معاملات المنحنيات الجبرية

إنها نظرية غير بديهية، أثبتها بيير ديلين وديفيد مومفورد ، ^{[ 1 ]} أن حزمة المعاملات${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$غير قابل للاختزال، أي لا يمكن التعبير عنه كاتحاد مجموعتين فرعيتين مناسبتين. وقد أثبتوا ذلك من خلال تحليل الموضع${\displaystyle H_{g}}$منحنيات مستقرة في مخطط هيلبرت${\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}}$من المنحنيات المضمنة ثلاثية القواعد (من تضمين واسع جدًا${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$لكل منحنى) التي لها متعددة حدود هيلبرت${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$ثم، المكدس${\displaystyle [H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]}$هو بناء فضاء المعاملات${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$باستخدام نظرية التشوه ، أظهر ديلين ومومفورد أن هذه المجموعة ناعمة واستخدما مجموعة التشاكلات بين المنحنيات المستقرة.${\displaystyle \mathrm {Isom} _{S}(C,C')}$، لإظهار ذلك${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$يحتوي على مثبتات محدودة، وبالتالي فهو عبارة عن مكدس ديلين-مامفورد . علاوة على ذلك، وجدوا تدرجًا من${\displaystyle H_{g}}$مثل

${\displaystyle H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}}$،

أين${\displaystyle H_{g}^{o}}$هو مخطط فرعي للمنحنيات المستقرة الملساء و${\displaystyle H_{g,i}}$هو عنصر لا يمكن اختزاله من${\displaystyle S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}}$يقومون بتحليل مكونات${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)}$(كمُعامل GIT ). إذا كانت هناك مكونات متعددة من${\displaystyle H_{g}^{o}}$لن يكون أي منها كاملاً. كذلك، أي مكون من${\displaystyle H_{g}}$يجب أن تحتوي على منحنيات غير شاذة. وبالتالي، فإن الموضع الشاذ${\displaystyle S^{*}}$متصل، وبالتالي فهو موجود في مكون واحد من${\displaystyle H_{g}}$علاوة على ذلك، لأن كل مكون يتقاطع${\displaystyle S^{*}}$يجب أن تحتوي جميع المكونات على مكون واحد، ومن هنا تأتي المساحة الخشنة${\displaystyle H_{g}}$غير قابل للاختزال. من النظرية العامة للأكوام الجبرية، هذا يستلزم حاصل قسمة الكومة${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$لا يمكن اختزاله.

تُستنتج خاصية التماسك ، أو التراص ، للمساحات المدارية من نظرية حول الاختزال المستقر على المنحنيات. ^{[ 1 ]} ويمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية غروتينديك المتعلقة بالاختزال المستقر للأصناف الأبيلية ، وإظهار تكافؤها مع الاختزال المستقر للمنحنيات. ^{[ 1 ] القسم 5.2}

يمكن أيضًا النظر في فضاءات المعاملات الخشنة التي تمثل فئات التشاكل للمنحنيات الملساء أو المستقرة. وقد دُرست هذه الفضاءات قبل ظهور مفهوم رزمة المعاملات. في الواقع، طُرحت فكرة رزمة المعاملات من قِبل ديلين ومومفورد في محاولة لإثبات إسقاطية فضاءات المعاملات الخشنة. وفي السنوات الأخيرة، بات من الواضح أن رزمة المنحنيات هي في الواقع المفهوم الأكثر جوهرية.

تتمتع فضاءات المعاملات الخشنة بنفس أبعاد الحزم عندما${\displaystyle g>1}$ومع ذلك، في الجنس صفر يكون لفضاء المعاملات الخشنة بُعد صفر، وفي الجنس واحد يكون له بُعد واحد.

تحديد هندسة فضاء المعاملات للجنس${\displaystyle 0}$يمكن تحديد المنحنيات باستخدام نظرية التشوه . عدد المعاملات لجنس معين${\displaystyle 0}$منحنى، على سبيل المثال${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$، يتم تحديده بواسطة مجموعة التماثل

${\displaystyle H^{1}(C,T_{C})}$

مع ازدواجية سير، تكون مجموعة التماثل هذه متماثلة مع

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}}$

لحزمة الازدواج${\displaystyle \omega _{C}}$لكن، باستخدام نظرية ريمان-روخ، يتضح أن درجة الحزمة القانونية هي${\displaystyle -2}$لذا فإن درجة${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 2}}$يكون${\displaystyle -4}$وبالتالي، لا توجد أقسام عالمية، مما يعني

${\displaystyle H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

مما يدل على عدم وجود تشوهات في الجنس${\displaystyle 0}$المنحنيات. وهذا يثبت${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$إنها مجرد نقطة واحدة، والجنس الوحيد${\displaystyle 0}$تُعطى المنحنيات بواسطة${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$الصعوبة التقنية الوحيدة هي مجموعة التشاكل الذاتي لـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$هي المجموعة الجبرية${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$، والتي تتصلب بمجرد ثلاث نقاط ^{[ 2 ]} على${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ثابتة، لذلك يأخذ معظم المؤلفين${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$بمعنى${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,3}}$.

تُعد حالة الجنس 1 واحدة من أولى الحالات المفهومة جيدًا لفضاءات المعاملات، على الأقل على الأعداد المركبة، لأن فئات التشاكل للمنحنيات الإهليلجية تُصنف بواسطة الثابت J

${\displaystyle j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$

أين${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$من الناحية الطوبولوجية،${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }}$هو مجرد خط أفيني، ولكن يمكن ضغطه إلى مكدس ذي فضاء طوبولوجي أساسي${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$بإضافة منحنى مستقر عند اللانهاية. هذا منحنى إهليلجي ذو قمة واحدة. بناء الحالة العامة على${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$تم إنجازه في الأصل بواسطة ديلين ورابوبورت . ^{[ 3 ]}

تجدر الإشارة إلى أن معظم المؤلفين يعتبرون حالة المنحنيات من النوع الأول ذات النقطة المميزة الواحدة هي أصل المجموعة، لأنه بخلاف ذلك، فإن مجموعة المثبتات في فضاء المعاملات الافتراضي${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$سيكون هناك مجموعة مثبتة عند النقطة${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{1}}$يُعطى بواسطة المنحنى، لأن المنحنيات الإهليلجية لها بنية زمرة أبيلية. وهذا يُضيف تعقيدًا تقنيًا غير ضروري إلى فضاء المعاملات الافتراضي هذا. من ناحية أخرى،${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$هو عبارة عن مجموعة سلسة من نوع ديليجن-مامفورد .

هذا هو أول فضاء معياري للمنحنيات يحتوي على كل من الموضع الزائدي الإهليلجي والموضع غير الزائدي الإهليلجي. ^{[ 7 ] [ 8 ]} تُعطى جميع المنحنيات غير الزائدة الإهليلجية بواسطة منحنيات مستوية من الدرجة 4 (باستخدام صيغة درجة الجنس )، والتي يتم تحديدها بواسطة الموضع الأملس في مخطط هيلبرت للأسطح الفائقة.

${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}}$.

ثم يتم تقسيم فضاء المعاملات إلى طبقات بواسطة الحزم الفرعية

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }}$.

في جميع الحالات السابقة، يمكن إيجاد أن فضاءات المعاملات أحادية العقلانية ، مما يعني وجود تشاكل عقلاني مهيمن.

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to {\mathcal {M}}_{g}}$

وكان من المتوقع منذ فترة طويلة أن ينطبق هذا على جميع الأجناس. في الواقع، أثبت سيفيري صحة ذلك بالنسبة للأجناس حتى${\displaystyle 10}$[ ^{9 ]} مع ذلك، اتضح أن ذلك بالنسبة ^للجنس${\displaystyle g\geq 23}$^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} جميع فضاءات المعاملات هذه من النوع العام، أي أنها ليست أحادية النسبة. وقد حققوا ذلك من خلال دراسةبُعد كودايرالفضاءات المعاملات الخشنة.

${\displaystyle \kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),}$

ووجد${\displaystyle \kappa _{g}>0}$ل${\displaystyle g\geq 23}$في الواقع، من أجل${\displaystyle g>23}$،

${\displaystyle \kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),}$

وبالتالي${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$هو من النوع العام.

بالنسبة للجنس${\displaystyle 2}$في هذه الحالة، يوجد تصنيف مُعطى بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$.

يمكن استخدام المزيد من التحليل لهذه الطبقات لتحديد مولدات حلقة تشاو${\displaystyle A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})}$^{[ 14 ] الاقتراح 9.1}.

• جروتينديك، ألكسندر (1960–1961). "تقنيات البناء في الهندسة التحليلية. I. الوصف البديهي لمساحة Teichmüller et de sesvaries" (PDF) . ندوة هنري كارتان . 13 (1). باريس. زبل 0142.33503 . المعروضان رقم 7 و 8. 

• مومفورد, ديفيد ; فوغارتي، جون. كيروان، فرانسيس كلير (1994). النظرية الهندسية الثابتة (3rd enl.  ed.). برلين: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-56963-4. MR 1304906 . OCLC 29184987 .  
• ديلين، بيير ؛ مامفورد، ديفيد (1969). "عدم اختزال فضاء المنحنيات من جنس معين" (ملف PDF) . منشورات الرياضيات للمعهد العالي للدراسات العليا . 36 : 75-109 . CiteSeerX 10.1.1.589.288 . doi : 10.1007/bf02684599 . S2CID 16482150 .  

• هاريس، جو ؛ موريسون، إيان (1998). معاملات المنحنيات . سبرينغر فيرلاغ . ISBN 978-0-387-98429-2.

• كاتز، نيكولاس م .؛ مازور، باري (1985). المعاملات الحسابية للمنحنيات الإهليلجية . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 978-0-691-08352-0.
• Arbarello, إنريكو ; كورنالبا، ماوريتسيو؛ غريفيث، فيليب أ. (2011). هندسة المنحنيات الجبرية II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  268. دوى : 10.1007/978-3-540-69392-5 . رقم ISBN 978-3-540-42688-2.

• زفونكين، ديمتري (2012). "مقدمة في فضاءات المعاملات للمنحنيات ونظرية تقاطعها". في بابادوبولوس، أثاناس (محرر). دليل نظرية تايخمولر، المجلد الثالث (PDF) . محاضرات IRMA في الرياضيات والفيزياء النظرية. المجلد  17. زيورخ، سويسرا: دار نشر الجمعية الرياضية الأوروبية. الصفحات 667-716 . doi : 10.4171/103-1/12 . ISBN  978-3-03719-103-3MR 2952773 .​ 
• فابر، كاريل؛ بانداريباندي، راهول (2013). "التماثل التكراري وغير التكراري لفضاء معاملات المنحنيات" (ملف PDF) . في: فاركاس، جافريل ؛ موريسون، إيان (محرران). دليل المعاملات، المجلد الأول . محاضرات متقدمة في الرياضيات (ALM). المجلد  24. سومرفيل، ماساتشوستس: دار النشر الدولية. الصفحات 293-330 . ISBN  9781571462572. MR 3184167 .