علاقة

الموسوعة الحرة
عدة مجموعات من النقاط ( س ، ص )، مع معامل ارتباط بيرسون بين س و ص لكل مجموعة. يعكس الارتباط مدى التشويش واتجاه العلاقة الخطية (الصف العلوي)، ولكنه لا يعكس ميل تلك العلاقة (الصف الأوسط)، ولا العديد من جوانب العلاقات غير الخطية (الصف السفلي). ملاحظة: الشكل في المنتصف له ميل يساوي صفرًا، ولكن في هذه الحالة، يكون معامل الارتباط غير مُعرَّف لأن تباين ص يساوي صفرًا. 

في الإحصاء ، يُعدّ الارتباط نوعًا من العلاقات الإحصائية بين متغيرين عشوائيين أو بيانات ثنائية المتغيرات . ويشير عادةً إلى مدى وجود علاقة خطية بين زوج من الكميات . وبشكل أعم، تُسمى أي علاقة بين متغيرين بالارتباط ، أي مدى قدرة المتغير الآخر على تفسير التباين في أحدهما. [ 1 ] [ 2 ]

إن وجود ارتباط بين متغيرين لا يكفي للاستدلال على وجود علاقة سببية ، وكثيراً ما يُقال: " الارتباط لا يعني السببية ". علاوة على ذلك، فإن مفهوم الارتباط يختلف عن مفهوم التبعية : فإذا كان متغيران مستقلين، فهما غير مرتبطين، ولكن العكس ليس صحيحاً بالضرورة ؛ فحتى لو كان المتغيران غير مرتبطين، فقد يكونان تابعين لبعضهما البعض. 

تُعدّ الارتباطات مفيدة لأنها تُشير إلى علاقة تنبؤية يُمكن استغلالها عمليًا. على سبيل المثال، قد تُنتج شركة الكهرباء طاقة أقل في يوم معتدل بناءً على الارتباط بين الطلب على الكهرباء والطقس. في هذا المثال، توجد علاقة سببية، لأن الظروف الجوية القاسية تدفع الناس إلى استخدام المزيد من الكهرباء للتدفئة أو التبريد.

توجد عدة معاملات ارتباط يمكن استخدامها لقياس الارتباط، وغالبًا ما يُشار إليها بـρ{\displaystyle \rho }أور{\displaystyle r}أكثر هذه المعاملات شيوعًا هو معامل ارتباط بيرسون ، الذي لا يتأثر إلا بالعلاقة الخطية بين متغيرين (والتي قد تكون موجودة حتى عندما يكون أحد المتغيرين دالة غير خطية للآخر). وقد طُوِّرت معاملات ارتباط أخرى، مثل معامل ارتباط رتبة سبيرمان ، لتكون أكثر دقة من معامل بيرسون، وللكشف عن العلاقات الأقل تنظيمًا بين المتغيرات. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

تم تعميم هذا المفهوم ليشمل أشكالاً أخرى من الارتباط بين متغيرين، مثل المعلومات المتبادلة والتباين المشترك للمسافة .

المعاملات

معامل بيرسون للعزوم

أمثلة على مخططات التشتت لمجموعات بيانات مختلفة بمعاملات ارتباط مختلفة

يُعدّ معامل ارتباط بيرسون، أو معامل ارتباط بيرسون، المقياس الأكثر شيوعًا لقياس الارتباط بين كميتين. ويُحسب هذا المعامل بقسمة التباين المشترك بين متغيرين في مجموعة بيانات رقمية على الجذر التربيعي لتبايناتهما. كما يُمكن حسابه بقسمة التباين المشترك للمتغيرين على حاصل ضرب انحرافاتهما المعيارية . وقد طوّر كارل بيرسون هذا المعامل استنادًا إلى فكرة مشابهة لفرانسيس غالتون . [ 6 ]

يحاول معامل ارتباط بيرسون تحديد خط الانحدار الأمثل لمجموعة بيانات مكونة من متغيرين، وذلك بتحديد القيم المتوقعة. ويشير معامل ارتباط بيرسون الناتج إلى مدى بُعد البيانات الفعلية عن القيم المتوقعة. وبناءً على إشارة معامل ارتباط بيرسون، قد تكون النتيجة ارتباطًا سلبيًا أو إيجابيًا، وذلك في حال وجود أي علاقة بين المتغيرين في مجموعة البيانات.

معامل الارتباط السكانيρX،Y{\displaystyle \rho _{X,Y}}بين متغيرين عشوائيينX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}مع القيم المتوقعةμX{\displaystyle \mu _{X}}وμY{\displaystyle \mu _{Y}}والانحرافات المعياريةσX{\displaystyle \sigma _{X}}وσY{\displaystyle \sigma _{Y}}يُعرَّف على النحو التالي:

ρX،Y=تصحيح⁡(X،Y)=كوف⁡(X،Y)σXσY=هـ⁡[(X-μX)(Y-μY)]σXσY،لو σXσY>0.{\displaystyle \rho _{X,Y}=\operatorname {corr} (X,Y)={\operatorname {cov} (X,Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={\operatorname {E} [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})] \over \sigma _{X}\sigma _{Y}},\quad {\text{if}}\ \sigma _{X}\sigma _{Y}>0.}

أينهـ{\displaystyle \operatorname {E} }هو عامل القيمة المتوقعة ،كوف{\displaystyle \operatorname {cov} }يعني التغاير ، وتصحيح{\displaystyle \operatorname {corr} }يُعدّ رمزًا بديلًا شائع الاستخدام لمعامل الارتباط. يُعرَّف معامل ارتباط بيرسون فقط إذا كان كلا الانحرافين المعياريين محدودين وموجبين. صيغة بديلة بدلالة العزوم فقط هي:

ρX،Y=هـ⁡(XY)-هـ⁡(X)هـ⁡(Y)هـ⁡(X2)-هـ⁡(X)2⋅هـ⁡(Y2)-هـ⁡(Y)2{\displaystyle \rho _{X,Y}={\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y) \over {\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2}}}\cdot {\sqrt {\operatorname {E} (Y^{2})-\operatorname {E} (Y)^{2}}}}}

الارتباط والاستقلال

من نتائج متباينة كوشي-شفارتز أن القيمة المطلقة لمعامل ارتباط بيرسون لا تتجاوز 1. لذا، تتراوح قيمة معامل الارتباط بين -1 و+1. يكون معامل الارتباط +1 في حالة العلاقة الخطية المباشرة (التزايدية) التامة، و-1 في حالة العلاقة الخطية العكسية (التناقصية) التامة ، [ 7 ] وقيمة ما في المجال المفتوح.(-1،1){\displaystyle (-1,1)}في جميع الحالات الأخرى، يشير هذا إلى درجة الارتباط الخطي بين المتغيرات. كلما اقتربت القيمة من الصفر، قلت العلاقة (اقتربت من عدم الارتباط). وكلما اقترب المعامل من -1 أو 1، زادت قوة الارتباط بين المتغيرات.

إذا كانت المتغيرات مستقلة ، فإن معامل ارتباط بيرسون يساوي صفرًا. مع ذلك، ولأن معامل الارتباط لا يكشف إلا عن العلاقات الخطية بين متغيرين، فإن العكس ليس صحيحًا بالضرورة. فمعامل الارتباط الذي يساوي صفرًا لا يعني بالضرورة أن المتغيرات مستقلة .

X،Y مستقل⇒ρX،Y=0(X،Y غير مترابطة)ρX،Y=0(X،Y غير مترابطة)⇏X،Y مستقل{\displaystyle {\begin{aligned}X,Y{\text{ مستقلان}}\quad &\Rightarrow \quad \rho _{X,Y}=0\quad (X,Y{\text{ غير مرتبطين}})\\\rho _{X,Y}=0\quad (X,Y{\text{ غير مرتبطين}})\quad &\nRightarrow \quad X,Y{\text{ مستقلان}}\end{aligned}}}

على سبيل المثال، لنفترض المتغير العشوائيX{\displaystyle X}يتوزع بشكل متناظر حول الصفر، وY=X2{\displaystyle Y=X^{2}}. ثمY{\displaystyle Y}يتم تحديده بالكامل بواسطةX{\displaystyle X}، لهذا السببX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}تعتمد المتغيرات بشكل كامل على بعضها البعض، لكن معامل ارتباطها يساوي صفرًا؛ فهي غير مرتبطة . ومع ذلك، في الحالة الخاصة عندماX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت المتغيرات طبيعية بشكل مشترك ، فإن عدم الارتباط يعادل الاستقلال.

على الرغم من أن البيانات غير المرتبطة لا تعني بالضرورة الاستقلال، إلا أنه يمكن التحقق مما إذا كانت المتغيرات العشوائية مستقلة إذا كانت معلوماتها المتبادلة تساوي صفرًا.

معامل الارتباط العيني

بالنظر إلى سلسلة منن{\displaystyle n}قياسات الزوج(Xأنا،Yأنا){\displaystyle (X_{i},Y_{i})}مفهرسة بواسطةأنا=1،...،ن{\displaystyle i=1,\ldots ,n}يمكن استخدام معامل الارتباط العيني لتقدير معامل ارتباط بيرسون للمجتمع.ρX،Y{\displaystyle \rho _{X,Y}}بينX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}يُعرَّف معامل الارتباط العيني على النحو التالي:

رxy=دهـو∑أنا=1ن(xأنا-x¯)(yأنا-y¯)(ن-1)sxsy=∑أنا=1ن(xأنا-x¯)(yأنا-y¯)∑أنا=1ن(xأنا-x¯)2∑أنا=1ن(yأنا-y¯)2،{\displaystyle r_{xy}\quad {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\quad {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{(n-1)s_{x}s_{y}}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}},}

أينx¯{\displaystyle {\overline {x}}}وy¯{\displaystyle {\overline {y}}}هي متوسطات العينة لـX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}، وsx{\displaystyle s_{x}}وsy{\displaystyle s_{y}}هي الانحرافات المعيارية المصححة للعينة لـX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}.

تعابير مكافئة لـرxy{\displaystyle r_{xy}}نكون

رxy=∑xأناyأنا-نx¯y¯نsx′sy′=ن∑xأناyأنا-∑xأنا∑yأنان∑xأنا2-(∑xأنا)2 ن∑yأنا2-(∑yأنا)2.\begin{aligned}r_{xy}&={\frac {\sum x_{i}y_{i}-n{\bar {x}}{\bar {y}}}{ns'_{x}s'_{y}}}\\[5pt]&={\frac {n\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}}{{\sqrt {n\sum x_{i}^{2}-(\sum x_{i})^{2}}}~{\sqrt {n\sum y_{i}^{2}-(\sum y_{i})^{2}}}}}.\end{aligned}}}

أينsx′{\displaystyle s'_{x}}وsy′{\displaystyle s'_{y}}هي الانحرافات المعيارية غير المصححة للعينة لـX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}.

لوx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}بما أن نتائج القياسات تتضمن خطأً في القياس، فإن الحدود الواقعية لمعامل الارتباط لا تتراوح بين -1 و+1، بل ضمن نطاق أصغر. [ 8 ] في حالة النموذج الخطي ذي المتغير المستقل الواحد، يكون معامل التحديد (R²) هو مربعرxy{\displaystyle r_{xy}}معامل بيرسون للعزوم المنتجة.

مثال

ضع في اعتبارك التوزيع الاحتمالي المشترك لـ X و Y الموضح في الجدول أدناه.

P(X=x،Y=y){\displaystyle \mathrm {P} (X=x,Y=y)}
y
x
- 101
00١/٣​​​​0
1١/٣​​​​0١/٣​​​​

بالنسبة لهذا التوزيع المشترك، تكون التوزيعات الهامشية كما يلي:

P(X=x)={13ل x=023ل x=1{\displaystyle \mathrm {P} (X=x)={\begin{cases}{\frac {1}{3}}&\quad {\text{لـ }}x=0\\{\frac {2}{3}}&\quad {\text{لـ }}x=1\end{cases}}}
P(Y=y)={13ل y=-113ل y=013ل y=1{\displaystyle \mathrm {P} (Y=y)={\begin{cases}{\frac {1}{3}}&\quad {\text{لـ }}y=-1\\{\frac {1}{3}}&\quad {\text{لـ }}y=0\\{\frac {1}{3}}&\quad {\text{لـ }}y=1\end{cases}}}

ينتج عن ذلك التوقعات والتباينات التالية:

μX=23{\displaystyle \mu _{X}={\frac {2}{3}}}
μY=0{\displaystyle \mu _{Y}=0}
σX2=29{\displaystyle \sigma _{X}^{2}={\frac {2}{9}}}
σY2=23{\displaystyle \sigma _{Y}^{2}={\frac {2}{3}}}

لذلك:

ρX،Y=1σXσYهـ[(X-μX)(Y-μY)]=1σXσY∑x،y(x-μX)(y-μY)P(X=x،Y=y)=332((1-23)(-1-0)13+(0-23)(0-0)13+(1-23)(1-0)13)=0.{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{X,Y}&={\frac {1}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\mathrm {E} [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]\\[5pt]&={\frac {1}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\sum _{x,y}{(x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})\mathrm {P} (X=x,Y=y)}\\[5pt]&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\left(\left(1-{\frac {2}{3}}\right)(-1-0){\frac {1}{3}}+\left(0-{\frac {2}{3}}\right)(0-0){\frac {1}{3}}+\left(1-{\frac {2}{3}}\right)(1-0){\frac {1}{3}}\right)=0.\end{aligned}}}

معاملات ارتباط الرتب

تقيس معاملات ارتباط الرتب ، مثل معامل ارتباط رتب سبيرمان ومعامل ارتباط رتب كندال (τ)، مدى ميل المتغير الآخر إلى الزيادة مع ازدياد أحد المتغيرين، دون اشتراط أن تكون هذه الزيادة ممثلة بعلاقة خطية. فإذا انخفض المتغير الآخر مع ازدياد أحد المتغيرين، فإن معاملات ارتباط الرتب ستكون سالبة. يشيع اعتبار هذه المعاملات بدائل لمعامل بيرسون، تُستخدم إما لتقليل حجم الحسابات أو لجعل المعامل أقل حساسية لعدم التوزيع الطبيعي. إلا أن هذا الرأي يفتقر إلى أساس رياضي متين، إذ تقيس معاملات ارتباط الرتب نوعًا مختلفًا من العلاقات عن معامل ارتباط بيرسون ، ويُفضل اعتبارها مقاييس لنوع مختلف من الارتباط، بدلًا من كونها مقياسًا بديلًا لمعامل ارتباط المجتمع. [ 9 ] [ 10 ]

لتوضيح طبيعة ارتباط الرتب، واختلافه عن الارتباط الخطي، انظر إلى أزواج الأرقام الأربعة التالية(x،y){\displaystyle (x,y)}:

(0,  1), (10,  100), (101,  500), (102,  2000).

بينما ننتقل من كل زوج إلى الزوج التالي،x{\displaystyle x}يزداد، وكذلكy{\displaystyle y}هذه العلاقة مثالية، بمعنى أن زيادة فيx{\displaystyle x}ويصاحب ذلك دائماً زيادة فيy{\displaystyle y}هذا يعني أن لدينا ارتباطًا مثاليًا بين الرتب، وأن معامل ارتباط كل من سبيرمان وكيندال يساوي 1، بينما في هذا المثال، معامل ارتباط بيرسون هو 0.7544، مما يشير إلى أن النقاط بعيدة كل البعد عن أن تقع على خط مستقيم. وبالمثل إذاy{\displaystyle y}ينخفض ​​دائمًا عندماx{\displaystyle x}مع ازدياد قيمة معامل ارتباط الرتب، يصبح هذا المعامل -1، بينما قد يكون معامل ارتباط بيرسون قريبًا من -1 أو بعيدًا عنه، وذلك تبعًا لمدى قرب النقاط من خط مستقيم. على الرغم من أنه في الحالات القصوى لارتباط الرتب المثالي، يكون المعاملان متساويين (كلاهما +1 أو كلاهما -1)، إلا أن هذا ليس هو الحال عمومًا، وبالتالي لا يمكن مقارنة قيم المعاملين بشكلٍ ذي معنى. [ 9 ] على سبيل المثال، بالنسبة للأزواج الثلاثة (1،  1) و(2،  3) و(3،  2)، يكون معامل سبيرمان 1/2، بينما يكون معامل كيندال  1/3.

المفاهيم الخاطئة الشائعة

الارتباط والسببية

المقولة الشائعة " الارتباط لا يعني السببية " تعني أنه لا يمكن استخدام الارتباط وحده لاستنتاج علاقة سببية بين المتغيرات. [ 11 ] ولا ينبغي فهم هذه المقولة على أنها تعني أن الارتباطات لا تشير إلى وجود علاقات سببية محتملة. مع ذلك، قد تكون الأسباب الكامنة وراء الارتباط، إن وجدت، غير مباشرة وغير معروفة، كما أن الارتباطات العالية تتداخل مع علاقات التطابق ( التكرار )، حيث لا توجد عملية سببية (مثلًا، بين متغيرين يقيسان نفس المفهوم). وبالتالي، فإن الارتباط بين متغيرين ليس شرطًا كافيًا لإثبات علاقة سببية (في أي اتجاه).

إن العلاقة بين العمر والطول لدى الأطفال واضحة إلى حد كبير من حيث السببية، بينما العلاقة بين الحالة المزاجية والصحة لدى البشر أقل وضوحًا. فهل يؤدي تحسن الحالة المزاجية إلى تحسن الصحة، أم أن الصحة الجيدة تؤدي إلى تحسن الحالة المزاجية، أم كلاهما؟ أم أن هناك عاملًا آخر وراء كليهما؟ بعبارة أخرى، يمكن اعتبار وجود علاقة ارتباطية دليلًا على وجود علاقة سببية محتملة، لكنها لا تُحدد طبيعة هذه العلاقة، إن وُجدت.

الارتباطات الخطية البسيطة

رباعية أنسكومب : أربع مجموعات من البيانات بنفس معامل الارتباط 0.816

يشير معامل ارتباط بيرسون إلى قوة العلاقة الخطية بين متغيرين، لكن قيمته لا تصف علاقتهما بشكل كامل. على وجه الخصوص، إذا كان المتوسط ​​الشرطي لـY{\displaystyle Y}منحX{\displaystyle X}، المشار إليههـ⁡(Y|X){\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}، ليس خطيًا فيX{\displaystyle X}لن يحدد معامل الارتباط شكلهـ⁡(Y|X){\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}.

تُظهر الصورة المجاورة مخططات التشتت لرباعية أنسكومب ، وهي مجموعة من أربعة أزواج مختلفة من المتغيرات أنشأها فرانسيس أنسكومب . [ 12 ] الأربعةy{\displaystyle y}للمتغيرات نفس المتوسط ​​(7.5)، والتباين (4.12)، والارتباط (0.816)، وخط الانحدار (y=3+0.5x{\textstyle y=3+0.5x}ومع ذلك، كما هو واضح في الرسوم البيانية، يختلف توزيع المتغيرات اختلافًا كبيرًا. يبدو أن توزيع المتغير الأول (أعلى اليسار) طبيعي، وهو ما يُتوقع عند دراسة متغيرين مرتبطين وفقًا لفرضية التوزيع الطبيعي. أما المتغير الثاني (أعلى اليمين) فلا يتبع التوزيع الطبيعي؛ فبينما يمكن ملاحظة علاقة واضحة بين المتغيرين، إلا أنها ليست خطية. في هذه الحالة، لا يُشير معامل ارتباط بيرسون إلى وجود علاقة وظيفية دقيقة، بل يُشير فقط إلى مدى إمكانية تقريب هذه العلاقة بعلاقة خطية. في الحالة الثالثة (أسفل اليسار)، تكون العلاقة الخطية مثالية، باستثناء قيمة شاذة واحدة تؤثر بشكل كبير على معامل الارتباط، فتخفضه من 1 إلى 0.816. وأخيرًا، يُظهر المثال الرابع (أسفل اليمين) حالة أخرى تكفي فيها قيمة شاذة واحدة لإنتاج معامل ارتباط مرتفع، على الرغم من أن العلاقة بين المتغيرين ليست خطية.

تُشير هذه الأمثلة إلى أن معامل الارتباط، كإحصائية موجزة ، لا يُغني عن الفحص البصري للبيانات. يُقال أحيانًا إن هذه الأمثلة تُبرهن على أن معامل ارتباط بيرسون يفترض أن البيانات تتبع التوزيع الطبيعي ، لكن هذا صحيح جزئيًا فقط. [ 6 ] يُمكن حساب معامل ارتباط بيرسون بدقة لأي توزيع ذي مصفوفة تباين محدودة ، وهو ما يشمل معظم التوزيعات الشائعة في التطبيق العملي. مع ذلك، فإن معامل ارتباط بيرسون (بالإضافة إلى متوسط ​​العينة وتباينها) لا يُعد إحصائية كافية إلا إذا كانت البيانات مُستقاة من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات . ونتيجةً لذلك، يُحدد معامل ارتباط بيرسون العلاقة بين المتغيرات وصفًا كاملًا إذا وفقط إذا كانت البيانات مُستقاة من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات.

تم تمثيل الارتباطات بين 4 متغيرات بصريًا بواسطة أشكال القطع الناقص للثقة بنسبة 50٪ و 95٪.

ملكيات

عدم ترابط واستقلال العمليات العشوائية

وبالمثل بالنسبة لعمليتين عشوائيتين{Xت}ت∈تي{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}و{Yت}ت∈تي{\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}إذا كانت المتغيرات مستقلة، فهي غير مترابطة. [ 13 ] : ص 151. قد لا يكون عكس هذه العبارة صحيحًا. فحتى لو كان متغيران غير مترابطين، فقد لا يكونان مستقلين عن بعضهما البعض.

الحساسية لتوزيع البيانات

لا تعتمد درجة التبعية بين المتغيرين X و Y على المقياس الذي يُعبَّر به عنهما. بمعنى آخر، عند تحليل العلاقة بين X و Y ، فإن معظم مقاييس الارتباط لا تتأثر بتحويل X إلى a + bX و Y إلى c + dY ، حيث a و b و c و d ثوابت ( b و d موجبان). ينطبق هذا على بعض إحصاءات الارتباط ، وكذلك على نظائرها في المجتمع الإحصائي . كما أن بعض إحصاءات الارتباط، مثل معامل ارتباط الرتب، لا تتأثر بالتحويلات الرتيبة للتوزيعات الهامشية لـ X و/أو Y.

يتم عرض معاملات ارتباط بيرسون / سبيرمان بين X و Y عندما تكون نطاقات المتغيرين غير مقيدة، وعندما يكون نطاق X مقيدًا بالفترة (0،1).

تتأثر معظم مقاييس الارتباط بطريقة اختيار عينات X و Y. وتميل الارتباطات إلى أن تكون أقوى عند النظر إليها عبر نطاق أوسع من القيم. لذا، إذا نظرنا إلى معامل الارتباط بين أطوال الآباء وأبنائهم لجميع الذكور البالغين، وقارناه بمعامل الارتباط نفسه المحسوب عندما يكون طول الآباء بين 165 سم و170 سم، فسيكون الارتباط أضعف في الحالة الأخيرة. وقد طُوّرت عدة تقنيات لمحاولة تصحيح قيود النطاق في أحد المتغيرين أو كليهما، وهي شائعة الاستخدام في التحليل التلوي؛ وأكثرها شيوعًا معادلات ثورندايك للحالتين الثانية والثالثة. [ 14 ]

قد تكون بعض مقاييس الارتباط المستخدمة غير مُعرَّفة لبعض التوزيعات المشتركة للمتغيرين X و Y. على سبيل المثال، يُعرَّف معامل ارتباط بيرسون بدلالة العزوم ، وبالتالي سيكون غير مُعرَّف إذا كانت العزوم غير مُعرَّفة. أما مقاييس التبعية القائمة على المئينيات فهي مُعرَّفة دائمًا. وقد تتمتع الإحصاءات القائمة على العينات، والمُصممة لتقدير مقاييس التبعية السكانية، بخصائص إحصائية مرغوبة، مثل عدم التحيز أو الاتساق التقاربي ، أو قد لا تتمتع بها، وذلك بناءً على البنية المكانية للسكان الذين جُمعت منهم البيانات.

يمكن الاستفادة من حساسية توزيع البيانات. فعلى سبيل المثال، صُممت معادلة الارتباط المُقاسة للاستفادة من حساسية النطاق في تحديد الارتباطات بين المكونات السريعة للسلاسل الزمنية . [ 15 ] ومن خلال تقليل نطاق القيم بطريقة مُحكمة، يتم استبعاد الارتباطات على المدى الزمني الطويل، ولا تظهر إلا الارتباطات على المدى الزمني القصير.

مصفوفات الارتباط

مصفوفة الارتباط لـن{\displaystyle n}المتغيرات العشوائيةX1،...،Xن{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}هون×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةج{\displaystyle C}لمن(أنا،ج){\displaystyle (i,j)}المدخل هو

جأناج:=تصحيح⁡(Xأنا،Xج)=كوف⁡(Xأنا،Xج)σXأناσXج،لو σXأناσXج>0.{\displaystyle c_{ij}:=\operatorname {corr} (X_{i},X_{j})={\frac {\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}{\sigma _{X_{i}}\sigma _{X_{j}}}},\quad {\text{if}}\ \sigma _{X_{i}}\sigma _{X_{j}}>0.}

وبالتالي، فإن جميع عناصر القطر الرئيسي تساوي واحدًا . إذا كانت مقاييس الارتباط المستخدمة هي معاملات عزم بيرسون، فإن مصفوفة الارتباط هي نفسها مصفوفة التغاير للمتغيرات العشوائية المعيارية.Xأنا/σ(Xأنا){\displaystyle X_{i}/\sigma (X_{i})}لأنا=1،...،ن{\displaystyle i=1,\dots ,n}وينطبق هذا على كل من مصفوفة الارتباطات السكانية (وفي هذه الحالةσ{\displaystyle \sigma }(حيث يمثل الانحراف المعياري للمجتمع)، وإلى مصفوفة ارتباطات العينة (في هذه الحالةσ{\displaystyle \sigma }(يشير إلى الانحراف المعياري للعينة). وبالتالي، فإن كل منها مصفوفة شبه موجبة بالضرورة . علاوة على ذلك، تكون مصفوفة الارتباط موجبة تمامًا إذا لم يكن بالإمكان توليد جميع قيم أي متغير كدالة خطية لقيم المتغيرات الأخرى.

تكون مصفوفة الارتباط متناظرة لأن الارتباط بينXأنا{\displaystyle X_{i}}وXج{\displaystyle X_{j}}وهو نفس الارتباط بينXج{\displaystyle X_{j}}وXأنا{\displaystyle X_{i}}.

تظهر مصفوفة الارتباط، على سبيل المثال، في إحدى صيغ معامل التحديد المتعدد ، وهو مقياس لجودة المطابقة في الانحدار المتعدد .

في النمذجة الإحصائية ، تُصنَّف مصفوفات الارتباط التي تُمثِّل العلاقات بين المتغيرات إلى هياكل ارتباط مختلفة، يتم تمييزها بناءً على عوامل مثل عدد المعاملات اللازمة لتقديرها. على سبيل المثال، في مصفوفة الارتباط التبادلية ، تُنمذج جميع أزواج المتغيرات على أنها ذات ارتباط متساوٍ، وبالتالي فإن جميع العناصر غير القطرية في المصفوفة متساوية. من ناحية أخرى، تُستخدم مصفوفة الانحدار الذاتي غالبًا عندما تُمثِّل المتغيرات سلسلة زمنية، نظرًا لأن الارتباطات تكون على الأرجح أكبر عندما تكون القياسات متقاربة زمنيًا. تشمل الأمثلة الأخرى المصفوفات المستقلة، وغير المهيكلة، والتابعة من النوع M، ومصفوفة توبليتز .

في تحليل البيانات الاستكشافي ، تتكون أيقونات الارتباطات من استبدال مصفوفة الارتباط بمخطط حيث يتم تمثيل الارتباطات "الرائعة" بخط متصل (ارتباط إيجابي)، أو خط منقط (ارتباط سلبي).

أقرب مصفوفة ارتباط صالحة

في بعض التطبيقات (على سبيل المثال، بناء نماذج البيانات من بيانات تمت ملاحظتها جزئيًا فقط) يرغب المرء في إيجاد مصفوفة الارتباط "الأقرب" إلى مصفوفة الارتباط "التقريبية" (على سبيل المثال، مصفوفة تفتقر عادةً إلى شبه التحديد الإيجابي بسبب الطريقة التي تم حسابها بها).

في عام 2002، قام هايام [ 16 ] بصياغة مفهوم القرب باستخدام معيار فروبينيوس وقدم طريقة لحساب مصفوفة الارتباط الأقرب باستخدام خوارزمية إسقاط ديكسترا .

أثار هذا اهتمامًا بالموضوع، مع نتائج نظرية جديدة (على سبيل المثال، حساب مصفوفة الارتباط الأقرب مع بنية العامل [ 17 ] ) ونتائج عددية (على سبيل المثال، استخدام طريقة نيوتن لحساب مصفوفة الارتباط الأقرب [ 18 ] ) تم الحصول عليها في السنوات اللاحقة.

التوزيع الطبيعي ثنائي المتغير

إذا كان الزوج (X،Y) {\displaystyle \ (X,Y)\ }يتبع المتوسط ​​الشرطي للمتغيرات العشوائية التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيراتهـ⁡(X|Y){\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (X\mid Y)}هي دالة خطية لـY{\displaystyle Y}، والمتوسط ​​الشرطيهـ⁡(Y|X){\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (Y\mid X)}هي دالة خطية لـ X .{\displaystyle \ X~.}معامل الارتباط ρX،Y {\displaystyle \ \rho _{X,Y}\ }بين X {\displaystyle \ X\ }و Y ،{\displaystyle \ Y\ ,}والمتوسطات والتباينات الهامشية لـ X {\displaystyle \ X\ }و Y {\displaystyle \ Y\ }حدد هذه العلاقة الخطية:

هـ⁡(Y|X)=هـ⁡(Y)+ρX،Y⋅σY⋅ X-هـ⁡(X) σX ،{\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (Y\mid X)=\operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (Y)+\rho _{X,Y}\cdot \sigma _{Y}\cdot {\frac {\ X-\operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (X)\ }{\sigma _{X}}}\ ,}

أينهـ⁡(X){\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (X)}وهـ⁡(Y){\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (Y)}هي القيم المتوقعة لـ X {\displaystyle \ X\ }و Y ،{\displaystyle \ Y\ ,}على التوالي، و σX {\displaystyle \ \sigma _{X}\ }و σY {\displaystyle \ \sigma _{Y}\ }هي الانحرافات المعيارية لـ X {\displaystyle \ X\ }و Y ،{\displaystyle \ Y\ ,}على التوالى.

الارتباط التجريبير{\displaystyle r}يمثل تقديرًا لمعامل الارتباط ρ .{\displaystyle \ \rho ~.}تقدير التوزيع لـ ρ {\displaystyle \ \rho \ }يُعطى بواسطة

π(ρ|ر)= Γ(شمال)  2π ⋅Γ(شمال- 1 2) ⋅(1-ر2) شمال -2 2⋅(1-ρ2) شمال-3 2⋅(1-رρ)-شمال+ 3 2⋅Fحyص(  3 2،- 1 2;شمال- 1 2; 1+رρ 2 ) {\displaystyle \pi (\rho \mid r)={\frac {\ \Gamma (N)\ }{\ {\sqrt {2\pi \ }}\cdot \Gamma (N-{\tfrac {\ 1\ }{2}})\ }}\cdot {\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}^{\frac {\ N\ -2\ }{2}}\cdot {\bigl (}1-\rho ^{2}{\bigr )}^{\frac {\ N-3\ }{2}}\cdot {\bigl (}1-r\rho {\bigr )}^{-N+{\frac {\ 3\ }{2}}}\cdot F_{\mathsf {Hyp}}\left(\ {\tfrac {\ 3\ }{2}},-{\tfrac {\ 1\ }{2}};N-{\tfrac {\ 1\ }{2}};{\frac {\ 1+r\rho \ }{2}}\ \right)\ }

أين Fحyص {\displaystyle \ F_{Hyp}\ }هي دالة غاوسية فائقة الهندسة .

تمثل هذه الكثافة كثافة احتمالية خلفية بايزية وكثافة توزيع ثقة مثالية دقيقة . [ 19 ] [ 20 ]

مقاييس أخرى للارتباط بين المتغيرات العشوائية

لا تكفي المعلومات التي يوفرها معامل الارتباط لتحديد بنية التبعية بين المتغيرات العشوائية. لا يُحدد معامل الارتباط بنية التبعية بشكل كامل إلا في حالات خاصة جدًا، مثل التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات (انظر الرسم البياني أعلاه). في حالة التوزيعات الإهليلجية ، يُحدد معامل الارتباط الإهليلجات (الفائقة) ذات الكثافة المتساوية؛ ومع ذلك، فإنه لا يُحدد بنية التبعية بشكل كامل (على سبيل المثال، تُحدد درجات حرية توزيع t متعدد المتغيرات مستوى تبعية الذيل).

بالنسبة للمتغيرات المستمرة، طُرحت عدة مقاييس بديلة للارتباط لمعالجة قصور معامل ارتباط بيرسون، وهو إمكانية أن يكون صفرًا للمتغيرات العشوائية المرتبطة (انظر [ 21 ] والمراجع الواردة فيه للاطلاع على نظرة عامة). تشترك جميع هذه المقاييس في خاصية مهمة، وهي أن القيمة الصفرية تعني الاستقلال. وقد دفع هذا بعض الباحثين [ 21 ] [ 22 ] إلى التوصية باستخدامها بشكل روتيني، ولا سيما معامل ارتباط المسافة [ 23 ] [ 24 ] . ومن المقاييس البديلة الأخرى معامل الارتباط العشوائي [ 25 ] . يُعدّ معامل الارتباط العشوائي مقياسًا فعالًا حسابيًا، قائمًا على الاقتران ، لقياس الارتباط بين المتغيرات العشوائية متعددة المتغيرات، وهو ثابت بغض النظر عن المقاييس غير الخطية للمتغيرات العشوائية.

من أهم عيوب المقاييس البديلة الأكثر عمومية أنها، عند استخدامها لاختبار ما إذا كان هناك ارتباط بين متغيرين، تميل إلى أن تكون أقل فعالية مقارنةً بمعامل ارتباط بيرسون عندما تتبع البيانات توزيعًا طبيعيًا متعدد المتغيرات. [ 21 ] وهذا أحد نتائج نظرية "لا غداء مجاني" . للكشف عن جميع أنواع العلاقات، تضطر هذه المقاييس إلى التضحية بفعاليتها في العلاقات الأخرى، لا سيما في الحالة الخاصة المهمة للعلاقة الخطية ذات التوزيعات الهامشية الغاوسية، حيث يكون معامل ارتباط بيرسون هو الأمثل. مشكلة أخرى تتعلق بالتفسير. فبينما يمكن تفسير معامل ارتباط بيرسون لجميع القيم، لا يمكن تفسير المقاييس البديلة بشكل ذي معنى إلا عند القيم القصوى. [ 26 ]

بالنسبة لمتغيرين ثنائيين ، تقيس نسبة الاحتمالات مدى اعتمادهما على بعضهما البعض، وتأخذ نطاقًا من الأرقام غير السالبة، وربما اللانهاية :[0،+∞]{\displaystyle [0,+\infty ]}⁠ . تعمل الإحصائيات ذات الصلة مثل مؤشر يول Y ومؤشر يول Q على تطبيع هذا إلى نطاق يشبه الارتباط ⁠[-1،1]{\displaystyle [-1,1]}⁠ . يتم تعميم نسبة الاحتمالات بواسطة النموذج اللوجستي لنمذجة الحالات التي تكون فيها المتغيرات التابعة منفصلة وقد يكون هناك متغير مستقل واحد أو أكثر.

نسبة الارتباط ، والمعلومات المتبادلة القائمة على الإنتروبيا ، والارتباط الكلي ، والارتباط الكلي المزدوج ، والارتباط متعدد الفئات كلها قادرة أيضًا على اكتشاف التبعيات الأكثر عمومية، كما هو الحال عند النظر في الاقتران بينها، في حين أن معامل التحديد يعمم معامل الارتباط إلى الانحدار المتعدد .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أبتون، ج.، كوك، إ. (2006) قاموس أكسفورد للإحصاء ، الطبعة الثانية، مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-954145-4
  2. ↑ "مسرد المصطلحات الإحصائية" . SticiGui . 2019-09-02 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2025-12-18 .
  3. ↑ كروكستون، فريدريك إيموري؛ كودن، دادلي جونستون؛ كلاين، سيدني (1968) الإحصاء العام التطبيقي ، بيتمان. ISBN 9780273403159(الصفحة 625)
  4. ↑ ديتريش، كورنيليوس فرانك (1991) عدم اليقين والمعايرة والاحتمالية: إحصاءات القياس العلمي والصناعي، الطبعة الثانية، أ. هيجلر. ISBN 9780750300605(الصفحة 331)
  5. ↑ أيتكن، ألكسندر كريج (1957) الرياضيات الإحصائية، الطبعة الثامنة. أوليفر وبويد. ISBN 9780050013007 (الصفحة 95)
  6. 1 2 رودجرز، جيه إل؛ نايسواندر، دبليو إيه (1988). "ثلاث عشرة طريقة للنظر إلى معامل الارتباط". الإحصائي الأمريكي . 42 (1): 59-66 . doi : 10.1080/00031305.1988.10475524 . JSTOR 2685263 . 
  7. ↑ داودي، س. وواردن، س. (1983). "الإحصاء للبحوث"، وايلي. ISBN 0-471-08602-9ص 230
  8. ↑ فرانسيس، د.ب.؛ كوتس، أ.ج.؛ جيبسون، د. (1999). "ما هو الحد الأقصى لمعامل الارتباط؟". المجلة الدولية لأمراض القلب . 69 (2): 185-199 . doi : 10.1016/S0167-5273(99)00028-5 . PMID 10549842 . 
  9. 1 2 يول، جي يو وكيندال، إم جي (1950)، "مقدمة في نظرية الإحصاء"، الطبعة الرابعة عشرة (الطبعة الخامسة 1968). تشارلز غريفين وشركاه. الصفحات 258-270
  10. ↑ كيندال، إم جي (1955) "طرق الارتباط الرتبي"، تشارلز جريفين وشركاه.
  11. ↑ ألدريتش، جون (1995). "الارتباطات الحقيقية والزائفة في بيرسون ويول" . العلوم الإحصائية . 10 (4): 364-376 . doi : 10.1214/ss/1177009870 . JSTOR 2246135 . 
  12. ↑ أنسكومب، فرانسيس ج. (1973). "الرسوم البيانية في التحليل الإحصائي". الإحصائي الأمريكي . 27 (1): 17-21 . doi : 10.2307/2682899 . JSTOR 2682899 . 
  13. ↑ بارك، كون إيل (2018). أساسيات الاحتمالات والعمليات العشوائية مع تطبيقات في الاتصالات . سبرينغر. ISBN 978-3-319-68074-3.
  14. ↑ ثورندايك، روبرت لاد (1947). مشاكل البحث وتقنياته (التقرير رقم 3) . واشنطن العاصمة: مطبعة حكومة الولايات المتحدة.
  15. ↑ نيكوليتش، د؛ موريسان، ر.س؛ فينغ، و؛ سينغر، و (2012). "تحليل الارتباط المُقاس: طريقة أفضل لحساب مخطط الارتباط المتبادل". المجلة الأوروبية لعلم الأعصاب . 35 (5): 1-21 . doi : 10.1111/j.1460-9568.2011.07987.x . PMID 22324876. S2CID 4694570 .  
  16. ↑ هايام، نيكولاس ج. (2002). "حساب مصفوفة الارتباط الأقرب - مشكلة من مجال التمويل". مجلة IMA للتحليل العددي . 22 (3): 329-343 . CiteSeerX 10.1.1.661.2180 . doi : 10.1093/imanum/22.3.329 . 
  17. ↑ بورسدورف، روديجر؛ هايام، نيكولاس جيه؛ رايدان، ماركوس (2010). "حساب مصفوفة الارتباط الأقرب مع بنية العوامل" (ملف PDF) . مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها ، 31 (5): 2603-2622 . doi : 10.1137/090776718 .
  18. ↑ تشي، هودو؛ صن، ديفينغ (2006). "طريقة نيوتن المتقاربة تربيعيًا لحساب مصفوفة الارتباط الأقرب" . مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 28 (2): 360-385 . doi : 10.1137/050624509 .
  19. ↑ تارالدسن، غونار (2021). "كثافة الثقة للارتباط" . سانخيا أ . 85 : 600-616 . doi : 10.1007/s13171-021-00267-y . hdl : 11250/3133125 . ISSN 0976-8378 . S2CID 244594067 .  
  20. ^ تارالدسن ، جونار (2020). الثقة في الارتباط . Researchgate.net (طبعة ما قبل الطباعة). دوى : 10.13140/RG.2.2.23673.49769 .
  21. 1 2 3 كارتش، جوليان د.؛ بيريز-ألونسو، أندريس ف.؛ بيرجسما، ويشر ب. (2024-08-04). "ما وراء معامل ارتباط بيرسون: اختبارات الاستقلال الحديثة غير البارامترية للبحوث النفسية". بحوث السلوك متعدد المتغيرات . 59 (5): 957-977 . doi : 10.1080/00273171.2024.2347960 . hdl : 1887/4108931 . PMID 39097830 . 
  22. ↑ سيمون، نوح؛ تيبشيراني، روبرت (2014). "تعليق على مقال "الكشف عن ارتباطات جديدة في مجموعات البيانات الكبيرة" بقلم ريشيف وآخرون، مجلة ساينس، 16 ديسمبر 2011". ص 3. arXiv : 1401.7645 [ stat.ME ]. 
  23. ↑ سيكلي، جي جي ريزو؛ باكيروف، إن كيه (2007). "قياس واختبار الاستقلال عن طريق ارتباط المسافات". حوليات الإحصاء . 35 (6): 2769-2794 . arXiv : 0803.4101 . doi : 10.1214/009053607000000505 . S2CID 5661488 . 
  24. ↑ سيكلي، جي جي؛ ريزو، إم إل (2009). "التغاير في المسافة البراونية" . حوليات الإحصاء التطبيقي . 3 (4): 1233-1303 . arXiv : 1010.0297 . doi : 10.1214/09-AOAS312 . PMC 2889501. PMID 20574547 .  
  25. ↑ لوبيز-باز د. وهينيغ ب. وشولكوف ب. (2013). "معامل الاعتماد العشوائي"، " مؤتمر أنظمة معالجة المعلومات العصبية "، طبعة مُعاد طباعتها
  26. ↑ ريمهر، ماثيو؛ نيكولاي، دان ل. (2013). "حول قياس التبعية: إطار عمل لتطوير مقاييس قابلة للتفسير". العلوم الإحصائية . 28 (1): 116-130 . arXiv : 1302.5233 . doi : 10.1214/12-STS405 .

للمزيد من القراءة