المُكمِّم (المنطقي)

في المنطق ، المُكمِّم هو عامل يُحدد عدد الأفراد في مجال الخطاب الذين يُحققون صيغة مفتوحة . على سبيل المثال، المُكمِّم الكلي${\displaystyle \forall }$في صيغة الدرجة الأولى${\displaystyle \forall xP(x)}$يعبّر عن أن كل شيء في المجال يحقق الخاصية المشار إليها بـ${\displaystyle P}$من ناحية أخرى، المُكمِّم الوجودي${\displaystyle \exists }$في الصيغة${\displaystyle \exists xP(x)}$يُعبّر هذا عن وجود شيء ما في المجال يُحقق تلك الخاصية. تُسمى الصيغة التي يأخذ فيها المُكمِّم أوسع نطاق بالصيغة المُكمَّمة. يجب أن تحتوي الصيغة المُكمَّمة على متغير مُقيَّد وصيغة فرعية تُحدد خاصية للمُشار إليه من ذلك المتغير.

أكثر أدوات التحديد الكمي استخداماً هي${\displaystyle \forall }$و${\displaystyle \exists }$تُعرَّف هذه الكميات عادةً على أنها ثنائية ؛ في المنطق الكلاسيكي : يمكن تعريف كل منها بدلالة الأخرى باستخدام النفي . كما يمكن استخدامها لتعريف كميات أكثر تعقيدًا، كما في الصيغة التالية:${\displaystyle \neg \exists xP(x)}$وهذا يعبر عن أنه لا شيء يمتلك هذه الخاصية${\displaystyle P}$أما المحددات الكمية الأخرى فلا يمكن تعريفها إلا ضمن منطق الرتبة الثانية أو منطق الرتب العليا . وقد تم تعميم المحددات الكمية بدءًا من أعمال أندريه موستوفسكي وبير ليندستروم .

في عبارة منطقية من الدرجة الأولى، يمكن استبدال الكميات من النوع نفسه (سواء كانت كميات كلية أو كميات وجودية) دون تغيير معنى العبارة، بينما يؤدي استبدال الكميات من أنواع مختلفة إلى تغيير المعنى. على سبيل المثال، الفرق الوحيد في تعريف الاستمرارية المنتظمة والاستمرارية (العادية) هو ترتيب الكميات.

تُقارب أدوات التحديد الكمي من الدرجة الأولى معاني بعض أدوات التحديد الكمي في اللغة الطبيعية مثل "بعض" و"كل". ومع ذلك، لا يمكن تحليل العديد من أدوات التحديد الكمي في اللغة الطبيعية إلا من خلال أدوات التحديد الكمي المعممة .

لنطاق محدود من الخطاب${\displaystyle D=\{a_{1},...a_{n}\}}$الصيغة الكمية العالمية${\displaystyle \forall x\in D\;P(x)}$يكافئ العطف المنطقي${\displaystyle P(a_{1})\land ...\land P(a_{n})}$. وبالمثل، الصيغة الكمية الوجودية${\displaystyle \exists x\in D\;P(x)}$وهو ما يعادل الفصل المنطقي${\displaystyle P(a_{1})\lor ...\lor P(a_{n})}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle B=\{0,1\}}$هي مجموعة الأرقام الثنائية ، الصيغة${\displaystyle \forall x\in B\;x=x^{2}}$الاختصارات${\displaystyle 0=0^{2}\land 1=1^{2}}$، وهو ما يُقيّم إلى صحيح .

من الممكن ابتكار جبر مجرد تتضمن نماذجه لغات رسمية مع إمكانية التكميم، لكن التقدم كان بطيئًا والاهتمام بهذا النوع من الجبر محدودًا. وقد طُورت ثلاثة مناهج حتى الآن:

• الجبر العلائقي ، الذي ابتكره أوغسطس دي مورغان ، وطوره تشارلز ساندرز بيرس ، وإرنست شرودر ، وألفريد تارسكي ، وطلاب تارسكي. لا يستطيع الجبر العلائقي تمثيل أي صيغة تحتوي على مُكمِّمات متداخلة لأكثر من ثلاثة مستويات. ومن المثير للدهشة أن نماذج الجبر العلائقي تشمل نظرية المجموعات البديهية ZFC وحساب بيانو ؛
• الجبر الأسطواني ، الذي ابتكره ألفريد تارسكي وليون هينكين وآخرون؛
• الجبر متعدد الأعداد لبول هالموس .

أكثر أدوات التحديد الكمي شيوعًا هما أداة التحديد الكمي الشاملة وأداة التحديد الكمي الوجودية. الرمز التقليدي لأداة التحديد الكمي الشاملة هو " ∀ "، وهو حرف " A " مُدار، ويرمز إلى "لكل" أو "الكل". أما الرمز المقابل لأداة التحديد الكمي الوجودية فهو " ∃ "، وهو حرف " E " مُدار ، ويرمز إلى "يوجد" أو "يوجد". ^{[ 1 ] [ 2 ]}

مثال على ترجمة عبارة كمية إلى لغة طبيعية كالإنجليزية هو كما يلي. بالنظر إلى العبارة: "كل من أصدقاء بيتر إما يحب الرقص أو يحب الذهاب إلى الشاطئ (أو كليهما)"، يمكن تحديد الجوانب الرئيسية وإعادة صياغتها باستخدام رموز تتضمن أدوات التحديد الكمي. لنفترض أن X هي مجموعة جميع أصدقاء بيتر، و P ( x ) هي المسند " x يحب الرقص"، و Q ( x ) هي المسند " x يحب الذهاب إلى الشاطئ". عندئذٍ، يمكن كتابة الجملة السابقة بالصيغة الرسمية كما يلي:${\displaystyle \forall {x}{\in }X,(P(x)\lor Q(x))}$، والتي تُقرأ على النحو التالي: "لكل x الذي ينتمي إلى X ، ينطبق P على x أو ينطبق Q على x ".

تُصاغ بعض التعبيرات الكمية الأخرى على النحو التالي،

• ${\displaystyle \exists {x}\,P}$^{[ 3 ]}
• ${\displaystyle \forall {x}\,P}$

بالنسبة للصيغة P ، تُقرأ هاتان العبارتان (باستخدام التعريفات أعلاه) على النحو التالي: "يوجد صديق لبيتر يحب الرقص" و"جميع أصدقاء بيتر يحبون الرقص"، على التوالي. تتضمن الرموز البديلة، بالنسبة للمجموعة X وعناصر المجموعة x :

• ${\displaystyle \bigvee _{x}P}$
• ${\displaystyle (\exists {x})P}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle (\exists x\ .\ P)}$
• ${\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}$
• ${\displaystyle (\exists x:P)}$
• ${\displaystyle \exists {x}(P)}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \exists _{x}\,P}$
• ${\displaystyle \exists {x}{,}\,P}$
• ${\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}$
• ${\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}$

تنطبق جميع هذه الاختلافات أيضًا على التحديد الكمي الشامل. ومن الاختلافات الأخرى للتحديد الكمي الشامل ما يلي:

• ${\displaystyle \bigwedge _{x}P}$
• ${\displaystyle \bigwedge xP}$^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle (x)\,P}$^{[ 7 ]}

تُشير بعض صيغ الترميز صراحةً إلى نطاق التكميم. يجب دائمًا تحديد نطاق التكميم؛ وبالنسبة لنظرية رياضية معينة، يمكن القيام بذلك بعدة طرق:

• افترض وجود مجال ثابت للخطاب لكل عملية تحديد كمي، كما هو الحال في نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل .
• حدد مسبقًا عدة مجالات للخطاب، واشترط أن يكون لكل متغير مجال مُعلن، وهو نوع ذلك المتغير. وهذا يُشابه الوضع في لغات البرمجة الحاسوبية ذات الكتابة الثابتة ، حيث يكون للمتغيرات أنواع مُعلنة.
• اذكر صراحة نطاق التحديد الكمي، ربما باستخدام رمز لمجموعة جميع الكائنات في ذلك المجال (أو نوع الكائنات في ذلك المجال).

يمكن استخدام أي متغير كمتغير كمي بدلاً من أي متغير آخر، ضمن قيود معينة لا تسمح بتحديد نوع المتغير . حتى لو كانت الصيغة تستخدم متغيرات محددة النوع، فإنه يجوز استخدام متغيرات من ذلك النوع.

بشكل غير رسمي أو في اللغة الطبيعية، قد يظهر "∀ x " أو "∃ x " بعد أو في منتصف P ( x ). أما بشكل رسمي، فتوضع العبارة التي تُعرّف المتغير الوهمي في البداية.

تجمع الصيغ الرياضية بين التعبيرات الرمزية للمحددات الكمية ومحددات اللغة الطبيعية مثل،

تشمل الكلمات المفتاحية لتحديد كمية التفرد ما يلي:

علاوة على ذلك، يمكن استبدال x بضمير . على سبيل المثال،

يُعد ترتيب أدوات التحديد الكمي أمراً بالغ الأهمية للمعنى، كما يتضح من خلال الاقتراحين التاليين:

هذا صحيحٌ تمامًا؛ فهو يؤكد ببساطة أن لكل عدد طبيعي مربعًا. أما معنى العبارة التي يُعكس فيها ترتيب الكميات فهو مختلف.

هذا خطأ واضح؛ إذ يدّعي وجود عدد طبيعي واحد s يساوي مربع كل عدد طبيعي. والسبب في ذلك هو أن الصيغة تشير إلى أن أي متغير لا يمكن أن يكون دالة لمتغيرات أخرى يتم إدخالها لاحقًا.

ثمة مثال أقل وضوحًا من التحليل الرياضي يتعلق بمفهومي الاستمرارية المنتظمة والاستمرارية النقطية ، واللذان يختلف تعريفهما فقط بتبديل موضعين كميين. تُسمى الدالة f من R إلى R

• متصلة نقطيًا إذا$${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\exists \delta >0\;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$
• متصلة بانتظام إذا$${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$

في الحالة الأولى، يمكن أن تكون القيمة المختارة لـ δ دالةً لكلٍّ من ε و x ، وهما المتغيران اللذان يسبقانها. أما في الحالة الثانية، ^{فيمكن أن تكون} δ دالةً لـ ε فقط (أي يجب اختيارها مستقلةً عن x ). على سبيل المثال، الدالة f ( x ) = x² تحقق الاستمرارية النقطية، ولكنها لا تحقق الاستمرارية المنتظمة (ميلها غير محدود). في المقابل، لا يُغيّر تبديل المُكمِّمَين الكليَّين الأوليين في تعريف الاستمرارية النقطية المعنى.

كقاعدة عامة، فإن تبديل اثنين من المحددات الكمية الشاملة المتجاورة ذات النطاق نفسه (أو تبديل اثنين من المحددات الكمية الوجودية المتجاورة ذات النطاق نفسه) لا يغير معنى الصيغة (انظر المثال هنا )، ولكن تبديل محدد كمي وجودي ومحدد كمي شامل مجاور قد يغير معناها.

يُطلق على أقصى عمق لتداخل المحددات الكمية في الصيغة اسم " رتبة المحدد الكمي ".

إذا كانت D مجالًا لـ x و P ( x ) محمولًا يعتمد على متغير الكائن x ، فيمكن التعبير عن القضية الكلية على النحو التالي:

$${\displaystyle \forall x\!\in \!D\;P(x).}$$

يُعرف هذا الترميز بالكمية المقيدة أو النسبية أو المحدودة . ويمكن كتابة ما يلي بشكل مكافئ:

$${\displaystyle \forall x\;(x\!\in \!D\to P(x)).}$$

يمكن التعبير عن القضية الوجودية بتكميم محدود على النحو التالي:

$${\displaystyle \exists x\!\in \!D\;P(x),}$$

أو ما يعادل ذلك

$${\displaystyle \exists x\;(x\!\in \!\!D\land P(x)).}$$

بالإضافة إلى النفي، يكفي استخدام أحد المحددات الكمية الكلية أو الوجودية لأداء كلا المهمتين:

$${\displaystyle \neg (\forall x\!\in \!D\;P(x))\equiv \exists x\!\in \!D\;\neg P(x),}$$

وهذا يُظهر أنه لدحض عبارة "لكل x "، لا يحتاج المرء إلا إلى إيجاد قيمة x التي تكون عندها العبارة خاطئة. وبالمثل،

$${\displaystyle \neg (\exists x\!\in \!D\;P(x))\equiv \forall x\!\in \!D\;\neg P(x),}$$

لدحض قضية "يوجد x "، يحتاج المرء إلى إظهار أن المسند خاطئ لجميع قيم x .

في المنطق الكلاسيكي ، كل صيغة مكافئة منطقياً لصيغة في الشكل الطبيعي السابق ، أي سلسلة من المحددات والمتغيرات المقيدة متبوعة بصيغة خالية من المحددات.

يتضمن كل تحديد كمي متغيرًا محددًا ومجالًا للنقاش أو نطاقًا لتحديد كمي لهذا المتغير. يحدد نطاق التحديد الكمي مجموعة القيم التي يأخذها المتغير. في الأمثلة السابقة، نطاق التحديد الكمي هو مجموعة الأعداد الطبيعية. يسمح لنا تحديد نطاق التحديد الكمي بالتعبير عن الفرق بين، على سبيل المثال، التأكيد على صحة محمول ما لعدد طبيعي معين أو لعدد حقيقي معين . غالبًا ما تحتفظ اصطلاحات التفسير ببعض أسماء المتغيرات مثل " ن " للأعداد الطبيعية، و" س " للأعداد الحقيقية، على الرغم من أن الاعتماد حصريًا على اصطلاحات التسمية لا يمكن أن ينجح بشكل عام، لأن نطاقات المتغيرات يمكن أن تتغير أثناء الحجة الرياضية.

صيغة كمية عالمية ضمن نطاق فارغ (مثل${\displaystyle \forall x\!\in \!\varnothing \;x\neq x}$) يكون صحيحًا دائمًا بشكل فارغ . وعلى العكس من ذلك، فإن الصيغة الكمية الوجودية على نطاق فارغ (مثل${\displaystyle \exists x\!\in \!\varnothing \;x=x}$) يكون خطأ دائمًا.

ثمة طريقة أكثر طبيعية لتقييد نطاق الخطاب وهي استخدام التحديد الكمي المقيد . على سبيل المثال، التحديد الكمي المقيد

وسائل

في بعض النظريات الرياضية ، يُفترض وجود مجال واحد للخطاب مُحدد مسبقًا. على سبيل المثال، في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، تتراوح المتغيرات على جميع المجموعات. في هذه الحالة، يمكن استخدام المُكمِّمات المُقيدة لمحاكاة نطاق أصغر من التكميم. وبالتالي، في المثال أعلاه، للتعبير عن

في نظرية المجموعات لزيرميلو-فرانكل، يمكن للمرء أن يكتب

حيث N هي مجموعة جميع الأعداد الطبيعية.

الدلالات الرياضية هي تطبيق الرياضيات لدراسة معنى التعبيرات في لغة رسمية. تتكون من ثلاثة عناصر: تحديد رياضي لفئة من الكائنات عبر بناء الجملة ، وتحديد رياضي لمختلف المجالات الدلالية ، والعلاقة بينهما، والتي تُعبَّر عنها عادةً كدالة من الكائنات النحوية إلى الكائنات الدلالية. تتناول هذه المقالة فقط مسألة كيفية تفسير عناصر التحديد الكمي. يمكن تمثيل بناء جملة الصيغة بشجرة بناء الجملة. لكل مُحدِّد كمي نطاق ، ويكون ظهور المتغير x حرًا إذا لم يكن ضمن نطاق تحديد كمي لهذا المتغير. وبالتالي، في

$${\displaystyle \forall x(\exists yB(x,y))\vee C(y,x)}$$

إن حدوث كل من x و y في C ( y , x ) يكون حراً، بينما يكون حدوث x و y في B ( y , x ) مقيداً (أي غير حر).

يفترض تفسير حساب التفاضل والتكامل من الدرجة الأولى وجود مجال من الأفراد X. تُفسَّر الصيغة A التي متغيراتها الحرة هي x1 _، ...، _xn على أنها دالة منطقية F ( v1 _، ...، _vn ) ذات n وسيط، حيث يقع كل وسيط ضمن المجال X. تعني القيمة المنطقية أن الدالة تأخذ إحدى القيمتين T (تُفسَّر على أنها صحيحة) أو F (تُفسَّر على أنها خاطئة). تفسير الصيغة

$${\displaystyle \forall x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

هي الدالة G ذات n -1 وسيطًا بحيث تكون G ( v1 _, ..., vn _{- 1} ) = T إذا وفقط إذا كانت F ( v1 _, ..., vn _{- 1} , w ) = T لكل w في X. إذا كانت F ( v1 _, ..., vn _{- 1} , w ) = F لقيمة واحدة على الأقل من w ، فإن _G(v1 , ... , vn - _{1 )} = F. وبالمثل، فإن تفسير الصيغة

$${\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

هي الدالة H ذات n -1 وسيط بحيث يكون H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = T إذا وفقط إذا كان F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = T لواحد على الأقل من w و H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = F خلاف ذلك.

تتطلب دلالات تحديد التفرد حساب التفاضل والتكامل من الدرجة الأولى مع المساواة. هذا يعني أنه إذا أُعطي مُسند ثنائي مميز "="، فإن الدلالات تُعدّل وفقًا لذلك بحيث يُفسَّر "=" دائمًا على أنه علاقة المساواة الثنائية على X. تفسير

$${\displaystyle \exists !x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

إذن، هي دالة لـ n - 1 وسيط، وهي التفسير المنطقي لـ

$$\begin{aligned}\exists x_{n}&A(x_{1},\ldots ,x_{n})\\\forall y,z&{\big (}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},y)\wedge A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},z)\implies y=z\big )}.\end{aligned}}}$$

يُعرّف كل نوع من أنواع التكميم عامل إغلاق مُناظرًا على مجموعة الصيغ، وذلك بإضافة مُكمِّم لكل متغير حر x لتقييد x . ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، الإغلاق الوجودي للصيغة المفتوحة n > 2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ هو الصيغة المغلقة ∃ n ∃ x ∃ y ∃ z ( n > 2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ )؛ ومن المعروف أن هذه الصيغة الأخيرة، عند تفسيرها على الأعداد الصحيحة الموجبة، خاطئة وفقًا لنظرية فيرما الأخيرة . كمثال آخر، تُستخدم البديهيات المعادلة، مثل x + y = y + x ، عادةً للدلالة على إغلاقها الشامل ، مثل ∀ x ∀ y ( x + y = y + x ) للتعبير عن التبادلية .

لا ينطبق أي من المحددات الكمية التي نوقشت سابقًا على عملية تحديد كمية مثل

يمكن الحصول على إحدى آليات التفسير الممكنة على النحو التالي: لنفترض أنه بالإضافة إلى المجال الدلالي X ، لدينا مقياس احتمالي P مُعرَّف على X وأرقام قطع 0 < a ≤ b ≤ 1. إذا كانت A صيغة ذات متغيرات حرة x1 _، ...، xn _، وتفسيرها هو الدالة F للمتغيرات v1 _، ...، vn _، فإن تفسير

$${\displaystyle \exists ^{\mathrm {many} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$$

هي دالة لـ v1 _، ...، vn _{- 1} والتي تكون T إذا وفقط إذا

$${\displaystyle \operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\geq b}$$

وإلا فإن تفسير

$${\displaystyle \exists ^{\mathrm {few} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$$

هي دالة لـ v ₁ ,..., v _{n -1} والتي تكون F إذا وفقط إذا

$${\displaystyle 0<\operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\leq a}$$

و T خلاف ذلك.

تم اقتراح بعض المحددات الكمية الأخرى بمرور الوقت. على وجه الخصوص، محدد كمية الحل، ^{[ 10 ] : 28} المشار إليه بعلامة § ( علامة القسم ) ويقرأ "تلك". على سبيل المثال،

$${\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\{0,1,2\}}$$

تُقرأ هذه العبارة "العناصر n في N التي يكون فيها n ^{≤ 2} ≤ 4 تنتمي إلى المجموعة {0,1,2}". ويمكن التعبير عن نفس البنية باستخدام تدوين بناء المجموعة كما يلي:

$${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :n^{2}\leq 4\}=\{0,1,2\}.}$$

على عكس المحددات الكمية الأخرى، ينتج عن § مجموعة بدلاً من صيغة. ^{[ 11 ]}

تتضمن بعض المحددات الكمية الأخرى التي تُستخدم أحيانًا في الرياضيات ما يلي:

• يوجد عدد لا نهائي من العناصر بحيث...
• بالنسبة لجميع العناصر باستثناء عدد محدود منها ... (يتم التعبير عنها أحيانًا على أنها "بالنسبة لجميع العناصر تقريبًا ...").
• هناك عدد لا يحصى من العناصر التي...
• بالنسبة لجميع العناصر باستثناء عدد لا يحصى منها...
• لجميع العناصر في مجموعة ذات قياس إيجابي...
• لجميع العناصر باستثناء تلك الموجودة في مجموعة قياسها صفر...

يُعالج منطق المصطلحات ، المعروف أيضاً بالمنطق الأرسطي، التكميم بطريقة أقرب إلى اللغة الطبيعية، وأقل ملاءمة للتحليل الصوري. وقد تناول منطق المصطلحات مفاهيم الكل والبعض واللا في القرن الرابع قبل الميلاد، في سياق تطرق أيضاً إلى طرائق الإثولوجيا .

في عام 1827، نشر جورج بنثام كتابه "موجز نظام جديد للمنطق: مع دراسة نقدية لعناصر المنطق للدكتور ويتلي" ، واصفاً مبدأ الكمي، لكن الكتاب لم ينتشر على نطاق واسع. ^{[ 12 ]}

ادعى ويليام هاميلتون أنه صاغ مصطلحي "القياس الكمي" و"القياس الكمي"، على الأرجح في محاضراته في إدنبرة حوالي عام 1840. وقد أكد أوغسطس دي مورغان ذلك في عام 1847، لكن الاستخدام الحديث بدأ مع دي مورغان في عام 1862 حيث أدلى بتصريحات مثل "علينا أن نأخذ كلاً من الكل وبعض ليس الكل كأدوات قياس". ^{[ 13 ]}

كان غوتلوب فريجه ، في كتابه "Begriffsschrift" الصادر عام 1879 ، أول من استخدم أداة التحديد الكمي لربط متغير يمتد على نطاق معين من الخطاب ويظهر في المسندات . وكان يُحدد كميًا المتغير (أو العلاقة) بشكل شامل بكتابة المتغير فوق انخفاض في خط مستقيم يظهر في صيغه التخطيطية. لم يبتكر فريجه رمزًا صريحًا للتحديد الكمي الوجودي، بل استخدم ما يُعادله من "~∀ x ~"، أو ما يُعرف بالمقابلة . لم يلقَ تناول فريجه للتحديد الكمي اهتمامًا يُذكر حتى صدور كتاب برتراند راسل " مبادئ الرياضيات" عام 1903 .

في عملٍ تُوِّج بمقال بيرس عام 1885 بعنوان "في جبر المنطق: إسهام في فلسفة الترميز"، ابتكر تشارلز ساندرز بيرس وطالبه أوسكار هوارد ميتشل، كلٌ على حدة، المُكمِّمات الكلية والوجودية، والمتغيرات المُقيدة . كتب بيرس وميتشل Π _x و Σ _x حيث نكتب الآن ∀ x و ∃ x . يمكن إيجاد ترميز بيرس في كتابات إرنست شرودر ، وليوبولد لوفنهايم ، وثورالف سكوليم ، والمنطقيين البولنديين حتى خمسينيات القرن العشرين. والأهم من ذلك، أنه الترميز المستخدم في مقال كورت غودل الرائد عام 1930 حول اكتمال منطق الرتبة الأولى ، ومقاله عام 1931 حول عدم اكتمال حساب بيانو . اعتمد بير مارتن-لوف تدوينًا مشابهًا للمنتجات والمجموعات التابعة في نظريته الحدسية للأنواع ، والتي ترتبط من الناحية المفاهيمية بالقياس الكمي.

أثّر منهج بيرس في التكميم أيضًا على ويليام إرنست جونسون وجوزيبي بيانو ، اللذين ابتكرا رمزًا آخر، وهو ( x ) للتكميم الكلي لـ x ، و(في عام 1897) ∃x للتكميم الوجودي لـ x . وبالتالي، ولعقود، كان الرمز المتعارف عليه في الفلسفة والمنطق الرياضي هو ( x ) P للتعبير عن "جميع الأفراد في مجال الخطاب يمتلكون الخاصية P "، و"(∃ x ) P " للتعبير عن "يوجد فرد واحد على الأقل في مجال الخطاب يمتلك الخاصية P ". وقد ساهم بيانو، الذي كان أكثر شهرة من بيرس، في نشر فكر الأخير في جميع أنحاء أوروبا. واعتمدت مؤلفات وايتهيد وراسل وكواين وألونزو تشيرش رمز بيانو في كتاب " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" . وفي عام 1935 ، قدّم جنتزن رمز ∀، قياسًا على رمز ∃ الخاص ببيانو. لم يصبح الرمز ∀ رمزًا قانونيًا حتى ستينيات القرن العشرين.

في حوالي عام ١٨٩٥، بدأ بيرس بتطوير مخططاته الوجودية ، التي يمكن اعتبار متغيراتها مُكمَّمة ضمنيًا. ويُحدِّد كون أدنى مستوى لمتغير ما زوجيًا أو فرديًا ما إذا كان تكميم هذا المتغير كليًا أم وجوديًا. (السطحية هي عكس العمق، الذي يُحدَّد بتداخل النفي). وقد حظي منطق بيرس البياني باهتمام متزايد في السنوات الأخيرة من قِبَل الباحثين في مجال الاستدلال غير المتجانس والاستدلال التخطيطي .

• التعميم المطلق
• جميعهم تقريباً
• مُحدد التفرع
• المُكمِّم الشرطي
• تحديد كمية العد
• في النهاية (الرياضيات)
• المُكمِّم المُعمَّم - خاصية من الدرجة العليا تُستخدم كدلالة قياسية للعبارات الاسمية المُكمَّمة
• مُكمِّم ليندستروم — مُكمِّم متعدد الحدود مُعمَّم
• تحول الكمي

• باروايز، جون ؛ وإيتشيمندي، جون ، 2000. برهان اللغة والمنطق . CSLI (مطبعة جامعة شيكاغو) ونيويورك: مطبعة سفن بريدجز. مقدمة مبسطة لمنطق الرتبة الأولى من تأليف اثنين من علماء المنطق البارزين.
• براون، كريستوفر دبليو. (31 يوليو 2002). "ما هو حذف الكميات؟" . تم الاسترجاع في 30 أغسطس 2018 .
• فريجه، غوتلوب ، 1879. كتاب مفاهيمي . ترجمه جان فان هيجينورت ، 1967. من فريجه إلى غودل: كتاب مصادر في المنطق الرياضي، 1879-1931 . مطبعة جامعة هارفارد. الظهور الأول للتكميم.
• هيلبرت، ديفيد ؛ وأكرمان، فيلهلم ، 1950 (1928). مبادئ المنطق الرياضي . تشيلسي. ترجمة لكتاب Grundzüge der theoretischen Logik . سبرينغر-فيرلاغ. تُعدّ الطبعة الأولى الصادرة عام 1928 أول استخدامٍ واعٍ للتكميم بالطريقة المتعارف عليها حاليًا، أي كمتغيرات رابطة تغطي نطاقًا ثابتًا من الخطاب. وهذا هو الجانب المميز لمنطق الرتبة الأولى .
• بيرس، سي إس ، 1885، "في جبر المنطق: مساهمة في فلسفة الترميز"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، المجلد 7، الصفحات 180-202. أعيد طبعه في كلوزيل، ن. وآخرون ، محرران، 1993. كتابات سي إس بيرس، المجلد 5. مطبعة جامعة إنديانا. أول ظهور للتكميم بشكله الحالي.
• رايشنباخ، هانز ، 1975 (1947). عناصر المنطق الرمزي ، منشورات دوفر. تُناقش المُكمِّمات في الفصول من §18 "ربط المتغيرات" إلى §30 "الاشتقاقات من المقدمات التركيبية".
• Westerståhl, Dag, 2001, "الكميات"، في Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell.
• ويز، هايكه، 2003. الأرقام واللغة والعقل البشري . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-83182-2.

• "المحدد الكمي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• "عبارات وجمل وتعبيرات موضوعية مثل "لكل" و"يوجد" . مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2000.من كلية العلوم الطبيعية، جامعة هاواي في مانوا .
• موسوعة ستانفورد للفلسفة :
  • شابيرو، ستيوارت (2000). "المنطق الكلاسيكي" (يغطي بناء الجملة، ونظرية النموذج، والنظرية الفوقية لمنطق الدرجة الأولى بأسلوب الاستنتاج الطبيعي).
  • ويسترستال، داغ (2005). "المحددات الكمية المعممة"
• بيترز، ستانلي؛ ويسترستال، داغ (2002). "المحددات الكمية". مؤرشف بتاريخ 16 يوليو 2012 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).