خطوط مائلة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة
متوازي مستطيلات . الخط المار بالقطعة المستقيمة AD والخط المار بالقطعة المستقيمة B 1 B هما خطان متخالفان لأنهما ليسا في نفس المستوى.

في الهندسة ثلاثية الأبعاد ، الخطوط المتخالفة هي خطان لا يتقاطعان ولا يكونان متوازيين . مثال بسيط على زوج من الخطوط المتخالفة هو زوج الخطوط المارة بضلعين متقابلين في رباعي الأوجه المنتظم . يجب أن يتقاطع خطان يقعان في نفس المستوى أو يكونا متوازيين، لذا لا يمكن أن توجد الخطوط المتخالفة إلا في ثلاثة أبعاد أو أكثر . يكون الخطان متخالفين إذا وفقط إذا لم يكونا في مستوى واحد .

وظيفة عامة

إذا تم اختيار أربع نقاط عشوائيًا وبشكل منتظم داخل مكعب وحدة ، فإنها ستحدد على الأرجح زوجًا من الخطوط المتخالفة. بعد اختيار النقاط الثلاث الأولى، ستحدد النقطة الرابعة خطًا غير متخالف إذا، وفقط إذا، كانت تقع في نفس مستوى النقاط الثلاث الأولى. مع ذلك، فإن المستوى المار بالنقاط الثلاث الأولى يشكل مجموعة جزئية قياسها صفر من المكعب، واحتمالية وقوع النقطة الرابعة على هذا المستوى تساوي صفرًا. إذا لم تقع عليه، فإن الخطوط المحددة بهذه النقاط ستكون متخالفة.

وبالمثل، في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإن أي تغيير طفيف في أي خطين متوازيين أو متقاطعين سيؤدي حتماً إلى تحويلهما إلى خطين متخالفين. لذلك، فإن أي أربع نقاط في وضع عام تشكل دائماً خطوطاً متخالفة.

وبهذا المعنى، تعتبر الخطوط المائلة هي الحالة "العادية"، أما الخطوط المتوازية أو المتقاطعة فهي حالات خاصة.

الصيغ

PQ، أقصر مسافة بين خطين متخالفين AB وCD، عمودية على كل من AB وCD

اختبار الانحراف

إذا كان كل خط في زوج من الخطوط المتخالفة مُعرَّفًا بنقطتين يمر بهما، فإن هذه النقاط الأربع لا تقع في مستوى واحد، وبالتالي فهي رؤوس هرم رباعي الأوجه ذي حجم غير صفري . وبالعكس، فإن أي زوجين من النقاط يُعرِّفان هرمًا رباعي الأوجه ذي حجم غير صفري يُعرِّفان أيضًا زوجًا من الخطوط المتخالفة. لذا، لاختبار ما إذا كان زوجان من النقاط يُعرِّفان خطوطًا متخالفة، يُمكن تطبيق صيغة حجم الهرم الرباعي الأوجه بدلالة رؤوسه الأربعة. إذا رمزنا لإحدى النقاط بالمتجه a ذي الأبعاد 1×3 ، حيث تمثل عناصره الثلاثة إحداثيات النقطة، ورمزنا للنقاط الأخرى بـ b و c و d ، يُمكننا التحقق مما إذا كان الخط المار بالنقطتين a و b متخالفًا للخط المار بالنقطتين c و d من خلال التحقق مما إذا كانت صيغة حجم الهرم الرباعي الأوجه تُعطي نتيجة غير صفرية.

V=16|المحقق[أ-بب-جج-د]|.{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{matrix}}\right]\right|.}

أقرب النقاط

التعبير عن الخطين كمتجهين:

السطر 1:v1=ص1+ت1د1{\displaystyle {\text{السطر 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}} }
السطر 2:v2=ص2+ت2د2{\displaystyle {\text{السطر 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}} }

حاصل الضرب الاتجاهي لـد1{\displaystyle \mathbf {d_{1}} }ود2{\displaystyle \mathbf {d_{2}} }عمودي على الخطوط.

ن=د1×د2{\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}} }

المستوى المتكون من إزاحات الخط 2 على طولن{\displaystyle \mathbf {n} }يحتوي على النقطةص2{\displaystyle \mathbf {p_{2}} }وهو عمودي علىن2=د2×ن{\displaystyle \mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n} }.

وبالتالي، فإن نقطة تقاطع الخط 1 مع المستوى المذكور أعلاه، وهي أيضاً أقرب نقطة على الخط 1 إلى الخط 2، تُعطى بالصيغة التالية:

ج1=ص1+(ص2-ص1)⋅ن2د1⋅ن2د1{\displaystyle \mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} {\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {د_{1}} }

وبالمثل، تُعطى النقطة على الخط 2 الأقرب إلى الخط 1 بالعلاقة (حيثن1=د1×ن{\displaystyle \mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n} })

ج2=ص2+(ص1-ص2)⋅ن1د2⋅ن1د2{\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} {\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {د_{2}} }

مسافة

أقرب النقاطج1{\displaystyle \mathbf {c_{1}} }وج2{\displaystyle \mathbf {c_{2}} }شكّل أقصر قطعة مستقيمة تصل بين الخط 1 والخط 2:

د=‖ج1-ج2‖.{\displaystyle d=\Vert \mathbf {c_{1}} -\mathbf {c_{2}} \Vert .}

يمكن أيضًا التعبير عن المسافة بين أقرب نقطتين في خطين متخالفين باستخدام متجهات أخرى:

x=أ+λب؛{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;}
y=ج+μد.{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .}

هنا، يمثل المتجه x ذو الأبعاد 1×3 نقطة عشوائية على الخط المستقيم المار بالنقطة a، حيث يمثل b اتجاه الخط، وقيمة المتجه هي عدد حقيقي.λ{\displaystyle \lambda }تحديد مكان النقطة على الخط، وبالمثل بالنسبة لأي نقطة y على الخط المار بنقطة معينة c في الاتجاه d .

يكون حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين b و d عموديًا على الخطوط، وكذلك متجه الوحدة.

ن=ب×د||ب×د||{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{||\mathbf {b} \times \mathbf {d} ||}}}

المسافة العمودية بين الخطوط هي [ 1 ]

د=|ن⋅(ج-أ)|.{\displaystyle d=|\mathbf {n} \cdot (\mathbf {c} -\mathbf {a} )|.}

(إذا كانت قيمة | b × d | تساوي صفرًا، فإن الخطوط متوازية ولا يمكن استخدام هذه الطريقة).

أكثر من سطرين

التكوينات

مجموعة الخطوط المائلة هي مجموعة من الخطوط تكون فيها جميع أزواج الخطوط مائلة. يُقال إن مجموعتين متماثلتان إذا كان من الممكن تحويل إحداهما إلى الأخرى بشكل متواصل، مع الحفاظ على خاصية بقاء جميع أزواج الخطوط مائلة طوال عملية التحويل. من السهل ملاحظة أن أي مجموعتين من خطين متماثلتان، كما أن المجموعات التي تحتوي على نفس عدد الخطوط في أبعاد أعلى من ثلاثة تكون متماثلة دائمًا، ولكن توجد مجموعات متعددة غير متماثلة من ثلاثة خطوط أو أكثر في ثلاثة أبعاد. [ 2 ] عدد المجموعات غير المتماثلة المكونة من n خطًا في R³ ، بدءًا من n = 1، هو

1، 1، 2، 3، 7، 19، 74، ... (التسلسل A110887 في OEIS ) .

الأسطح المسطرة

تليف الفضاء الإسقاطي بواسطة خطوط مائلة على قطع زائدية متداخلة .

إذا دُوِّرَ خطٌّ L حول خطٍّ آخر M مائلٍ عليه ولكنه ليس عموديًّا عليه، فإن سطح الدوران الذي يُشكِّله L هو سطحٌ زائدٌ ذو ورقةٍ واحدة . على سبيل المثال، يمكن تكوين الأسطح الزائدة الثلاثة الظاهرة في الرسم التوضيحي بهذه الطريقة عن طريق تدوير خطٍّ L حول الخطِّ الرأسي الأبيض المركزي M. تُشكِّل نسخ L داخل هذا السطح سطحًا منتظمًا ؛ ويحتوي السطح الزائد أيضًا على مجموعةٍ ثانيةٍ من الخطوط المائلة أيضًا على M على نفس المسافة من L ولكن بزاويةٍ معاكسة تُشكِّل السطح المنتظم المقابل. يُظهر السطحان المنتظمان السطح الزائد كسطحٍ مُسطَّر .

يُنتج التحويل الأفيني لهذا السطح المُسطّر سطحًا ذا مقطع عرضي بيضاوي الشكل، بدلًا من المقطع العرضي الدائري الناتج عن دوران L حول L'؛ وتُسمى هذه الأسطح أيضًا بالأسطح الزائدية ذات الورقة الواحدة، وهي مُسطّرة بدورها بمجموعتين من الخطوط المتخالفة. أما النوع الثالث من الأسطح المُسطّرة فهو القطع المكافئ الزائدي . وكما هو الحال في السطح الزائدي ذي الورقة الواحدة، فإن للقطع المكافئ الزائدي مجموعتين من الخطوط المتخالفة؛ في كلتا المجموعتين، تكون الخطوط متوازية مع مستوى مشترك، وإن لم تكن متوازية مع بعضها البعض. تقع أي ثلاثة خطوط متخالفة في R³ على سطح مُسطّر واحد فقط من أحد هذين النوعين. [ 3 ]

نظرية غالوتشي

إذا التقت ثلاثة خطوط متخالفة بثلاثة خطوط متخالفة أخرى، فإن أي قاطع للمجموعة الأولى من الخطوط الثلاثة يتقاطع مع أي قاطع للمجموعة الثانية. [ 4 ] [ 5 ]

انحراف الأسطح المستوية بأبعاد أكبر

في الفضاء ذي الأبعاد الأعلى، يُشار إلى السطح المستوي ذي البعد k باسم السطح المستوي k . وبالتالي، يمكن أيضًا تسمية الخط بالسطح المستوي 1.

بتعميم مفهوم الخطوط المائلة إلى الفضاء ذي الأبعاد d، يمكن أن يكون السطح المستوي i والسطح المستوي j مائلين إذا كان i + j < d . [ 6 ] كما هو الحال مع الخطوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإن الأسطح المستوية المائلة هي تلك التي ليست متوازية ولا تتقاطع.

في الفضاء الأفيني ذي البعد d ، يمكن أن يكون مستويان من أي بُعد متوازيين. أما في الفضاء الإسقاطي ، فلا وجود للتوازي؛ إذ يجب أن يتقاطع مستويان أو يكونا متعامدين. لنفترض أن I هي مجموعة النقاط على مستوى i ، و J هي مجموعة النقاط على مستوى j . في الفضاء الإسقاطي ذي البعد d ، إذا كان i + j ≥ d، فإن تقاطع I و J يجب أن يحتوي على مستوى ( i + j − d ). ( المستوى 0 هو نقطة).

في أي من الهندستين، إذا تقاطع I و J عند k- مسطح، لـ k ≥ 0 ، فإن نقاط I ∪ J تحدد ( i + j − k )-مسطح.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو ، "مسافة الخط-الخط" ، عالم الرياضيات
  2. ↑ فيرو، جوليا دروبوتوخينا؛ فيرو، أوليغ (1990)، "تكوينات الخطوط المائلة" (ملف PDF) ، مجلة لينينغراد للرياضيات (باللغة الروسية)، 1 (4): 1027-1050 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2021-11-09 ، تم استرجاعه بتاريخ 2006-10-24النسخة المنقحة باللغة الإنجليزية: arXiv : math.GT/0611374
  3. ↑ هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952)، الهندسة والخيال ( الطبعة الثانية)، تشيلسي، ص 13-17 ، ISBN   0-8284-1087-9{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  4. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم (1969)، مقدمة في الهندسة ( الطبعة الثانية)، جون وايلي وأولاده ، ص 257  
  5. ^ جي جالوتشي (1906)، “Studio dellaFigura delle otto rette e sue applicazioni alla Geometria del tetraedro ed alla teoria della configurazioni”، Rendiconto dell'Accademia della Scienza Fisiche e Matematiche ، السلسلة الثالثة، 12 : 49–79
  6. ↑ دوبري، آرثر م.؛ كاس، سيمور (1992-07-01). "المسافة والتوازي بين المستويات في R^n" (ملف PDF) . الجبر الخطي وتطبيقاته . 171 : 9. doi : 10.1016/0024-3795(92)90252-6 . تاريخ الاسترجاع : 2025-01-30 .