النظام الديناميكي

من منظور رياضي، في الحالة العامة، تُعامل فضاء الحالة X كمجموعة عامة من الجبر المجرد . يمتلك هذا الفضاء X بنية شبه زمرة (أي حيث يُشترط فقط التجميع )، وغالبًا ما يكون هناك اختيار طبيعي لعنصر المحايد ، والذي يُرتبط عادةً بأصل الإطار المرجعي المُختار . يمكن تفسير شبه الزمرة هذه بشكل بديهي على أنها إحداثية الزمن t. ^{[ 19 ]} في الواقع، يمتلك الزمن عملية جمع وأصلًا، وهو عنصر المحايد، تمامًا مثل الزمرة. تأثير شبه الزمرة على X هو مجموعة من الدوال من X إلى نفسها، وهي دوال وسيطية في الزمن t، وهذا هو التطور الزمني بشكل بديهي. ^{[ 20 ]}

من الممكن السماح بخيارات مختلفة لفضاء الحالة ، مثل فضاء الدوال (على سبيل المثال، يُعدّ الضغط ودرجة الحرارة وسرعة الغاز في صاروخ دالة في فضاء حلول بعض المعادلات التفاضلية الجزئية في ديناميكا الموائع ، وقد تتغير هذه القيم بمرور الوقت)، ^{[ 21 ] [ 22 ]} أو فضاء الحالة الكمومي (على سبيل المثال، يمكن وصف حالة الذرة بمجموعة من الدوال في فضاء هيلبرت ومجموعة من الاحتمالات لهذه الدوال)، ^{[ 22 ] [ 23 ]} أو متعدد الشعب (على سبيل المثال، يمكن وصف حالة الثقب الأسود بموتر متري على متعدد شعب ريمان ، ويكون موضعه متجهًا في متعدد الشعب نفسه). ^{[ 24 ]} وتشمل الخيارات الأخرى فضاء الطور ، أو فضاء التكوين ، أو حتى فضاء منفصل (مثل مجموعة الأعداد الأولية أو حقل منتهٍ ). ^{[ 25 ]}

يمكن تعميم مفهوم الزمن أيضًا كمجموعة عامة من المعاملات المتصلة، فعلى سبيل المثال، يمكن أن تكون معاملات التحكم في الروبوت متعددة الأبعاد . ليس من الضروري أن يكون للزمن اتجاه، أو أن يكون سلسًا ، أو حتى أن يكون له أي معنى مشابه للمفهوم البديهي للزمن ، بل يمكن تعميمه ليشمل كائنات جبرية أكثر عمومية. ^{[ ملاحظة 1 ]}

تُعرَّف فئة عامة من الأنظمة على عدة متغيرات مستقلة، ولذلك تُسمى أنظمة متعددة الأبعاد . وتُعد هذه الأنظمة مفيدة في النمذجة، وعلى سبيل المثال في معالجة الصور .

يُعتبر الزمن عادةً مُعاملًا خارجيًا، كما هو الحال في الميكانيكا الكلاسيكية والكمية ، ويُطلق على هذا عادةً تمثيل المجال الزمني، وهو مُرتبط ارتباطًا وثيقًا بصياغة ميكانيكا هاميلتون . لكن هذا ليس هو الحال دائمًا: فالنسبية العامة، على سبيل المثال ، مستقلة عن الإطار المرجعي ^{[ 26 ]} ، وللجاذبية تأثير على الزمن أيضًا، وفي الديناميكا الكهربائية الكمية، يُعد استخدام صياغة ميكانيكا لاغرانج أكثر شيوعًا ^{[ 27 ]} حيث يتساوى الزمان والمكان. وفي كلتا الحالتين، لا تزال المراجع تتحدث عن الأنظمة الديناميكية.

يمكن أن يكون الزمن أيضًا مُعاملًا مُنفصلًا. عند تعميم الزمن ليشمل الحالة متعددة الأبعاد، أي كمجموعة عامة من مُعاملات التحكم أو المُعاملات الخارجية، يُمكن تفسير هذا الفضاء على أنه شبكة ، أي كنقاط مُنفصلة لمتشعب أو نبضات سعر سهم . [ ^{28 ] لذلك} ، يُمكن عدّ أحداث الزمن المُنفصل بأعداد صحيحة، على سبيل المثال مثل قياسات مواقع الكواكب في السماء، لكن هذا قد يختلف اختلافًا كبيرًا عن التصور البديهي للزمن كساعة ذات أحداث زمنية مُتساوية التباعد. إحدى المهام عادةً هي استخلاص نموذج رياضي من البيانات. ^{[ 29 ]}

قاعدة تطور النظام الديناميكي هي دالة تصف الحالات المستقبلية التي تترتب على الحالة الحالية. غالبًا ما تكون هذه الدالة حتمية ، أي أنه خلال فترة زمنية محددة، لا تترتب على الحالة الحالية إلا حالة مستقبلية واحدة. ^{[ 30 ] [ 31 ]} مع ذلك، فإن بعض الأنظمة ليست حتمية، فقد تسمح بوجود حالات مستقبلية متعددة (أي أن الدوال تُعمم إلى دوال متعددة القيم وليست محددة بشكل فريد في كل مكان)، وقد يخضع النظام للتشعب .

بعض الأنظمة عشوائية أيضاً ، سواء في معلمات الإدخال مثل المذبذب ذي القوة العشوائية ، أو في الشروط الابتدائية، أو في المتغيرات المتوقعة كما في المعادلة التفاضلية العشوائية . إذ تؤثر الأحداث العشوائية أيضاً على تطور متغيرات الحالة، ويشمل ذلك عمليات القفز العشوائية غير المستمرة، ومن الأمثلة النموذجية على الأنظمة الديناميكية العشوائية أسعار الأسهم . ^{[ 32 ]}

وأخيرًا وليس آخرًا، هناك أنظمة فوضوية (أي حتمية عادةً ولكن لا يمكن التنبؤ بها) مثل:

• ديناميكيات معقدة
• الديناميكا الزائدية
• الفوضى المضاعفة ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}
• الفوضى غير الحتمية ^{[ 37 ] [ 38 ]}

والأنظمة الكمومية (أي الحتمية حتى يتم قياسها)، أو الأنظمة الكمومية الفوضوية . ^{[ 6 ]}

النظام الديناميكي الحقيقي ، أو النظام الديناميكي في الوقت الحقيقي ، أو النظام الديناميكي في الوقت المستمر ، أو التدفق ، هو مجموعة ( T ، M ، Φ) حيث T هي فترة مفتوحة في الأعداد الحقيقية R ، و M هي متعدد الشعب عادة ولكن ليس بالضرورة متماثل محليًا مع فضاء باناخ ، وΦ هي دالة متصلة . ^{[ 43 ]}

إن كونها متماثلة محليًا مع فضاء باناخ يسمح باستخدام نظريات وجود ووحدانية الحلول للمعادلات التفاضلية، ^{[ 44 ]} والمؤثرات الخطية، ^{[ 45 ]} وهذا يجعلها مماثلة للتعريف الكلاسيكي القائم على نظام من المعادلات التفاضلية.

الأبعاد

إذا كان المشعب M متماثلاً محلياً مع R ⁿ ، فإن النظام الديناميكي يكون محدود الأبعاد ؛ وإذا لم يكن كذلك، فإن النظام الديناميكي يكون غير محدود الأبعاد . ^{[ 47 ]}

التعريف الكلاسيكي

يفترض التعريف الهندسي الحديث وجود خريطة توفر وصفًا صريحًا للنظام الديناميكي، وهذا مستوحى من نظرية الإرجودية ، والمعادلات التفاضلية الجزئية ، والتقنيات الرياضية التي تتجاوز المعادلات التفاضلية. غالبًا ما يكون الوصف الصريح غير متوفر، لذا فإن التعريف الهندسي الكلاسيكي ضمني، متجذر في الميكانيكا الكلاسيكية، ويعتمد على مجموعة قياسية من المعادلات التفاضلية العادية ومجموعة محدودة من درجات الحرية .

 يمكن ربط جميع حالات الحركة بنقاط P على مشعب مغلق ذي n بُعد، M، بحيث يكون ذلك مناسبًا للإحداثيات المناسبة.${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$يمكن كتابة المعادلات التفاضلية للحركة على النحو التالي:

$${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=u_{i}(x_{1},...,x_{n},t);(i=1,...,n)}$$ قد توجد شروط انتظام مختلفة للدوال${\displaystyle u_{i}}$مثل كونها قابلة للتفاضل أو تحليلية . ^{[ 48 ]}

هذا التعريف يستلزم وجود حلول فريدة لمثل هذه المعادلات.

نظام ديناميكي لاغرانجي

من الممكن أيضاً صياغة التعريف الهندسي بدلالة مبدأ التباين :

 ليكن M متعدد الشعب قابلاً للتفاضل ، وTM حزمة المماس الخاصة به ، و${\displaystyle L:TM\to \mathbb {R} }$دالة قابلة للتفاضل . خريطة${\displaystyle \gamma$ يُطلق على الحركة ℝ → M اسم حركة في نظام لاغرانج، مع مشعب التكوين M ولاغرانجيان L، إذا${\displaystyle \gamma }$هو قيمة قصوى للدالة:

$${\displaystyle \Phi (\gamma )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(\gamma ,{\dot {\gamma }})dt}$$ أين${\displaystyle {\dot {\gamma }}\in TM_{\gamma (t)}}$يُطلق عليه اسم متجه السرعة. ^{[ 50 ]}

من أهم فئات الأنظمة من منظور رياضي هو عندما تكون الخريطة${\displaystyle f}$تكون جبرية أو بشكل عام عندما يتم تعريف الخريطة ضمنيًا بواسطة مجموعة من المعادلات الجبرية والمتشعب${\displaystyle {\mathcal {M}}}$يتم تعريفها بشكل مثالي على حقل عام . ^{[ 52 ]}

النظام الديناميكي المتقطع هو مجموعة ( T , M , Φ)، حيث M عبارة عن فضاء متعدد الشعب متماثل محليًا مع فضاء باناخ ، وΦ دالة. يمكن اختيار T كأعداد صحيحة أو أعداد صحيحة غير سالبة. يمكن أن يكون الفضاء متعدد الشعب نفسه رسمًا بيانيًا أو منفصلًا، على سبيل المثال باستخدام طوبولوجيا منفصلة . ^{[ 53 ]}

هناك اصطلاحان لتعريف الخرائط:

1. الفيزياء واتفاقية الزمن المستمر: تجسد الخريطة Φ التطور الزمني للنظام الديناميكي، ويمكن تفسيرها للتطور الزمني المتقطع على النحو التالي: Φ=${\displaystyle \Phi _{n}}$مُعَلَّم بواسطة${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$أو لتطور زمني مستمر كما يلي: Φ=${\displaystyle \Phi _{t}}$أين${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{+}}$في الحالة العامة، تختلف كل خريطة عن الأخرى. بافتراض وجود وقت ابتدائي${\displaystyle t_{0}}$ومتجه الحالة${\displaystyle {\vec {\mathbb {x} }}(t)\in X}$يمكن اعتبار الخريطة بمثابة خريطة ترجمة زمنية${\displaystyle {\vec {\mathbb {x} }}(t+t_{0})={\hat {\Phi }}(t)[{\vec {\mathbb {x} }}(t_{0})]}$[ ^{ملاحظة 2 ] في الحالة المنفصلة ،} ​​هذا يعني أن الخريطة الكلية${\displaystyle {\hat {\Phi }}_{n}=\Phi _{n}\circ \Phi _{n-1}\circ \dots \circ \Phi _{1}\circ \Phi _{0}}$يمكن اعتبارها تركيبًا لخرائط فردية. ^{[ ملاحظة 3 ]} يرتبط هذا الاصطلاح أيضًا بدراسة نقاط النهاية ومتتاليات كوشي .
2. الرياضيات والاتفاقية المنفصلة: تُعرَّف جميع الخرائط على أنها تطور الحالة من خطوة زمنية إلى الخطوة التالية، أي من${\displaystyle t_{n}\to t_{n+1}}$أو في حالة الاستمرار من${\displaystyle t\to t+\delta t}$الخرائط${\displaystyle {\hat {\Phi }}_{n}:x\in X,x_{n}\to x_{n+1}}$هي نفس الخريطة${\displaystyle \Phi }$لجميع الخطوات الزمنية${\displaystyle t_{n}}$ويمكن تفسير ذلك أيضاً على أنه تكرار على الخريطة${\displaystyle {\hat {\Phi }} _ {n}=\Phi ^{n}=\Phi \circ \Phi \circ \dots \circ \Phi }$يرتبط هذا الاتفاق أيضًا بدراسة النقاط الثابتة والتكرار .

بلغة نظرية التمثيل : يُعد تطور الزمن في فضاء الحالة X تمثيلاً مستحثًا لانتقال الزمن في شبه المجموعة T، والخريطة Φ هي فعل المجموعة الذي يستحث التمثيل على X، ^{[ 58 ]} أي أن هناك تشاكلًا بين مجموعة الزمن T وفضاء الحالة X حيث${\displaystyle T(t_{0}+t)=T(t)\circ T(t_{0})}$بلغة ميكانيكا الكم، المولد المتناهي الصغر لانتقال الزمن${\displaystyle t\to t+\delta t}$المشتقة بالنسبة للزمن${\displaystyle {\partial }_{t}}$وكذلك عامل تطور الزمن. ^{[ 59 ]}

1. التباديل
2. إجراءات جماعية
3. مخطط برنولي

^{[ 39 ]}

يفترض التعريف النظري للقياس وجود تحويل يحافظ على القياس، وفي المصطلحات الفيزيائية، يُعرَّف القياس بأنه دالة كثافة احتمالية على فضاء الطور . ويستمد هذا المفهوم من الأنظمة الهاميلتونية التي تحافظ على الحجم . فكون الطاقة تكاملاً للحركة يُؤدي إلى حفظ الحجم في فضاء الطور، أو عدم انضغاط التدفق ، [ ^{60 ] كما} أن التكاملات الإضافية للحركات تُؤدي إلى مزيد من التفرعات في فضاء الطور. ويستمد مفهوم آخر من التباديل التي تُوصف بأنها "غير قابلة للانضغاط". ويمكن تفسير مجموعة جميع التباديل الممكنة لمجموعة ما ^{[ 61 ]} على أنها زمرة التشاكل الذاتي الناتجة عن حفظ عدد عناصر المجموعة. ^{[ 62 ] [ 63 ]}

يمكن ربط العديد من المقاييس الثابتة المختلفة بأي قاعدة تطور واحدة، بنفس الطريقة التي يمكن بها لكثافات احتمالية متعددة أن تُنتج نفس الحالة الكلية . إذا كان النظام الديناميكي مُعطى بنظام من المعادلات التفاضلية، فيجب تحديد المقياس المناسب، فالتناظرات ليست صريحة، وقد لا يكون من الممكن حتى تعريف مقياس احتمالي في بعض الحالات المرضية. هذا يجعل من الصعب تطوير نظرية إرجودية انطلاقًا من المعادلات التفاضلية، لذا يصبح من الملائم وجود تعريف مُستوحى من الأنظمة الديناميكية ضمن النظرية الإرجودية يتجاوز اختيار المقياس ^{[ 64 ]} ويفترض أنه قد تم الاختيار.

بصورة غير رسمية واستدلالية من منظور نظرية الإرجودية، تتساوى المتوسطات الزمنية مع المتوسطات المكانية / متوسطات المجموعة . في نهاية المطاف [ 65 ] ، تُعتبر المتوسطات الزمنية ثابتة للحركات ، وهي تتوافق مع التناظرات وفقًا لنظرية نوثر ، وفي نهاية المطاف، تتوافق التناظرات مع المتوسطات المكانية [ 66 ] [ 67 ] [ 68 ].

يُظهر بناء بسيط (يُسمى أحيانًا نظرية كريلوف-بوغوليوبوف ) أنه بالنسبة لفئة كبيرة من الأنظمة، من الممكن دائمًا بناء مقياس يجعل قاعدة تطور النظام الديناميكي تحويلًا يحافظ على المقياس. في هذا البناء، يُجمع مقياس مُعطى لفضاء الحالة لجميع النقاط المستقبلية للمسار، مما يضمن الثبات. ^{[ 69 ]}

تتميز بعض الأنظمة بوجود مقياس طبيعي، مثل مقياس ليوفيل في الأنظمة الهاميلتونية ، يُفضّل على المقاييس الثابتة الأخرى، كالمقاييس المدعومة على المدارات الدورية للنظام الهاميلتوني. أما في الأنظمة الفوضوية المبددة ، فيُعدّ اختيار المقياس الثابت أكثر تعقيدًا من الناحية التقنية. إذ يجب أن يكون المقياس مدعومًا على الجاذب ، ولكن الجاذبات لها مقياس ليبيغ يساوي صفرًا ، ويجب أن تكون المقاييس الثابتة شاذة ^{[ 70 ]} بالنسبة لمقياس ليبيغ . في الأنظمة المبددة، عادةً ما تتقلص منطقة صغيرة من فضاء الطور مع مرور الوقت ^{[ 71 ]} ، بينما في الأنظمة الفوضوية، تنمو منطقة صغيرة من فضاء الطور وتتوسع لتشمل على الأقل منطقة محدودة كاملة من فضاء الطور.

من الناحية الاستدلالية، فإن التبديد له تأثير معاكس للفوضى، فهو يميل إلى تثبيط الحركة والحد منها بشكل عام، ولكنه يثبط أيضًا الاضطراب والفوضى ، والتوسع إلى منطقة محدودة من فضاء الطور يعني أن يكون حساسًا للشروط الأولية ، وتميل الأنظمة الإرجودية إلى النمو وتغطية منطقة محدودة من فضاء الطور بالكامل ، أي أن يكون لها مدارات دورية كثيفة ، كما أن الأنظمة الفوضوية متعدية طوبولوجيًا [ 72 ].

بالنسبة للأنظمة الديناميكية الزائدية، تبدو مقاييس سيناء-رويل-بوين الخيار الأمثل. فهي مبنية على البنية الهندسية للمشعبات المستقرة وغير المستقرة للنظام الديناميكي ؛ وتتصرف فيزيائياً تحت تأثير الاضطرابات الصغيرة ؛ وتفسر العديد من الإحصاءات المرصودة للأنظمة الزائدية .

النظام الديناميكي الطوبولوجي هو نظام ديناميكي ( T , X , Φ) على فضاء طوبولوجي محلي التراص و/أو فضاء هاوسدورف X. ^{[ 73 ] [ 74 ] [ 75 ]} Φ هو تماثل طوبولوجي ، وبالتالي فهو تماثل طوبولوجي . ^{[ 76 ]}

تُجرى دراسة الديناميكيات الطوبولوجية عادةً من منظور شامل ، أي مع الأخذ في الاعتبار جميع الشروط والنتائج الأولية الممكنة (مثل نقاط التوازن ، والمدارات الدورية ، والمستقطبات ، أو الفوضى )، وإحصاءات وتجمعات المسارات، والسلوك طويل الأمد للنظام، والتماثلات (أي التشوهات المستمرة) للمسارات. وعادةً ما تكون المسارات قابلة للتفاضل ، والأنظمة عبارة عن تدفقات .

غالبًا ما تكون هذه التقنيات ذات طبيعة طوبولوجية ، وتُكمّل الديناميكا الإرجودية ، والتناظر ، وتكامل الحركات عبر نظرية نوثر . فعلى سبيل المثال، يتمثل أحد أهداف الديناميكا الطوبولوجية في تصنيف فئات الاقتران الطوبولوجي ، وهي مجموعات من أنواع الحركات بالنسبة لفئة تكافؤ التشاكل ، بينما يتمثل أحد أهداف نظرية الإرجودية في التفكيك الإرجودي ، ويتمثل أحد أهداف التناظر في تصنيف جميع فئات اقتران المجموعة لمجموعة التشاكل الذاتي ، ويُعتبر النظام قابلاً للتكامل عندما يمكن اشتقاق جميع تكاملات الحركات ومعرفة قيمها.

كمثال في نظام ديناميكي طوبولوجي، يقع المدار الحدي لجاذب ما داخل المتشعب نفسه. هذه عبارة غير بديهية لعدة أسباب: قد لا يتم الوصول إلى المدارات الحدية مطلقًا؛ وقد يكون قياس ليبيغ للمدارات الحدية صفرًا؛ كما أن إسناد احتمال إلى مدار حدي ليس بالأمر البسيط؛ وقد يمتلك الجاذب أيضًا مدارات حدية متعددة، وقد يكون التمييز بين عمليات التكثيف المختلفة ذا أهمية.

تحتوي فئة X من الكائنات الرياضية على شبه زمرة G من التشاكلات المؤثرة عليها (الفضاءات الطوبولوجية لها تطبيقات متصلة، والمجموعات لها تطبيقات اختيارية، والزمر والحلقات والحقول والجبر لها تشاكلات، وفضاءات القياس لها تطبيقات قابلة للقياس). يمكننا اعتبار كل فئة من هذه الفئات نظامًا ديناميكيًا. بل يمكن تضمين فئة الأنظمة الديناميكية مع التشاكلات المناسبة. لكن هذه النظرة ليست مفيدة جدًا في حد ذاتها. ^{[ 80 ]}

في سياق نظرية الفئات، تُعرَّف الفئات دائمًا مع خريطة التطابق، ولذلك تستند هذه التعريفات إلى أحاديات بدلًا من أنصاف الزمر. ^{[ 81 ] [ 76 ]}

النظام الديناميكي ^{[ 82 ] [ 83 ] [ 76 ]} هو مجموعة ( T , X , Φ) حيث T هي مجموعة أحادية ، مكتوبة بشكل جمعي، و X هي مجموعة غير فارغة وΦ هي دالة : $${\displaystyle \Phi :U\subseteq (T\times X)\to X}$$ مع: $${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}(U)=X}$$ (أين${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}}$(هي خريطة الإسقاط الثانية ) ولأي x في X : $${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$$$${\displaystyle \Phi (t_{2},\Phi (t_{1},x))=\Phi (t_{2}+t_{1},x),}$$ ل${\displaystyle \,t_{1},\,t_{2}+t_{1}\in I(x)}$و${\displaystyle \ t_{2}\in I(\Phi (t_{1},x))}$، حيث قمنا بتعريف المجموعة${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}}$لأي قيمة x في X.

وعلى وجه الخصوص، في حالة أن${\displaystyle U=T\times X}$لدينا لكل x في X أن${\displaystyle I(x)=T}$وبالتالي فإن Φ تحدد فعلًا أحاديًا لـ T على X.

تُسمى الدالة Φ( t , x ) دالة التطور للنظام الديناميكي: فهي تربط كل نقطة x في المجموعة X بصورة فريدة، اعتمادًا على المتغير t ، الذي يُسمى مُعامل التطور . تُسمى X فضاء الطور أو فضاء الحالة ، بينما يُمثل المتغير x الحالة الابتدائية للنظام.

نكتب غالباً: $${\displaystyle \Phi _{x}(t)\equiv \Phi (t,x)}$$$${\displaystyle \Phi ^{t}(x)\equiv \Phi (t,x)}$$ إذا اعتبرنا أحد المتغيرات ثابتًا. الدالة $${\displaystyle \Phi _{x}:I(x)\to X}$$ يُطلق على التدفق عبر x اسم التدفق عبر x ، ويُطلق على الرسم البياني الخاص به اسم المسار عبر x . المجموعة $${\displaystyle \gamma _{x}\equiv \{\Phi (t,x):t\in I(x)\}}$$ يُطلق عليه اسم المدار المار عبر x . المدار المار عبر x هو صورة التدفق المار عبر x .

تُسمى المجموعة الجزئية S من فضاء الحالة X ثابتة تحت تأثير Φ إذا كان لكل x في S ولكل t في T$${\displaystyle \Phi (t,x)\in S.}$$ وبالتالي، على وجه الخصوص، إذا كانت S ثابتة تحت تأثير Φ ،${\displaystyle I(x)=T}$لكل x في S. أي أن التدفق عبر x يجب أن يكون محددًا لجميع الأوقات لكل عنصر من S.

في السياق العام للرياضيات ، يمكن تعريف النظام الديناميكي كدالة منفصلة عامة ^{[ 84 ]} كما في التعريف الرسمي . المتتالية العامة هي في حد ذاتها نظام ديناميكي منفصل. ^{[ 85 ] : مثال 1.} التكرار والتكامل بين الدوال مثال آخر على ذلك. ^{[ 85 ] : مثالان 2 و3.} النموذج الأولي لهذا هو الدالة اللوجستية . ^{[ 85 ] : مثال 4.}

من منظور تجريبي، تُعتبر جميع الأنظمة الديناميكية المُستمدة من البيانات الزمنية أنظمة منفصلة. على سبيل المثال، أثبت غاوس أنه بقياس ثلاثة مواقع وأوقات لسيريس في السماء، يُمكن تحديد مداره بدقة، وبالتالي حساب أي موقع وسرعة مُحتملة للكويكب في الماضي أو المستقبل، ومن ثمّ وصف النظام الديناميكي وصفًا كاملًا. ^{[ 86 ]} تتمثل المهام النموذجية في استخدام البيانات التجريبية في استنباط نموذج رياضي. ^{[ 87 ]}

• 
  أرانب فيبوناتشي : نموذج سكاني بموارد غير محدودة يولد أرقام فيبوناتشي . ^{[ 88 ]}
• 
  الخريطة اللوجستية: خريطة عامة تُطبق على نفسها بشكل متكرر تُشكل نظامًا ديناميكيًا
• 
  مثال منفصل لنموذج المفترس والفريسة ^{[ 89 ]}
• 
  PageRank هو مثال على نظام ديناميكي منفصل يتنبأ باحتمالية زيارة المستخدم لصفحة ما في المستقبل ^{[ 90 ].}

في سياق الرياضيات التطبيقية مثل الفيزياء أو علم الأحياء أو الهندسة ، تكون نقطة البداية عادةً معادلة فرقية محدودة ^{[ 91 ]} مثل أبسط معادلة ممكنة هنا: $${\displaystyle y_{t+1}=ax_{t}+b}$$

وبشكل أعم، يمكن تعميم ذلك ليصبح خريطة منفصلة عامة من مشعب ذي أبعاد n إلى نفسه: $${\displaystyle y_{t+1}^{i}=f_{t}^{i}(x_{1},..,x_{n}),i=1,...,n}$$

في سياق التدفقات الهاميلتونية ، ^{[ 92 ]} يمكن اعتبار الحركة نفسها تحويلاً قانونياً (أي في نهاية المطاف خريطة )، وبالتالي مجموعة منفصلة من هذه التحويلات في فترة زمنية منفصلة.${\displaystyle \Delta t}$وهو مرة أخرى شكل من أشكال توصيف النظام الديناميكي المنفصل الكامل.

هناك أيضًا حالات للمدارات الكثيفة، ^{[ 93 ]} حيث يكون فضاء طور الحالة في جوهره غير مضغوط ، والمؤثرات غير المحدودة ، كما هو الحال في ميكانيكا الكم ، حيث تكون خرائط التطور غير مضغوطة .

ومن الأمثلة على ذلك التنبؤات الجوية للأرض، حيث تكون نقاط البيانات متباعدة مكانيًا. ويمكن وضع النظام على شبكة ، واستخدام الصيغ لحساب وتوقع متغيرات معينة، كما هو الحال في تجزئة معادلات نافيير-ستوكس .

تُسمى الأنظمة الديناميكية المنفصلة غالبًا بالأنظمة المتتالية، عندما يكون مفهوم نقل المعلومات من خطوة إلى أخرى هو السائد. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك الانهيارات ^{[ 94 ] [ 95 ]} ، وكذلك الأنظمة المتتالية ذات مضاعفة الفترة. ^{[ 96 ]} عندما تُعتبر T مجموعة الأعداد الصحيحة، يُطلق عليها اسم النظام المتتالي أو الخريطة . أما إذا اقتصرت T على الأعداد الصحيحة غير السالبة، فيُطلق على النظام اسم النظام شبه المتتالي . ^{[ 97 ]}

الأوتوماتا الخلوية هي مجموعة مرتبة ( T , M , Φ)، حيث T عبارة عن شبكة، مثل شبكة الأعداد الصحيحة أو شبكة أعداد صحيحة متعددة الأبعاد ، وM عبارة عن مجموعة من الدوال من شبكة أعداد صحيحة (ذات بُعد واحد أو أكثر) إلى مجموعة منتهية، وΦ دالة تطور (معرفة محليًا). وبذلك، تُعتبر الأوتوماتا الخلوية أنظمة ديناميكية. تمثل الشبكة في M شبكة "المكان"، بينما تمثل الشبكة في T شبكة "الزمان".

• الديناميكا الرمزية
• الأوتوماتا ذات الحالة المحدودة
• آلات تورينج
• الديناميكا الحسابية
• نظام ديناميكي بياني
• بحكم طبيعتها المنفصلة، ​​يمكن النظر إلى نظرية الرسم البياني، وبشكل عام أي شكل من أشكال الرياضيات المنفصلة، ​​من منظور الأنظمة الديناميكية المنفصلة.
• وينطبق الأمر نفسه على أي شكل من أشكال الرياضيات المنتهية ، أو الهندسة المنتهية ، أو المجموعات المنتهية ، أو البنى الرياضية القابلة للعد مثل مجموعات كوكسيتر.

بعض هذه المجالات عبارة عن فروع منفصلة بحد ذاتها مثل نظرية الأعداد أو نظرية الشبكات .

بالنسبة للتدفق ، يكون حقل المتجهات v( x ) دالة خطية للموضع في فضاء الطور، أي $${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)=Ax+b,}$$ حيث A مصفوفة، و b متجه أعداد، و x متجه الموضع. يمكن إيجاد حل هذا النظام باستخدام مبدأ التراكب (الخطية). الحالة b  ≠  0 مع A  =  0 هي ببساطة خط مستقيم في اتجاه b .  $${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.}$$

عندما تكون قيمة b تساوي صفرًا و A  ≠  0، فإن نقطة الأصل هي نقطة توازن (أو نقطة شاذة) للتدفق، أي إذا كانت _x₀ = 0 ، فإن المسار يبقى عندها. أما بالنسبة للشروط الابتدائية الأخرى، فتُعطى معادلة الحركة بواسطة الدالة الأسية للمصفوفة : بالنسبة لنقطة ابتدائية x₀ _،  $${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.}$$

عندما تكون قيمة b تساوي صفرًا، تحدد القيم الذاتية للمصفوفة A بنية فضاء الطور. ومن خلال القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة A، يمكن تحديد ما إذا كانت نقطة البداية ستتقارب أو تتباعد نحو نقطة التوازن عند نقطة الأصل.

في حالة A  ≠ 0، تتغير المسافة بين شرطين ابتدائيين مختلفين  بشكل أُسّي في معظم الحالات، إما بالتقارب السريع نحو نقطة معينة، أو بالتباعد السريع. تُظهر الأنظمة الخطية حساسيةً عاليةً للشروط الابتدائية في حالة التباعد. أما بالنسبة للأنظمة غير الخطية، فيُعدّ هذا أحد الشروط (الضرورية ولكن غير الكافية) للسلوك الفوضوي .

يأخذ النظام الديناميكي الخطي ذو الزمن المتقطع شكل معادلة فرق المصفوفة : $${\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}+b,}$$ حيث A مصفوفة و b متجه. كما في الحالة المستمرة، يؤدي تغيير الإحداثيات x  → x + (1 − A ) ^–1 b إلى إزالة الحد b من المعادلة. في نظام الإحداثيات الجديد ، تُصبح نقطة الأصل نقطة ثابتة للخريطة، وتكون الحلول هي النظام الخطي A ⁿ x _0. لم تعد حلول الخريطة منحنيات، بل نقاطًا تتحرك في فضاء الطور. تُنظم المدارات في منحنيات، أو ألياف، وهي عبارة عن مجموعات من النقاط التي تُسقط على نفسها تحت تأثير الخريطة.       

_{كما هو الحال} في الحالة المستمرة، تحدد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة A بنية فضاء الطور. على سبيل المثال، إذا كان u₁ متجهًا ذاتيًا للمصفوفة A ، بقيمة ذاتية حقيقية أصغر من واحد، فإن الخطوط المستقيمة التي تمثلها النقاط الواقعة على طول _αu₁ ، حيث α ∈ R ، تشكل منحنى ثابتًا للدالة. وتتقاطع النقاط الواقعة على هذا الخط المستقيم مع النقطة الثابتة .   

وهناك أيضاً العديد من الأنظمة الديناميكية المنفصلة الأخرى مثل الخرائط الفوضوية .

لا تتغير الخصائص النوعية للأنظمة الديناميكية عند تغيير الإحداثيات بسلاسة (ويُعتبر هذا أحيانًا تعريفًا للنوعية): فالنقطة الشاذة في حقل المتجهات (النقطة التي يكون عندها v ( x ) = 0) تبقى نقطة شاذة تحت التحويلات السلسة؛ والمدار الدوري هو حلقة في فضاء الطور، ولا يمكن للتشوهات السلسة في فضاء الطور أن تُغير من طبيعته الحلقية. ويمكن فهم بنية فضاء الطور للنظام الديناميكي فهمًا جيدًا في جوار النقاط الشاذة والمدارات الدورية. وفي الدراسة النوعية للأنظمة الديناميكية، يتمثل النهج في إثبات وجود تغيير في الإحداثيات (عادةً ما يكون غير محدد، ولكنه قابل للحساب) يجعل النظام الديناميكي في أبسط صورة ممكنة.   

يمكن تبسيط تدفق معظم الأجزاء الصغيرة من فضاء الطور تبسيطًا شديدًا. إذا كانت y نقطةً يكون عندها حقل المتجهات v ( y )  ≠  0، فإن هناك تغيرًا في الإحداثيات لمنطقة حول y حيث يصبح حقل المتجهات سلسلةً من المتجهات المتوازية ذات المقدار نفسه. يُعرف هذا بنظرية التقويم.

تنص نظرية التصحيح على أنه بعيدًا عن النقاط الشاذة، تكون ديناميكيات نقطة في رقعة صغيرة خطًا مستقيمًا. يمكن أحيانًا تكبير الرقعة بضم عدة رقع معًا، وعندما ينجح هذا في فضاء الطور M بأكمله، يكون النظام الديناميكي قابلًا للتكامل . في معظم الحالات، لا يمكن تمديد الرقعة لتشمل فضاء الطور بأكمله. قد توجد نقاط شاذة في حقل المتجهات (حيث v ( x )  =  0)؛ أو قد تصغر الرقع تدريجيًا مع الاقتراب من نقطة معينة. والسبب الأكثر دقة هو قيد شامل، حيث يبدأ المسار في رقعة، وبعد المرور بسلسلة من الرقع الأخرى، يعود إلى الرقعة الأصلية. إذا دار المدار حول فضاء الطور في المرة التالية بطريقة مختلفة، فمن المستحيل تصحيح حقل المتجهات في سلسلة الرقع بأكملها.

بشكل عام، لا يمكن استخدام نظرية التصحيح في جوار المدار الدوري. طور بوانكاريه منهجًا يحوّل التحليل بالقرب من المدار الدوري إلى تحليل دالة. اختر نقطة x₀ في المدار γ _، وانظر إلى النقاط في فضاء الطور في ذلك الجوار والعمودية على _v ( x₀ ) . تُشكّل هذه النقاط مقطع بوانكاريه S ( γ , x₀ ) للمدار. يُعرّف التدفق الآن دالة، وهي دالة بوانكاريه F : S → S₀ ، للنقاط التي تبدأ من S₀ وتعود إليها . لن تستغرق جميع هذه النقاط نفس المدة الزمنية للعودة، ولكن ستكون هذه المدد قريبة من المدة التي _{تستغرقها} x₀ _.       

يمثل تقاطع المدار الدوري مع مقطع بوانكاريه نقطة ثابتة في خريطة بوانكاريه F. وبإزاحة، يمكن افتراض أن هذه النقطة تقع عند x  =  0. متسلسلة تايلور للخريطة هي F ( x )  = J · x + O( x² ⁾ ، لذا فإن تغيير الإحداثيات h لا يُتوقع منه إلا تبسيط F إلى جزئها الخطي.      $${\displaystyle h^{-1}\circ F\circ h(x)=J\cdot x.}$$

تُعرف هذه المعادلة بمعادلة الاقتران. وقد كان إيجاد شروط تحقق هذه المعادلة من أهم مهام البحث في الأنظمة الديناميكية. بدأ بوانكاريه بمعالجتها بافتراض أن جميع الدوال تحليلية، واكتشف خلال ذلك شرط عدم الرنين. إذا كانت _λ₁ , ... , λₙ هي القيم الذاتية للمصفوفة J، _فإنها ستكون رنانة إذا كانت إحدى هذه القيم الذاتية عبارة عن توليفة خطية صحيحة لقيمتين ذاتيتين أو أكثر من القيم الذاتية الأخرى. وبما أن حدودًا من الشكل λᵢ _– Σ (مضاعفات القيم الذاتية الأخرى) تظهر في مقام حدود الدالة h ، فإن شرط عدم الرنين يُعرف أيضًا بمسألة القاسم الصغير.  

تعتمد نتائج وجود حل لمعادلة الاقتران على القيم الذاتية للمصفوفة J ودرجة السلاسة المطلوبة من h . ولأن J لا تحتاج إلى أي تناظرات خاصة، فإن قيمها الذاتية عادةً ما تكون أعدادًا مركبة. عندما لا تقع القيم الذاتية لـ J على دائرة الوحدة، تُسمى الديناميكيات بالقرب من النقطة الثابتة x₀ _للدالة F بالديناميكيات القطعية ، وعندما تقع القيم الذاتية على دائرة الوحدة وتكون أعدادًا مركبة، تُسمى الديناميكيات بالديناميكيات الإهليلجية .

في الحالة الزائدية، تُحدد نظرية هارتمان-غروبمان شروط وجود دالة متصلة تُحول جوار النقطة الثابتة للدالة إلى الدالة الخطية J  · x . وتتميز الحالة الزائدية أيضًا بالاستقرار البنيوي . فالتغيرات الطفيفة في حقل المتجهات تُحدث تغيرات طفيفة فقط في دالة بوانكاريه، وهذه التغيرات الطفيفة تنعكس بدورها في تغيرات طفيفة في موضع القيم الذاتية لـ J في المستوى المركب، مما يعني أن الدالة لا تزال زائدية. 

تُعطي نظرية كولموغوروف-أرنولد-موسر (KAM) السلوك بالقرب من نقطة إهليلجية.

يمكن للأنظمة الديناميكية غير الخطية البسيطة، بما في ذلك الأنظمة الخطية القطعية ، أن تُظهر سلوكًا غير قابل للتنبؤ بشكل كبير، قد يبدو عشوائيًا، على الرغم من كونها حتمية في جوهرها. يُطلق على هذا السلوك غير القابل للتنبؤ اسم الفوضى . أما الأنظمة الزائدية فهي أنظمة ديناميكية محددة بدقة تُظهر الخصائص المنسوبة إلى الأنظمة الفوضوية. في الأنظمة الزائدية، يمكن تقسيم الفضاءات المماسية العمودية على مدار إلى جزأين: أحدهما يضم النقاط التي تتقارب نحو المدار ( المتشعب المستقر )، والآخر يضم النقاط التي تتباعد عن المدار ( المتشعب غير المستقر ).

يتناول هذا الفرع من الرياضيات السلوك النوعي طويل الأمد للأنظمة الديناميكية. ولا ينصب التركيز هنا على إيجاد حلول دقيقة للمعادلات التي تحدد النظام الديناميكي (وهو أمر غالباً ما يكون مستحيلاً)، بل على الإجابة عن أسئلة مثل: "هل سيستقر النظام على حالة مستقرة على المدى الطويل، وإذا كان الأمر كذلك، فما هي نقاط الجذب المحتملة ؟" أو "هل يعتمد سلوك النظام على المدى الطويل على حالته الابتدائية؟"

لا يكمن جوهر المشكلة في السلوك الفوضوي للأنظمة المعقدة. فمن المعروف منذ سنوات أن علم الأرصاد الجوية ينطوي على سلوك معقد، بل وفوضوي أحيانًا. وقد أثارت نظرية الفوضى دهشة كبيرة لأن الفوضى قد تُكتشف حتى في أنظمة تبدو بسيطة للغاية. فمثلاً، نشأت معضلة بوميو-مانفيل في الخريطة اللوجستية ، ومسألة فيرمي-باستا-أولام-تسينغو، باستخدام كثيرات حدود من الدرجة الثانية فقط؛ أما خريطة حدوة الحصان فهي خطية مجزأة.

في المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية المستقلة، من الممكن، في ظل شروط معينة، إيجاد حلول ذات مدة زمنية محدودة ^{[ 98 ]،} أي أن النظام في هذه الحلول سيصل إلى القيمة صفر عند لحظة زمنية معينة، تُسمى لحظة النهاية، ثم يبقى عندها إلى الأبد. لا يحدث هذا إلا عندما لا تكون مسارات النظام محددة بشكل فريد للأمام والخلف زمنيًا بواسطة الديناميكيات، وبالتالي فإن الحلول ذات المدة الزمنية المحدودة تنطوي على شكل من أشكال "عدم القدرة على التنبؤ بالخلف زمنيًا"، وهو شكل وثيق الصلة بعدم القدرة على التنبؤ بالتقدم زمنيًا في الفوضى. لا يمكن أن يحدث هذا السلوك في المعادلات التفاضلية المستمرة من نوع ليبشيتز، وفقًا لبرهان نظرية بيكارد-ليندلوف . هذه الحلول هي دوال غير ليبشيتزية عند لحظات نهايتها، ولا يمكن أن تكون دوالًا تحليلية على كامل خط الأعداد الحقيقية.

على سبيل المثال، المعادلة: $${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$$ يقبل الحل ذو المدة المحدودة: $${\displaystyle y(t)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {t}{2}}+\left|1-{\frac {t}{2}}\right|\right)^{2}}$$ هذا يساوي صفرًا لـ${\displaystyle t\geq 2}$وهي ليست متصلة ليبشيتز عند وقت نهايتها${\displaystyle t=2.}$