البلياردو الديناميكي

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 48 صور
الموسوعة الحرة
جسيم يتحرك داخل ملعب بونيموفيتش، وهو ملعب بلياردو فوضوي شهير. راجع قسم البرامج لإنشاء مثل هذا الرسوم المتحركة.

البلياردو الديناميكي هو نظام ديناميكي يتحرك فيه الجسيم بالتناوب بين الحركة الحرة (عادةً في خط مستقيم) والانعكاسات المنتظمة من حدوده. عندما يصطدم الجسيم بالحدود، ينعكس عنها دون فقدان سرعته (أي تصادمات مرنة). تُعدّ البلياردو الديناميكية نماذج مثالية هاميلتونية للعبة البلياردو ، ولكن المنطقة المحصورة داخل الحدود فيها قد تتخذ أشكالًا أخرى غير المستطيلة، بل وقد تكون متعددة الأبعاد. يمكن أيضًا دراسة البلياردو الديناميكي على هندسات غير إقليدية ؛ في الواقع، أثبتت الدراسات الأولى للبلياردو حركته الإرجودية على أسطح ذات انحناء سالب ثابت . تُعرف دراسة البلياردو الذي يبقى خارج منطقة معينة، بدلًا من بقائه داخلها، بنظرية البلياردو الخارجي .

تتحرك الجسيمات في طاولة البلياردو في خط مستقيم، بطاقة ثابتة، بين انعكاسات على حدود الطاولة (وهي خطوط جيوديسية إذا لم يكن المقياس الريماني لطاولة البلياردو مسطحًا). جميع الانعكاسات منتظمة : زاوية السقوط قبل التصادم مباشرة تساوي زاوية الانعكاس بعد التصادم مباشرة. يُوصف تسلسل الانعكاسات بخريطة البلياردو التي تُحدد حركة الجسيم بدقة.

تُجسّد لعبة البلياردو كل تعقيدات الأنظمة الهاميلتونية، من قابلية التكامل إلى الحركة الفوضوية ، دون صعوبات تكامل معادلات الحركة لتحديد خريطة بوانكاريه الخاصة بها . وقد أثبت بيركوف أن نظام البلياردو ذي الطاولة الإهليلجية قابل للتكامل.

معادلات الحركة

الهاميلتوني لجسيم كتلته m يتحرك بحرية دون احتكاك على سطح ما هو:

ح(ص،q)=ص22م+V(q){\displaystyle H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q)}

أينV(q){\displaystyle V(q)}وهو احتمال مصمم ليكون صفراً داخل المنطقةΩأوميغاحيث يمكن للجسيم أن يتحرك، وما لا نهاية فيما عدا ذلك:

V(q)={0q∈Ω∞q∉Ω{\displaystyle V(q)={\begin{cases}0&q\in \Omega \\\infty &q\notin \Omega \end{cases}}}

يضمن هذا الشكل من الجهد انعكاسًا منتظمًا على الحد. ويضمن الحد الحركي أن الجسيم يتحرك في خط مستقيم، دون أي تغيير في الطاقة. إذا كان الجسيم سيتحرك على مشعب غير إقليدي ، فسيتم استبدال الهاميلتوني بما يلي:

ح(ص،q)=12مصأناصجزأناج(q)+V(q){\displaystyle H(p,q)={\frac {1}{2m}}p^{i}p^{j}g_{ij}(q)+V(q)}

أينزأناج(q){\displaystyle g_{ij}(q)}هو موتر القياس عند النقطةq∈Ω{\displaystyle q\in \Omega }بسبب البنية البسيطة للغاية لهذا الهاميلتوني، فإن معادلات الحركة للجسيم، معادلات هاميلتون-جاكوبي ، ليست سوى معادلات الجيوديسية على المتشعب: يتحرك الجسيم على طول الجيوديسيات .

أبرز أنواع البلياردو وفصول البلياردو

مسارات البلياردو الديناميكية داخل القطع الناقص، تُظهر ثلاثة سلوكيات رياضية: من خلال البؤرة، وبين البؤرتين (مما يؤدي إلى إنشاء غلاف قطع زائد)، وخارج البؤرتين (مما يؤدي إلى إنشاء غلاف قطع ناقص متحد البؤرة).

بلياردو هادامارد

تتناول بلياردو هادامارد حركة جسيم نقطي حر على سطح ذي انحناء سالب ثابت، وتحديدًا أبسط سطح ريمان مضغوط ذي انحناء سالب، وهو سطح من النوع 2 (على شكل حلقة ذات فتحتين). النموذج قابل للحل بدقة ، ويُعطى بتدفق جيوديسي على السطح. وهو أقدم مثال على الفوضى الحتمية التي دُرست على الإطلاق، حيث قدمه جاك هادامارد عام 1898.

بلياردو أرتين

تتناول مسألة بلياردو آرتين الحركة الحرة لجسيم نقطي على سطح ذي انحناء سالب ثابت، وتحديدًا على أبسط سطح ريمان غير متراص ، وهو سطح ذو قمة واحدة. وتتميز هذه المسألة بإمكانية حلها بدقة، فضلًا عن كونها ليست إرجودية فحسب ، بل تتميز أيضًا بمزج قوي . وهي مثال على نظام أنوسوف . وقد درس إميل آرتين هذا النظام لأول مرة عام 1924.

البلياردو المثلثي

البلياردو المثلثي هو مسألة البلياردو الديناميكي في المثلث . ومن المسائل المفتوحة الرئيسية في هذا المجال ما إذا كان لكل مثلث مسار بلياردو دوري. وقد تم التوصل إلى حلول لجميع المثلثات الحادة الزوايا، وجميع المثلثات القائمة الزاوية، وجميع المثلثات المنفرجة الزاوية التي تكون زاويتها القصوى صغيرة بما فيه الكفاية، وجميع المثلثات التي زواياها مضاعفات نسبية للعدد π ، وجميع المثلثات القريبة بما فيه الكفاية من المثلث متساوي الساقين . [ 1 ]

البلياردو المشتت والبلياردو شبه المشتت

ليكن M مشعبًا ريمانيًا أملسًا كاملًا بدون حدود، لا يتجاوز انحناؤه المقطعي الأقصى K وله نصف قطر حقنρ>0{\displaystyle \rho >0}. لنفترض مجموعة من n من المجموعات الفرعية المحدبة جيوديسياً (الجدران)بأنا⊂م{\displaystyle B_{i}\subset M}،أنا=1،...،ن{\displaystyle i=1,\ldots ,n}بحيث تكون حدودها عبارة عن فضاءات فرعية ملساء ذات بُعد مشترك يساوي واحدًا. ب=م (⋃أنا=1نعدد صحيح⁡(بأنا)){\displaystyle B=M\ (\bigcup _{i=1}^{n}\operatorname {Int} (B_{i}))}، أينعدد صحيح⁡(بأنا){\displaystyle \operatorname {Int} (B_{i})}يشير إلى الجزء الداخلي من المجموعةبأنا{\displaystyle B_{i}}المجموعةب⊂م{\displaystyle B\subset M}سيُطلق عليها اسم طاولة البلياردو. لنفترض الآن جسيمًا يتحرك داخل المجموعة B بسرعة وحدة واحدة على طول خط جيوديسي حتى يصل إلى إحدى المجموعات B i (يُسمى هذا الحدث تصادمًا) حيث ينعكس وفقًا لقانون "زاوية السقوط تساوي زاوية الانعكاس" (إذا وصل إلى إحدى المجموعات).بأنا∩بج{\displaystyle B_{i}\cap B_{j}}،أنا≠ج{\displaystyle i\neq j}(لا يُحدد المسار بعد تلك اللحظة). يُطلق على هذا النظام الديناميكي اسم البلياردو شبه المُشتت . أما إذا كانت الجدران محدبة تمامًا، فيُطلق على البلياردو اسم البلياردو المُشتت . ويستند هذا الاسم إلى ملاحظة أن حزمة المسارات المتوازية محليًا تتشتت بعد اصطدامها بجزء محدب تمامًا من الجدار، لكنها تبقى متوازية محليًا بعد اصطدامها بجزء مسطح من الجدار.

يؤدي التشتت الحدودي في البلياردو نفس دور الانحناء السالب في التدفقات الجيوديسية ، مما يُسبب عدم استقرار أسي في الديناميكيات. وهذه الآلية التشتتية تحديدًا هي التي تُكسب البلياردو المُشتت خصائصه الفوضوية الأقوى ، كما أثبت ذلك ياكوف ج. سيناي . [ 2 ] أي أن البلياردو إرجودي ، ومختلط ، وبرنولي ، وله إنتروبيا كولموغوروف-سيناي موجبة ، ويتلاشى ارتباطه أُسّيًا .

ومع ذلك، فإن الخصائص الفوضوية للبلياردو شبه المشتت بشكل عام غير مفهومة جيدًا، ولكن تم دراسة خصائص نوع مهم من البلياردو شبه المشتت، وهو غاز الكرة الصلبة ، ببعض التفاصيل منذ عام 1975 (انظر القسم التالي).

تُتيح النتائج العامة التي توصل إليها ديمتري بوراجو وسيرج فيرليجر [ 3 ] بشأن التقدير الموحد لعدد التصادمات في لعبة البلياردو شبه المشتتة غير المنحلة إثبات محدودية إنتروبيتها الطوبولوجية وعدم تجاوز نمو المسارات الدورية النمو الأسي. [ 4 ] في المقابل، قد تمتلك لعبة البلياردو شبه المشتتة المنحلة إنتروبيا طوبولوجية لا نهائية. [ 5 ]

غاز لورنتز، المعروف أيضًا باسم بلياردو سيناء

جسيم يتحرك داخل بلياردو سيناء، المعروف أيضًا باسم غاز لورنتز.

طاولة غاز لورنتز (المعروفة أيضًا باسم بلياردو سيناء) عبارة عن مربع أُزيل قرص من مركزه؛ الطاولة مسطحة تمامًا. ينشأ البلياردو من دراسة سلوك قرصين متفاعلين يرتدان داخل مربع، وينعكسان عن حدود المربع وعن بعضهما البعض. وبإزالة مركز الكتلة كمتغير تكوين، تختزل ديناميكيات القرصين المتفاعلين إلى ديناميكيات بلياردو سيناء.

تم تقديم لعبة البلياردو من قبل ياكوف جي. سيناي كمثال على نظام هاميلتوني متفاعل يعرض خصائص ديناميكية حرارية فيزيائية: جميع مساراته الممكنة تقريبًا (حتى قياس صفر) هي مسارات إرجودية ولها أس ليابونوف موجب .

كان الإنجاز العظيم الذي حققه سيناء بهذا النموذج هو إظهار أن مجموعة بولتزمان - جيبس ​​الكلاسيكية للغاز المثالي هي في الأساس لعبة البلياردو هادامارد الفوضوية القصوى.

البلياردو بالكرة النطاطة

تتعرض جسيمة لقوة ثابتة (مثل جاذبية الأرض) وتتشتت بشكل غير مرن على أرضية مهتزة ذات تموجات دورية. عندما تكون الأرضية مصنوعة من أقواس أو دوائر - ضمن نطاق معين من الترددات - يمكن إعطاء تقديرات شبه تحليلية لمعدل التباعد الأسي للمسارات. [ 6 ]

ملعب بونيموفيتش

طاولة البلياردو المعروفة باسم ملعب بونيموفيتش هي مستطيل مُغطى بأنصاف دوائر، وهو شكل يُسمى الملعب . قبل أن يُقدمها ليونيد بونيموفيتش ، كان يُعتقد أن البلياردو ذي الأسس الموجبة لليابونوف يحتاج إلى مُشتتات محدبة، مثل القرص في بلياردو سيناء، لإنتاج التباعد الأسي للمدارات. أثبت بونيموفيتش أنه من خلال النظر إلى المدارات الواقعة خارج نقطة تركيز منطقة مقعرة، يُمكن الحصول على التباعد الأسي.

البلياردو المغناطيسي

حركة جسيم مشحون داخل طاولة بلياردو سيناء مع مجال مغناطيسي عمودي.

تمثل البلياردو المغناطيسية لعبة بلياردو يتحرك فيها جسيم مشحون تحت تأثير مجال مغناطيسي عمودي. ونتيجة لذلك، يتغير مسار الجسيم من خط مستقيم إلى قوس دائري. ويتناسب نصف قطر هذا القوس عكسيًا مع شدة المجال المغناطيسي. وقد أثبتت هذه البلياردو فائدتها في تطبيقات عملية، لا سيما في نمذجة الأجهزة النانوية (انظر قسم التطبيقات).

البلياردو المعمم

تصف البلياردو المعممة حركة نقطة كتلة (جسيم) داخل مجال مغلقΠ⊂Rن{\displaystyle \Pi \,\subset \,\mathbb {R} ^{n}}مع الحدود الملساء المتقطعةΓ{\displaystyle \Gamma }على الحدودΓ{\displaystyle \Gamma }تتغير سرعة النقطة عندما يخضع الجسيم لقانون البلياردو المعمم. وقد قدم ليف د. بوستيلنيكوف قانون البلياردو المعمم في الحالة العامة، [ 7 ] ، وفي الحالة التيΠ{\displaystyle \Pi }هو متوازي مستطيلات [ 8 ] فيما يتعلق بتبرير القانون الثاني للديناميكا الحرارية . من وجهة النظر الفيزيائية، يصف GB غازًا يتكون من عدد محدود من الجسيمات تتحرك في وعاء، بينما تسخن جدران الوعاء أو تبرد. جوهر التعميم هو التالي: عندما يصطدم الجسيم بالحدود...Γ{\displaystyle \Gamma }، وتتحول سرعتها بمساعدة دالة معينةو(γ،ت){\displaystyle f(\gamma ,\,t)}، معرفة على المنتج المباشرΓ×R1{\displaystyle \Gamma \,\times \,\mathbb {R} ^{1}}(أينR1{\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}هذا هو الخط الحقيقي،γ∈Γ{\displaystyle \gamma \,\in \,\Gamma }هي نقطة حدودية وت∈R1{\displaystyle t\,\in \,\mathbb {R} ^{1}}(حيث يمثل الزمن)، وفقًا للقانون التالي. لنفترض أن مسار الجسيم، الذي يتحرك بسرعةv{\displaystyle v}، يتقاطعΓ{\displaystyle \Gamma }عند النقطةγ∈Γ{\displaystyle \gamma \,\in \,\Gamma }في ذلك الوقتت*{\displaystyle t^{*}}ثم في ذلك الوقتت*{\displaystyle t^{*}}تكتسب الجسيمات السرعةv*{\displaystyle v^{*}}كما لو أنها تعرضت لدفع مرن من سطح مستوٍ ذي وزن لا نهائيΓ*{\displaystyle \Gamma ^{*}}وهو مماس لـΓ{\displaystyle \Gamma }عند النقطةγ{\displaystyle \gamma }وفي وقتت*{\displaystyle t^{*}}يتحرك على طول العمودي إلىΓ{\displaystyle \Gamma }فيγ{\displaystyle \gamma }بالسرعة∂و∂ت(γ،ت*){\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t^{*})}نؤكد أن موضع الحد نفسه ثابت، بينما يتم تحديد تأثيره على الجسيم من خلال الدالة.و{\displaystyle f}.

نأخذ الاتجاه الموجب لحركة الطائرةΓ*{\displaystyle \Gamma ^{*}}أن يكون باتجاه الجزء الداخلي منΠ{\displaystyle \Pi }وبالتالي إذا كانت المشتقة∂و∂ت(γ،ت)>0{\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t)\;>\;0}ثم تتسارع الجسيمات بعد الاصطدام.

إذا كانت السرعةv*{\displaystyle v^{*}}يتم توجيه الطاقة التي يكتسبها الجسيم نتيجة لقانون الانعكاس المذكور أعلاه إلى داخل المجال.Π{\displaystyle \Pi }ثم سيغادر الجسيم الحدود ويواصل حركته داخلهاΠ{\displaystyle \Pi }إلى حين الاصطدام التالي معΓ{\displaystyle \Gamma }إذا كانت السرعةv*{\displaystyle v^{*}}موجه نحو الخارجΠ{\displaystyle \Pi }ثم يبقى الجسيمΓ{\displaystyle \Gamma }عند النقطةγ{\displaystyle \gamma }إلى أن يأتي وقت مات~>ت*{\displaystyle {\tilde {t}}\;>\;t^{*}}سيؤدي التفاعل مع الحدود إلى إجبار الجسيم على مغادرتها.

إذا كانت الدالةو(γ،ت){\displaystyle f(\gamma ,\,t)}لا يعتمد على الوقتت{\displaystyle t}؛ أي،∂و∂ت=0{\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\;=\;0}، تتطابق لعبة البلياردو المعممة مع لعبة البلياردو الكلاسيكية.

يُعدّ قانون الانعكاس المعمم هذا طبيعيًا للغاية. أولًا، يعكس حقيقة بديهية مفادها أن جدران الوعاء المملوء بالغاز ثابتة. ثانيًا، يظل تأثير الجدار على الجسيم هو قوة دفع مرنة كلاسيكية. في جوهر الأمر، نعتبر حدودًا تتحرك بشكل متناهي الصغر بسرعات محددة.

يُعتبر ذلك انعكاساً من الحدود.Γ{\displaystyle \Gamma }سواء في إطار الميكانيكا الكلاسيكية (الحالة النيوتونية) أو نظرية النسبية (الحالة النسبية).

النتائج الرئيسية: في الحالة النيوتونية تكون طاقة الجسيم محدودة، ويكون إنتروبيا جيبس ​​ثابتًا، [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] (في الملاحظات) وفي الحالة النسبية تنمو طاقة الجسيم، وإنتروبيا جيبس، والإنتروبيا بالنسبة لحجم الطور إلى ما لا نهاية، [ 8 ] [ 10 ] (في الملاحظات)، مع الإشارة إلى البلياردو المعمم.

الفوضى الكمومية

يمكن دراسة النسخة الكمومية من لعبة البلياردو بسهولة بعدة طرق. يتم استبدال الهاميلتوني الكلاسيكي للعبة البلياردو، المذكور أعلاه، بمعادلة شرودنغر للحالة المستقرة.حψ=هـψ{\displaystyle H\psi \;=\;E\psi }أو بتعبير أدق،

-ℏ22م∇2ψن(q)=هـنψن(q){\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{n}(q)=E_{n}\psi _{n}(q)}

أين∇2{\displaystyle \nabla ^{2}}هو لابلاس . الجهد الكامن الذي يكون لانهائيًا خارج المنطقةΩأوميغالكن الصفر بداخله يُترجم إلى شروط حدود ديريشليه :

ψن(q)=0لq∉Ω{\displaystyle \psi _{n}(q)=0\quad {\mbox{for}}\quad q\notin \Omega }

وكالعادة، تُعتبر الدوال الموجية متعامدة :

∫Ωψم¯(q)ψن(q)دq=دلتامن{\displaystyle \int _{\Omega }{\overline {\psi _{m}}}(q)\psi _{n}(q)\,dq=\delta _{mn}}

ومن المثير للاهتمام أن معادلة شرودنغر في المجال الحر هي نفسها معادلة هيلمهولتز .

(∇2+ك2)ψ=0{\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi =0}

مع

ك2=1ℏ22مهـن{\displaystyle k^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}2mE_{n}}

يشير هذا إلى إمكانية نمذجة البلياردو الكمومي ثنائي وثلاثي الأبعاد باستخدام أنماط الرنين الكلاسيكية لتجويف رادار ذي شكل محدد، مما يفتح المجال للتحقق التجريبي. (يجب أن تقتصر دراسة أنماط تجويف الرادار على الأنماط المغناطيسية المستعرضة (TM)، لأنها الأنماط التي تخضع لشروط حدود ديريشليه).

يتوافق الحد شبه الكلاسيكي معℏ→0{\displaystyle \hbar \;\to \;0}والذي يمكن اعتباره مكافئًا لـم→∞{\displaystyle m\;\to \;\infty }، حيث تزداد الكتلة بحيث تتصرف بشكل كلاسيكي.

بشكل عام، يمكن القول إنه كلما كانت معادلات الحركة الكلاسيكية قابلة للتكامل (مثل طاولات البلياردو المستطيلة أو الدائرية)، فإن النسخة الكمومية من البلياردو تكون قابلة للحل تمامًا. أما عندما يكون النظام الكلاسيكي فوضويًا، فإن النظام الكمومي لا يكون قابلًا للحل بدقة في الغالب، ويُظهر صعوبات عديدة في تكميمه وتقييمه. وتُعرف الدراسة العامة للأنظمة الكمومية الفوضوية باسم الفوضى الكمومية .

ويُقدم مثالٌ لافتٌ للنظر بشكل خاص على الندوب على طاولة بيضاوية الشكل من خلال ملاحظة ما يسمى بالسراب الكمي .

التطبيقات

استُخدمت نماذج البلياردو، الكمومية والكلاسيكية، في العديد من مجالات الفيزياء لنمذجة أنظمة واقعية متنوعة. تشمل الأمثلة علم البصريات الشعاعية [ 11 ] ، والليزر [ 12 ] [ 13 ] ، وعلم الصوتيات [ 14 ] ، والألياف البصرية (مثل الألياف ذات الغلاف المزدوج [ 15 ] [ 16 ] )، أو التوافق الكمومي-الكلاسيكي [ 17 ] . ومن أكثر تطبيقاتها شيوعًا نمذجة الجسيمات المتحركة داخل الأجهزة النانوية، مثل النقاط الكمومية [ 18 ] [ 19 ] ، والوصلات pn [ 20 ] ، والشبكات الفائقة المضادة للنقاط [ 21 ] [ 22 ]، وغيرها. يكمن سبب فعالية لعبة البلياردو الواسعة النطاق كنموذج فيزيائي في حقيقة أن حركة الجسيمات، مثل الإلكترونات أو أشعة الضوء، في حالات وجود قدر ضئيل من الاضطراب أو التشويش، تشبه إلى حد كبير حركة الجسيمات النقطية في البلياردو. إضافةً إلى ذلك، فإن خاصية حفظ الطاقة في تصادمات الجسيمات هي انعكاس مباشر لقانون حفظ الطاقة في ميكانيكا هاميلتون.

برمجة

تتوفر برامج مفتوحة المصدر لمحاكاة البلياردو بلغات برمجة مختلفة. من الأحدث إلى الأقدم، البرامج المتوفرة هي: DynamicalBilliards.jl (جوليا)، و Bill2D (سي++)، و Billiard Simulator (ماتلاب). تم إنشاء الرسوم المتحركة المعروضة في هذه الصفحة باستخدام DynamicalBilliards.jl.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ هوبر، دبليو. باتريك؛ شوارتز، ريتشارد إيفان (23 أبريل 2013). "البلياردو في المثلثات متساوية الساقين تقريبًا" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 يناير 2026 .نسخة محدثة من هوبر، دبليو. باتريك؛ شوارتز، ريتشارد إيفان (2009). "البلياردو في المثلثات متساوية الساقين تقريبًا". مجلة الديناميكا الحديثة . 3 (2): 159-231 . arXiv : 0807.3498 . doi : 10.3934/jmd.2009.3.159 . MR 2504742 . 
  2. ↑ "نسخة مؤرشفة" (PDF) . مؤرشفة من الأصل (PDF) بتاريخ 31-12-2013 . تم الاطلاع عليها بتاريخ 06-06-2014 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )
  3. ^ بوراجو، د.؛ فيرليجر، S .؛ كونونينكو ، أ. (1 يناير 1998). “التقديرات الموحدة لعدد الاصطدامات في لعبة البلياردو شبه المشتتة”. حوليات الرياضيات . 147 (3): 695-708 . دوى : 10.2307/120962 . جستور 120962 . 
  4. ↑ بوراجو، د.؛ فيرليجر، س. (26 مايو 1997). "الإنتروبيا الطوبولوجية للبلياردو شبه المشتت" . نظرية الإرجودية والأنظمة الديناميكية . 18 (4): 791. doi : 10.1017/S0143385798108246 . S2CID 122549772 . 
  5. ↑ بوراجو، د. (1 فبراير 2006). "بلياردو شبه مُشتت ذو إنتروبيا طوبولوجية لانهائية". نظرية الإرجودية والأنظمة الديناميكية . 26 (1): 45-52 . doi : 10.1017/S0143385704001002 . S2CID 121644309 . 
  6. ^ ماتياس، لازلو؛ بارنا، ايمري فيرينك (2011). "الأصل الهندسي للفوضوية في كرة البلياردو المرتدة" . الفوضى، Solitons وFractals . 44 (12): 1111–1116 . أرخايف : 1003.2505 . دوى : 10.1016/j.chaos.2011.10.002 .
  7. ↑ بوستيلنيكوف، ل. د. (1999). "قانون زيادة الإنتروبيا والبلياردو المعمم". المسوحات الرياضية الروسية . 54 (3): 650-651 . Bibcode : 1999RuMaS..54..650P . doi : 10.1070/rm1999v054n03abeh000168 . S2CID 250902640 . 
  8. بوستيلنيكوف، ل . د . (1995). "نماذج بوانكاريه، والتبرير الدقيق للقانون الثاني للديناميكا الحرارية من الميكانيكا، وآلية تسارع فيرمي". المسوحات الرياضية الروسية . 50 (1): 145-189 . Bibcode : 1995RuMaS..50..145P . doi : 10.1070/rm1995v050n01abeh001663 . S2CID 250875392 . 
  9. ↑ بوستيلنيكوف، ل. د. (2005). "البلياردو الدوري النيوتوني المعمم في كرة". المسوحات الرياضية الروسية . 60 (2): 365-366 . Bibcode : 2005RuMaS..60..365P . doi : 10.1070/RM2005v060n02ABEH000839 . S2CID 250856558 . 
  10. 1 2 ديريابين، ميخائيل ف.؛ بوستيلنيكوف، ليف د. (2007). "الغاز غير المتوازن والبلياردو المعمم". مجلة الفيزياء الإحصائية . 126 (1): 117-132 . Bibcode : 2007JSP...126..117D . doi : 10.1007/s10955-006-9250-4 . S2CID 55957240 . 
  11. ↑ كوزنيتسوف، ديمتري؛ مولوني، جيروم ف. (سبتمبر 2004). "سلوك حدود أنماط لابلاس ديريشليه". مجلة البصريات الحديثة . 51 (13): 1955-1962 . Bibcode : 2004JMOp...51.1955K . doi : 10.1080/09500340408232504 . ISSN 0950-0340 . S2CID 30880255 .  
  12. ↑ ستون، أ. دوغلاس (يونيو 2010). "أشعة ليزر البلياردو الفوضوية" . مجلة نيتشر . 465 (7299): 696-697 . doi : 10.1038/465696a . ISSN 1476-4687 . PMID 20535191 .  
  13. ↑ غماخل، سي. (5 يونيو 1998). "انبعاث اتجاهي عالي القدرة من الليزرات الدقيقة ذات الرنانات الفوضوية". مجلة ساينس . 280 (5369): 1556-1564 . arXiv : cond-mat/9806183 . Bibcode : 1998Sci...280.1556G . doi : 10.1126/science.280.5369.1556 . PMID : 9616111. S2CID : 502055 .  
  14. ↑ كوياناغي، سينيتشيرو؛ ناكانو، تاكيرو؛ كاوابي، تيتسوجي (1 أغسطس/آب 2008). "تطبيق هاميلتوني حركة الأشعة على صوتيات الغرف". مجلة الجمعية الصوتية الأمريكية . 124 (2): 719-722 . Bibcode : 2008ASAJ..124..719K . doi : 10.1121/1.2946714 . ISSN 0001-4966 . PMID 18681564 .  
  15. ↑ ليبرو، ب.؛ س. فيفرييه؛ ف. دويا؛ ب. روي؛ د. باجنو (2003). "نمذجة وتحسين مضخمات الألياف ثنائية الغلاف باستخدام الانتشار الفوضوي للمضخة". تكنولوجيا الألياف البصرية . 7 (4): 324-339 . Bibcode : 2001OptFT...7..324L . doi : 10.1006/ofte.2001.0361 .
  16. 1 2 ب. د. لوباتشيفسكي و ف. هـ. ستيلينجر، الخصائص الهندسية لتعبئة الأقراص العشوائية، مجلة الفيزياء الإحصائية 60 (1990)، 561-583 http://www.princeton.edu/~fhs/geodisk/geodisk.pdf
  17. ↑ ستوكمان، هـ.-ج.؛ شتاين، ج. (7 مايو 1990). " الفوضى الكمومية في البلياردو: دراسة باستخدام امتصاص الموجات الميكروية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 64 (19): 2215-2218 . رمز Bibcode : 1990PhRvL..64.2215S . doi : 10.1103/PhysRevLett.64.2215 . ISSN 0031-9007 . PMID 10041617 .  
  18. ↑ بونومارينكو، إل إيه؛ شيدين، إف؛ كاتسنيلسون، إم آي؛ يانغ، آر؛ هيل، إي دبليو؛ نوفوسيلوف، كيه إس؛ جيم، إيه كيه (18 أبريل 2008). "بلياردو ديراك الفوضوي في النقاط الكمومية للجرافين". مجلة ساينس . 320 (5874): 356-358 . arXiv : 0801.0160 . Bibcode : 2008Sci...320..356P . doi : 10.1126 /science.1154663 . ISSN 0036-8075 . PMID 18420930. S2CID 206511356 .   
  19. ↑ بيرد، جوناثان ب.، محرر. (2003). نقل الإلكترون في النقاط الكمومية . doi : 10.1007/978-1-4615-0437-5 . ISBN 978-1-4020-7459-2.
  20. ^ تشين ، شاوين. هان تشنغ. إلاهي، ميرزا ​​​​م. حبيب، كم معصوم؛ وانغ، لي. ون، بو؛ جاو، يواندا؛ تانيجوتشي، تاكاشي؛ واتانابي، كينجي؛ هون يا جيمس. غوش ، أفيك دبليو (2016/09/30). “البصريات الإلكترونية مع تقاطعات pn في الجرافين الباليستي”. علوم . 353 (6307): 1522– 1525. أرخايف : 1602.08182 . بيب كود : 2016Sci...353.1522C . دوى : 10.1126/science.aaf5481 . ISSN 0036-8075 . بميد 27708099 . S2CID 118443999 .   
  21. ↑ فايس، د.؛ روكس، م. ل.؛ مينشيغ، أ.؛ غرامبو، ب.؛ فون كليتزينغ، ك.؛ وايمان، ج. (27-05-1991). "حركة الإلكترونات في لعبة البينبول والمدارات المتوافقة في مصفوفة دورية من المشتتات" (ملف PDF) . مجلة Physical Review Letters . 66 (21): 2790–2793 . Bibcode : 1991PhRvL..66.2790W . doi : 10.1103/PhysRevLett.66.2790 . ISSN 0031-9007 . PMID 10043617 .  
  22. ^ داتسيريس، جورج. جيزل، ثيو؛ فليشمان ، راجنار (2019/04/30). “متانة النقل الباليستي في الشبكات الفائقة للترياق” . مجلة جديدة للفيزياء . 21 (4): 043051. أرخايف : 1711.05833 . بيب كود : 2019NJPh...21d3051D . دوى : 10.1088/1367-2630/ab19cc . ردمك 1367-2630 . 

مراجع

بلياردو سيناء

  • سيناء، يا. ج. (1963). "[حول أسس الفرضية الإرجودية لنظام ديناميكي للميكانيكا الإحصائية]". دوكلادي أكاديميي ناوك إس إس إس آر (باللغة الروسية). 153 (6): 1261– 1264.(باللغة الإنجليزية، Sov. Math Dokl. 4 (1963) ص  1818-1822).
  • يا. ج. سيناي، "الأنظمة الديناميكية ذات الانعكاسات المرنة"، المسوحات الرياضية الروسية ، 25 ، (1970) ص  137-191.
  • VI Arnold and A. Avez، Théorie ergodique des systèms dynamiques ، (1967)، غوتييه فيلار، باريس. (الطبعة الإنجليزية: بنيامين كامينغز، ريدينغ، ماساشوستس 1968). (يقدم مناقشة ومراجع للبلياردو في سيناء.)
  • د. هيتمان، جيه بي كوتهاوس، "مطيافية مصفوفات النقاط الكمومية"، مجلة الفيزياء اليوم (1993) ص  56-63. (يقدم مراجعة للاختبارات التجريبية للنسخ الكمومية من لعبة البلياردو في سيناء التي تم تحقيقها كهياكل نانوية (ميزوسكوبية) على رقائق السيليكون.)
  • S. Sridhar و WT Lu، " Sinai Billiards، Ruelle Zeta-functions و Ruelle Resonances: Microwave Experiments "، (2002) Journal of Statistical Physics ، المجلد 108 ، العددان 5/6، الصفحات  755-766.
  • ليناس فيبستاس، بلياردو سيناء ، (2001). (يقدم صورًا مُتتبعة بالأشعة لبلياردو سيناء في الفضاء ثلاثي الأبعاد. توفر هذه الصور عرضًا بيانيًا بديهيًا لقوة خاصية الإرجودية للنظام.)
  • N. Chernov و R. Markarian، "البلياردو الفوضوي"، 2006، المسح الرياضي والدراسات رقم 127، AMS.

بلياردو غريب

  • تي. شورمان وإي. هوفمان، إنتروبيا البلياردو الغريب داخل n-simplexes. مجلة الفيزياء A28، الصفحة 5033 وما بعدها، 1995. ملف PDF

ملعب بونيموفيتش

البلياردو المعمم

  • MV Deryabin و LD Pustyl'nikov، "البلياردو النسبي المعمم"، Reg. and Chaotic Dyn. 8(3)، ص  283-296 (2003).
  • MV Deryabin و LD Pustyl'nikov، "حول البلياردو النسبي المعمم في مجالات القوى الخارجية"، رسائل في الفيزياء الرياضية ، 63(3)، ص  195-207 (2003).
  • MV Deryabin و LD Pustyl'nikov، "المجذبات الأسية في البلياردو النسبي المعمم"، Comm. Math. Phys. 248(3)، ص  527-552 (2004).