تخمين شانويل

بالنظر إلى تخمين شانويل فقط${\displaystyle n=1}$وهذا يعطي ذلك لعدد مركب غير صفري${\displaystyle z}$، واحد على الأقل من الأرقام${\displaystyle z}$و${\displaystyle e^{z}}$يجب أن يكون متعالياً. وقد أثبت ذلك فرديناند فون ليندمان في عام 1882. ^{[ 3 ]}

إذا كانت الأرقام${\displaystyle z_{1},...,z_{n}}$تُعتبر جميعها جبرية ومستقلة خطيًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$ثم${\displaystyle e^{z_{1}},...,e^{z_{n}}}$النتيجة هي أن تكون متسامية ومستقلة جبريًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$. تم تقديم أول برهان لهذه النتيجة الأكثر عمومية بواسطة كارل فايرشتراس في عام 1885. ^{[ 4 ]}

تُشير ما يُسمى بنظرية ليندمان-فايرشتراس إلى تجاوز العددين e و π . ويترتب على ذلك أيضًا أنه بالنسبة للأعداد الجبرية${\displaystyle \alpha }$لا يساوي 0 أو 1 ، كلاهما${\displaystyle e^{\alpha }}$و${\displaystyle \ln(\alpha )}$وهي دوال متسامية. كما أنها توضح تسامي الدوال المثلثية عند القيم الجبرية غير الصفرية.

وقد أثبت آلان بيكر حالة خاصة أخرى في عام 1966: إذا كانت الأعداد المركبة${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$يتم اختيارها لتكون مستقلة خطيًا على الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$بحيث${\displaystyle e^{\lambda _{1}},...,e^{\lambda _{n}}}$إذا كانت جبرية،${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$كما أنها مستقلة خطيًا على الأعداد الجبرية${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$.

من شأن تخمين شانويل أن يعزز هذه النتيجة، مما يعني أن${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$سيكون أيضًا مستقلًا جبريًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$(وبالمثل على${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$). ^{[ 2 ]}

في عام 1934، أثبت ألكسندر جيلفوند وثيودور شنايدر أنه إذا${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$هما عددان مركبان جبريان مع${\displaystyle \alpha \notin \{0,1\}}$و${\displaystyle \beta \notin \mathbb {Q} }$، ثم${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$هو متعالٍ.

وهذا يثبت تجاوز الأرقام مثل ثابت هيلبرت${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$وثبات جيلفوند${\displaystyle e^{\pi }}$[ ^{5 ]​}

تستنتج نظرية جيلفوند -شنايدر من حدسية شانويل عن طريق وضع${\displaystyle n=3}$و${\displaystyle z_{1}=\beta ,z_{2}=\ln \alpha ,z_{3}=\beta \ln \alpha }$كما أنه سيتبع من النسخة المعززة لنظرية بيكر المذكورة أعلاه.

تستنتج فرضية الدوال الأسية الأربع، التي لم تثبت صحتها بعد، من فرضية شانويل أيضًا: إذا${\displaystyle z_{1},z_{2}}$و${\displaystyle w_{1},w_{2}}$إذا كان لدينا زوجان من الأعداد المركبة، وكل زوج مستقل خطيًا على الأعداد النسبية، فإن واحدًا على الأقل من الأعداد الأربعة التالية يكون عددًا متساميًا :

$${\displaystyle e^{z_{1}w_{1}},e^{z_{1}w_{2}},e^{z_{2}w_{1}},e^{z_{2}w_{2}}.}$$

تفترض فرضية الأسية الأربعة أنه لأي عدد غير نسبي${\displaystyle t}$، واحد على الأقل من الأرقام${\displaystyle 2^{t}}$و${\displaystyle 3^{t}}$هو متعالٍ. وهذا يعني أيضاً أنه إذا${\displaystyle t}$هو عدد حقيقي موجب بحيث يكون كلاهما${\displaystyle 2^{t}}$و${\displaystyle 3^{t}}$إذا كانت أعدادًا صحيحة،${\displaystyle t}$يجب أن يكون العدد نفسه عددًا صحيحًا. ^{[ 2 ]} وقد تم إثبات نظرية الأسس الستة ذات الصلة .

إن تخمين شانويل، إذا ثبت، سيثبت أيضًا أن العديد من التركيبات غير التافهة لـ e و π والأعداد الجبرية والدوال الأولية هي متسامية: ^{[ 2 ] [ 6 ] [ 7 ]}

$${\displaystyle e+\pi ,e\pi ,e^{\pi ^{2}},e^{e},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\pi ^{\pi },\pi ^{\pi ^{\pi }},\,\log \pi ,\,\log \log 2,\,\sin e,...}$$

وبالتحديد، يترتب على ذلك أن e و π مستقلان جبريًا بمجرد وضع${\displaystyle z_{1}=1}$و${\displaystyle z_{2}=i\pi }$.

تنص متطابقة أويلر على أن${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$إذا كانت حدسية شانويل صحيحة، فإن هذه العلاقة، بمعنى دقيق يتعلق بالحلقات الأسية ، هي العلاقة الوحيدة غير التافهة بين e و π و i على الأعداد المركبة. ^{[ 8 ]}

أظهر ماكنتاير في عام 1990 أن حدسية شانويل تعني أنه لا توجد متطابقات أسية متكررة مخفية للثوابت الأسية، وأن الحلقة الفرعية الأسية للأعداد الحقيقية المولدة بواسطة 1 هي الحلقة الأسية الحرة التي لا تحتوي على مولدات. ^{[ 9 ]}