جبر لي شبه البسيط

في الرياضيات ، يكون جبر لي شبه بسيط إذا كان مجموعًا مباشرًا لجبر لي بسيط . (جبر لي البسيط هو جبر لي غير تبديلي بدون أي مثاليات حقيقية غير صفرية ).

في جميع أنحاء المقال، ما لم يُذكر خلاف ذلك، فإن جبر لي هو جبر لي ذو أبعاد منتهية على حقل ذي خاصية صفرية. بالنسبة لجبر لي هذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كانت القيمة غير صفرية، فإن الشروط التالية متكافئة:

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو شبه بسيط؛
• شكل القتل${\displaystyle \kappa (x,y)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y))}$غير منحط ؛
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$لا يحتوي على مُثُل أبيلية غير صفرية؛
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$لا توجد لها مُثُل قابلة للحل غير صفرية ؛
• الجذر ( المثالي الأقصى القابل للحل) لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يساوي صفرًا.

تكمن أهمية شبه البساطة أولاً في تحليل ليفي ، الذي ينص على أن كل جبر لي ذي بُعد محدود هو حاصل ضرب شبه مباشر لمثالي قابل للحل (جذره) وجبر شبه بسيط. وبالتحديد، لا يوجد جبر لي غير صفري يكون قابلاً للحل وشبه بسيط في آن واحد.

تتميز جبر لي شبه البسيط بتصنيف أنيق للغاية، على عكس جبر لي القابل للحل . تُصنف جبر لي شبه البسيط فوق حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية تصنيفًا كاملًا بواسطة نظام جذورها ، والذي يُصنف بدوره بواسطة مخططات دينكين . يمكن فهم جبر لي شبه البسيط فوق حقول غير مغلقة جبريًا من خلال تلك الموجودة فوق الإغلاق الجبري، على الرغم من أن التصنيف أكثر تعقيدًا إلى حد ما؛ انظر الشكل الحقيقي لحالة جبر لي شبه البسيط الحقيقي، الذي صنفه إيلي كارتان .

علاوة على ذلك، فإن نظرية تمثيل جبر لي شبه البسيط أكثر وضوحًا من تلك الخاصة بجبر لي العام. فعلى سبيل المثال، يتطابق تحليل جوردان في جبر لي شبه البسيط مع تحليل جوردان في تمثيله؛ وهذا ليس هو الحال بالنسبة لجبر لي بشكل عام.

لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كان شبه بسيط،${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$. على وجه الخصوص، كل جبر لي شبه بسيط خطي هو جبر جزئي من${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$، الجبر الخطي الخاص لـ Lie . دراسة بنية${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$يشكل جزءًا مهمًا من نظرية التمثيل لجبر لي شبه البسيط.

صُنِّفت جبر لي شبه البسيط على الأعداد المركبة لأول مرة على يد ويلهلم كيلينغ (1888-1890)، على الرغم من أن برهانه كان يفتقر إلى الدقة. وقد حسّن إيلي كارتان (1894) برهانه في أطروحته للدكتوراه، والذي صنّف أيضًا جبر لي الحقيقي شبه البسيط. ثم جرى تحسين هذا التصنيف لاحقًا، وقدّم يوجين دينكين، الذي كان يبلغ من العمر آنذاك 22 عامًا، التصنيف الحالي باستخدام مخططات دينكين في عام 1947. أُجريت بعض التعديلات الطفيفة (لا سيما من قِبل جيه بي سير)، لكن البرهان ظلّ دون تغيير في جوهره، ويمكن إيجاده في أي مرجع قياسي، مثل ( همفريز 1972 ) .

• كل مثالي، وحاصل قسمة، وحاصل ضرب لجبر لي شبه البسيط هو أيضاً شبه بسيط. ^{[ 1 ]}
• مركز جبر لي شبه البسيط${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو أمر تافه (لأن المركز مثالي أبلي). بعبارة أخرى، التمثيل المرافق${\displaystyle \operatorname {ad} }$ هي دالة حقنية. علاوة على ذلك، تبين أن الصورة ^{[ 2 ]} هي${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$من الاشتقاقات على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. لذلك،${\displaystyle \operatorname {ad}$ إن {\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})} هو تماثل. ^{[ 3 ]} (هذه حالة خاصة من مبرهنة وايتهيد ).
• بما أن التمثيل المرافق أحادي، فإن جبر لي شبه البسيط هو جبر لي خطي تحت هذا التمثيل. قد يؤدي هذا إلى بعض الغموض، إذ أن كل جبر لي هو خطي بالفعل بالنسبة إلى فضاء متجهي آخر ( نظرية آدو )، وإن لم يكن بالضرورة عبر التمثيل المرافق. لكن عمليًا، نادرًا ما يحدث هذا الغموض.
• لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كانت جبر لي شبه بسيط،${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$(لأن${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$(شبه بسيط وأبيلي). ^{[ 4 ]}
• جبر لي ذو أبعاد منتهية${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يكون الحقل k ذو الخاصية الصفرية شبه بسيط إذا وفقط إذا كان امتداد القاعدة${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{k}F}$يُعد الأمر شبه بسيط لكل امتداد حقل${\displaystyle F\supset k}$^{[ 5 ]} وبالتالي ، على سبيل المثال، يكون جبر لي الحقيقي ذو الأبعاد المحدودة شبه بسيط إذا وفقط إذا كان تعقيده شبه بسيط.

يمكن تحليل كل تشاكل داخلي x لفضاء متجهي محدود الأبعاد على حقل ذي خاصية صفرية بشكل فريد إلى جزء شبه بسيط (أي قابل للتقطير على الإغلاق الجبري) وجزء عديم القوة

${\displaystyle x=s+n\ }$

بحيث يتبادل كل من s و n مع الآخر. علاوة على ذلك، فإن كلًا من s و n عبارة عن متعددة حدود في x . هذا هو تحليل جوردان لـ x .

ينطبق ما سبق على التمثيل المرافق${\displaystyle \operatorname {ad} }$من جبر لي شبه البسيط${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$عنصر x من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُقال إنها شبه بسيطة (أو عديمة القوة) إذا${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$هو عامل شبه بسيط (أو عامل عديم القوة). ^{[ 6 ]} إذا${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ثم ينص تحليل جوردان المجرد على أنه يمكن كتابة x بشكل فريد على النحو التالي:

${\displaystyle x=s+n}$

أين${\displaystyle s}$هو شبه بسيط،${\displaystyle n}$هو عديم القدرة و${\displaystyle [s,n]=0}$^{[ 7 ]} علاوة على ذلك ، إذا${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$إذا كان يتنقل مع x ، فإنه يتنقل مع كليهما.${\displaystyle s,n}$أيضًا.

عوامل تفكيك جوردان المجردة من خلال أي تمثيل لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بمعنى أنه بالنظر إلى أي تمثيل ρ،

${\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}$

هو تحليل جوردان لـ ρ( x ) في جبر التشكل الداخلي لفضاء التمثيل. ^{[ 8 ]} (تم إثبات ذلك كنتيجة لنظرية فايل للاختزال الكامل ؛ انظر نظرية فايل حول الاختزال الكامل#التطبيق: الحفاظ على تحليل جوردان .)

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي شبه بسيط (محدود الأبعاد) على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية. بنية${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يمكن وصفها بفعل مرافق لجبر فرعي مميز معين عليها، وهو جبر فرعي كارتاني . بحسب التعريف، ^{[ 9 ]} الجبر الفرعي كارتاني (يسمى أيضًا الجبر الفرعي التورالي الأقصى )${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر فرعي أقصى بحيث، لكل${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$،${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$قابلة للقطر . وكما اتضح،${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$هي عملية تبديلية، وبالتالي فإن جميع العمليات في${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$قابلة للتقطير في آن واحد . لكل دالة خطية${\displaystyle \alpha }$ل${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$، يترك

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|\operatorname {ad} (h)x:=[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ for all }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

(لاحظ أن${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$هو مركزي​${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$.) ثم

(أصعب عنصر يمكن عرضه هو${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$تستخدم جميع البراهين القياسية بعض الحقائق في نظرية التمثيل لـ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$على سبيل المثال، يستخدم سير حقيقة أن${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$الوحدة النمطية التي تحتوي على عنصر أولي ذي وزن سالب تكون ذات أبعاد لا نهائية، وهذا تناقض.${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}<\infty }$.)

يترك${\displaystyle h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$مع علاقات التبادل${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$أي،${\displaystyle h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }}$يتوافق مع الأساس القياسي لـ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$.

الدوال الخطية في${\displaystyle \Phi }$تُسمى جذور​${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بالنسبة إلى${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$تمتد الجذور${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$(لأن إذا${\displaystyle \alpha (h)=0,\alpha \in \Phi }$، ثم${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$هو عامل الصفر؛ أي${\displaystyle h}$(في المركز، وهو الصفر.) علاوة على ذلك، من نظرية التمثيل لـ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ومن ثمّ نستنتج الخصائص التناظرية والتكاملية التالية لـ${\displaystyle \Phi }$لكل${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$،

لاحظ أن${\displaystyle s_{\alpha }}$يمتلك الخصائص (1)${\displaystyle s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha }$و(2) مجموعة النقطة الثابتة هي${\displaystyle \{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}}$وهذا يعني أن${\displaystyle s_{\alpha }}$هو الانعكاس بالنسبة للمستوى الفائق المقابل لـ${\displaystyle \alpha }$ويشير ما سبق إلى أن${\displaystyle \Phi }$هو نظام جذري .

ويترتب على النظرية العامة لنظام الجذور ما يلي:${\displaystyle \Phi }$يحتوي على أساس${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$ل${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$بحيث يكون كل جذر عبارة عن توليفة خطية من${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$بمعاملات صحيحة من نفس الإشارة؛ الجذور${\displaystyle \alpha _{i}}$تُسمى هذه الجذور بالجذور البسيطة .${\displaystyle e_{i}=e_{\alpha _{i}}}$إلخ. ثم${\displaystyle 3l}$عناصر${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$(تسمى مولدات شيڤالي ) تولد${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$باعتبارها جبر لي. علاوة على ذلك، فإنها تحقق العلاقات (التي تسمى علاقات سير ): مع${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})}$،

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$.

والعكس صحيح أيضاً: أي أن جبر لي الناتج عن المولدات والعلاقات المذكورة أعلاه هو جبر لي شبه بسيط (محدود الأبعاد) له تحليل فضاء الجذور كما هو مذكور أعلاه (بشرط أن${\displaystyle [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}}$هي مصفوفة كارتان ). هذه نظرية من نظريات سير . على وجه الخصوص، يكون جبر لي شبه البسيط متماثلًا إذا كان لهما نفس نظام الجذور.

إن دلالة الطبيعة البديهية لنظام الجذر ونظرية سير هي أنه يمكن للمرء أن يحصي جميع أنظمة الجذر الممكنة؛ ومن ثم، "جميع" جبر لي شبه البسيط الممكن (ذو أبعاد محدودة على حقل مغلق جبريًا ذو خاصية صفر).

مجموعة ويل هي مجموعة التحويلات الخطية لـ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle s_{\alpha }}$تُعدّ مجموعة ويل تناظرًا مهمًا للمسألة؛ على سبيل المثال، أوزان أي تمثيل محدود الأبعاد لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ثابتة تحت زمرة ويل. ^{[ 11 ]}

ل${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$والجبر الفرعي لكارتان${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$بالنسبة للمصفوفات القطرية، حدد${\displaystyle \lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$بواسطة

${\displaystyle \lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}}$،

أين${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})}$يرمز إلى المصفوفة القطرية التي${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$على القطر. ثم يُعطى التفكيك بواسطة

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)}$

أين

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C} }(e_{ij})}$

بالنسبة للمتجه${\displaystyle e_{ij}}$في${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$باستخدام الأساس القياسي (المصفوفي)، بمعنى${\displaystyle e_{ij}}$يمثل متجه الأساس في${\displaystyle i}$الصف رقم -th و${\displaystyle j}$العمود رقم -th. هذا التفكيك لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$له نظام جذر مرتبط به:

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}}$

كما هو مذكور في #البنية ، جبر لي شبه البسيط فوق${\displaystyle \mathbb {C} }$تُصنَّف جبريات لي (أو بشكل أعم، حقل مغلق جبريًا ذو خاصية صفرية) وفقًا لنظام الجذور المرتبط بجبريات كارتان الفرعية الخاصة بها، وتُصنَّف أنظمة الجذور بدورها وفقًا لمخططات دينكين الخاصة بها. ومن أمثلة جبريات لي شبه البسيطة، جبريات لي الكلاسيكية ، التي تُستمد رموزها من مخططات دينكين الخاصة بها ، ما يلي:

• ${\displaystyle A_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$، الجبر الخطي الخاص لـ Lie .
• ${\displaystyle B_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$، الجبر اللي المتعامد الخاص ذو الأبعاد الفردية .
• ${\displaystyle C_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$، جبر لي التبسيطي .
• ${\displaystyle D_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$، جبر لي المتعامد الخاص ذو الأبعاد الزوجية (${\displaystyle n>1}$).

التقييد${\displaystyle n>1}$في${\displaystyle D_{n}}$الأسرة ضرورية لأن${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$هو أحادي البعد وتبديلي، وبالتالي ليس شبه بسيط.

تُرقّم هذه الجبريات الليّية بحيث يكون n هو الرتبة . معظم هذه الجبريات الليّية شبه البسيطة هي في الواقع بسيطة، وعناصر هذه العائلات متميزة تقريبًا، باستثناء بعض التصادمات في الرتب الصغيرة. على سبيل المثال${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}}$و${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}}$. هذه العائلات الأربع، بالإضافة إلى خمسة استثناءات ( E ₆ ، E ₇ ، E ₈ ، F ₄ ، و G ₂ )، هي في الواقع جبر لي البسيط الوحيد على الأعداد المركبة.

كل جبر لي شبه بسيط على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية هو مجموع مباشر لجبر لي بسيط (بحسب التعريف)، وينقسم جبر لي البسيط ذو الأبعاد المحدودة إلى أربع عائلات - A _{_n} ، B _{_n} ، C _{_n} ، وD_{_n} - باستثناء خمس عائلات هي E _₆ ، E _₇ ، E _₈ ، F_₄ ، و G_₂ . يُصنف جبر لي البسيط بواسطة مخططات دينكين المتصلة ، الموضحة على اليمين، بينما يتوافق جبر لي شبه البسيط مع مخططات دينكين غير المتصلة بالضرورة، حيث يمثل كل مكون من مكونات المخطط حدًا من حدود تفكيك جبر لي شبه البسيط إلى جبر لي بسيط.

يتم التصنيف من خلال النظر في جبر كارتان الجزئي (انظر أدناه) وتأثيره المرافق على جبر لي. يحدد نظام جذور هذا التأثير جبر لي الأصلي، ويجب أن يكون له شكل مقيد للغاية، يمكن تصنيفه باستخدام مخططات دينكين. راجع القسم أدناه الذي يصف جبر كارتان الجزئي وأنظمة جذوره لمزيد من التفاصيل.

يُعتبر هذا التصنيف على نطاق واسع أحد أكثر النتائج أناقةً في الرياضيات، إذ تُفضي قائمة مختصرة من البديهيات، عبر برهان قصير نسبيًا، إلى تصنيف كامل ولكنه غير بديهي ذي بنية مُدهشة. ويُقارن هذا بتصنيف الزمر البسيطة المنتهية ، وهو أكثر تعقيدًا بكثير.

إن تعداد العائلات الأربع غير متكرر ويتكون فقط من عمليات جبرية بسيطة إذا${\displaystyle n\geq 1}$لـ A _n ،${\displaystyle n\geq 2}$لـ B _n ،${\displaystyle n\geq 3}$لـ C _n ، و${\displaystyle n\geq 4}$بالنسبة لـ D _n . إذا بدأ المرء بالترقيم الأدنى، فإن التعداد يصبح زائداً عن الحاجة، ويكون لدى المرء تماثلات استثنائية بين جبر لي البسيط، والتي تنعكس في تماثلات مخططات دينكين ؛ يمكن أيضًا تمديد E _{n إلى الأسفل، ولكن ما دون E 6} متماثل مع جبر آخر غير استثنائي.

في حقل غير مغلق جبريًا، يكون التصنيف أكثر تعقيدًا؛ إذ تُصنَّف جبر لي البسيط فوق الإغلاق الجبري، ثم لكل منها، تُصنَّف جبر لي البسيط فوق الحقل الأصلي الذي له هذا الشكل (فوق الإغلاق). على سبيل المثال، لتصنيف جبر لي الحقيقي البسيط، تُصنَّف جبر لي الحقيقي ذو التعقيد المُعطى، والمعروفة بالأشكال الحقيقية لجبر لي المركب؛ ويمكن القيام بذلك باستخدام مخططات ساتيك ، وهي مخططات دينكين مع بيانات إضافية ("زخارف"). ^{[ 12 ]}

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي شبه بسيط (محدود الأبعاد) على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفر. عندئذٍ، كما في #Structure ،${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$أين${\displaystyle \Phi }$هو نظام الجذور. اختر الجذور البسيطة في${\displaystyle \Phi }$جذر${\displaystyle \alpha }$ل${\displaystyle \Phi }$يُطلق عليه حينها اسم موجب ويُرمز له بـ${\displaystyle \alpha >0}$إذا كانت عبارة عن توليفة خطية من الجذور البسيطة ذات المعاملات الصحيحة غير السالبة. ليكن${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$، وهو جبر فرعي قابل للحل الأقصى من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، الجبر الفرعي بوريل .

ليكن V نظامًا بسيطًا (قد يكون ذا أبعاد لا نهائية).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-وحدة نمطية. إذا حدث أن V تقبل${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$متجه الوزن${\displaystyle v_{0}}$[ ^{13 ]} إذن فهو فريد حتى القياس ويُسمى متجه الوزن الأعلى لـ ^V. وهو أيضًا${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$متجه الوزن و${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-وزن${\displaystyle v_{0}}$، دالة خطية لـ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$يُطلق عليه أعلى وزن لـ V. وتتلخص الحقائق الأساسية، وإن كانت غير بديهية ^{[ 14 ]} ، فيما يلي: (1) لكل دالة خطية${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$يوجد شيء بسيط${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-وحدة${\displaystyle V^{\mu }}$تناول${\displaystyle \mu }$(1) أن يكون وزنها الأعلى، و(2) أن يكون لوحدتين بسيطتين لهما نفس الوزن الأعلى متكافئتين. باختصار، يوجد تقابل بين${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ومجموعة فئات التكافؤ للبسيطة${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-وحدات تقبل متجه وزن بوريل.

بالنسبة للتطبيقات، غالبًا ما يكون المرء مهتمًا بنموذج بسيط ذي أبعاد محدودة${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-وحدة نمطية (تمثيل غير قابل للاختزال ذو أبعاد محدودة). ويصدق هذا بشكل خاص عندما${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر لي لمجموعة لي (أو تعقيدها)، لأنه، عبر تناظر لي ، يمكن دمج تمثيل جبر لي مع تمثيل مجموعة لي عند التغلب على العوائق. ثم يلبي المعيار التالي هذه الحاجة: بواسطة غرفة فايل الموجبة${\displaystyle C\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$، نعني المخروط المحدب${\displaystyle C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}}$أين${\displaystyle h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]}$هو متجه فريد بحيث${\displaystyle \alpha (h_{\alpha })=2}$ثم ينص المعيار على ما يلي: ^{[ 15 ]}

• ${\displaystyle \dim V^{\mu }<\infty }$إذا وفقط إذا، لكل جذر موجب${\displaystyle \alpha >0}$(1)${\displaystyle \mu (h_{\alpha })}$(1) عدد صحيح و (2)${\displaystyle \mu }$يكمن في${\displaystyle C}$.

دالة خطية${\displaystyle \mu }$يُطلق على ما يحقق شرط التكافؤ المذكور أعلاه اسم الوزن التكاملي المهيمن. وبالتالي، باختصار، يوجد تقابل بين الأوزان التكاملية المهيمنة وفئات التكافؤ للعناصر البسيطة ذات الأبعاد المحدودة${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-الوحدات، والنتيجة المعروفة باسم نظرية الوزن الأعلى . يتم حساب خاصية الوحدة البسيطة ذات الأبعاد المحدودة بالتناوب بواسطة صيغة خاصية ويل .

تنص نظرية فايل على أنه، على حقل ذي خاصية صفرية، كل وحدة نمطية ذات أبعاد منتهية لجبر لي شبه بسيط${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$قابلة للاختزال تمامًا ؛ أي أنها مجموع مباشر لعناصر بسيطة${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-وحدات. وبالتالي، تنطبق النتائج المذكورة أعلاه على التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لجبر لي شبه البسيط.

بالنسبة لجبر لي شبه البسيط على حقل ذي خاصية صفرية ولكنه ليس مغلقًا جبريًا، لا توجد نظرية بنية عامة كتلك الخاصة بتلك الموجودة على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية. ولكن على حقل الأعداد الحقيقية، لا تزال نتائج البنية موجودة.

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي شبه بسيط حقيقي ذو أبعاد منتهية و${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$تعقيدها (وهو أمر شبه بسيط مرة أخرى). جبر لي الحقيقي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُطلق عليه الشكل الحقيقي لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$يُطلق على الشكل الحقيقي اسم الشكل المضغوط إذا كان شكل كيلينج عليه سالبًا محددًا؛ فهو بالضرورة جبر لي لمجموعة لي مضغوطة (ومن هنا جاء الاسم).

لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$، ثم${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$يمكن اعتبارها الجبر الفرعي القطري لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، وهي تتكون من مصفوفات قطرية مجموع عناصرها القطرية يساوي صفرًا.${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$له أبعاد${\displaystyle n-1}$، نرى ذلك${\displaystyle \mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$لديه رتبة${\displaystyle n-1}$.

متجهات الجذر${\displaystyle X}$في هذه الحالة، يمكن اعتبارها المصفوفات${\displaystyle E_{i,j}}$مع${\displaystyle i\neq j}$، أين${\displaystyle E_{i,j}}$هي المصفوفة التي تحتوي على الرقم 1 في${\displaystyle (i,j)}$^{[ 18 ]} إذا​${\displaystyle H}$هي مصفوفة قطرية ذات عناصر قطرية${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ثم لدينا

${\displaystyle [H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}}$.

وهكذا، فإن جذور${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$هي الدوال الخطية${\displaystyle \alpha _{i,j}}$مقدم من

${\displaystyle \alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$.

بعد تحديد${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$بثنائيتها، تصبح الجذور متجهات${\displaystyle \alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}}$في نطاق${\displaystyle n}$-الصفوف التي مجموعها يساوي صفرًا. هذا هو النظام الجذري المعروف باسم${\displaystyle A_{n-1}}$في وضع العلامات التقليدية.

الانعكاس المرتبط بالجذر${\displaystyle \alpha _{i,j}}$أعمال بشأن${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$عن طريق تبديل${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$المدخلات القطرية. وبالتالي، فإن مجموعة ويل هي ببساطة مجموعة التبديلات على${\displaystyle n}$العناصر، التي تعمل عن طريق تبديل المدخلات القطرية للمصفوفات في${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$.

تسمح جبر لي شبه البسيط ببعض التعميمات. أولًا، العديد من العبارات الصحيحة لجبر لي شبه البسيط صحيحة بشكل أعم لجبر لي الاختزالي . من الناحية المجردة، جبر لي الاختزالي هو جبر يكون تمثيله المرافق قابلًا للاختزال تمامًا ، بينما من الناحية العملية، جبر لي الاختزالي هو مجموع مباشر لجبر لي شبه بسيط وجبر لي أبلي ؛ على سبيل المثال،${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$هو شبه بسيط، و${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$هي اختزالية. تعتمد العديد من خصائص جبر لي شبه البسيط فقط على الاختزالية.

Many properties of complex semisimple/reductive Lie algebras are true not only for semisimple/reductive Lie algebras over algebraically closed fields, but more generally for split semisimple/reductive Lie algebras over other fields: semisimple/reductive Lie algebras over algebraically closed fields are always split, but over other fields this is not always the case. Split Lie algebras have essentially the same representation theory as semisimple Lie algebras over algebraically closed fields, for instance, the splitting Cartan subalgebra playing the same role as the Cartan subalgebra plays over algebraically closed fields. This is the approach followed in (Bourbaki 2005), for instance, which classifies representations of split semisimple/reductive Lie algebras.

A connected Lie group is called semisimple if its Lie algebra is a semisimple Lie algebra, i.e. a direct sum of simple Lie algebras. It is called reductive if its Lie algebra is a direct sum of simple and trivial (one-dimensional) Lie algebras. Reductive groups occur naturally as symmetries of a number of mathematical objects in algebra, geometry, and physics. For example, the group ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$ of symmetries of an n-dimensional real vector space (equivalently, the group of invertible matrices) is reductive.

• Lie algebra
• Root system
• Lie algebra representation
• Compact group
• Simple Lie group
• Borel subalgebra
• Jacobson–Morozov theorem