حساب التفاضل والتكامل غير القياسي

في الرياضيات ، يُعدّ حساب التفاضل والتكامل غير القياسي تطبيقًا حديثًا للمتناهيات في الصغر ، بمعنى التحليل غير القياسي ، على حساب التفاضل والتكامل المتناهي في الصغر . وهو يُقدّم تبريرًا دقيقًا لبعض الحجج في حساب التفاضل والتكامل التي كانت تُعتبر سابقًا مجرد حجج استدلالية .

كانت الحسابات غير الدقيقة باستخدام الكميات المتناهية الصغر شائعة الاستخدام قبل أن يسعى كارل فايرشتراس إلى استبدالها بتعريف النهاية (ε، δ) بدءًا من سبعينيات القرن التاسع عشر. ولما يقرب من مئة عام بعد ذلك، اعتبر علماء الرياضيات مثل ريتشارد كوران الكميات المتناهية الصغر ساذجة وغامضة أو عديمة المعنى. ^{[ 1 ]}

خلافًا لهذه الآراء، أثبت أبراهام روبنسون في عام 1960 أن المتناهيات في الصغر دقيقة وواضحة وذات دلالة، مستندًا إلى أعمال إدوين هيويت وجيرزي لوس . ووفقًا لهوارد كيسلر ، "حلّ روبنسون مشكلة عمرها ثلاثمائة عام من خلال تقديم معالجة دقيقة للمتناهيات في الصغر. ومن المرجح أن يُصنّف إنجاز روبنسون كواحد من أهم التطورات الرياضية في القرن العشرين." ^{[ 2 ]}

بدأ تاريخ حساب التفاضل والتكامل غير القياسي باستخدام الكميات المتناهية الصغر، والتي تُسمى في حساب التفاضل والتكامل بالمتناهيات الصغر . ويمكن إيجاد استخدام المتناهيات الصغر في أسس حساب التفاضل والتكامل التي طورها بشكل مستقل كل من غوتفريد لايبنتز وإسحاق نيوتن بدءًا من ستينيات القرن السابع عشر. وقد قام جون واليس بتحسين التقنيات السابقة للكميات غير القابلة للتجزئة لكافالييري وآخرين من خلال استغلال كمية متناهية الصغر أطلق عليها اسم${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}}$في حسابات المساحة، تمهيدًا لحساب التكامل . ^{[ 3 ]} لقد استندوا إلى أعمال علماء رياضيات مثل بيير دي فيرما وإسحاق بارو ورينيه ديكارت .

في حساب التفاضل والتكامل المبكر، تعرض استخدام الكميات المتناهية الصغر لانتقادات من قبل عدد من المؤلفين، وأبرزهم ميشيل رول والأسقف بيركلي في كتابه "المحلل" .

دعا العديد من علماء الرياضيات، بمن فيهم ماكلوران ودالمبير ، إلى استخدام النهايات. وقد طوّر أوغستين لويس كوشي طيفًا واسعًا من المناهج التأسيسية، بما في ذلك تعريف الاستمرارية بدلالة المتناهيات في الصغر، ونموذج أولي (غير دقيق إلى حد ما) لوسيط إبسيلون ودلتا في التعامل مع التفاضل. وقد صاغ كارل فايرشتراس مفهوم النهاية في سياق نظام الأعداد (الحقيقية) دون استخدام المتناهيات في الصغر. وبعد أعمال فايرشتراس، أصبح من الشائع في نهاية المطاف بناء حساب التفاضل والتكامل على وسيطي إبسيلون ودلتا بدلًا من المتناهيات في الصغر.

أصبح هذا النهج الذي صاغه فايرشتراس يُعرف باسم حساب التفاضل والتكامل القياسي . بعد سنوات عديدة من إهمال استخدام نهج التفاضل والتكامل المتناهي الصغر، باستثناء استخدامه كأداة تعليمية تمهيدية، أُرسيت أسس متينة لاستخدام الكميات المتناهية الصغر على يد أبراهام روبنسون في ستينيات القرن العشرين. يُطلق على نهج روبنسون اسم التحليل غير القياسي لتمييزه عن الاستخدام القياسي للنهايات. استخدم هذا النهج أدوات تقنية من المنطق الرياضي لإنشاء نظرية للأعداد الفائقة الحقيقية تُفسر الكميات المتناهية الصغر بطريقة تسمح بتطوير قواعد حساب التفاضل والتكامل المعتادة على غرار لايبنتز. أما النهج البديل، الذي طوره إدوارد نيلسون ، فيجد الكميات المتناهية الصغر على خط الأعداد الحقيقية نفسه، ويتضمن تعديلًا للإطار الأساسي من خلال توسيع نظرية ZFC عبر إدخال محمول أحادي جديد يُسمى "القياسي".

لحساب المشتقة${\displaystyle f'}$من الوظيفة${\displaystyle y=f(x)=x^{2}}$عند x ، يتفق كلا النهجين على العمليات الجبرية:

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x\approx 2x}$

يصبح هذا حسابًا للمشتقات باستخدام الأعداد الحقيقية الفائقة إذا${\displaystyle \Delta x}$يُفسَّر على أنه متناهي الصغر والرمز "${\displaystyle \approx }$" هي العلاقة "قريبة للغاية من".

لجعل f' دالة حقيقية القيمة، فإن الحد الأخير${\displaystyle \Delta x}$يتم الاستغناء عن ذلك. في الطريقة القياسية التي تستخدم الأعداد الحقيقية فقط، يتم ذلك عن طريق أخذ النهاية كـ${\displaystyle \Delta x}$تقترب الكمية من الصفر. في النهج الواقعي المفرط ،${\displaystyle \Delta x}$يُعتبر عددًا متناهيًا في الصغر، أي عددًا غير صفري أقرب إلى الصفر منه إلى أي عدد حقيقي غير صفري. وتُظهر العمليات الحسابية الموضحة أعلاه أن${\displaystyle \Delta y/\Delta x}$يقترب بشكل لانهائي من 2 x ، لذا فإن مشتقة f عند x هي 2 x .

يتم التخلص من "حد الخطأ" بتطبيق دالة الجزء القياسية . وقد اعتبر بعض الكتاب، وعلى رأسهم جورج بيركلي ، التخلي عن حدود الخطأ المتناهية الصغر أمراً متناقضاً تاريخياً.

بمجرد تطبيق نظام الأعداد الحقيقية الفائقة (وهو نظام متصل غني بالكميات المتناهية الصغر)، يكون المرء قد نجح في دمج جزء كبير من الصعوبات التقنية على المستوى التأسيسي. وبالتالي، يمكن تطبيق تقنيات إبسيلون ودلتا، التي يعتقد البعض أنها جوهر التحليل، مرة واحدة وإلى الأبد على المستوى التأسيسي، ولا يحتاج الطلاب إلى "ارتداء ملابس تُحاكي أداء حيل منطقية متعددة الكميات بحجة تدريس حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر "، كما ورد في دراسة حديثة. ^{[ 4 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، يمكن تعريف المفاهيم الأساسية لحساب التفاضل والتكامل، مثل الاتصال والمشتقة والتكامل، باستخدام الكميات المتناهية الصغر دون الرجوع إلى إبسيلون ودلتا.

يُعرّف كتاب "حساب التفاضل والتكامل الابتدائي لكايسلر : مدخل الكميات المتناهية الصغر" مفهوم الاستمرارية في الصفحة 125 باستخدام الكميات المتناهية الصغر، دون استخدام طريقتي إبسيلون ودلتا. ويُعرّف الاشتقاق في الصفحة 45 باستخدام الكميات المتناهية الصغر بدلاً من طريقة إبسيلون ودلتا. ويُعرّف التكامل في الصفحة 183 باستخدام الكميات المتناهية الصغر. أما تعريفات إبسيلون ودلتا فتُقدّم في الصفحة 282.

يمكن بناء الأعداد الفائقة الحقيقية في إطار نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، وهي البديهيات القياسية لنظرية المجموعات المستخدمة في فروع أخرى من الرياضيات. ولإعطاء فكرة بديهية عن منهج الأعداد الفائقة الحقيقية، تجدر الإشارة إلى أن التحليل غير القياسي، ببساطة، يفترض وجود أعداد موجبة ε متناهية الصغر ، أي أن ε أصغر من أي عدد حقيقي موجب قياسي، ولكنه أكبر من الصفر. كل عدد حقيقي x محاط بسحابة متناهية الصغر من الأعداد الفائقة الحقيقية القريبة منه بشكل لانهائي. لتعريف مشتقة الدالة f عند عدد حقيقي قياسي x في هذا المنهج، لم يعد المرء بحاجة إلى عملية تقارب لانهائية كما في حساب التفاضل والتكامل القياسي. بدلاً من ذلك، يتم وضع

${\displaystyle f'(x)=\mathrm {st} \left({\frac {f^{*}(x+\varepsilon )-f^{*}(x)}{\varepsilon }}\right),}$

حيث أن st هي دالة الجزء القياسية ، والتي تعطي عددًا حقيقيًا قريبًا جدًا من الوسيط الفائق الحقيقي لـ st ، و${\displaystyle f^{*}}$هو الامتداد الطبيعي لـ${\displaystyle f}$إلى الواقعية المفرطة.

تكون الدالة الحقيقية f متصلة عند عدد حقيقي قياسي x إذا كان لكل عدد حقيقي فائق x' قريب جدًا من x ، تكون قيمة f ( x' ) قريبة جدًا أيضًا من f ( x ). وهذا يجسد تعريف كوشي للاتصال كما ورد في كتابه المدرسي Cours d'Analyse الصادر عام 1821 ، صفحة  34.

هنا تحديداً، يجب استبدال f بامتدادها الطبيعي الواقعي الفائق الذي يرمز إليه عادةً بـ f ^* .

باستخدام الترميز${\displaystyle \approx }$بالنسبة لعلاقة التقارب اللانهائي كما هو مذكور أعلاه، يمكن توسيع التعريف ليشمل نقاطًا عشوائية (قياسية أو غير قياسية) على النحو التالي:

تكون الدالة f متصلة جزئيًا عند x إذا كان كلما${\displaystyle x'\approx x}$، لدى المرء${\displaystyle f^{*}(x')\approx f^{*}(x)}$

هنا يُفترض أن النقطة x' تقع في نطاق (الامتداد الطبيعي لـ) f .

يتطلب ما سبق عددًا أقل من المحددات الكمية مقارنة بتعريف ( ε ، δ )  المألوف من حساب التفاضل والتكامل الابتدائي القياسي:

تكون الدالة f متصلة عند x إذا كان لكل ε  >  0، يوجد δ  >  0 بحيث أنه لكل x' ، عندما يكون | x − x' | < δ ، يكون لدينا | f ( x ) − f ( x' )| < ε .        

تكون الدالة f على فترة I متصلة بانتظام إذا كان امتدادها الطبيعي f * في I * له الخاصية التالية: ^{[ 5 ]}

لكل زوج من الأعداد الفائقة x و y في I *، إذا${\displaystyle x\approx y}$ثم${\displaystyle f^{*}(x)\approx f^{*}(y)}$.

من حيث الاستمرارية الجزئية المحددة في القسم السابق، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي: تكون الدالة الحقيقية مستمرة بشكل منتظم إذا كان امتدادها الطبيعي f* مستمرًا جزئيًا عند كل نقطة من مجال f*.

يتميز هذا التعريف بانخفاض تعقيد المُكمِّمات مقارنةً بالتعريف القياسي (ε،  δ) . فعلى سبيل المثال، يتطلب تعريف إبسيلون-دلتا للاستمرارية المنتظمة أربعة مُكمِّمات، بينما يتطلب التعريف المتناهي الصغر مُكمِّمين فقط. وله نفس تعقيد المُكمِّمات لتعريف الاستمرارية المنتظمة بدلالة المتتاليات في حساب التفاضل والتكامل القياسي، والذي لا يمكن التعبير عنه بلغة الأعداد الحقيقية من الدرجة الأولى .

يمكن توضيح تعريف الواقعية المفرطة من خلال الأمثلة الثلاثة التالية.

المثال 1: تكون الدالة f متصلة بشكل منتظم على الفترة شبه المفتوحة (0,1]، إذا وفقط إذا كان امتدادها الطبيعي f* متصلًا بشكل دقيق (بمعنى الصيغة أعلاه) عند كل قيمة متناهية الصغر موجبة، بالإضافة إلى الاتصال عند النقاط القياسية للفترة.

المثال 2: تكون الدالة f متصلة بشكل منتظم على الفترة شبه المفتوحة [0,∞) إذا وفقط إذا كانت متصلة عند النقاط القياسية للفترة، بالإضافة إلى ذلك، فإن الامتداد الطبيعي f * متصل جزئيًا عند كل نقطة فائقة حقيقية لا نهائية موجبة.

مثال 3: وبالمثل، فشل الاستمرارية المنتظمة لدالة التربيع

${\displaystyle x^{2}}$

ويرجع ذلك إلى غياب الاستمرارية الدقيقة عند نقطة واحدة فائقة الواقعية لا نهائية.

فيما يتعلق بتعقيد الكميات، أدلى كيفن هيوستن بالملاحظات التالية : ^{[ 6 ]}

يُعطي عدد المُكمِّمات في العبارة الرياضية مقياسًا تقريبيًا لمدى تعقيدها. فالعبارات التي تتضمن ثلاثة مُكمِّمات أو أكثر قد يصعب فهمها. وهذا هو السبب الرئيسي لصعوبة فهم التعريفات الدقيقة للنهاية والتقارب والاستمرارية والتفاضل في التحليل الرياضي، نظرًا لكثرة المُكمِّمات فيها. في الواقع، يكمن التعقيد في تناوب...${\displaystyle \forall }$و${\displaystyle \exists }$وهذا ما يسبب التعقيد.

كتب أندرياس بلاس ما يلي:

غالباً ما يكون التعريف غير القياسي للمفهوم أبسط من التعريف القياسي (أبسط بديهياً وأبسط من الناحية التقنية، مثل استخدام المحددات الكمية بدلاً من الأنواع الأدنى أو عدد أقل من التناوبات بين المحددات الكمية). ^{[ 7 ]}

تكون المجموعة A متراصة إذا وفقط إذا كان امتدادها الطبيعي A* يتمتع بالخاصية التالية: كل نقطة في A* قريبة بشكل لانهائي من نقطة في A. وبالتالي، فإن الفترة المفتوحة (0،1) ليست متراصة لأن امتدادها الطبيعي يحتوي على متناهيات الصغر موجبة ليست قريبة بشكل لانهائي من أي عدد حقيقي موجب.

حقيقة أن الدالة المتصلة على فترة مضغوطة I متصلة بانتظام بالضرورة ( نظرية هاين-كانتور ) تقبل برهانًا موجزًا ​​في الأعداد الفائقة الحقيقية. ليكن x و y عددين فائقين حقيقيين في الامتداد الطبيعي I* للفترة I. بما أن I فترة مضغوطة، فإن كلًا من st( x ) و st( y ) ينتميان إلى I. إذا كان x و y متقاربين إلى ما لا نهاية، فبحسب متباينة المثلث، سيكون لهما نفس الجزء القياسي.

${\displaystyle c=\operatorname {st} (x)=\operatorname {st} (y).}$

بما أن الدالة مفترضة متصلة عند النقطة c،

${\displaystyle f(x)\approx f(c)\approx f(y),}$

وبالتالي فإن f ( x ) و f ( y ) متقاربتان إلى ما لا نهاية، مما يثبت استمرارية f بشكل منتظم .

لتكن f ( x ) = x² ^معرفة على${\displaystyle \mathbb {R} }$. يترك${\displaystyle N\in \mathbb {R} ^{*}}$ليكن عددًا فائقًا لانهائيًا. العدد الفائق${\displaystyle N+{\tfrac {1}{N}}}$يقترب من N بشكل لانهائي . في الوقت نفسه، الفرق

${\displaystyle f(N+{\tfrac {1}{N}})-f(N)=N^{2}+2+{\tfrac {1}{N^{2}}}-N^{2}=2+{\tfrac {1}{N^{2}}}}$

ليست متناهية الصغر. لذلك، فإن f* لا تكون متصلة على المستوى الميكروي عند النقطة فائقة الواقعية N. وبالتالي، فإن دالة التربيع ليست متصلة بانتظام، وفقًا لتعريف الاتصال المنتظم المذكور أعلاه.

يمكن تقديم برهان مماثل في الإطار القياسي ( Fitzpatrick 2006 ، المثال 3.15) .

ضع في اعتبارك دالة ديريشليه

${\displaystyle I_{Q}(x):={\begin{cases}1&{\text{ إذا كان }}x{\text{ عددًا نسبيًا}},\\0&{\text{ إذا كان }}x{\text{ عددًا غير نسبي}}.\end{cases}}}$

من المعروف أن الدالة، وفقًا للتعريف القياسي للاستمرارية ، تكون غير مستمرة عند كل نقطة. لنتحقق من ذلك باستخدام تعريف الاستمرارية في الأعداد الحقيقية الفائقة المذكور أعلاه، ولنُبين، على سبيل المثال، أن دالة ديريشليه غير مستمرة عند π. لنعتبر تقريب الكسر المستمر a_{_n} لـ π. الآن، ليكن الدليل n عددًا طبيعيًا فائقًا لانهائيًا . وفقًا لمبدأ النقل ، يأخذ الامتداد الطبيعي لدالة ديريشليه القيمة 1 عند a_{_n} . لاحظ أن النقطة النسبية الفائقة a _{_n} قريبة جدًا من π. وبالتالي، يأخذ الامتداد الطبيعي لدالة ديريشليه قيمتين مختلفتين (0 و1) عند هاتين النقطتين المتقاربتين جدًا، ولذلك فإن دالة ديريشليه غير مستمرة عند π . 

بينما يكمن جوهر منهج روبنسون في إمكانية الاستغناء عن المنهج باستخدام مُكمِّمات متعددة، يمكن استعادة مفهوم النهاية بسهولة من خلال دالة الجزء القياسية st ، أي

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

إذا وفقط إذا كان الفرق x − a متناهيًا في الصغر، فإن الفرق f ( x ) − L يكون متناهيًا في الصغر أيضًا، أو في الصيغ:    

إذا كانت st( x ) = a  فإن st( f ( x )) = L،

راجع. (ε, δ)-تعريف الحد .

معطى متتالية من الأعداد الحقيقية${\displaystyle \{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$، لو${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$L هي نهاية المتتالية و

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

إذا كان لكل عدد طبيعي فائق لانهائي n ، st( x _n )= L (هنا يتم استخدام مبدأ التمديد لتعريف x _n لكل عدد صحيح فائق n ).

لا يحتوي هذا التعريف على أي تغييرات في الكميات . أما التعريف القياسي بنمط (ε، δ) ، من ناحية أخرى، فيحتوي على تغييرات في الكميات.

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} \;,\forall n\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow |x_{n}-L|<\varepsilon .}$

لإثبات أن دالة حقيقية متصلة f على الفترة [0,1] لها قيمة عظمى، ليكن N عددًا فائقًا غير منتهٍ . للفترة [0,1  ] امتداد طبيعي للأعداد الفائقة الحقيقية. كما أن الدالة f قابلة للتمديد الطبيعي إلى الأعداد الفائقة الحقيقية بين 0 و1. لنفترض تقسيم الفترة الفائقة الحقيقية [0,1] إلى N فترات جزئية متساوية الطول ( 1/ N) ، بنقاط تقسيم xᵢ ₌ i / N حيث i تتجه من 0 إلى N. في الحالة القياسية (عندما تكون N عددًا محدودًا)، يمكن دائمًا اختيار نقطة ذات قيمة عظمى للدالة f من بين N +1 نقطة xᵢ _، بالاستقراء. وبالتالي، وفقًا لمبدأ النقل ، يوجد عدد فائق صحيح i ≤ ₀ بحيث 0 ≤ i _≤ N و    ${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$لكل i  =  0،  ...، N (تفسير بديل هو أن كل مجموعة فائقة الانتهاء تقبل قيمة عظمى). لننظر إلى النقطة الحقيقية 

${\displaystyle c={\rm {st}}(x_{i_{0}})}$

حيث st هي دالة الجزء القياسية . تقع أي نقطة حقيقية x في فترة فرعية مناسبة من التقسيم، وهي:${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$بحيث يكون st ( xi ) ₌  x . بتطبيق st على المتباينة${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$،${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))\geq {\rm {st}}(f(x_{i}))}$بسبب استمرارية الدالة f ،

${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))=f({\rm {st}}(x_{i_{0}}))=f(c)}$.

وبالتالي فإن f ( c )  ≥ f ( x )، لجميع قيم x ، مما يثبت أن c هي قيمة عظمى للدالة الحقيقية f . ^{[ 8 ]}

كمثال آخر على قوة منهج روبنسون ، يتم تقديم برهان قصير لنظرية القيمة المتوسطة (نظرية بولزانو) باستخدام الكميات المتناهية الصغر من خلال ما يلي.

لتكن f دالة متصلة على [ a , b ] بحيث f ( a ) < 0 بينما f ( b ) > 0. عندئذٍ توجد نقطة c في [ a , b ] بحيث f ( c ) = 0.

تتم البرهنة على النحو التالي. ليكن N عددًا فائقًا غير منتهٍ . لنعتبر تقسيمًا للفترة [ a , b ] إلى N فترات متساوية الطول، بنقاط تقسيم xᵢ حيث _i تتراوح من 0 إلى N. لنعتبر المجموعة I من المؤشرات التي تحقق f ( xᵢ ₎ > 0. ليكن i₀ أصغر عنصر في I (يوجد مثل هذا العنصر وفقًا لمبدأ النقل ، لأن I مجموعة فائقة الانتهاء ). عندئذٍ _، يكون العدد الحقيقي $${\displaystyle c=\mathrm {st} (x_{i_{0}})}$$ هو الصفر المطلوب للدالة f . يقلل هذا البرهان من تعقيد المُكمِّم في البرهان القياسي لنظرية التحويل الافتراضي.

إذا كانت f دالة حقيقية القيمة معرفة على فترة [ a , b ]، فإن عامل النقل المطبق على f ، والذي يرمز إليه بـ *f ، هو دالة داخلية حقيقية القيمة معرفة على الفترة الحقيقية الفائقة [* a , * b ].

نظرية : لتكن f دالة حقيقية القيمة معرفة على الفترة [ a , b ]. تكون f قابلة للتفاضل عند a < x < b إذا وفقط إذا كان لكل عدد متناهي الصغر غير صفري h ، تكون القيمة

${\displaystyle \Delta _{h}f:=\operatorname {st} {\frac {[{}^{*}\!f](x+h)-[{}^{*}\!f](x)}{h}}}$

مستقلة عن h . في هذه الحالة، تكون القيمة المشتركة هي مشتقة f عند x .

وتنتج هذه الحقيقة عن مبدأ نقل التحليل غير القياسي والفائض .

لاحظ أن نتيجة مماثلة تنطبق على قابلية التفاضل عند النقطتين a و b بشرط أن تكون إشارة h المتناهية الصغر مقيدة بشكل مناسب.

أما بالنسبة للنظرية الثانية، فيُعرَّف تكامل ريمان بأنه النهاية، إن وُجدت، لعائلة موجهة من مجاميع ريمان ؛ وهذه مجاميع من الشكل التالي:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

أين

${\displaystyle a=x_{0}\leq \xi _{0}\leq x_{1}\leq \ldots x_{n-1}\leq \xi _{n-1}\leq x_{n}=b.}$

يُطلق على هذا التسلسل من القيم اسم التقسيم أو الشبكة و

${\displaystyle \sup _{k}(x_{k+1}-x_{k})}$

عرض الشبكة. في تعريف تكامل ريمان، تُؤخذ نهاية مجاميع ريمان عندما يؤول عرض الشبكة إلى الصفر.

نظرية : لتكن f دالة حقيقية القيمة معرفة على الفترة [ a , b ]. تكون f قابلة للتكامل وفقًا لريمان على الفترة [ a , b ] إذا وفقط إذا كان لكل شبكة داخلية ذات عرض متناهي الصغر، الكمية

${\displaystyle S_{M}=\operatorname {st} \sum _{k=0}^{n-1}[*f](\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

مستقل عن الشبكة. في هذه الحالة، القيمة المشتركة هي تكامل ريمان للدالة f على [ a , b ].

يتمثل أحد التطبيقات المباشرة في توسيع التعريفات القياسية للتفاضل والتكامل لتشمل الدوال الداخلية على فترات الأعداد الحقيقية الفائقة.

تكون الدالة الداخلية ذات القيم الفائقة الحقيقية f على الفترة [ a, b ] قابلة للتفاضل من النوع S عند x ، بشرط

${\displaystyle \Delta _{h}f=\operatorname {st} {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

موجودة ومستقلة عن قيمة h المتناهية الصغر . القيمة هي مشتقة S عند x .

نظرية : لنفترض أن الدالة f قابلة للتفاضل من النوع S عند كل نقطة من الفترة [ a, b ] حيث b − a عدد حقيقي فائق محدود. ولنفترض كذلك أن

${\displaystyle |f'(x)|\leq M\quad a\leq x\leq b.}$

ثم بالنسبة لبعض القيم المتناهية الصغر ε

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(ba)+\epsilon .}$

لإثبات ذلك، ليكن N عددًا طبيعيًا غير قياسي. قسّم الفترة [ a , b ] إلى N فترات جزئية بوضع N − 1 نقطة وسيطة متساوية التباعد:

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$

ثم

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|\leq \sum _{k=1}^{N-1}\left\{|f'(x_{k})|+\epsilon _{k}\right\}|x_{k+1}-x_{k}|.}$

الآن، أكبر قيمة في أي مجموعة داخلية من الكميات المتناهية الصغر هي كمية متناهية الصغر. وبالتالي، فإن جميع قيم ε _k تهيمن عليها كمية متناهية الصغر ε. لذلك،

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}(M+\epsilon )(x_{k+1}-x_{k})=M(ba)+\epsilon (ba)}$

ومن ثمّ تترتب النتيجة.

• عدم المساواة
• استخدام أرخميدس للكميات المتناهية الصغر
• انتقاد التحليل غير القياسي
• التفاضل (الرياضيات)
• حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: مدخل إلى الكميات المتناهية الصغر
• التحليل غير الكلاسيكي
• تاريخ حساب التفاضل والتكامل

• فيتزباتريك، باتريك (2006)، حساب التفاضل والتكامل المتقدم ، بروكس/كول
• إتش. جيروم كيسلر: حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: مدخل باستخدام الكميات المتناهية الصغر. الطبعة الأولى 1976؛ الطبعة الثانية 1986. (هذا الكتاب غير متوفر حاليًا. وقد أعادت دار النشر حقوق النشر إلى المؤلف، الذي أتاح الطبعة الثانية بصيغة PDF للتحميل على الرابط التالي: https://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html ).
• H. Jerome Keisler: Foundations of Infinitesimal Calculus, available for downloading at https://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html (10 jan '07)
• بلاس، أندرياس (1978)، "مراجعة: مارتن ديفيس، التحليل غير القياسي التطبيقي، وك. د. سترويان و و. أ. ج. لوكسمبورغ، مقدمة في نظرية المتناهيات في الصغر، و هـ. جيروم كيسلر، أسس حساب التفاضل والتكامل المتناهي في الصغر" ، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 84 (1): 34-41 ، doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2
• بارون، مارغريت إي .: أصول حساب التفاضل والتكامل. دار بيرغامون للنشر، أكسفورد-إدنبرة-نيويورك 1969. دار دوفر للنشر، نيويورك، 1987. (صدرت طبعة جديدة من كتاب بارون في عام 2004)
• "حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]

• كيسلر، إتش. جيروم (2007). حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: مدخل إلى الكميات المتناهية الصغر . منشورات دوفر. ISBN 978-0-48-648452-5.النسخة الإلكترونية (2022)

• هينلي، جيمس م. كلاينبرج، يوجين م. (1979). حساب التفاضل والتكامل متناهية الصغر . منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-48-642886-4.حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر في أرشيف الإنترنت

• كتاب "حساب التفاضل والتكامل المختصر" (2005، مراجعة 2015) لبنيامين كرويل. صُمم هذا الكتاب المختصر للدراسة الذاتية أو المراجعة أكثر من استخدامه في الفصول الدراسية. تُستخدم فيه الكميات المتناهية الصغر عند الحاجة، ويتم تناولها بشكل أكثر دقة من الكتب القديمة مثل كتاب " حساب التفاضل والتكامل المبسط" لثومبسون ، ولكن بتفصيل أقل من كتاب " حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: مدخل باستخدام الكميات المتناهية الصغر" لكايسلر .