فئة الوحدات النمطية S اليسرى التي تتبادل مع المجاميع المباشرة ، تُظهر نظرية في الجبر الهومولوجي أنه يوجد وحدة نمطية ثنائية ( S ، R ) E بحيث تكون الدالة${\displaystyle \operatorname {F} (-)}$متماثل بشكل طبيعي مع الدالة${\displaystyle E\otimes _{R}-}$بما أن التكافؤات بالضرورة تامة وتتبادل مع المجاميع المباشرة، فإن هذا يعني أن R و S متكافئتان وفقًا لموريتا إذا وفقط إذا وُجدت وحدات ثنائية _R M _S و _S N _R بحيث${\displaystyle M\otimes _{S}N\cong R}$كوحدات ثنائية ( R ، R ) و${\displaystyle N\otimes _{R}M\cong S}$باعتبارها وحدات ثنائية ( S , S ). علاوة على ذلك، ترتبط N و M عبر تماثل الوحدات الثنائية ( S , R ):${\displaystyle N\cong \operatorname {Hom} (M_{S},S_{S})}$.

وبشكل أكثر تحديدًا، تكون حلقتان R و S متكافئتين وفقًا لنظرية موريتا إذا وفقط إذا${\displaystyle S\cong \operatorname {End} (P_{R})}$بالنسبة لوحدة توليد أولية P _R ، ^{[ 4 ]} وهو ما يتحقق إذا وفقط إذا

${\displaystyle S\cong e\mathbb {M} _{n}(R)e}$

(تشاكل الحلقات) لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة n و e الكاملة عديمة القوة في حلقة المصفوفة M _n R .

من المعروف أنه إذا كانت R مكافئة لموريتا لـ S ، فإن الحلقة Z( R ) متماثلة مع الحلقة Z( S )، حيث Z(-) تشير إلى مركز الحلقة، وعلاوة على ذلك فإن R / J ( R ) مكافئة لموريتا لـ S / J ( S )، حيث J (-) تشير إلى جذر جاكوبسون .

_{بينما تكون الحلقات المتماثلة متكافئة موريتا، فإن} الحلقات المتكافئة موريتا قد تكون غير متماثلة. مثال بسيط على ذلك هو أن حلقة القسمة D متكافئة موريتا مع جميع حلقات المصفوفات MⁿD ، ولكنها لا يمكن أن تكون متماثلة عندما n > 1. في الحالة الخاصة للحلقات التبديلية، تكون الحلقات المتكافئة موريتا متماثلة بالفعل. هذا يتبع مباشرة من التعليق أعلاه، لأنه إذا كانت R متكافئة موريتا مع S، فإن  ${\displaystyle R=\operatorname {Z} (R)\cong \operatorname {Z} (S)=S}$.

يحافظ مُعامل التكافؤ على العديد من خصائص الكائنات في فئة الوحدات. وبشكل عام، تُعتبر أي خاصية للوحدات مُعرّفة بدلالة الوحدات وتشاكلاتها فقط ( وليس بدلالة عناصرها الأساسية أو الحلقة) خاصية فئوية يحافظ عليها مُعامل التكافؤ. على سبيل المثال، إذا كان F (-) هو مُعامل التكافؤ من R-Mod إلى S-Mod ، فإن الوحدة R، M ، تمتلك أيًا من الخصائص التالية إذا وفقط إذا كانت الوحدة S، F ( M )، تمتلكها: حقنية ، إسقاطية ، مسطحة ، أمينة ، بسيطة ، شبه بسيطة ، مولدة نهائيًا ، مُقدمة نهائيًا ، أرتينية ، ونويثرية . ومن أمثلة الخصائص التي لا يُشترط الحفاظ عليها: كونها حرة ، وكونها دورية .

تُصاغ العديد من خصائص نظرية الحلقات بدلالة وحداتها، ولذا تُحفظ هذه الخصائص بين الحلقات المتكافئة وفقًا لموريتا. تُسمى الخصائص المشتركة بين الحلقات المتكافئة بخصائص موريتا الثابتة . على سبيل المثال، تكون الحلقة R شبه بسيطة إذا وفقط إذا كانت جميع وحداتها شبه بسيطة، وبما أن الوحدات شبه البسيطة محفوظة في ظل تكافؤ موريتا، فإن الحلقة المكافئة S يجب أن تكون جميع وحداتها شبه بسيطة أيضًا، وبالتالي تكون حلقة شبه بسيطة بحد ذاتها.

أحيانًا لا يكون من الواضح تمامًا سبب ضرورة الحفاظ على خاصية معينة. على سبيل المثال، باستخدام أحد التعريفات القياسية لحلقة فون نيومان المنتظمة (لكل عنصر a في R ، يوجد عنصر x في R بحيث a  = axa )، ليس من الواضح أن الحلقة المكافئة يجب أن تكون أيضًا منتظمة فون نيومان. مع ذلك، هناك صياغة أخرى: تكون الحلقة منتظمة فون نيومان إذا وفقط إذا كانت جميع وحداتها مسطحة. وبما أن خاصية التسطح محفوظة عبر تكافؤ موريتا، فمن الواضح الآن أن انتظام فون نيومان ثابت موريتا. 

الخصائص التالية ثابتة وفقًا لموريتا:

• بسيط ، شبه بسيط
• فون نيومان منتظم
• النوثيرية اليمنى (أو اليسرى) ، الأرتينية اليمنى (أو اليسرى).
• الحقن الذاتي الأيمن (أو الأيسر)
• شبه فروبينيوس
• عدد أولي ، عدد بدائي أيمن (أو أيسر) ، عدد شبه أولي ، عدد شبه بدائي
• وراثي (أو شبه وراثي) يمين (أو يسار
• يمين (أو يسار) غير مفرد
• اليمين (أو اليسار) متماسك
• شبه ابتدائي ، تام يمين (أو يسار) ، شبه تام
• شبه محلي

تشمل أمثلة الخصائص التي لا تخضع لخاصية موريتا: التبادلية ، والمحلية ، والمختزلة ، والمجالية ، وغولدي الأيمن (أو الأيسر) ، وفروبينيوس ، وعدد الأساس الثابت ، وديديكيند المحدود .

هناك اختباران آخران على الأقل لتحديد ما إذا كانت خاصية الحلقة تنطبق أم لا${\displaystyle {\mathcal {P}}}$هو ثابت موريتا. العنصر e في الحلقة R هو عنصر متطابق تمامًا عندما يكون e ²  = e و ReR = R.   

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$تكون الحلقة R ثابتة موريتا إذا وفقط إذا كانت تحقق الشرط التالي :${\displaystyle {\mathcal {P}}}$، ثم كذلك eRe لكل عنصر متطابق تمامًا e وكذلك كل حلقة مصفوفة M _n R لكل عدد صحيح موجب n ؛

أو

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$تكون الحلقة R ثابتة موريتا إذا وفقط إذا: لأي حلقة R وعنصر متطابق كامل e في R ، فإن R تحقق الشرط التالي:${\displaystyle {\mathcal {P}}}$إذا وفقط إذا كانت الحلقة eRe تحقق${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

تُعدّ نظرية الازدواجيات بين فئات الوحدات النمطية نقيضًا لنظرية التكافؤات، حيث تكون الدوال المستخدمة متغايرة عكسيًا بدلًا من متغايرة مشتركة. ورغم تشابه هذه النظرية في الشكل، إلا أنها تختلف عنها اختلافًا جوهريًا، إذ لا توجد ازدواجية بين فئات الوحدات النمطية لأي حلقة، مع إمكانية وجود ازدواجيات للفئات الفرعية . بعبارة أخرى، ولأن الوحدات النمطية اللانهائية الأبعاد ليست انعكاسية عمومًا ، فإن نظرية الازدواجيات تُطبّق بسهولة أكبر على الجبر المولد نهائيًا فوق الحلقات النويثرية. ولعلّه ليس من المستغرب أن يكون للمعيار المذكور أعلاه نظير في الازدواجيات، حيث يُعطى التشاكل الطبيعي بدلالة دالة التماثل بدلًا من دالة الموتر .

يمكن تعريف تكافؤ موريتا أيضًا في حالات أكثر تنظيمًا، مثل الزمر التبسيطية وجبر C* . في حالة جبر C*، يلزم وجود تكافؤ نوعي أقوى، يُسمى تكافؤ موريتا القوي ، للحصول على نتائج مفيدة في التطبيقات، نظرًا للبنية الإضافية لجبر C* (الناتجة عن عملية * -الانعكاسية ) ولأن جبر C* لا يحتوي بالضرورة على عنصر محايد.

إذا كانت حلقتان متكافئتين وفقًا لموريتا، فإن هناك تكافؤًا مستحثًا بين فئات الوحدات الإسقاطية المعنية، لأن تكافؤات موريتا تحافظ على المتتاليات التامة (وبالتالي الوحدات الإسقاطية). وبما أن نظرية K الجبرية للحلقة تُعرَّف (في منهج كويلين ) بدلالة زمر التماثل (تقريبًا) للفضاء التصنيفي لعصب فئة الوحدات الإسقاطية المولدة نهائيًا (الصغيرة) فوق الحلقة، فلا بد أن تمتلك الحلقات المتكافئة وفقًا لموريتا زمر K متماثلة.

• راينر، آي. (2003). الرتب القصوى . سلسلة دراسات الجمعية الرياضية بلندن. سلسلة جديدة. المجلد  28. مطبعة جامعة أكسفورد . الصفحات 154-169 . ISBN  0-19-852673-3. Zbl 1024.16008 .