نظرية مورس

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 95 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في الطوبولوجيا التفاضلية ، تُمكّن نظرية مورس من تحليل طوبولوجيا أي فضاء متعدد الشعب من خلال دراسة الدوال القابلة للتفاضل عليه . ووفقًا لرؤى مارستون مورس الأساسية ، فإن الدالة النموذجية القابلة للتفاضل على أي فضاء متعدد الشعب تعكس طوبولوجيا هذا الفضاء بشكل مباشر. تسمح نظرية مورس بإيجاد بنى CW ومعالجة عمليات التفكيك على الفضاءات متعددة الشعب، والحصول على معلومات جوهرية حول تماثلها .

قبل مورس، طوّر آرثر كايلي وجيمس كلارك ماكسويل بعض أفكار نظرية مورس في سياق الطبوغرافيا . طبّق مورس نظريته في الأصل على الخطوط الجيوديسية ( النقاط الحرجة لدالة الطاقة على فضاء المسارات). استُخدمت هذه التقنيات في برهان راؤول بوت لنظرية الدورية .

إن نظير نظرية مورس للمتشعبات المعقدة هو نظرية بيكارد-ليفشيتز .

المفاهيم الأساسية

نقطة السرج

على سبيل المثال، تخيل سطحًا لتضاريس جبليةم{\displaystyle M}(بشكل أعم، متعدد الشعب ). إذاو{\displaystyle f}هي الوظيفةم→R{\displaystyle M\to \mathbb {R} }بإعطاء ارتفاع كل نقطة، ثم الصورة العكسية لنقطة فيR{\displaystyle \mathbb {R} }خط الكنتور هو خط كفاف (أو بشكل أعم، مجموعة مستويات ). كل مكون متصل في خط الكنتور هو إما نقطة، أو منحنى مغلق بسيط ، أو منحنى مغلق ذو نقطتين . قد تحتوي خطوط الكنتور أيضًا على نقاط من رتبة أعلى (نقاط ثلاثية، إلخ)، لكنها غير مستقرة ويمكن إزالتها بتشوه طفيف في التضاريس. تظهر النقاط المزدوجة في خطوط الكنتور عند نقاط السرج ، أو الممرات، حيث ينحني سطح الأرض المحيط لأعلى في اتجاه ولأسفل في الاتجاه الآخر.

خطوط الكفاف حول نقطة السرج

تخيل إغراق هذه المنطقة بالماء. عندما يصل الماء إلى مستوى معين...أ{\displaystyle a}السطح تحت الماء هومأ=تعريفو-1(-∞،أ]{\displaystyle M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]}، النقاط ذات الارتفاعأ{\displaystyle a}أو أسفل. تأمل كيف تتغير تضاريس هذا السطح مع ارتفاع الماء. يبدو السطح دون تغيير إلا عندماأ{\displaystyle a}يتجاوز ارتفاع النقطة الحرجة ، حيث يكون تدرجو{\displaystyle f}يكون0{\displaystyle 0}(بشكل أعم، لا تمتلك مصفوفة جاكوبي التي تعمل كدالة خطية بين الفضاءات المماسية رتبة قصوى ). بعبارة أخرى، فإن طوبولوجيامأ{\displaystyle M^{a}}لا يتغير إلا عندما يبدأ الماء إما (1) في ملء حوض، أو (2) يغطي سرجًا ( ممرًا جبليًا )، أو (3) يغمر قمة.

الطارة

يُربط بهذه الأنواع الثلاثة من النقاط الحرجة - الأحواض، والممرات، والقمم (أي النقاط الدنيا، والسرج، والنقاط القصوى) - رقم يُسمى المؤشر، وهو عدد الاتجاهات المستقلة التيو{\displaystyle f}يتناقص من النقطة. وبشكل أدق، مؤشر النقطة الحرجة غير المنحلةص{\displaystyle p}لو{\displaystyle f}يمثل بُعد أكبر فضاء فرعي من الفضاء المماسي لـم{\displaystyle M}فيص{\displaystyle p}التي عليها الهيسيو{\displaystyle f}هي سالبة تمامًا. مؤشرات الأحواض والممرات والقمم هي0،1،{\displaystyle 0,1,}و2،{\displaystyle 2,}على التوالى.

بالنظر إلى سطح أكثر عمومية، لنفترضم{\displaystyle M}يكون على شكل حلقة موجهة كما في الصورة، معو{\displaystyle f}مرة أخرى، نأخذ نقطة إلى ارتفاعها فوق المستوى. يمكن للمرء مرة أخرى تحليل كيفية تضاريس السطح تحت الماءمأ{\displaystyle M^{a}}يتغير مع مستوى الماءأ{\displaystyle a}يرتفع.

أسطوانة (أعلى اليمين)، تتكون منمأ{\displaystyle M^{a}}متىو(q)<أ<و(ر){\displaystyle f(q)<a<f(r)}، مكافئ تماثليًا لخلية واحدة متصلة بقرص (أسفل اليسار).
حلقة دائرية أُزيل منها قرص (أعلى اليمين)، تشكلت بواسطةمأ{\displaystyle M^{a}}متىو(ر)<أ<و(s){\displaystyle f(r)<a<f(s)}، مكافئ تماثليًا لخلية واحدة متصلة بأسطوانة (أسفل اليسار).

لنبدأ من أسفل الحلقة،ص،q،ر،{\displaystyle p,q,r,}وs{\displaystyle s}كن النقاط الأربع الحرجة للمؤشر0،1،1،{\displaystyle 0,1,1,}و2{\displaystyle 2}يتوافق ذلك مع الحوض، وسرجين، وقمة، على التوالي. عندماأ{\displaystyle a}أقل منو(ص)=0،{\displaystyle f(p)=0,}ثممأ{\displaystyle M^{a}}هي المجموعة الفارغة. بعدأ{\displaystyle a}يجتاز مستوىص،{\displaystyle p,}متى0<أ<و(q)،{\displaystyle 0<a<f(q),}ثممأ{\displaystyle M^{a}}هو قرص ، وهو مكافئ تماثليًا لنقطة (خلية صفرية) تم "إلحاقها" بالمجموعة الفارغة. بعد ذلك، عندماأ{\displaystyle a}يتجاوز مستوىq،{\displaystyle q,}وو(q)<أ<و(ر)،{\displaystyle f(q)<a<f(r),}ثممأ{\displaystyle M^{a}}هو أسطوانة، وهو مكافئ تماثليًا لقرص متصل به خلية واحدة (الصورة على اليسار). بمجردأ{\displaystyle a}يجتاز مستوىر،{\displaystyle r,}وو(ر)<أ<و(s)،{\displaystyle f(r)<a<f(s),}ثممأ{\displaystyle M^{a}}هو شكل حلقي تم إزالة قرص منه، وهو مكافئ تماثليًا لأسطوانة متصلة بها خلية واحدة (الصورة على اليمين). أخيرًا، عندماأ{\displaystyle a}أكبر من المستوى الحرج لـs،{\displaystyle s,}مأ{\displaystyle M^{a}}هو عبارة عن حلقة، أي حلقة تم إزالة قرص (خلية ثنائية) وإعادة ربطه.

يوضح هذا القاعدة التالية: طوبولوجيامأ{\displaystyle M^{a}}لا يتغير إلا عندماأ{\displaystyle a}يتجاوز ارتفاع النقطة الحرجة؛ عند هذه النقطة،γ{\displaystyle \gamma }الخلية متصلة بـمأ{\displaystyle M^{a}}، أينγ{\displaystyle \gamma }هو مؤشر النقطة. هذا لا يُعالج ما يحدث عندما تكون نقطتان حرجتان على نفس الارتفاع، وهو ما يمكن حله عن طريق اضطراب طفيف فيو.{\displaystyle f.}في حالة وجود منظر طبيعي أو متعدد الشعب مضمن في الفضاء الإقليدي ، قد يكون هذا الاضطراب مجرد إمالة طفيفة، مما يؤدي إلى تدوير نظام الإحداثيات.

يجب الحرص على جعل النقاط الحرجة غير متدهورة. لمعرفة ما يمكن أن يشكل مشكلة، دعم=R{\displaystyle M=\mathbb {R} }ودعو(x)=x3.{\displaystyle f(x)=x^{3}.}ثم0{\displaystyle 0}تُعد نقطة حاسمة منو،{\displaystyle f,}لكن طوبولوجيامأ{\displaystyle M^{a}}لا يتغير عندماأ{\displaystyle a}تمريرات0.{\displaystyle 0.}المشكلة هي أن المشتقة الثانية هيو"(0)=0{\displaystyle f''(0)=0}— أي الهيسيين​و{\displaystyle f}يختفي ويصبح الوضع الحرج متدهورًا. هذا الوضع غير مستقر، لأنه بتشويه طفيفو{\displaystyle f}لو(x)=x3+ϵx{\displaystyle f(x)=x^{3}+\epsilon x}، يتم إزالة النقطة الحرجة المنحلة (ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}) أو ينقسم إلى نقطتين حرجتين غير متدهورتين (ϵ<0{\displaystyle \epsilon <0}).

التطور الرسمي

لدالة سلسة ذات قيم حقيقيةو:م→R{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }على مشعب قابل للتفاضلم،{\displaystyle M,}النقاط التي يكون عندها تفاضلو{\displaystyle f}تُسمى نقاط التلاشي بالنقاط الحرجة لـو{\displaystyle f}وصورهم تحتو{\displaystyle f}تُسمى هذه القيم بالقيم الحرجة . إذا كانت عند نقطة حرجةص{\displaystyle p}إذا كانت مصفوفة المشتقات الجزئية الثانية ( مصفوفة هيسيان ) غير منفردة، فإنص{\displaystyle p}يُطلق عليه اسمالنقطة الحرجة غير المنحلة ؛ إذا كانت مصفوفة هيسيان منفردة، فإنص{\displaystyle p}هونقطة حرجة متدهورة .

بالنسبة للوظائف و(x)=أ+بx+جx2+دx3+⋯{\displaystyle f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots } منR{\displaystyle \mathbb {R} }لR،{\displaystyle \mathbb {R} ,}و{\displaystyle f}توجد نقطة حرجة عند نقطة الأصل إذاب=0،{\displaystyle b=0,}وهو غير منحط إذاج≠0{\displaystyle c\neq 0}(إنه،و{\displaystyle f}وهو على شكلأ+جx2+⋯{\displaystyle a+cx^{2}+\cdots }وتتدهور إذاج=0{\displaystyle c=0}(إنه،و{\displaystyle f}وهو على شكلأ+دx3+⋯{\displaystyle a+dx^{3}+\cdots }). ومن الأمثلة الأقل تفاهةً على النقطة الحرجة المنحطة أصل سرج القرد .

مؤشر النقطة الحرجة غير المنحلةص{\displaystyle p}لو{\displaystyle f}يمثل بُعد أكبر فضاء فرعي من الفضاء المماسي لـم{\displaystyle M}فيص{\displaystyle p}والتي تكون فيها مصفوفة هيسيان سالبة التحديد . وهذا يتوافق مع المفهوم البديهي القائل بأن الدليل هو عدد الاتجاهات التيو{\displaystyle f}يتناقص. إن انحلال ومؤشر النقطة الحرجة مستقلان عن اختيار نظام الإحداثيات المحلي المستخدم، كما هو موضح في قانون سيلفستر .

معضلة مورس

يتركص{\displaystyle p}أن تكون نقطة حرجة غير متدهورةو:م→R.{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} .} ثم يوجد مخطط(x1،x2،...،xن){\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}في حييو{\displaystyle U}لص{\displaystyle p}بحيثxأنا(ص)=0{\displaystyle x_{i}(p)=0}للجميعأنا{\displaystyle i}و و(x)=و(ص)-x12-⋯-xγ2+xγ+12+⋯+xن2{\displaystyle f(x)=f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\gamma }^{2}+x_{\gamma +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} طَوَاليو.{\displaystyle U.}هناγ{\displaystyle \gamma }يساوي دليلو{\displaystyle f}فيص{\displaystyle p}وكنتيجة طبيعية لمبدأ مورس، يتضح أن النقاط الحرجة غير المنحلة معزولة . (للاطلاع على امتداد إلى المجال المركب، انظر مبدأ مورس المركب . وللحصول على تعميم، انظر مبدأ مورس-باليه ).

النظريات الأساسية

دالة حقيقية سلسة على مشعبم{\displaystyle M}تُعتبر الدالة مورس إذا لم يكن لها نقاط حرجة متدهورة. وتنص إحدى النتائج الأساسية لنظرية مورس على أن جميع الدوال تقريبًا هي دوال مورس. من الناحية الفنية، تُشكل دوال مورس مجموعة فرعية مفتوحة وكثيفة من جميع الدوال الملساء.م→R{\displaystyle M\to \mathbb {R} }فيج2{\displaystyle C^{2}}الطوبولوجيا. ويتم التعبير عن ذلك أحيانًا على أنه "دالة نموذجية هي مورس" أو " دالة عامة هي مورس".

كما ذكرنا سابقاً، نحن مهتمون بمسألة متى تصبح طوبولوجيامأ=و-1(-∞،أ]{\displaystyle M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]}التغييرات معأ{\displaystyle a}يختلف الأمر. نصف الإجابة على هذا السؤال يُعطى من خلال النظرية التالية.

نظرية. لنفترضو{\displaystyle f}هي دالة حقيقية سلسة علىم،{\displaystyle M,}أ<ب،{\displaystyle a<b,}و-1[أ،ب]{\displaystyle f^{-1}[a,b]}مضغوطة ، ولا توجد قيم حرجة بينهاأ{\displaystyle a}وب.{\displaystyle b.} ثممأ{\displaystyle M^{a}}متماثل الشكل لـمب،{\displaystyle M^{b},}ومب{\displaystyle M^{b}}يتراجع التشوه إلىمأ.{\displaystyle M^{a}.}

ومن المهم أيضاً معرفة كيف تؤثر بنية طوبولوجيامأ{\displaystyle M^{a}}التغييرات عندماأ{\displaystyle a}يمر بنقطة حرجة. تجيب النظرية التالية على هذا السؤال.

نظرية. لنفترضو{\displaystyle f}هي دالة حقيقية سلسة علىم{\displaystyle M}وص{\displaystyle p}هي نقطة حرجة غير متدهورة منو{\displaystyle f}فهرسγ،{\displaystyle \gamma ,}وذلكو(ص)=q.{\displaystyle f(p)=q.} يفترضو-1[q-ε،q+ε]{\displaystyle f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]}مضغوط ولا يحتوي على نقاط حرجة باستثناءص.{\displaystyle p.}ثممq+ε{\displaystyle M^{q+\varepsilon }}مكافئ تماثليًا لـمq-ε{\displaystyle M^{q-\varepsilon }}معγ{\displaystyle \gamma }- تم توصيل الخلية.

تعمم هذه النتائج وتضفي طابعاً رسمياً على "القاعدة" المذكورة في القسم السابق.

باستخدام النتيجتين السابقتين وحقيقة وجود دالة مورس على أي مشعب قابل للتفاضل، يمكن إثبات أن أي مشعب قابل للتفاضل هو مركب CW ذون{\displaystyle n}- خلية لكل نقطة حرجة من الفهرسن.{\displaystyle n.} للقيام بذلك، يحتاج المرء إلى الحقيقة التقنية المتمثلة في إمكانية ترتيب وجود نقطة حرجة واحدة على كل مستوى حرج، وهو ما يتم إثباته عادةً باستخدام حقول متجهة تشبه التدرج لإعادة ترتيب النقاط الحرجة.

عدم المساواة في مورس

يمكن استخدام نظرية مورس لإثبات بعض النتائج القوية المتعلقة بتماثل المتشعبات. عدد النقاط الحرجة للمؤشرγ{\displaystyle \gamma }لو:م→R{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }يساوي عددγ{\displaystyle \gamma }الخلايا في بنية CW علىم{\displaystyle M}مشتق من كلمة "تسلق"و.{\displaystyle f.}باستخدام حقيقة أن المجموع المتناوب لرتب مجموعات التماثل لفضاء طوبولوجي يساوي المجموع المتناوب لرتب مجموعات السلاسل التي يُحسب منها التماثل، فإنه باستخدام مجموعات السلاسل الخلوية (انظر التماثل الخلوي ) يتضح أن خاصية أويلرχ(م){\displaystyle \chi (M)}يساوي المجموع ∑(-1)γجγ=χ(م){\displaystyle \sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)} أينجγ{\displaystyle C^{\gamma }}هو عدد النقاط الحرجة للمؤشرγ.{\displaystyle \gamma .}كما أن رتبة... تعتمد على التشابه الخلوين{\displaystyle n}مجموعة التماثل th لمركب CWم{\displaystyle M}أقل من أو يساوي عددن{\displaystyle n}-الخلايا فيم.{\displaystyle M.}لذلك، فإن رتبةγ{\displaystyle \gamma }مجموعة التماثل، أي عدد بيتيبγ(م){\displaystyle b_{\gamma }(M)}، أقل من أو يساوي عدد النقاط الحرجة للمؤشرγ{\displaystyle \gamma }وظيفة مورس علىم.{\displaystyle M.}يمكن تعزيز هذه الحقائق للحصول علىمتباينات مورس : جγ-جγ-1±⋯+(-1)γج0≥بγ(م)-بγ-1(م)±⋯+(-1)γب0(م).{\displaystyle C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).}

على وجه الخصوص، لأي γ∈{0،...،ن=خافت⁡م}،{\displaystyle \gamma \in \{0,\ldots ,n=\dim M\},} يمتلك المرء جγ≥بγ(م).{\displaystyle C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).}

يوفر هذا أداة قوية لدراسة طوبولوجيا المتشعبات. لنفترض أنه على متشعب مغلق توجد دالة مورسو:م→R{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }مع وجود k نقطة حرجة بالضبط . بأي طريقة يرتبط وجود الدالةو{\displaystyle f}يقيدم{\displaystyle M}القضيةك=2{\displaystyle k=2}درسها جورج ريب عام 1952؛ وتنص نظرية ريب الكروية على أنم{\displaystyle M}متماثل الشكل مع الكرةSن.{\displaystyle S^{n}.}القضيةك=3{\displaystyle k=3}لا يكون ذلك ممكنًا إلا في عدد قليل من الأبعاد المنخفضة، ويكون M متماثلًا مع مشعب إيلز-كويبر . في عام 1982، طور إدوارد ويتن منهجًا تحليليًا لمتراجحات مورس من خلال دراسة مُركب دي رام للمؤثر المُضطرب. دت=هـ-تودهـتو.{\displaystyle d_{t}=e^{-tf}de^{tf}.}[ 1 ] [ 2 ]

تطبيق على تصنيف المشعبات المغلقة ثنائية الأبعاد

استُخدمت نظرية مورس لتصنيف المشعبات المغلقة ثنائية الأبعاد حتى التماثل التفاضلي. إذام{\displaystyle M}إذا كان موجهاً، فعندئذٍم{\displaystyle M}يتم تصنيفها حسب جنسهاز{\displaystyle g}وهو متماثل الشكل مع كرة ذاتز{\displaystyle g}المقابض: وبالتالي إذاز=0،{\displaystyle g=0,}م{\displaystyle M}متماثل الشكل مع الكرة ثنائية الأبعاد؛ وإذاز>0،{\displaystyle g>0,}م{\displaystyle M}متماثل شكليًا مع المجموع المتصل لـز{\displaystyle g}2-حلقة. إذاشمال{\displaystyle N}غير قابل للتوجيه، ويتم تصنيفه برقمز>0{\displaystyle g>0}وهو متماثل شكليًا مع المجموع المتصل لـز{\displaystyle g}مساحات إسقاط حقيقيةRP2.{\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}.}على وجه الخصوص، يكون مشعبان مغلقان ثنائيا الأبعاد متماثلين طوبولوجيًا إذا وفقط إذا كانا متماثلين تباينيًا. [ 3 ] [ 4 ]

تشابه مورس

يُعدّ علم التماثل المورسي طريقةً سهلةً لفهم تماثل المتشعبات الملساء . ويُعرَّف باستخدام اختيار عام لدالة مورس ومقياس ريماني . تنصّ النظرية الأساسية على أن التماثل الناتج ثابتٌ للمتشعب (أي مستقلٌ عن الدالة والمقياس) ومتماثلٌ مع التماثل الشاذ للمتشعب؛ وهذا يعني أن أعداد مورس وأعداد بيتي الشاذة متطابقة، ويُقدّم برهانًا مباشرًا لمتباينات مورس. يُعرف نظيرٌ لانهائي الأبعاد لعلم التماثل المورسي في الهندسة التبسيطية باسم علم التماثل الفلوري .

نظرية مورس-بوت

يمكن تعميم مفهوم دالة مورس ليشمل الدوال التي لها مشعبات غير متدهورة من النقاط الحرجة.دالة مورس-بوت هي دالة سلسة على مشعبمجموعتها الحرجةمشعبًا فرعيًا مغلقًا، ويكون مصفوفة هيس الخاصة بها غير منعدمة في الاتجاه العمودي. (بصورة مكافئة، تساوي نواة مصفوفة هيس عند نقطة حرجة الفضاء المماسي للمشعب الفرعي الحرج). دالة مورس هي الحالة الخاصة التي تكون فيها المشعبات الحرجة صفرية الأبعاد (وبالتالي تكون مصفوفة هيس عند النقاط الحرجة غير منعدمة في كل اتجاه، أي ليس لها نواة).

يُنظر إلى المؤشر بشكل طبيعي على أنه زوج (أنا-،أنا+)،{\displaystyle \left(i_{-},i_{+}\right),} أينأنا-{\displaystyle i_{-}}يمثل بُعد المتشعب غير المستقر عند نقطة معينة من المتشعب الحرج، وأنا+{\displaystyle i_{+}}يساويأنا-{\displaystyle i_{-}}بالإضافة إلى بُعد المتشعب الحرج. إذا تم تشويش دالة مورس-بوت بدالة صغيرة على الموضع الحرج، فإن فهرس جميع النقاط الحرجة للدالة المشوشة على متشعب حرج للدالة غير المشوشة سيقع بينأنا-{\displaystyle i_{-}}وأنا+.{\displaystyle i_{+}.}

تُعدّ دوال مورس-بوت مفيدة لأن دوال مورس العامة يصعب التعامل معها؛ أما الدوال التي يمكن تصورها، والتي يمكن حسابها بسهولة، فعادةً ما تتمتع بتناظرات. وغالبًا ما تؤدي إلى مشعبات حرجة موجبة الأبعاد. وقد استخدم راؤول بوت نظرية مورس-بوت في برهانه الأصلي لنظرية بوت الدورية .

تُعد الدوال الدائرية أمثلة على دوال مورس-بوت، حيث تكون المجموعات الحرجة عبارة عن (اتحادات منفصلة من) الدوائر.

يمكن أيضًا صياغة علم التماثل المورسي لدوال مورس-بوت؛ ويتم حساب التفاضل في علم التماثل المورسي-بوت بواسطة متتالية طيفية . وقد وضع فريدريك بورجوا مخططًا لنهج في سياق عمله على نسخة مورس-بوت من نظرية الحقل التبسيطي، لكن هذا العمل لم يُنشر قط بسبب صعوبات تحليلية كبيرة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ويتن، إدوارد (1982). "التناظر الفائق ونظرية مورس" . مجلة الهندسة التفاضلية 17 (4): 661-692 . doi : 10.4310/jdg/1214437492 .
  2. ↑ رو، جون (1998). المؤثرات الإهليلجية، والطوبولوجيا، والطريقة التقاربية . سلسلة مذكرات بيتمان البحثية في الرياضيات. المجلد 395 ( الطبعة الثانية). لونجمان. ISBN   0582325021.
  3. ↑ غولد، ديفيد ب. (1982). الطوبولوجيا التفاضلية: مقدمة . سلسلة الدراسات والكتب الدراسية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 72. مارسيل ديكر. ISBN  0824717090.
  4. ↑ شاستري، أنانت ر. (2011). عناصر الطوبولوجيا التفاضلية . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 9781439831601.

للمزيد من القراءة