الاقتصاد المالي

إن مفاهيم القيمة الحالية والتوقعات هي أساس جميع الاقتصادات المالية . ^{[ 6 ]}

بحساب قيمتها الحالية،${\displaystyle X_{sj}/r}$في الصيغة الأولى، يسمح ذلك لصانع القرار بتجميع التدفقات النقدية (أو العوائد الأخرى) التي سيُنتجها الأصل في المستقبل في قيمة واحدة في التاريخ المحدد، وبالتالي مقارنة فرصتين بسهولة أكبر؛ وهذا المفهوم هو نقطة الانطلاق لاتخاذ القرارات المالية. ^{[ ملاحظة 1 ]} (لاحظ هنا، "${\displaystyle r}$يمثل هذا معدل خصم عام (أو تعسفي) يتم تطبيقه على التدفقات النقدية، بينما في صيغ التقييم، يتم تطبيق المعدل الخالي من المخاطر بمجرد "تعديل" هذه التدفقات وفقًا لمخاطرها؛ انظر أدناه.)

يتمثل أحد التوسعات المباشرة في الجمع بين الاحتمالات والقيمة الحالية، مما يؤدي إلى معيار القيمة المتوقعة الذي يحدد قيمة الأصل كدالة لأحجام العوائد المتوقعة واحتمالات حدوثها.${\displaystyle X_{s}}$و${\displaystyle p_{s}}$على التوالي. ^{[ ملاحظة 2 ]}

إلا أن أسلوب اتخاذ القرار هذا لا يأخذ في الاعتبار النفور من المخاطرة . بعبارة أخرى، بما أن الأفراد يحصلون على منفعة أكبر من دولار إضافي عندما يكونون فقراء، ومنفعة أقل عندما يكونون أغنياء نسبياً، فإن النهج المتبع هو "تعديل" الوزن المخصص للنتائج المختلفة، أي "الحالات"، تبعاً لذلك.${\displaystyle Y_{s}}$انظر سعر اللامبالاة . (قد يكون بعض المستثمرين في الواقع باحثين عن المخاطرة بدلاً من كونهم متجنبين لها ، ولكن المنطق نفسه ينطبق).

يمكن تعريف الاختيار في ظل عدم اليقين هنا بأنه تعظيم المنفعة المتوقعة . وبشكل أكثر دقة، تنص فرضية المنفعة المتوقعة الناتجة على أنه إذا تحققت بعض البديهيات، فإن القيمة الذاتية المرتبطة بالمقامرة من قبل فرد ما هي توقع ذلك الفرد الإحصائي لتقييمات نتائج تلك المقامرة.

ينبع الدافع وراء هذه الأفكار من التناقضات المختلفة التي لوحظت في إطار القيمة المتوقعة، مثل مفارقة سانت بطرسبرغ ومفارقة إلسبرغ . ^{[ ملاحظة 3 ]}

ثم يتم ربط مفاهيم التسعير والتوازن الخالي من المراجحة و"العقلاني" ^{[ 10 ]} مع ما سبق لاستخلاص نماذج اقتصادية مالية "كلاسيكية" ^{[ 11 ]} (أو "كلاسيكية جديدة" ^{[ 12 ] ).}

التسعير الرشيد هو افتراض أن أسعار الأصول (وبالتالي نماذج تسعير الأصول) ستعكس سعر الأصل الخالي من فرص المراجحة، حيث أن أي انحراف عن هذا السعر سيتم استغلاله من خلال المراجحة : "قانون السعر الواحد" . يُعد هذا الافتراض مفيدًا في تسعير الأوراق المالية ذات الدخل الثابت، وخاصة السندات، وهو أساسي في تسعير الأدوات المشتقة.

التوازن الاقتصادي هو حالة تتوازن فيها القوى الاقتصادية، كالعرض والطلب، وفي غياب المؤثرات الخارجية، لا تتغير قيم هذه المتغيرات الاقتصادية. يتناول التوازن العام سلوك العرض والطلب والأسعار في اقتصاد شامل ذي أسواق متعددة أو كثيرة متفاعلة، وذلك بالسعي لإثبات وجود مجموعة من الأسعار تُفضي إلى توازن عام. (وهذا يختلف عن التوازن الجزئي الذي يقتصر على تحليل أسواق منفردة).

يرتبط المفهومان على النحو التالي: عندما تكون أسعار السوق كاملة ولا تسمح بالمراجحة المربحة، أي عندما تشكل سوقًا خالية من المراجحة، يُقال إن هذه الأسعار تُشكل "توازنًا للمراجحة". ويمكن فهم ذلك بشكل بديهي بالنظر إلى أنه عندما توجد فرصة للمراجحة، فمن المتوقع أن تتغير الأسعار، وبالتالي فهي ليست في حالة توازن. ^{[ 13 ]} ومن ثم، يُعد توازن المراجحة شرطًا أساسيًا لتحقيق التوازن الاقتصادي العام.

كلمة "كامل" هنا تعني أن لكل أصل سعراً في كل حالة ممكنة من حالات العالم.${\displaystyle s}$وبالتالي، يمكن بناء المجموعة الكاملة من الرهانات الممكنة على حالات العالم المستقبلية باستخدام الأصول الحالية (بافتراض عدم وجود احتكاك ): أي حل احتمالات n (محايدة للمخاطر) في وقت واحد.${\displaystyle q_{s}}$، مع الأخذ في الاعتبار n سعرًا. للحصول على مثال مبسط، انظر التسعير الرشيد §  التقييم المحايد للمخاطر ، حيث يكون للاقتصاد حالتان محتملتان فقط - صعودًا وهبوطًا - وحيث${\displaystyle q_{up}}$و${\displaystyle q_{down}}$( =${\displaystyle 1-q_{up}}$) هما الاحتمالان المتناظران، وبالتالي التوزيع المشتق، أو "المقياس" .

تُضفي النظرية الأساسية لتسعير الأصول طابعًا رسميًا على هذا. يُعتبر السوق ذو الاحتمالات " الفيزيائية "، والمُشار إليه بـ "P": (أ) خاليًا من المراجحة إذا، وفقط إذا، وُجد مقياس احتمالية محايد للمخاطر واحد على الأقل "Q" يُكافئ P؛ و(ب) كاملًا، إذا كان Q فريدًا، وكان هناك سند خالٍ من المخاطر يُمكن استخدامه كوحدة قياس ، أو مرجع تسعير. ^{[ 14 ]}

سيتم الاشتقاق الرسمي من خلال حجج المراجحة. ^{[ 6 ] [ 13 ] [ 10 ]} غالبًا ما يتم إجراء التحليل هنا بافتراض وجود وكيل تمثيلي ، ^{[ 15 ]} مما يعني أساسًا معاملة جميع المشاركين في السوق، " الوكلاء "، على أنهم متطابقون (أو على الأقل، بافتراض أنهم يتصرفون بطريقة يكون فيها مجموع خياراتهم مكافئًا لقرار فرد واحد) مما يجعل المشكلات قابلة للمعالجة رياضيًا.

مع تطبيق هذا الإجراء، فإن العائد المتوقع، أي المطلوب ، لأي ورقة مالية (أو محفظة استثمارية) سيساوي العائد الخالي من المخاطر، مضافًا إليه "تعديل للمخاطر" ^{[ 6 ]} ، أي علاوة مخاطر خاصة بالورقة المالية ، تعوض عن مدى عدم القدرة على التنبؤ بتدفقاتها النقدية. وبالتالي، فإن جميع نماذج التسعير هي في جوهرها صيغ مختلفة لهذا النموذج، مع مراعاة افتراضات أو شروط محددة. ^{[ 6 ] [ 5 ] [ 16 ]} يتوافق هذا النهج مع ما سبق ، ولكنه يعتمد على توقعات السوق (أي الخالية من فرص المراجحة، وبالتالي، وفقًا للنظرية، في حالة توازن) بدلاً من التفضيلات الفردية.

استكمالاً للمثال، عند تسعير أداة مشتقة ، يتم استخدام التدفقات النقدية المتوقعة في حالتي الصعود والهبوط المذكورتين أعلاه.${\displaystyle X_{up}}$و${\displaystyle X_{down}}$، يتم ضربها في${\displaystyle q_{up}}$و${\displaystyle q_{down}}$ثم يتم خصمها بسعر الفائدة الخالي من المخاطر، وفقًا للمعادلة الثانية أعلاه. من ناحية أخرى، عند تسعير أداة أساسية (في حالة التوازن)، يلزم وجود علاوة مناسبة للمخاطر فوق سعر الفائدة الخالي من المخاطر في عملية الخصم، وذلك باستخدام المعادلة الأولى بشكل أساسي.${\displaystyle Y}$و${\displaystyle r}$مجتمعة. يمكن اشتقاق هذه العلاوة من خلال نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (أو امتداداته) كما سيتبين في قسم  عدم اليقين .

يُفسَّر الفرق كما يلي: بحكم التصميم، ستنمو قيمة المشتقة (بل يجب أن تنمو) بمعدل العائد الخالي من المخاطر، وبناءً على حجج المراجحة، يجب خصم قيمتها تبعًا لذلك؛ في حالة الخيار، يتحقق ذلك من خلال "تصنيع" الأداة كمزيج من الأصل الأساسي و"سند" خالٍ من المخاطر؛ انظر التسعير الرشيد §  التحوط بالدلتا (و§ عدم  اليقين أدناه). عندما يتم تسعير الأصل الأساسي نفسه، فإن "التصنيع" هذا غير ممكن بالطبع - لأن الأداة "أساسية"، أي على عكس "المشتقة" - وبالتالي يلزم دفع علاوة مقابل المخاطر.

على الرغم من أن التمويل الرياضي ينقسم إلى نظامين تحليليين ، إلا أنهما - وفقًا للنظرية الأساسية - متسقان في جوهرهما. لذا، تستخدم إدارة المخاطر والمحافظ الاستثمارية عمومًا الاحتمالية الفيزيائية (أو الفعلية أو الاكتوارية) P، بينما يستخدم تسعير المشتقات الاحتمالية المحايدة للمخاطر (أو تسعير المراجحة) Q. (في تطبيقات محددة، تُستخدم الرموز الصغيرة p وq، كما في المعادلات أعلاه). ولكن هنا، يقوم المحللون الكميون ، في الواقع، ببناء الاحتمالية الأخيرة من الأولى (كما هو موضح)؛ وذلك كـ"تسهيل" في النمذجة، مما يسمح لهم بالعمل كما لو كانوا محايدين للمخاطر وخصم العوائد المتوقعة بمعدل العائد الخالي من المخاطر.

بعد تحديد العلاقة المذكورة أعلاه، يمكن اشتقاق نموذج آرو-ديبرو المتخصص . ^{[ ملاحظة 4 ]} تشير هذه النتيجة إلى أنه في ظل ظروف اقتصادية معينة، لا بد من وجود مجموعة من الأسعار بحيث يتساوى إجمالي العرض مع إجمالي الطلب على كل سلعة في الاقتصاد. ينطبق نموذج آرو-ديبرو على الاقتصادات ذات الأسواق الكاملة إلى أقصى حد ، حيث يوجد سوق لكل فترة زمنية وأسعار آجلة لكل سلعة في جميع الفترات الزمنية.

ومن ثم، فإن مفهوم سندات سعر الحالة ، أو ما يُسمى أيضًا بسندات آرو-ديبرو، هو امتداد مباشر لهذا المفهوم، وهو عقد ينص على دفع وحدة واحدة من وحدة قياس (عملة أو سلعة) إذا تحققت حالة معينة ("ارتفاع" أو "انخفاض" في المثال المبسط أعلاه) في وقت محدد في المستقبل، بينما لا يدفع أي وحدة قياس في جميع الحالات الأخرى. سعر هذه السندات هو سعر الحالة.${\displaystyle \pi _{s}}$في هذه الحالة بالذات من العالم؛ ويشار إلى مجموعة هذه الحالات أيضًا باسم "كثافة محايدة للمخاطر". ^{[ 20 ]}

في المثال أعلاه، أسعار الدولة،${\displaystyle \pi _{up}}$، ${\displaystyle \pi _{down}}$سيعادل ذلك القيم الحالية لـ${\displaystyle \$q_{up}}$و${\displaystyle \$q_{down}}$أي ما سيدفعه المرء اليوم، على التوالي، مقابل الأوراق المالية ذات القيمة السوقية المرتفعة والمنخفضة؛ متجه سعر الولاية هو متجه أسعار الولايات لجميع الولايات. عند تطبيقه على تقييم المشتقات، سيكون السعر اليوم ببساطة [${\displaystyle \pi _{up}}$×${\displaystyle X_{up}}$+${\displaystyle \pi _{down}}$×${\displaystyle X_{down}}$] : الصيغة الرابعة (انظر أعلاه بخصوص عدم وجود علاوة مخاطرة هنا). بالنسبة لمتغير عشوائي مستمر يشير إلى سلسلة متصلة من الحالات الممكنة، يتم إيجاد القيمة عن طريق التكامل على "كثافة" سعر الحالة.

تُستخدم أسعار الحالة مباشرةً كأداة مفاهيمية (" تحليل المطالبات المشروطة ")؛ ^{[ 6 ]} ولكن يمكن تطبيقها أيضًا على مسائل التقييم. ^{[ 21 ]} بالنظر إلى آلية التسعير الموصوفة، يمكن تحليل قيمة المشتق - وهو أمر صحيح في الواقع بالنسبة "لكل ورقة مالية" ^{[ 2 ]} - كمزيج خطي من أسعار حالتها؛ أي إيجاد أسعار الحالة المقابلة لأسعار المشتقات المرصودة. ^{[ 22 ] [ 21 ] [ 20 ]} يمكن بعد ذلك استخدام أسعار الحالة المستعادة لتقييم أدوات أخرى ذات صلة بالأصل الأساسي، أو لاتخاذ قرارات أخرى تتعلق بالأصل الأساسي نفسه.

يُقدّم عامل الخصم العشوائي (SDF)، المعروف أيضًا باسم نواة التسعير ، منهجًا بديلًا ولكنه وثيق الصلة بالتقييم. ^{[ 23 ] [ 16 ]} في العديد من نماذج تسعير الأصول، يُعتبر هذا العامل أكثر جوهرية من أسعار الحالة، إذ يُمكن اشتقاقه مباشرةً من تفضيلات المستثمرين وتعظيم المنفعة ، وبالتالي يُشكّل الأساس المفاهيمي لجزء كبير من الاقتصاد المالي الحديث. على الرغم من أن عامل الخصم العشوائي الحقيقي (عمومًا) غير قابل للملاحظة، إلا أن الممارسين غالبًا ما يعملون بنماذج تُقاربه ضمنيًا - وسيتم تسليط الضوء على هذه العلاقة في الأقسام اللاحقة.

معدل الإحلال الهامشي بين الفترات الزمنية

${\displaystyle m_{t+1}=\beta {\frac {u'(C_{t+1})}{u'(C_{t})}}}$ ${\displaystyle u'(.)}$المنفعة الحدية ${\displaystyle C}$استهلاك ${\displaystyle \beta }$تفضيل الوقت (لا ينبغي الخلط بينه وبين β في إدارة المحافظ الاستثمارية)

في إطار إطار عمل SDF، يتم الحصول على سعر الأصل عن طريق خصم عائده المستقبلي بواسطة العامل العشوائي${\displaystyle {\tilde {m}}}$وأخذ التوقع الشرطي${\textstyle E[X_{s}{\tilde {m}}_{s}]}$[ ^{16 ] [ 23 ] [ 24 ]} المعادلة الثالثة أعلاه. في نماذج التوازن، يتوافق هذا العامل مع معدل الإحلال الحدي بين الفترات الزمنية في الاستهلاك ، ^{[ 16 ] [ 24 ]} حيث تُبرز صياغته - على سبيل المثال - الآلية الاقتصادية الكامنة وراء التسعير: نظرًا لأنه يُفترض عادةً أن المستثمرين يتجنبون المخاطرة، فإن ^{المنفعة} الحدية تكون عالية في الظروف الاقتصادية غير المواتية ^{[ 6 ]} (مثل فترات الركود أو انخفاض الاستهلاك)؛ ونتيجة لذلك، يأخذ عامل التسعير الموجه (SDF) قيمًا أكبر في هذه الظروف، مما يجعل الأصول التي تُدرّ ربحًا خلال الظروف الاقتصادية السيئة أكثر قيمة. وبهذه الطريقة، يربط عامل التسعير الموجه (SDF) إطار التسعير الخالي من المراجحة بالتفضيلات الاقتصادية الأساسية ومخاطر الاستهلاك.

وبالتالي فإن SDF يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمصطلح${\displaystyle Y_{s}}$في الصيغة الأولى أعلاه، والتي تمثل التعديل المعتمد على الحالة لتجنب المخاطرة . في صياغة عامل الخصم العشوائي، يظهر هذا التعديل مباشرةً في نواة التسعير، التي ترجّح العوائد وفقًا لمنفعتها الحدية عبر الحالات. ويرتبط هذا التعديل بشكل مماثل بالعلاقة بين الاحتمالات المحايدة للمخاطر والاحتمالات الفيزيائية - في الزمن المتقطع. ${\displaystyle q_{s}/p_{s}}$تنشأ هذه العلاقة من مشتقة رادون-نيكوديم التي تربط بين مقياسي الاحتمال، وفي نماذج الانتشار ذات الزمن المستمر، يتم صياغتها رسميًا بواسطة نظرية جيرسانوف . علاوة على ذلك ، وبما يتوافق مع النظرية الأساسية،${\textstyle E[{\tilde {m}}_{s}]=1/r}$تمامًا كما${\textstyle \sum _{s}\pi _{s}=1/r}$.

تنطلق هذه الدراسة من مفهوم "الاستثمار في ظل اليقين"، والذي يُطرح عادةً في سياق الشركات. تنص نظرية فيشر للفصل على أن هدف الشركة هو تعظيم قيمتها الحالية، بغض النظر عن تفضيلات مساهميها. وترتبط بها نظرية موديلياني-ميلر ، التي تُبين أنه في ظل ظروف معينة، لا تتأثر قيمة الشركة بكيفية تمويلها ، ولا تعتمد على سياسة توزيع الأرباح أو قرارها بجمع رأس المال عن طريق إصدار الأسهم أو بيع السندات. يعتمد البرهان هنا على حجج المراجحة، ويُعدّ معيارًا ^{[ 10 ]} لتقييم تأثير العوامل الخارجية التي تؤثر على القيمة. ^{[ ملاحظة 5 ]}

تُقدّم نظرية جون بور ويليامز [ ^{28 ] [ 29 ] في} كتابه "نظرية قيمة الاستثمار" آليةً لتحديد قيمة الشركات ، حيث تقترح حساب قيمة الأصل باستخدام "التقييم وفقًا لقاعدة القيمة الحالية". وبالتالي، بالنسبة للسهم العادي، فإن قيمته الجوهرية طويلة الأجل هي القيمة الحالية لتدفقاته النقدية الصافية المستقبلية، في صورة أرباح موزعة ؛ أما في سياق الشركات ، فيُستثنى من ذلك " التدفق النقدي الحر ". ويبقى تحديد معدل الخصم المناسب أمرًا ضروريًا. وتُظهر التطورات اللاحقة أن معدل الخصم المناسب هنا، من الناحية المنطقية، أي بالمعنى الرسمي، سيعتمد (ينبغي أن يعتمد) على مدى خطورة الأصل مقارنةً بالسوق ككل، وليس على تفضيلات مالكيه؛ انظر أدناه. وتُعدّ القيمة الحالية الصافية (NPV)، وهي نتيجة تقييم التدفقات النقدية المخصومة ، امتدادًا مباشرًا لهذه الأفكار التي تُطبّق عادةً على قرارات التمويل المؤسسي. للاطلاع على نتائج أخرى، بالإضافة إلى نماذج محددة تم تطويرها هنا، انظر قائمة مواضيع "تقييم الأسهم" ضمن قسم "ملخص التمويل" § " تقييم التدفقات النقدية المخصومة" . ^{[ ملاحظة 6 ]} 

يمكن أن تتم عملية تقييم السندات ، حيث تكون التدفقات النقدية ( الكوبونات وعائد رأس المال، أو " القيمة الاسمية ") محددة مسبقًا، بنفس الطريقة. ^{[ 25 ]} ويُعدّ تسعير السندات الخالي من المراجحة امتدادًا مباشرًا لهذه الطريقة، حيث يتم خصم كل تدفق نقدي بسعر السوق المُستمد - أي بسعر الصفر المقابل لكل كوبون ، وبقيمة ائتمانية مكافئة - بدلاً من سعر إجمالي. في العديد من الدراسات، يسبق تقييم السندات تقييم الأسهم ، حيث لا تكون التدفقات النقدية (الأرباح الموزعة) "معروفة" بحد ذاتها . يُتيح ويليامز وما بعده إمكانية التنبؤ بهذه التدفقات - استنادًا إلى النسب التاريخية أو سياسة توزيع الأرباح المنشورة - وتُعامل التدفقات النقدية حينها على أنها محددة مسبقًا؛ انظر أدناه في قسم  نظرية تمويل الشركات .

بالنسبة للأسهم والسندات على حد سواء، "في ظل اليقين، مع التركيز على التدفقات النقدية من الأوراق المالية بمرور الوقت"، فإن التقييم القائم على هيكل آجال أسعار الفائدة يتوافق في الواقع مع التسعير الخالي من المراجحة. ^{[ 30 ]} في الواقع، من نتائج ما سبق أن " قانون السعر الواحد يستلزم وجود عامل خصم". ^{[ 31 ]} وبناءً على ذلك:${\textstyle \sum _{s}\pi _{s}=1/r}$وبالمثل، بالنسبة لسند "القيمة الاسمية" المذكور أعلاه،${\textstyle B_{0}=\sum _{s}\pi _{s}}$. من الناحية العملية، يمكن استبدال الأخير بمنحنى العائد الخالي من المخاطر : وهذا يضمن الاتساق بين الإطار النظري الخالي من المراجحة والتقييم التطبيقي، مما يوفر معيارًا مشتركًا لخصم التدفقات النقدية المستقبلية.

بينما تُستخدم نتائج "اليقين" هذه بشكل شائع في مجال تمويل الشركات، فإن عدم اليقين هو محور "نماذج تسعير الأصول" على النحو التالي. إن صياغة فيشر للنظرية هنا - تطوير نموذج توازن بين الفترات الزمنية - تدعم أيضًا ^{[ 28 ]} التطبيقات التالية المتعلقة بعدم اليقين؛ ^{[ ملاحظة 7 ]} انظر ^{[ 32 ]} لمزيد من التفاصيل.

فيما يخص "الاختيار في ظل عدم اليقين"، فإنّ الافتراضين المتلازمين للعقلانية وكفاءة السوق ، بتعريفهما الدقيق، يؤديان إلى: نظرية المحفظة الحديثة (MPT) ونموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) - وهي نتيجة قائمة على التوازن ؛ ونظرية بلاك-شولز-ميرتون (BSM؛ أو ببساطة بلاك-شولز) لتسعير الخيارات - وهي نتيجة خالية من المراجحة . وكما ذُكر أعلاه، فإنّ الرابط (البديهي) بين هاتين النظريتين هو أنّ أسعار المشتقات الأخيرة تُحسب بحيث تكون خالية من المراجحة مقارنةً بأسعار الأوراق المالية الأكثر جوهرية والمحددة بالتوازن؛ انظر تسعير الأصول §  العلاقة المتبادلة .

باختصار، وبشكل بديهي – وبما يتوافق مع قسم  التسعير الخالي من المراجحة والتوازن المذكور أعلاه – فإن العلاقة بين العقلانية والكفاءة هي كما يلي. ^{[ 33 ]} نظرًا لإمكانية الربح من المعلومات الخاصة ، فإن المتداولين الذين يسعون لتحقيق مصالحهم الشخصية لديهم دافع لاكتساب هذه المعلومات والتصرف بناءً عليها. وبذلك، يُسهم المتداولون في الوصول إلى أسعار "صحيحة" أكثر فأكثر، أي أسعار كفؤة : فرضية كفاءة السوق . وبالتالي، إذا كانت أسعار الأصول المالية كفؤة (بشكل عام)، فإن الانحرافات عن هذه القيم (التوازنية) لن تدوم طويلًا. (انظر معامل استجابة الأرباح ). تفترض فرضية كفاءة السوق (ضمنًا) أن متوسط ​​التوقعات يُمثل "توقعًا أمثل"، أي أن الأسعار التي تستخدم جميع المعلومات المتاحة تُطابق أفضل تخمين للمستقبل : وهو افتراض التوقعات العقلانية . تسمح فرضية كفاءة السوق (EMH) بأنه عند مواجهة معلومات جديدة، قد يُبالغ بعض المستثمرين في ردود أفعالهم، بينما قد يُقلل آخرون منها، ^{[ 34 ]} ولكن المطلوب هو أن تتبع ردود أفعال المستثمرين التوزيع الطبيعي ، بحيث لا يُمكن استغلال التأثير الصافي على أسعار السوق بشكل موثوق ^{[ 34 ]} لتحقيق ربح غير عادي. في حالة المنافسة الشديدة، ستعكس أسعار السوق جميع المعلومات المتاحة ، ولا يُمكن أن تتحرك الأسعار إلا استجابةً للأخبار: ^{[ 35 ]} فرضية السير العشوائي . هذه الأخبار، بطبيعة الحال، يُمكن أن تكون "جيدة" أو "سيئة"، طفيفة أو، في حالات أقل شيوعًا، كبيرة؛ وتكون هذه التحركات، تبعًا لذلك، موزعة توزيعًا طبيعيًا؛ وبالتالي، يتبع السعر توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا. ^{[ ملاحظة 8 ]}

في ظل هذه الظروف، يُفترض أن يتصرف المستثمرون بعقلانية: إذ يجب أن يكون قرارهم الاستثماري مدروسًا جيدًا وإلا سيتكبدون خسارة حتمًا؛ ^{[ 34 ]} وبالمثل، عندما تتاح فرصة للمراجحة، سيستغلها المضاربون، مما يعزز هذا التوازن. هنا، كما في حالة اليقين المذكورة أعلاه، يتمثل الافتراض المحدد بشأن التسعير في أن الأسعار تُحسب على أنها القيمة الحالية للأرباح المستقبلية المتوقعة، ^{[ 5 ] [ 35 ] [ 15 ]} استنادًا إلى المعلومات المتاحة حاليًا. ومع ذلك، فإن المطلوب هو نظرية لتحديد معدل الخصم المناسب، أي "العائد المطلوب"، في ظل هذا الغموض: وهذا ما توفره نظرية المحفظة الحديثة ونموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM). وفي هذا السياق، تؤدي العقلانية - بمعنى استغلال المراجحة - إلى ظهور نموذج بلاك-شولز؛ وتتوافق قيم الخيارات هنا في نهاية المطاف مع نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM).

بشكل عام، بينما تدرس نظرية المحفظة كيفية موازنة المستثمرين بين المخاطر والعوائد عند الاستثمار في العديد من الأصول أو الأوراق المالية، فإن نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) أكثر تركيزًا، إذ يصف كيف تحدد الأسواق، في حالة التوازن، أسعار الأصول بناءً على مستوى خطورتها. ^{[ ملاحظة 9 ]} ستكون هذه النتيجة مستقلة عن مستوى نفور المستثمر من المخاطرة ودالة المنفعة المفترضة ، مما يوفر معدل خصم محددًا بسهولة لصناع القرار في مجال تمويل الشركات كما ذكرنا سابقًا ، ^{[ 38 ]} وللمستثمرين الآخرين. وتتلخص الحجة فيما يلي : ^{[ 39 ]} إذا أمكن إنشاء حدود كفاءة - أي كل مجموعة من الأصول التي تقدم أفضل مستوى متوقع للعائد مقابل مستوى المخاطرة الخاص بها، انظر الرسم البياني - فإنه يمكن تكوين محافظ فعالة من حيث متوسط ​​التباين ببساطة كمزيج من حيازات الأصل الخالي من المخاطر و" محفظة السوق " ( نظرية فصل صناديق الاستثمار المشتركة )، حيث يتم تمثيل هذه المجموعات هنا بخط سوق رأس المال (CML). بناءً على ذلك، في ضوء خط سوق رأس المال (CML)، يكون العائد المطلوب على الأوراق المالية عالية المخاطر مستقلاً عن دالة منفعة المستثمر ، ويتحدد فقط من خلال تباينها المشترك ("بيتا") مع المخاطر الإجمالية، أي مخاطر السوق. وذلك لأن المستثمرين هنا يستطيعون تعظيم منفعتهم من خلال الرافعة المالية بدلاً من اختيار الأسهم؛ انظر خاصية الفصل (التمويل) ، نموذج ماركويتز، قسم  اختيار أفضل محفظة ، ومخطط خط سوق رأس المال (CML). وكما هو موضح في الصيغة المذكورة، تتوافق هذه النتيجة مع ما سبق ، حيث تساوي العائد الخالي من المخاطر مضافًا إليه تعديل للمخاطر. ^{[ 5 ]} يوجد اشتقاق أحدث وأكثر مباشرة كما هو موضح في أسفل هذا القسم؛ والذي يمكن تعميمه لاشتقاق نماذج أخرى لتسعير التوازن .

معادلة بلاك-شولز: ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}=rV}$ التفسير: من خلال حجج المراجحة، التأثير الفوري للوقت${\displaystyle t}$والتغير في سعر السوق الفوري${\displaystyle s}$بسعر الخيار${\displaystyle V}$سوف (يجب) أن يتحقق كنمو في${\displaystyle r}$، معدل العائد الخالي من المخاطر، عندما يتم "تصنيع" الخيار بشكل صحيح .

صيغة بلاك-شولز لحساب قيمة خيار الشراء: ${\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})SN(d_{2})Ke^{-r(Tt)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {Tt}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(Tt)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {Tt}}\\\end{aligned}}}$ التفسير : قيمة خيار الشراء هي القيمة الحالية المصنفة الخالية من المخاطر لقيمته المتوقعة في المال - أي صياغة محددة لنتيجة التقييم الأساسي.${\displaystyle N(d_{2})}$يمثل الاحتمال الطبيعي القياسي لتفعيل خيار الشراء؛${\displaystyle N(d_{1})S}$هي القيمة الحالية لسعر الأصل المتوقع عند تاريخ الاستحقاق، علماً بأن سعر الأصل عند تاريخ الاستحقاق أعلى من سعر التنفيذ.

يُقدّم نموذج بلاك-شولز نموذجًا رياضيًا لسوق مالية تتضمن أدوات مشتقة ، والصيغة الناتجة لسعر خيارات النمط الأوروبي . ^{[ ملاحظة 10 ]} يُعبّر عن النموذج بمعادلة بلاك-شولز، وهي معادلة تفاضلية جزئية تصف تغير سعر الخيار بمرور الوقت؛ وهي مشتقة بافتراض حركة براونية هندسية لوغاريتمية طبيعية (انظر نموذج براوني للأسواق المالية ). تكمن الفكرة المالية الرئيسية وراء النموذج في إمكانية التحوّط التام من الخيار عن طريق شراء وبيع الأصل الأساسي بالطريقة الصحيحة، وبالتالي "القضاء على المخاطر"، دون الحاجة إلى تعديل المخاطر في التسعير.${\displaystyle V}$، وتزداد قيمة الخيار أو سعره بمعدل${\displaystyle r}$(معدل العائد الخالي من المخاطر). ^{[ 6 ] [ 5 ]} وهذا التحوط، بدوره، يعني وجود سعر صحيح واحد فقط - بمعنى خالٍ من المراجحة - للخيار. ويُعاد هذا السعر بواسطة صيغة بلاك-شولز لتسعير الخيارات. (الصيغة، وبالتالي السعر، متسقة مع المعادلة، لأن الصيغة هي حل المعادلة ). ولأن الصيغة لا تشير إلى العائد المتوقع للسهم، فإن بلاك-شولز ينطوي على حياد المخاطر؛ وهو أمر متسق بديهيًا مع "إزالة المخاطر" هنا، ومتسق رياضيًا مع §  التسعير والتوازن الخاليين من المراجحة أعلاه. وبالتالي، يمكن أيضًا اشتقاق صيغة التسعير مباشرةً من خلال التوقع المحايد للمخاطر. توفر ليمّة إيتو الرياضيات الأساسية ، ومع حساب إيتو بشكل عام، تظل أساسية في التمويل الكمي. ^{[ ملاحظة 11 ]}

كما هو مُبين في النظرية الأساسية، فإن النتيجتين الرئيسيتين متسقتان . هنا، يمكن اشتقاق معادلة بلاك-شولز من نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM)، وبالتالي فإن السعر المُستنتج من نموذج بلاك-شولز يتوافق مع افتراضات نموذج تسعير الأصول الرأسمالية. ^{[ 48 ] [ 12 ]} وبالتالي، فإن نظرية بلاك-شولز، على الرغم من أنها مبنية على تسعير خالٍ من المراجحة، تتوافق مع تسعير الأصول الرأسمالية القائم على التوازن. ويتوافق كلا النموذجين، بدورهما، في نهاية المطاف مع نظرية آرو-ديبرو، ويمكن اشتقاقهما عبر تسعير الحالة - أي بتوسيع المعادلات الأساسية المذكورة أعلاه - مما يُفسر هذا التوافق بشكل أكبر، ويُبرهن عليه عند الحاجة. ^{[ 6 ]} وهنا، يتم اشتقاق نموذج تسعير الأصول الرأسمالية ^{[ 16 ]} من خلال الربط بين...${\displaystyle Y}$النفور من المخاطرة، والعائد الإجمالي للسوق، وتحديد العائد على الأوراق المالية${\displaystyle j}$مثل${\displaystyle X_{j}/Price_{j}}$انظر عامل الخصم العشوائي §  الخصائص . تُستنتج صيغة بلاك-شولز، في النهاية ، ^{[ 49 ]} عن طريق ربط احتمال ذي الحدين ^{[ 10 ]} بكل سعر فوري محتمل (أي حالة) ثم إعادة ترتيب الحدود المقابلة لـ${\displaystyle N(d_{1})}$و${\displaystyle N(d_{2})}$، وفقًا للوصف الموجود في المربع؛ انظر نموذج تسعير الخيارات ذات الحدين §  العلاقة مع بلاك-شولز .

يرتبط جزء كبير من هذا التطور بالعائد المطلوب، أي التسعير، وهو ما يوسع نموذج تسعير الأصول الرأسمالية الأساسي. تقترح نماذج متعددة العوامل ، مثل نموذج فاما-فرينش ثلاثي العوامل ونموذج كارارت رباعي العوامل ، عوامل أخرى غير عائد السوق ذات صلة بالتسعير. وبالمثل، يوسع نموذج تسعير الأصول الرأسمالية بين الفترات الزمنية ونموذج تسعير الأصول الرأسمالية القائم على الاستهلاك هذا النموذج. مع اختيار المحفظة بين الفترات الزمنية ، يقوم المستثمر الآن بتحسين محفظته بشكل متكرر؛ بينما يؤدي إدراج الاستهلاك (بالمعنى الاقتصادي) إلى دمج جميع مصادر الثروة، وليس فقط الاستثمارات القائمة على السوق، في حساب المستثمر للعائد المطلوب. (يمكن اشتقاق نماذج تسعير العوامل هذه بافتراض أن دالة توزيع المخاطر خطية في عوامل المخاطر الملحوظة).

بينما تُوسّع النماذج المذكورة أعلاه نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM)، يُعدّ نموذج المؤشر الواحد (SIM) نموذجًا أبسط. فهو يفترض فقط وجود ارتباط بين الأوراق المالية وعوائد السوق، دون افتراضات اقتصادية أخرى (عديدة). وتكمن فائدته في تبسيطه لتقدير الارتباط بين الأوراق المالية، مما يقلل بشكل كبير من المدخلات اللازمة لبناء مصفوفة الارتباط المطلوبة لتحسين المحفظة الاستثمارية .

تختلف نظرية تسعير المراجحة ( APT) بالمثل فيما يتعلق بافتراضاتها. إذ تتخلى هذه النظرية عن فكرة وجود محفظة استثمارية مثالية واحدة تناسب الجميع، وتستبدلها بنموذج تفسيري للعوامل المحركة لعوائد الأصول. ^{[ 50 ]} وتُقدم هذه النظرية العائد المطلوب (المتوقع) للأصل المالي كدالة خطية لعوامل الاقتصاد الكلي المختلفة، وتفترض أن المراجحة من شأنها إعادة الأصول المُسعّرة بشكل غير صحيح إلى وضعها الطبيعي. ^{[ ملاحظة 12 ]}

يُستخدم هيكل نموذج العوامل الخطية لنظرية تسعير المراجحة كأساس للعديد من أنظمة إدارة المخاطر والصناديق التجارية التي يستخدمها مديرو الأصول. هنا، ^{[ 53 ] [ 54 ]} يطبق المديرون نماذج متعددة العوامل مختلفة من النماذج المذكورة أعلاه - غالبًا ما تكون امتدادات مُخصصة - بحيث تتمتع محافظهم الاستثمارية بالتعرض المطلوب ("الميل") لعوامل المخاطر الاقتصادية الكلية، وعوامل السوق، و/أو عوامل المخاطر الأساسية ؛ ^{[ 55 ]} على التوالي: صناديق الاقتصاد الكلي ، وصناديق العوامل ، وصناديق الأسلوب . لا يزال البحث والتطبيق في هذا المجال (مثل " بيتا الذكية ") مستمرًا، وعلى مر السنين "حاولت مئات العوامل تفسير التباين في العوائد المتوقعة"؛ ^{[ 56 ]} مع هذا "التنوع الهائل في العوامل"، ^{[ 57 ]} هناك خطر التنقيب عن البيانات ، وقد اقترح الباحثون معايير مختلفة لتحديد الأهمية .

في الوقت نفسه، لا يزال أسلوب التحسين "الكلاسيكي" للمتوسط ​​والتباين - أي بناء محفظة فعّالة كما هو موضح أعلاه - شائع الاستخدام في صناديق تخصيص الأصول . ^{[ 58 ]} ونظرًا للمشاكل الملحوظة في هذا النهج ، يُستخدم عادةً بالتزامن مع تقنيات أخرى. غالبًا ما يُستخدم نموذج بلاك-ليترمان ^{[ 59 ]} . يختلف نموذج بلاك-ليترمان عن نموذج ماركويتز الأصلي : فهو يبدأ بافتراض التوازن، كما هو الحال في النموذج الأخير، ولكن يتم تعديله لاحقًا لمراعاة "وجهات نظر" المستثمر المعني (أي الآراء المحددة حول عوائد الأصول) للوصول إلى تخصيص أصول مُصمم خصيصًا ^{[ 60 ]} . ويتعلق تعديل آخر يُستخدم غالبًا ^{[ 61 ]} بعملية التحسين اللاحقة: ففي ظل تكافؤ مخاطر (الذيل) ، ينصب التركيز على تخصيص المخاطر، بدلًا من تخصيص رأس المال.

تشمل التطورات الأخرى المتعلقة بتحسين المحافظ الاستثمارية ما يلي: عند أخذ عوامل إضافية إلى جانب التقلبات في الاعتبار (مثل التفرطح والالتواء)، يمكن تطبيق تحليل القرار متعدد المعايير ، مما يؤدي إلى استخلاص محفظة استثمارية فعالة وفقًا لمبدأ باريتو . تحدد خوارزمية المحفظة الشاملة "المحفظة المثلى للنمو" وفقًا لمعيار كيلي ، وذلك بتطبيق نظرية المعلومات على اختيار الأصول. تُقر نظرية المحفظة السلوكية بأن للمستثمرين أهدافًا متنوعة، وتُنشئ محفظة استثمارية تلبي نطاقًا واسعًا من الأهداف. وقد طُبقت دوال الاقتران مؤخرًا في هذا المجال ؛ وينطبق هذا أيضًا على الخوارزميات الجينية ^{[ 62 ]} والتعلم الآلي بشكل عام ؛ انظر أدناه . ^{[ 63 ]} يستخدم نموذج ترينور-بلاك هيكل SIM الموضح في تحسين المحافظ الاستثمارية ؛ حيث يتم، بشكل أساسي، امتلاك صندوق مؤشر مُستثمر بشكل سلبي ، مع زيادة وزن (بعض) الأوراق المالية ذات ألفا العالية .

في تسعير المشتقات، يوفر نموذج تسعير الخيارات الثنائية نسخةً منفصلةً من نموذج بلاك-شولز، وهو مفيد لتقييم الخيارات الأمريكية . تُبنى النماذج المنفصلة من هذا النوع - ضمنيًا على الأقل - باستخدام أسعار الحالة ( كما ذُكر أعلاه )؛ وفي هذا السياق، استخدم عدد كبير من الباحثين الخيارات لاستخراج أسعار الحالة لمجموعة متنوعة من التطبيقات الأخرى في الاقتصاد المالي. ^{[ 6 ] [ 48 ] [ 22 ]} بالنسبة للمشتقات المعتمدة على المسار ، تُستخدم طرق مونت كارلو لتسعير الخيارات ؛ حيث يكون النمذجة في زمن مستمر، ولكنها تستخدم أيضًا القيمة المتوقعة المحايدة للمخاطر. كما طُوّرت تقنيات عددية أخرى متنوعة . وقد وُسّع الإطار النظري أيضًا بحيث أصبح تسعير المارتينجال هو النهج القياسي الآن. ^{[ ملاحظة 13 ]}

بالاستناد إلى هذه التقنيات، طُوِّرت نماذج لأصول أساسية وتطبيقات أخرى متنوعة، جميعها مبنية على المنطق نفسه (باستخدام " تحليل المطالبات المشروطة "). يسمح تقييم الخيارات الحقيقية لحاملي الخيارات بالتأثير على الأصل الأساسي للخيار؛ وتفترض نماذج تقييم خيارات أسهم الموظفين صراحةً عدم عقلانية حاملي الخيارات؛ وتسمح مشتقات الائتمان بإمكانية عدم الوفاء بالتزامات الدفع أو متطلبات التسليم. تُقيَّم المشتقات المعقدة الآن بشكل روتيني. تُعالَج الأصول الأساسية المتعددة عبر المحاكاة أو التحليل القائم على الاقتران .

وبالمثل، تسمح نماذج أسعار الفائدة قصيرة الأجل المختلفة بتوسيع نطاق هذه التقنيات لتشمل مشتقات الدخل الثابت وأسعار الفائدة . ( يعتمد نموذجا فاسيسيك و CIR على التوازن، بينما يعتمد نموذج هو-لي والنماذج اللاحقة على التسعير الخالي من المراجحة). يصف إطار عمل HJM الأكثر عمومية ديناميكيات منحنى سعر الفائدة الآجل الكامل - بدلاً من العمل مع أسعار الفائدة قصيرة الأجل - وبالتالي يُطبق على نطاق أوسع. ويتوسع تقييم الأداة الأساسية - بالإضافة إلى مشتقاتها - بشكل مماثل، لا سيما بالنسبة للأوراق المالية الهجينة ، حيث يقترن خطر الائتمان بعدم اليقين بشأن أسعار الفائدة المستقبلية؛ انظر تقييم السندات §  نهج حساب التفاضل والتكامل العشوائي ونموذج الشبكة (التمويل) §  الأوراق المالية الهجينة . ^{[ ملاحظة 14 ]}

في أعقاب انهيار عام 1987 ، بدأت خيارات الأسهم المتداولة في الأسواق الأمريكية تُظهر ما يُعرف بـ" ابتسامة التقلب "؛ أي أنه بالنسبة لتاريخ انتهاء صلاحية مُحدد، فإن الخيارات التي يختلف سعر تنفيذها اختلافًا كبيرًا عن سعر الأصل الأساسي تُباع بأسعار أعلى، وبالتالي بتقلبات ضمنية أعلى ، مما يُشير إليه نموذج بلاك-شولز. (يختلف هذا النمط باختلاف الأسواق). يُعدّ نمذجة ابتسامة التقلب مجالًا بحثيًا نشطًا، وسيتم مناقشة التطورات في هذا المجال - بالإضافة إلى الآثار المترتبة على النظرية القياسية - في القسم التالي .

بعد الأزمة المالية لعام 2008 ، طرأ تطور إضافي: ^{[ 74 ]} كما هو موضح، اعتمد تسعير المشتقات ( خارج البورصة ) على إطار تسعير BSM المحايد للمخاطر، بافتراضات التمويل بسعر فائدة خالٍ من المخاطر والقدرة على محاكاة التدفقات النقدية بدقة تامة لتحقيق التحوط الكامل. وهذا بدوره مبني على افتراض بيئة خالية من مخاطر الائتمان، وهو افتراض تم التشكيك فيه خلال الأزمة. ولذلك، تُؤخذ في الاعتبار الآن قضايا إضافية عند التسعير، مثل مخاطر ائتمان الطرف المقابل ، وتكاليف التمويل، وتكاليف رأس المال، ^{[ 75 ]} ويُضاف تعديل تقييم الائتمان ( CVA)، وربما تعديلات تقييم أخرى ، تُعرف مجتمعة باسم xVA ، إلى قيمة المشتقات المحايدة للمخاطر. ويمكن توسيع نطاق الحجج الاقتصادية القياسية لتشمل هذه التعديلات المختلفة. ^{[ 76 ]}

ثمة تغيير ذو صلة، وربما أكثر جوهرية، يتمثل في أن الخصم أصبح الآن على منحنى مقايضة مؤشر ليلة واحدة (OIS)، بدلاً من ليبور كما كان مستخدماً سابقاً. ^{[ 74 ]} ويعود ذلك إلى أنه بعد الأزمة، يُعتبر سعر الفائدة لليلة واحدة مؤشراً أفضل لـ "سعر الفائدة الخالي من المخاطر". ^{[ 77 ]} (أيضاً، عملياً، عادةً ما تكون الفائدة المدفوعة على الضمانات النقدية هي سعر الفائدة لليلة واحدة؛ ولذلك يُشار أحياناً إلى خصم OIS باسم " خصم CSA "). كما تم تعديل تسعير المقايضات - وبالتالي بناء منحنى العائد - بشكل أكبر: ففي السابق، كانت المقايضات تُقيّم بناءً على منحنى سعر فائدة واحد "ذاتي الخصم"؛ بينما بعد الأزمة، ولمراعاة خصم OIS، أصبح التقييم الآن ضمن " إطار متعدد المنحنيات " حيث يتم إنشاء "منحنيات التنبؤ" لكل أجل استحقاق من آجال ليبور ذات الفائدة المتغيرة ، مع الخصم على منحنى OIS المشترك .

تماشياً مع التطورات المذكورة أعلاه ، لم تعد تقييمات الشركات واتخاذ القرارات المالية بحاجة إلى افتراض "اليقين". ^{[ ملاحظة 15 ]} تسمح أساليب مونت كارلو في التمويل للمحللين الماليين ببناء نماذج تمويل شركات " احتمالية " أو " عشوائية " ، على عكس النماذج التقليدية الثابتة والحتمية ؛ ^{[ 81 ]} انظر تمويل الشركات §  قياس عدم اليقين . وفي هذا السياق، تسمح نظرية الخيارات الحقيقية باتخاذ المالكين - أي الإدارة - إجراءات تؤثر على القيمة الأساسية: من خلال دمج منطق تسعير الخيارات، تُطبق هذه الإجراءات على توزيع النتائج المستقبلية، المتغيرة بمرور الوقت، والتي تحدد بدورها تقييم "المشروع" اليوم. ^{[ 82 ]} وبشكل أكثر تقليدية، استُخدمت أشجار القرارات - وهي مكملة - لتقييم المشاريع، من خلال دمج جميع الأحداث (أو الحالات) المحتملة وقرارات الإدارة اللاحقة في التقييم ؛ ^{[ 83 ] [ 81 ]} ويعكس معدل الخصم الصحيح هنا "المخاطر غير القابلة للتنويع" لكل نقطة قرار عند النظر إلى المستقبل. ^{[ 81 ]}

يرتبط بهذا معالجة التدفقات النقدية المتوقعة في تقييم الأسهم . في كثير من الحالات، وكما ذكر ويليامز أعلاه ، تم خصم متوسط ​​التدفقات النقدية (أو التدفقات الأكثر ترجيحًا)، ^{[ 84 ]} بدلاً من المعالجة النظرية الصحيحة لكل حالة على حدة في ظل عدم اليقين؛ انظر التعليقات الواردة في قسم النمذجة المالية § المحاسبة . في المعالجات الحديثة، إذن، يتم استخدام التدفقات النقدية المتوقعة (بالمعنى الرياضي :${\textstyle \sum _{s}p_{s}X_{sj}}$تُجمع هذه القيم في قيمة إجمالية لكل فترة تنبؤ، ثم تُخصم. ^{[ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] [ 81 ]} وباستخدام نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) - أو امتداداته - يكون الخصم هنا بمعدل العائد الخالي من المخاطر بالإضافة إلى علاوة مرتبطة بعدم اليقين في التدفقات النقدية للكيان أو المشروع ^{[ 81 ]} (بشكل أساسي،${\displaystyle Y}$و${\displaystyle r}$مجموع).

فيما يتعلق بالتقييم، تركز مناهج مختلفة على الربح الاقتصادي بدلاً من توزيعات الأرباح؛ وأهمها القيمة الاقتصادية المضافة (EVA ) ، والقيمة السوقية المضافة (MVA) ، والقيمة النسبية للعائد (RIV) . يُعاد السعر هنا كدالة للأرباح، والعوائد المتوقعة ، و/أو التغيرات في القيمة الدفترية ^؛ انظر: محاسبة الفائض النظيف . تعالج هذه المناهج - إلى حد ما - التناقض بين اعتبار القيمة دالة لتوزيعات الأرباح مع مراعاة مبدأ عدم الصلة ^{لموديلياني وميلر} .

يرتبط "التمويل المؤسسي"، كتخصص أوسع نطاقًا، ^{[ 89 ]} استنادًا إلى ما ذكره فيشر أعلاه ، بالهدف طويل الأجل المتمثل في تعظيم قيمة الشركة - وعائدها للمساهمين - وبالتالي يشمل أيضًا مجالات هيكل رأس المال وسياسة توزيع الأرباح . ^{[ 90 ]} وتتناول امتدادات النظرية هنا هذه المجالات الأخيرة أيضًا، على النحو التالي: (أ) تحسين هيكل رأس المال ، والنظريات المتعلقة بخيارات الشركات وسلوكها: نظرية استبدال هيكل رأس المال ، ونظرية ترتيب التمويل ، وفرضية توقيت السوق ، ونظرية المفاضلة . (ب) تشمل الاعتبارات والتحليلات المتعلقة بسياسة توزيع الأرباح ، بالإضافة إلى نموذج موديلياني-ميلر - وأحيانًا على النقيض منه -: نموذج والتر ، ونموذج لينتنر ، ونظرية البواقي وفرضية الإشارة ، فضلًا عن مناقشة تأثير العملاء الملحوظ ولغز توزيع الأرباح .

يُعدّ تطبيق نظرية الوكالة على مجال تمويل الشركات تطورًا هامًا ^{[ 91 ] . [ ملاحظة 16 ]} يركز التحليل هنا على صعوبات تحفيز إدارة الشركات (الوكيل؛ بمعنى مختلف عن المعنى المذكور أعلاه) على العمل بما يخدم مصالح المساهمين (الموكل)، بدلًا من مصالحها الخاصة؛ ^{[ 93 ]} انظر نظرية العقود . قد تؤثر " تكاليف الوكالة " الناتجة (غير المرئية) على قيمة الشركة ، فضلًا عن كفاءة السوق بشكل عام. ^{[ 94 ]} ويُسلّط الضوء أيضًا على قضايا الوكالة المرتبطة بهيكل رأس المال والأرباح الموزعة . ونظرًا لهذا النطاق، ينبغي (بل يجب) النظر إلى جميع قرارات تمويل الشركات من منظور الوكالة. ^{[ 91 ]}

على الرغم من أن الاستخدام النموذجي للخيارات الحقيقية، كما هو موضح، هو ميزانية رأس المال ، إلا أنه يمكن تطبيقها أيضًا ^{[ 82 ]} على مشاكل هيكل رأس المال وسياسة توزيع الأرباح (حيث يمتلك المساهمون وحاملو السندات وظائف هدف مختلفة )، وعلى تصميم الأوراق المالية للشركات ^{[ 95 ]} . علاوة على ذلك، تُستخدم هذه الخيارات غالبًا في تحليل مشاكل الوكالة ذات الصلة. ويستند هذا التحليل إلى اعتبار حقوق الملكية خيار شراء على الشركة ^{[ 40 ]} ، بينما تُعتبر السندات، أي الديون، خيار بيع (ويتحقق التكافؤ بين خياري الشراء والبيع بشكل عام ^{[ 21 ]} )؛ انظر نموذج ميرتون . في جميع هذه الحالات، يمكن أن توفر أسعار الحالة المعلومات الضمنية للسوق المتعلقة بالشركة، كما ذُكر أعلاه ، والتي تُطبق بعد ذلك على التحليل. على سبيل المثال، يمكن (بل يجب) تسعير السندات القابلة للتحويل بما يتوافق مع أسعار الحالة (المستردة) لحقوق ملكية الشركة ^{[ 21 ] [ 85 ] .}

يشمل هذا التخصص، كما هو موضح، دراسة رسمية للأسواق المالية . ومن بين المواضيع ذات الأهمية الخاصة تنظيم السوق وبنيته الدقيقة ، وعلاقتهما بكفاءة الأسعار .

يدرس علم اقتصاديات التنظيم ، بشكل عام، اقتصاديات التنظيم. وفي سياق التمويل، يتناول هذا العلم تأثير التنظيم المالي على أداء الأسواق وكفاءة الأسعار، مع مراعاة الزيادات المقابلة في ثقة السوق والاستقرار المالي . ويبحث هذا المجال في كيفية تأثير اللوائح المتعلقة بالإفصاح ( توقعات الأرباح ، والتقارير السنوية )، والتداول بناءً على معلومات داخلية، والبيع على المكشوف، على كفاءة الأسعار، وتكلفة حقوق الملكية ، وسيولة السوق ، وإلى أي مدى . ^{[ 96 ]}

يهتم علم بنية السوق الدقيقة بتفاصيل كيفية حدوث التبادل في الأسواق (مع اعتبار أسواق والراس ، والمطابقة ، وفيشر ، وأرو-ديبرو نماذج أولية)، ويحلل كيفية تأثير آليات التداول المحددة على عملية تكوين الأسعار ، ^{[ 97 ]} ويدرس الطرق التي تؤثر بها عمليات السوق على محددات تكاليف المعاملات ، والأسعار، وعروض الأسعار، والحجم، وسلوك التداول. وقد استُخدم، على سبيل المثال، في تقديم تفسيرات لألغاز أسعار الصرف القديمة ، ^{[ 98 ]} ولغز علاوة الأسهم . ^{[ 99 ]} وعلى النقيض من النهج الكلاسيكي المذكور أعلاه، تسمح النماذج هنا صراحةً (باختبار تأثير) احتكاكات السوق وغيرها من أوجه القصور ؛ انظر أيضًا تصميم السوق .

فيما يخص التنظيم ^{[ 100 ]} والبنية الدقيقة ^{[ 101 ]} ، وبشكل عام ^{[ 102 ] [ 103 ]،} يمكن تطوير نماذج قائمة على الوكلاء ^{[ 104 ]} لدراسة أي تأثير ناتج عن تغيير في الهيكل أو السياسة، أو لاستخلاص استنتاجات حول ديناميكيات السوق، وذلك عن طريق اختبارها في سوق مالية اصطناعية (AFM). ^{[ ملاحظة 17 ]} يعتمد هذا النهج، الذي يقوم أساسًا على محاكاة التداول بين العديد من الوكلاء ، "عادةً على تقنيات الذكاء الاصطناعي [غالبًا الخوارزميات الجينية والشبكات العصبية ] لتمثيل السلوك التكيفي للمشاركين في السوق". ^{[ 104 ]}

تبدأ هذه النماذج "التصاعدية " من "المبادئ الأساسية لسلوك الوكلاء"، ^{[ 105 ]} حيث يقوم المشاركون بتعديل استراتيجيات التداول الخاصة بهم بعد اكتسابهم الخبرة بمرور الوقت، و"تستطيع وصف السمات الكلية [أي الحقائق النمطية ] الناشئة من مجموعة من الاستراتيجيات الفردية المتفاعلة". ^{[ 105 ]} وتختلف النماذج القائمة على الوكلاء اختلافًا كبيرًا عن النهج الكلاسيكي - الوكيل التمثيلي ، كما هو موضح - في أنها تُدخل عدم التجانس في البيئة (وبذلك تعالج أيضًا مشكلة التجميع ).

تركز الأبحاث الحديثة ^{[ 63 ]} على الأثر المحتمل للتعلم الآلي على أداء السوق وكفاءته. ومع ازدياد شيوع هذه الأساليب في الأسواق المالية، يتوقع الاقتصاديون زيادة في الحصول على المعلومات وتحسين كفاءة الأسعار. ^{[ 106 ]} في الواقع، قد يُمثل الرفض الظاهر لكفاءة السوق (انظر أدناه ) ببساطة "النتيجة المتوقعة لعدم امتلاك المستثمرين معرفة دقيقة بمعايير عملية توليد البيانات التي تتضمن آلاف المتغيرات التنبؤية". ^{[ 107 ]} في الوقت نفسه، يُقر بأن أحد عيوب هذه الأساليب، في هذا السياق، هو افتقارها إلى قابلية التفسير "مما يُترجم إلى صعوبات في إضفاء معنى اقتصادي على النتائج المُتوصل إليها". ^{[ 63 ]}

تُعدّ افتراضات أن أسعار السوق تتبع مسارًا عشوائيًا وأن عوائد الأصول موزعة توزيعًا طبيعيًا افتراضات أساسية. مع ذلك، تشير الأدلة التجريبية إلى أن هذه الافتراضات قد لا تكون صحيحة، وأن المتداولين والمحللين ومديري المخاطر في الواقع العملي غالبًا ما يُعدّلون "النماذج القياسية" (انظر: مخاطر التفرطح ، مخاطر الالتواء ، الذيل الطويل ، مخاطر النموذج ). في الواقع، كان بينوا ماندلبروت قد اكتشف في ستينيات القرن الماضي ^{[ 108 ]} أن التغيرات في أسعار الأصول المالية لا تتبع التوزيع الطبيعي ، وهو أساس الكثير من نظريات تسعير الخيارات، على الرغم من أن هذه الملاحظة لم تجد طريقها إلى التيار السائد في الاقتصاد المالي إلا ببطء. ^{[ 109 ]}

تم استحداث نماذج مالية ذات توزيعات طويلة الذيل وتجميع التقلبات للتغلب على مشاكل واقعية النماذج المالية "الكلاسيكية" المذكورة أعلاه؛ بينما تسمح نماذج انتشار القفزات بتسعير (الخيارات) بما في ذلك "القفزات" في السعر الفوري . ^{[ 110 ]} وبالمثل، يُكمل مديرو المخاطر (أو يستبدلون) نماذج القيمة المعرضة للخطر القياسية بالمحاكاة التاريخية ، ونماذج الخليط ، وتحليل المكونات الرئيسية ، ونظرية القيم المتطرفة ، بالإضافة إلى نماذج تجميع التقلبات . ^{[ 111 ]} لمزيد من المناقشة، انظر التوزيع ذو الذيل السميك §  التطبيقات في الاقتصاد ، والقيمة المعرضة للخطر §  النقد . كما قام مديرو المحافظ الاستثمارية بتعديل معايير وخوارزميات التحسين الخاصة بهم؛ انظر §  نظرية المحفظة أعلاه.

يرتبط بذلك ارتباطًا وثيقًا ما يُعرف بابتسامة التقلب ، حيث يُلاحظ، كما ذُكر أعلاه، أن التقلب الضمني - أي التقلب المقابل لسعر BSM - يختلف كدالة لسعر التنفيذ (أي مدى ربحية الخيار )، وهذا صحيح فقط إذا كان توزيع تغير السعر غير طبيعي، على عكس التوزيع الذي يفترضه نموذج BSM (أي${\displaystyle N(d_{1})}$و${\displaystyle N(d_{2})}$أعلاه). يصف هيكل تقلبات الأسعار كيف تختلف التقلبات (الضمنية) للخيارات ذات الصلة بآجال استحقاق مختلفة. وبالتالي، فإن سطح التقلبات الضمنية هو رسم بياني ثلاثي الأبعاد لابتسامة التقلبات وهيكل آجال الأسعار. تنفي هذه الظواهر التجريبية افتراض ثبات التقلبات - والتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي - الذي بُني عليه نموذج بلاك-شولز. ^{[ 42 ] [ 110 ]} داخل المؤسسات، تتمثل وظيفة نموذج بلاك-شولز الآن، إلى حد كبير، في توصيل الأسعار عبر التقلبات الضمنية، تمامًا كما يتم توصيل أسعار السندات عبر العائد حتى تاريخ الاستحقاق ؛ انظر نموذج بلاك-شولز §  ابتسامة التقلبات .

نتيجةً لذلك، يستخدم المتداولون ( ومديرو المخاطر ) الآن نماذج "متسقة مع التقلبات"، أولاً عند تقييم المشتقات غير المرتبطة مباشرةً بالسوق، مما يُسهّل تسعير تركيبات أخرى، أي غير المدرجة، من حيث سعر التنفيذ/تاريخ الاستحقاق، أو المشتقات غير الأوروبية، وعمومًا لأغراض التحوّط. النهجان الرئيسيان هما التقلب المحلي والتقلب العشوائي . يُعيد النهج الأول التقلب "المحلي" لكل نقطة زمنية فورية في التقييم القائم على الفروق المحدودة أو المحاكاة ؛ أي على عكس التقلب الضمني، الذي ينطبق على السوق ككل. وبهذه الطريقة، تكون الأسعار المحسوبة - والهياكل الرقمية - متسقة مع السوق بمعنى خالٍ من فرص المراجحة. أما النهج الثاني فيفترض أن تقلب سعر الأصل الأساسي هو عملية عشوائية وليست ثابتة. تُعاير النماذج هنا أولاً وفقًا للأسعار المرصودة ، ثم تُطبّق على التقييم أو التحوّط المعني. أكثرها شيوعاً هي هيستون ، وسابْر، وسي إي في . يعالج هذا النهج بعض المشاكل التي تم تحديدها في التحوط في ظل التقلبات المحلية. ^{[ 112 ]}

ترتبط بالتقلبات المحلية أشجار ذات الحدين وثلاثية الحدود الضمنية القائمة على الشبكة - وهي في الأساس تجزئة لهذا النهج - والتي تُستخدم بشكل مشابه، ولكن بشكل أقل شيوعًا، ^{[ 20 ]} للتسعير؛ وتُبنى هذه الأشجار على أسعار الحالة المستخرجة من السطح. تسمح أشجار إيدجوورث ذات الحدين بانحراف وتفرطح محددين (أي غير غاوسي) في السعر الفوري؛ عند تسعيرها هنا، ستُعيد الخيارات ذات أسعار التنفيذ المختلفة تقلبات ضمنية مختلفة، ويمكن معايرة الشجرة وفقًا لشكل الابتسامة حسب الحاجة. ^{[ 113 ]} كما طُوّرت نماذج مغلقة الشكل لأغراض مماثلة (ومشتقة منها) . ^{[ 114 ]}

كما ذُكر سابقًا، بالإضافة إلى افتراض التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي للعوائد، تفترض نماذج BSM الكلاسيكية (ضمنًا) وجود بيئة خالية من مخاطر الائتمان، حيث يمكن محاكاة التدفقات النقدية بدقة تامة للتحوط الكامل، ثم خصمها بسعر الفائدة الخالي من المخاطر. ولذلك، بعد الأزمة، يجب استخدام تعديلات قيمة x المختلفة، لتصحيح القيمة المحايدة للمخاطر المتعلقة بالطرف المقابل والتمويل . تُضاف هذه التعديلات إلى أي تأثير للابتسامة أو السطح: فمع بناء السطح على بيانات الأسعار للمراكز المضمونة بالكامل، لا يوجد بالتالي " حساب مزدوج " لمخاطر الائتمان (إلخ) عند إضافة تعديلات قيمة x. (لو لم يكن الأمر كذلك، لكان لكل طرف مقابل سطحه الخاص...).

كما ذُكر سابقًا، يهتم التمويل الرياضي (وخاصة الهندسة المالية ) بالاتساق الرياضي (وحقائق السوق) أكثر من اهتمامه بالتوافق مع النظرية الاقتصادية، ولذا ينبغي النظر إلى مناهج "الأحداث المتطرفة" المذكورة أعلاه، ونمذجة الاتساق مع منحنى الابتسامة، وتعديلات التقييم في هذا السياق. وإدراكًا لذلك، يقترح نقاد الاقتصاد المالي - الذين ازدادت أصواتهم حدةً منذ الأزمة المالية عام 2008 - أن النظرية بحاجة إلى إعادة نظر شاملة تقريبًا: ^{[ ملاحظة 18 ]}

النظام الحالي، القائم على فكرة أن المخاطر تتوزع على شكل منحنى الجرس، معيب... تكمن المشكلة في أن الاقتصاديين والممارسين لا يتخلون أبدًا عن منحنى الجرس. إنهم أشبه بعلماء الفلك في العصور الوسطى الذين اعتقدوا أن الشمس تدور حول الأرض، ويواصلون تعديل حساباتهم الجغرافية المركزية بشكل محموم في مواجهة الأدلة المخالفة. لن يتوصلوا إلى الحل الصحيح أبدًا؛ إنهم بحاجة إلى كوبرنيكوس خاص بهم . ^{[ 115 ]}

كما هو واضح، يُفترض عادةً أن صانعي القرارات المالية يتصرفون بعقلانية؛ انظر: الإنسان الاقتصادي . إلا أن باحثين في الاقتصاد التجريبي والتمويل التجريبي قد شككوا مؤخرًا في هذا الافتراض تجريبيًا . كما تُشكك هذه الافتراضات نظريًا من قِبل التمويل السلوكي ^{[ 116 ]} ، وهو فرع يهتم أساسًا بحدود عقلانية الفاعلين الاقتصاديين. ^{[ ملاحظة 19 ]} للاطلاع على انتقادات ذات صلة بنظرية تمويل الشركات مقابل تطبيقها، انظر: ^{[ 117 ].}

تم توثيق العديد من الشذوذات السوقية بالتوازي. وتشمل هذه الشذوذات "تشوهات" الأسعار، مثل علاوات الحجم ، أو "إمكانية التنبؤ" بالعائدات ^{[ 118 ]} كما يتضح من تأثيرات التقويم المختلفة ، وهي شذوذات بمعنى أنها ^{[ 118 ]} لا يمكن تفسيرها بالنظريات الاقتصادية التقليدية، مما يتناقض (ظاهريًا) مع فرضية كفاءة السوق . وترتبط بهذه الشذوذات العديد من الألغاز الاقتصادية ، التي تتناقض بدورها مع النظرية. ومن الأمثلة على ذلك لغز علاوة الأسهم ، الذي ينشأ من كون الفرق بين العوائد المُلاحظة على الأسهم مقارنةً بالسندات الحكومية أعلى باستمرار من علاوة المخاطرة التي يجب أن يطلبها مستثمرو الأسهم العقلانيون، وهو ما يُعرف بـ" العائد غير الطبيعي ". لمزيد من المعلومات، انظر فرضية السير العشوائي § فرضية السير غير العشوائي ، والإطار الجانبي للاطلاع على أمثلة محددة.

بشكل أعم، ولا سيما في أعقاب الأزمة المالية لعام 2008 ، تعرض الاقتصاد المالي ( والتمويل الرياضي ) لانتقادات أعمق. ومن أبرز هؤلاء نسيم طالب ، الذي تتداخل انتقاداته مع ما سبق، بل وتمتد ^{[ 119 ]} لتشمل الجوانب المؤسسية ^{[ 120 ] [ 121 ]} للتمويل، بما في ذلك الجوانب الأكاديمية . ^{[ 122 ] [ 42 ]} تفترض نظرية البجعة السوداء أن الأحداث ذات الحجم والتأثير الكبيرين تلعب دورًا رئيسيًا في التمويل، ولكن نظرًا لكونها غير متوقعة إحصائيًا، فإن الاقتصاديين والمتداولين "يتجاهلونها" ، فهم غالبًا لا يتحملون أي مخاطر مباشرة . وبالتالي، على الرغم من أن " توزيع طالب " - الذي يوفر عادةً عوائد إيجابية صغيرة، مع وجود مخاطر صغيرة ولكنها كبيرة لحدوث خسائر كارثية - يصف الأسواق بشكل أكثر واقعية من النماذج الحالية، إلا أن الأخيرة لا تزال مفضلة؛ حتى مع اعتراف المختصين هنا بأنها "تعمل بشكل عام" فقط أو "تعمل في المتوسط ​​فقط". ^{[ 123 ]}

هنا، ^{[ 120 ]} كانت الأزمات المالية موضوعًا ذا أهمية ^{[ 124 ]} ، ولا سيما فشل ^{[ 121 ]} الاقتصاديين (الماليين) - وكذلك ^{[ 120 ]} المصرفيين والجهات التنظيمية - في وضع نماذج لها والتنبؤ بها. انظر معلومات أساسية عن أزمة الرهن العقاري الثانوي §  مراحل الأزمة . كما حظيت مشكلة المخاطر النظامية ذات الصلة بالاهتمام. فعندما تمتلك الشركات أوراقًا مالية في بعضها البعض، قد ينطوي هذا الترابط على "سلسلة تقييم" - وسيؤثر أداء شركة واحدة، أو ورقة مالية واحدة، على جميع الشركات، وهي ظاهرة يصعب نمذجتها، بغض النظر عن صحة النماذج الفردية. انظر: المخاطر النظامية § قصور نماذج التقييم الكلاسيكية ؛ التأثيرات المتتالية في الشبكات المالية ؛ اللجوء إلى الأصول الآمنة .

تشمل مجالات البحث التي تسعى إلى تفسير (أو على الأقل نمذجة) هذه الظواهر والأزمات، ^{[ 15 ]} بنية السوق الدقيقة ونماذج الوكلاء غير المتجانسين ، كما ذُكر سابقًا. وقد تم توسيع نطاق الأخيرة لتشمل النماذج الحسابية القائمة على الوكلاء ؛ وهنا، ^{[ 102 ]} كما ذُكر، يُعامل السعر كظاهرة ناشئة ، ناتجة عن تفاعل مختلف المشاركين في السوق (الوكلاء). وتفترض فرضية السوق الصاخبة أن الأسعار يمكن أن تتأثر بالمضاربين وتجار الزخم ، بالإضافة إلى المطلعين والمؤسسات التي غالبًا ما تشتري وتبيع الأسهم لأسباب لا علاقة لها بالقيمة الأساسية ؛ انظر الضوضاء (الاقتصادية) وتاجر الضوضاء . أما فرضية السوق التكيفية فهي محاولة للتوفيق بين فرضية كفاءة السوق والاقتصاد السلوكي، من خلال تطبيق مبادئ التطور على التفاعلات المالية. وبدلاً من ذلك، يُظهر تسلسل المعلومات انخراط المشاركين في السوق في نفس الأفعال التي يقوم بها الآخرون (" سلوك القطيع ")، على الرغم من تناقض ذلك مع معلوماتهم الخاصة. وقد تم تطبيق النمذجة القائمة على الاقتران بشكل مماثل. انظر أيضًا إلى "فرضية عدم الاستقرار المالي" لهيمان مينسكي ، بالإضافة إلى تطبيق جورج سوروس لمفهوم "الانعكاسية" . وبدلاً من ذلك، يُشار أحيانًا إلى القيود المؤسسية المتأصلة على المراجحة - أي على عكس العوامل التي تتعارض بشكل مباشر مع النظرية.

مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه بالرغم من أوجه القصور المذكورة أعلاه، فإن أسعار الأصول تتبع فعليًا ^{[ 34 ]} مسارًا عشوائيًا، أي (على الأقل) بمعنى أن "التغيرات في سوق الأسهم غير قابلة للتنبؤ، وتفتقر إلى أي نمط يمكن للمستثمر استخدامه للتفوق على السوق بشكل عام". ^{[ 125 ]} وبالتالي، بعد احتساب تكاليف الصناديق - وبالنظر إلى اعتبارات أخرى - يصعب التفوق باستمرار على متوسطات السوق ^{[ 126 ]} وتحقيق "ألفا" . ويتمثل الأثر العملي ^{[ 127 ]} في أن الاستثمار السلبي ، أي عبر صناديق المؤشرات منخفضة التكلفة ، يجب أن يكون، في المتوسط، أفضل من أي استراتيجية نشطة أخرى ، وفي الواقع، تُعتمد هذه الممارسة على نطاق واسع الآن . ^{[ ملاحظة 20 ]} ومع ذلك، يُطرح هنا القلق التالي : على الرغم من أن "البحث الذي يجريه المديرون النشطون هو الذي يُبقي الأسعار أقرب إلى قيمتها... وبالتالي، هناك توازن هش يختار فيه بعض المستثمرين الاستثمار في المؤشرات بينما يستمر الباقون في البحث عن الأوراق المالية المُسعّرة بأقل من قيمتها الحقيقية". ^{[ 127 ]} عمليًا، مع ازدياد إقبال المستثمرين على صناديق المؤشرات التي تتبع نفس الأسهم، ترتفع تقييمات تلك الشركات بشكل مبالغ فيه، ^{[ 128 ]} مما قد يؤدي إلى فقاعات في أسعار الأصول . انظر مفارقة غروسمان-ستيغليتز .