المتغيرات الحرة والمتغيرات المقيدة

في سياق أوسع، تُعدّ المتغيرات المقيدة أساسية في بنية البراهين الرياضية . على سبيل المثال، يُبيّن البرهان التالي أن مربع أي عدد زوجي موجب يقبل القسمة على 4:

يترك${\displaystyle n}$ليكن عددًا صحيحًا زوجيًا موجبًا كيفيًا. بحسب التعريف، يوجد عدد صحيح${\displaystyle k}$بحيث${\displaystyle n=2k}$وبتعويض هذا في صيغة المربع نحصل على${\displaystyle n^{2}=(2ك)^{2}=4ك^{2}}$. منذ${\displaystyle k}$هو عدد صحيح،${\displaystyle k^{2}}$وهو أيضاً عدد صحيح. لذلك،${\displaystyle n^{2}}$يقبل القسمة على 4.

في هذا البرهان، كلاهما${\displaystyle n}$و${\displaystyle k}$تعمل كمتغيرات مقيدة، لكنها مقيدة بطرق مختلفة. ^{[ 3 ]}

المتغير${\displaystyle n}$يُعرَّف العنصر بأنه عنصر اعتباطي ولكنه محدد من عناصر المجموعة. العبارة "ليكن${\displaystyle n}$"يكون..." يعمل ضمنيًا كمحدد كمي شامل ، يربط${\displaystyle n}$في نطاق البرهان. يثبت البرهان خاصية لهذا الشيء الوحيد، التعسفي${\displaystyle n}$^{[ 4 ]} مما يسمح بالاستنتاج العام بأن الخاصية تنطبق على جميع الأعداد الزوجية الموجبة.

المتغير${\displaystyle k}$من ناحية أخرى، يرتبط هذا العدد بمحدد كمي وجودي ("يوجد عدد صحيح").${\displaystyle k}$يُستخدم هذا المصطلح لتمثيل عدد صحيح محدد، وإن لم يُسمَّ، والذي يضمن تعريفه وجوده.${\displaystyle n}$أن يكون متساوياً. نطاق${\displaystyle k}$يقتصر على المنطق الذي يلي تقديمه. ^{[ 5 ]}

وبالتالي، فإن كلا المتغيرين ليسا حرين؛ فمعناهما يتحدد بالكامل من خلال دورهما ضمن البنية المنطقية للبرهان.

في الرياضيات والمنطق ، تعمل مجموعة من الرموز كعوامل ربط متغيرات . تأخذ هذه العوامل دالة أو صيغة مفتوحة كوسيط، وتربط متغيرًا حرًا داخل تلك الصيغة بمجال أو نطاق محدد من القيم ، مما يُنشئ صيغة جديدة لا يعتمد معناها على المتغير المربوط. ^{[ 6 ]}

تشمل عوامل الربط المتغيرة الشائعة ما يلي:

• المجموع (​${\displaystyle \Sigma }$) والمنتج (${\displaystyle \Pi }$) عوامل التشغيل، التي تربط متغيرًا بمجموعة أو نطاق من القيم.

${\displaystyle \sum _{x\in S}f(x)\quad \quad \quad \prod _{x\in S}f(x)}$

• التكامل (​${\displaystyle \textstyle \int }$) والحد (${\displaystyle \lim }$) عوامل التشغيل، التي تربط متغيرًا على متصل أو عندما يقترب من قيمة معينة.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\quad \quad \lim _{x\to c}f(x)}$

• المحددات الكمية المنطقية ، مثل المحدد الكمي الشامل (${\displaystyle \forall }$) والمحدد الكمي الوجودي (${\displaystyle \exists }$)، والتي تربط متغيرًا بمجال الخطاب .

${\displaystyle \forall x,P(x)\quad \quad \quad \exists x,P(x)}$

في كل حالة، يكون المتغير x مرتبطًا بالتعبير الذي يلي العامل (على سبيل المثال،${\displaystyle f(x)}$أو${\displaystyle P(x)}$تؤثر العديد من هذه المعاملات على دالة للمتغير المُقيد. ورغم أن الترميز القياسي غالبًا ما يكون كافيًا، إلا أن التعبيرات المعقدة ذات المعاملات المتداخلة قد تصبح غامضة، خاصةً إذا أُعيد استخدام اسم المتغير نفسه. وهذا قد يؤدي إلى مشكلة تُعرف باسم "التقاط المتغير" ، حيث يُقيد متغيرٌ يُفترض أن يكون حرًا بشكل خاطئ بواسطة معامل في نطاق مختلف. ^{[ 7 ]}

لتجنب هذا الغموض، قد يكون من المفيد التحول إلى تدوين يجعل الربط واضحًا، مع معاملة المؤثرات كدوال من الرتبة العليا . هذا النهج، المتجذر في مبادئ حساب التفاضل والتكامل اللامدا ، يفصل بوضوح الدالة التي يتم إجراء العملية عليها عن المؤثر نفسه. ^{[ 8 ]}

على سبيل المثال:

• الخلاصة${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}f(k,n)}$يمكن كتابة ذلك لجعل الوسيط الوظيفي واضحًا:

${\displaystyle \sum _{\{1,\ldots ,10\}}(k\mapsto f(k,n))}$

هنا، المشغل${\displaystyle \sum _{S}f}$ينطبق على المجموعة S والدالة f .

• يمكن أيضًا تمثيل عامل الاشتقاق بوضوح على أنه يأخذ دالة كمعامل له :

${\displaystyle D(x\mapsto x^{2}+2x+1)}$

توضح هذه الرموز أن العامل${\displaystyle D}$يتم تطبيقها على الوظيفة بأكملها${\displaystyle x\mapsto x^{2}+2x+1}$، بدلاً من مجرد تعبير فيه${\displaystyle x}$يصادف أن يكون متغيراً.

من الأمثلة الواضحة على عامل ربط المتغيرات في الرياضيات تعريف الدالة . التعبير الذي يُعرّف دالة، مثل الطرف الأيمن من:

${\displaystyle f=\left[(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto t\right]\,,}$

يربط المتغيرات${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$التعبير${\displaystyle t}$قد يحتوي الجزء الذي يشكل جسم الدالة على بعض المتغيرات أو جميعها أو لا يحتوي على أي منها.${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$وهي معاييرها الرسمية. أي ظهور لهذه المتغيرات ضمن${\displaystyle t}$يخضع لتعريف الدالة. الجسم${\displaystyle t}$قد تحتوي أيضًا على متغيرات أخرى، والتي تعتبر متغيرات حرة يجب تحديد قيمها من سياق أوسع. ^{[ 6 ]}

التعبير${\displaystyle \left[(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto t\right]}$وهي مماثلة تمامًا لتعبيرات لامدا في حساب لامدا ، حيث${\displaystyle \lambda }$الرمز هو عامل ربط المتغيرات الأساسي. على سبيل المثال، تعريف الدالة${\displaystyle (x\mapsto x^{2})}$وهو ما يعادل تجريد لامدا${\displaystyle \lambda xx^{2}}$[ ^{8 ]​}

التعريف نفسه، الذي يربط الدالة التي يتم تعريفها بالاسم${\displaystyle f}$، يُكتب عادةً في النصوص الرياضية بالشكل التالي

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=t\,.}$

يمكن فهم المؤثرات الرياضية الأخرى على أنها دوال من الرتبة العليا تربط المتغيرات. على سبيل المثال، مؤثر الجمع ،${\displaystyle \Sigma }$يمكن تحليلها كعامل يأخذ دالة ومجموعة لتقييم تلك الدالة عليها. التعبير:

${\displaystyle \sum _{x\in S}{x^{2}}}$

يربط المتغير x داخل الحد${\displaystyle x^{2}}$نطاق الربط هو الحد الذي يلي رمز الجمع. ويمكن اعتبار هذا التعبير بمثابة تدوين أكثر إيجازًا لما يلي:

${\displaystyle \sum _{S}{(x\mapsto x^{2})}}$

هنا،${\displaystyle \sum _{S}{f}}$هو عامل ذو مُعاملين: دالة ذات مُعامل واحد${\displaystyle f}$(في هذه الحالة،${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$) ومجموعة${\displaystyle S}$لتقييم تلك الوظيفة.

يمكن التعبير عن عوامل أخرى بطريقة مماثلة. المُكمِّم العام${\displaystyle \forall x\in S,P(x)}$يمكن فهمها على أنها عامل تقييم يُقيّم إلى الاقتران المنطقي للدالة ذات القيمة البوليانية${\displaystyle P}$يتم تطبيقها على كل عنصر في المجموعة (التي قد تكون لانهائية)${\displaystyle S}$وبالمثل، فإن مشغل المنتج (${\textstyle \prod }$), عامل الحد (${\displaystyle \lim _{n\to \infty }}$) والمؤثر التكاملي (${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$جميعها تعمل كعناصر ربط للمتغيرات، حيث تربط المتغيرات.${\displaystyle n}$و${\displaystyle x}$على التوالي ضمن نطاق محدد. ^{[ 10 ]}

في اللغة الإنجليزية، يمكن للضمائر الشخصية مثل "هو" و " هي " و"هم" ومشتقاتها (مثل " لها" و "له" ) أن تعمل كمتغيرات حرة . ^{[ 13 ]} المتغير الحر هو مصطلح لا يُحدد مرجعه ضمن البنية النحوية المباشرة للجملة، ويجب تحديده من خلال السياق الأوسع، والذي قد يكون لغويًا أو ظرفيًا ( براغماتيًا ). ^{[ 14 ]}

انظر إلى الجملة التالية:

وجدت ليزا كتابها.

The possessive pronounher is a free variable. Its interpretation is flexible; it can refer to Lisa, an entity within the sentence, or to some other female individual salient in the context of the utterance.^[12] This ambiguity leads to two primary interpretations, which can be formally represented using co-indexing subscripts.^[15] An identical subscript indicates coreference, while different subscripts signal that the expressions refer to different entities.

1. Lisa_i found her_i book.
   • (This interpretation signifies coreference, where "her" refers to Lisa. This is often called an anaphoric reading, where "her" is an anaphor and "Lisa" is its antecedent.)
2. Lisa_i found her_j book.
   • (In this interpretation, "her" refers to a female individual who is not Lisa, for instance, a person named Jane who was mentioned earlier in the conversation.)

This distinction is not merely a theoretical exercise. Some languages have distinct pronominal forms to differentiate between these two readings. For example, Norwegian and Swedish use the reflexive possessive sin for the coreferential reading (her_i) and a non-reflexive form like hennes (in Swedish) for the non-coreferential reading (her_j).^[16]

While English does not have this explicit distinction in its standard pronouns, it can force a coreferential reading by using the emphatic possessive own.^[17]

• Lisa_i found her_i own book. (Coreference is required)
• *Lisa_i found her_j own book. (This interpretation is ungrammatical)

In contrast to personal pronouns, reflexive pronouns (e.g., himself, herself, themselves) and reciprocal pronouns (e.g., each other) act as bound variables, also known in linguistics as anaphors.^[15] A bound variable is an expression that must be co-indexed with, and c-commanded by, an antecedent within a specific syntactic domain.^[15]

Consider the sentence:

Jane hurt herself.

يجب أن يشير الضمير الانعكاسي " نفسها" إلى فاعل الجملة، جين . ولا يمكن أن يشير إلى أي فرد آخر. ^{[ 12 ]} هذه الإحالة الإلزامية هي سمة مميزة للمتغير المقيد.

• جين _آذت نفسها _{. (التفسير} النحوي : نفسها = جين )
• * جين _آذت نفسها (تفسير غير _صحيح نحوياً : نفسها ≠ جين )

يمكن تمثيل هذه العلاقة الرابطة رسميًا باستخدام تعبير لامدا، وهو أداة من حساب لامدا تُستخدم في الدلالات الرسمية لنمذجة تجريد الدوال وتطبيقها. ^{[ 18 ]} يمكن تمثيل الجملة على النحو التالي:

(λx.x hurt x)(Jane)

بهذه الصيغة:

• λxهو عامل لامدا الذي يربط المتغير x.
• x hurt xهي الدالة الشرطية ، وهي دالة تأخذ وسيطًا وتوضح أن هذا الوسيط يضر نفسه.
• (Jane)الوسيط المُطبق على الدالة.

يُترجم التعبير إلى "ألحقت جين الأذى بجين"، وهو ما يعكس بشكل صحيح حقيقة أن فاعل ومفعول الفعل هما نفس الكيان. ^{[ 18 ]}

يُفسَّر السلوك المتميز للضمائر والضمائر الضميرية بشكل منهجي من خلال نظرية الربط ، وهي عنصر أساسي في نظرية الحكومة والربط لنعوم تشومسكي . ^{[ 15 ]} تقترح هذه النظرية ثلاثة مبادئ تحكم تفسير أنواع مختلفة من العبارات الاسمية :

• المبدأ أ: يجب أن تكون الضميرية (الانعكاسية، التبادلية) مقيدة بفئتها الحاكمة (تقريبًا، الجملة المحلية ). ^{[ 15 ]} وهذا يفسر لماذا يجب أن تكون كلمة " نفسها " في عبارة "جين آذت نفسها" مقيدة بجين .

• المبدأ ب: يجب أن يكون الضمير حرًا في فئته المُحدِّدة. ^{[ 15 ]} وهذا يُفسِّر لماذا لا يُمكن في كثير من الأحيان ربط الضمير الشخصي بسابقة محلية. على سبيل المثال، في جملة "ضربتها آشلي"، لا يُمكن أن يُشير الضمير " ضربتها " إلى آشلي . ^{[ 19 ]}
  • * آشلي، أنا _ضربتها . ₍ غير صحيح نحوياً بسبب المبدأ ب)
  • آشلي _{ضربتها .} (صحيح نحويًا؛ تشير كلمة "ضربتها" إلى شخص آخر غير آشلي)

• المبدأ ج: يجب أن يكون التعبير المرجعي (تعبير إشاري مثل اسم علم، مثلاً: جين، أو وصف محدد، مثلاً: المرأة) حراً في كل مكان. [ 15 ] يمنع هذا من ^{ربط التعبير المرجعي} بضمير أمر، كما في: * _قال إن جون كان _متعباً *. ^{[ 20 ]}

يُعدّ مفهوم ربط المتغيرات أساسيًا لفهم عبارات الأسماء الكمية ، مثل " كل طالب" أو "بعض السياسيين" أو "لا أحد" . ^{[ 18 ]} على عكس الأسماء العلمية، لا تُشير هذه العبارات إلى كيان مُحدد، بل تُعبّر عن كمية تشمل مجموعة من الأفراد. ^{[ 18 ]} يُمكن لعبارة الاسم الكمية أن تربط ضميرًا يقع ضمن نطاقها ، مما يجعل الضمير متغيرًا مرتبطًا.

كل طالب _يعتقد أنه _ذكي .

في هذه الجملة، يُفسَّر الضمير " هو" بشكل طبيعي على أنه متغير مُقيد. ^{[ 21 ]} ويتغير مرجعه بتغير الأفراد في المجموعة المشار إليها بعبارة "كل طالب". لا تعني الجملة أن كل طالب يعتقد أن شخصًا معينًا (مثل بيتر) ذكي؛ بل تعني أن لكل طالب على حدة${\displaystyle x}$،${\displaystyle x}$يعتقد أن${\displaystyle x}$ذكي. في النظريات النحوية، غالبًا ما يتم تحليل ذلك من خلال عملية رفع الكمي (QR)، حيث ينتقل اسم الكمية (QNP) على المستوى النحوي المجرد للشكل المنطقي إلى موضع يأمر فيه الضمير ويربطه. ^{[ 21 ]}

يُعدّ ربط المتغيرات أساسيًا أيضًا لتحليل حركة أدوات الاستفهام ، التي تحدث في تكوين الأسئلة والجمل الموصولة . ^{[ 22 ]} تعمل أدوات الاستفهام مثل who و what و which كعوامل ربط تربط متغيرًا في الجملة الرئيسية. ^{[ 23 ]}

• السؤال: من هو _الشخص الذي يُعجب به _جون ؟
• الجملة الموصولة: الرجل [الذي رأته ماري _] هو أخي _.

في هذه الهياكل، يقال إن الكلمة الاستفهامية تنتقل من موضع أساسي، تاركة وراءها "أثراً".${\displaystyle (t)}$، والتي تُعامل كمتغير مقيد. ^{[ 15 ]} ويمكن إعادة صياغة معنى السؤال على النحو التالي: "لأي شخص؟"${\displaystyle x}$هل يحب جون${\displaystyle x}$". ^{[ 18 ]} وبالمثل، تشير الجملة الموصولة إلى مجموعة من الأفراد${\displaystyle x}$بحيث رأت مريم${\displaystyle x}$[ ^{18 ]​}

يُقدّم التمييز بين المتغيرات الحرة والمقيدة تفسيراً قوياً لبعض حالات الغموض التي تنشأ عند حذف العبارة الفعلية . ^{[ 24 ] [ 25 ]} انظر إلى الجملة التالية:

جون يحب والدته، وكذلك بيل.

لهذه الجملة تفسيران مختلفان:

1. الهوية الصارمة: بيل يحب والدة جون .
2. هوية غير متقنة : بيل يحب والدة بيل .

يمكن تفسير هذا الغموض من خلال وضع الضمير his في الجملة الأولى. ^{[ 19 ]}

• إذا تم التعامل مع كلمة "his" كمتغير حر يشير إلى جون، فإن عبارة الفعل المحذوفة (أو "المفقودة") تُفسر على أنها "يحب والدة جون". وعند تطبيق هذا على بيل، تكون النتيجة هي القراءة الحرفية . ^{[ 19 ]}
• إذا تم التعامل مع كلمة "his" كمتغير مقيد بفاعل جملتها (أي جون )، فسيتم تفسير العبارة الفعلية كخاصية مجردة باستخدام دالة لامدا λx.x loves x's mother. وعند تطبيق هذه الخاصية على كلمة "Bill"، تكون النتيجة قراءة غير دقيقة . ^{[ 19 ]}

يُعتبر وجود قراءة الهوية غير الدقيقة دليلاً قوياً على الواقع النفسي لتفسيرات المتغيرات المقيدة في قواعد اللغات الطبيعية . ^{[ 26 ]}

وبالتالي، فإن توزيع وتفسير الضمائر وغيرها من التعبيرات الإشارية في اللغات الطبيعية ليس عشوائياً، بل يخضع لنظام نحوي ودلالي متطور. ^{[ 12 ]}

إن التمييز بين المتغيرات الحرة والمقيدة هو حجر الزاوية في النظرية اللغوية الحديثة، حيث يوفر الأدوات التحليلية اللازمة لتفسير الإحالة المرجعية، والكمية، وتكوين الأسئلة، والحذف.