معادلة ساين-غوردون

معادلة ساين -غوردون هي معادلة تفاضلية جزئية غير خطية من الدرجة الثانية لدالة${\displaystyle \varphi }$يعتمد على متغيرين يُشار إليهما عادةً بـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle t}$، والتي تتضمن عامل الموجة وجيب${\displaystyle \varphi }$.

طُرحت هذه المعادلة لأول مرة من قِبل إدموند بور ( 1862 ) في سياق دراسته للأسطح ذات الانحناء السالب الثابت، تحت مسمى معادلة غاوس-كوداتزي للأسطح ذات الانحناء الغاوسي الثابت -1 في الفضاء ثلاثي الأبعاد . ^{[ 1 ]} أُعيد اكتشاف هذه المعادلة من قِبل ياكوف فرينكل وتاتيانا كونتوروفا ( 1939 ) في دراستهما لانخلاعات البلورات، والمعروفة بنموذج فرينكل-كونتوروفا . ^{[ 2 ]}  

حظيت هذه المعادلة باهتمام كبير في سبعينيات القرن الماضي نظرًا لوجود حلول السوليتون ، ^{[ 3 ]} وهي مثال على معادلة تفاضلية جزئية قابلة للتكامل . ومن بين المعادلات التفاضلية الجزئية القابلة للتكامل المعروفة، تُعد معادلة ساين-غوردون النظام النسبي الوحيد نظرًا لثباتها تحت تأثير لورنتز .

إن اسم "معادلة ساين-غوردون" هو تورية على معادلة كلاين-غوردون المعروفة في الفيزياء: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.}$$

معادلة ساين-غوردون هي معادلة أويلر-لاغرانج للحقل الذي تُعطى كثافته اللاغرانجية بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .}$$

باستخدام متسلسلة تايلور لتوسيع جيب التمام في لاغرانجيان،

$${\displaystyle \cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}},}$$

يمكن إعادة كتابتها على أنها لاغرانجيان كلاين-غوردون بالإضافة إلى حدود من الرتبة الأعلى:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$$

من السمات المثيرة للاهتمام في معادلة ساين-غوردون وجود حلول السوليتون وحلول السوليتون المتعددة.

حلول السوليتون الواحد

معادلة ساين-غوردون لها الحلول التالية المكونة من 1- سوليتون :

$${\displaystyle \varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right),}$$

أين

$${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}},}$$

ويُفترض الشكل الأكثر عمومية للمعادلة:

$${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.}$$

الحل ذو السوليتون الواحد الذي اخترنا له الجذر الموجب لـ${\displaystyle \gamma }$يُطلق عليه اسم " الانحناء" ويمثل التواءً في المتغير${\displaystyle \varphi }$مما ينقل النظام من حل ثابت واحد${\displaystyle \varphi =0}$إلى حل ثابت مجاور${\displaystyle \varphi =2\pi }$الولايات${\displaystyle \varphi \cong 2\pi n}$تُعرف هذه الحالات بحالات الفراغ، لأنها حلول ثابتة ذات طاقة صفرية. حل السوليتون الأحادي الذي نأخذ فيه الجذر السالب لـ${\displaystyle \gamma }$يُطلق عليه اسم مضاد الانحناء . يمكن الحصول على شكل حلول السوليتون الواحد من خلال تطبيق تحويل باكلوند على الحل التافه (الفراغ) وتكامل التفاضلات من الدرجة الأولى الناتجة:

$${\displaystyle \varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2}},}$$

$${\displaystyle \varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}}{\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0}$$

إلى الأبد.

يمكن تصور حلول السوليتون الأحادي باستخدام نموذج ساين-غوردون للشريط المرن الذي قدمه خوليو روبنشتاين عام 1970. ^{[ 8 ]} هنا، نعتبر الالتواء باتجاه عقارب الساعة ( يساري ) للشريط المرن بمثابة انحناء ذي شحنة طوبولوجية.${\displaystyle \theta _{\text{K}}=-1}$الالتواء البديل عكس اتجاه عقارب الساعة ( الالتواء الأيمن ) مع الشحنة الطوبولوجية${\displaystyle \theta _{\text{AK}}=+1}$سيكون مضادًا للانحرافات الجنسية.

حلول ثنائية السوليتون

يمكن الحصول على حلول متعددة السوليتونات من خلال تطبيق تحويل باكلوند بشكل متواصل على حل السوليتون الأحادي، وفقًا لما تحدده شبكة بيانكي التي تربط النتائج المحولة. ^{[ 10 ]} تُظهر حلول السوليتونين لمعادلة ساين-غوردون بعض السمات المميزة للسوليتونات. تمر انحناءات ساين-غوردون المتحركة، سواء كانت انحناءات حادة أو انحناءات مضادة، عبر بعضها البعض كما لو كانت نفاذة تمامًا، والتأثير الوحيد الملحوظ هو انزياح الطور . ولأن السوليتونات المتصادمة تستعيد سرعتها وشكلها ، يُطلق على هذا التفاعل اسم التصادم المرن .

يُعطى حل الانحناء المزدوج بالصيغة التالية: $${\displaystyle \varphi _{K/K}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\cosh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

بينما يُعطى حل الانحناء-مضاد الانحناء بواسطة $${\displaystyle \varphi _{K/AK}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\cosh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\sinh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

تنشأ حلول أخرى مثيرة للاهتمام لثنائي السوليتون من إمكانية وجود سلوك انحناء-انعطاف مقترن يُعرف باسم " التنفس" . وهناك ثلاثة أنواع معروفة من التنفس: التنفس الثابت ، والتنفس المتحرك ذو السعة الكبيرة ، والتنفس المتحرك ذو السعة الصغيرة . ^{[ 11 ]}

يُعطى حل التنفس أثناء الوقوف بالصيغة التالية: $${\displaystyle \varphi (x,t)=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right).}$$

حلول ثلاثية السوليتون

تؤدي تصادمات 3-سوليتونات بين انحناء متحرك وموجة تنفس ثابتة، أو بين انحناء مضاد متحرك وموجة تنفس ثابتة، إلى إزاحة طورية في موجة التنفس الثابتة. في عملية التصادم بين انحناء متحرك وموجة تنفس ثابتة، تحدث إزاحة في موجة التنفس الثابتة.${\displaystyle \Delta _{\text{B}}}$يُعطى بواسطة

$${\displaystyle \Delta _{\text{B}}={\frac {2\operatorname {artanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K}}^{2})}}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}},}$$

أين${\displaystyle v_{\text{K}}}$هي سرعة الانحناء، و${\displaystyle \omega }$هو معدل التنفس. ^{[ 11 ]} إذا كان الوضع القديم للتنفس أثناء الوقوف هو${\displaystyle x_{0}}$بعد التصادم، سيكون الوضع الجديد هو${\displaystyle x_{0}+\Delta _{\text{B}}}$.

لنفترض أن${\displaystyle \varphi }$هو حل لمعادلة ساين-غوردون $${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .\,}$$

ثم النظام $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{u}&=\varphi _{u}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {\psi +\varphi }{2}}{\Bigr )}\\\psi _{v}&=-\varphi _{v}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {\psi -\varphi }{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$$ حيث a هو مُعامل اختياري، قابل للحل لدالة${\displaystyle \psi }$وهذا سيحقق أيضًا معادلة ساين-غوردون. هذا مثال على تحويل باكلوند الذاتي، حيث أن كليهما${\displaystyle \varphi }$و${\displaystyle \psi }$هي حلول لنفس المعادلة، أي معادلة ساين-غوردون.

باستخدام نظام المصفوفات، من الممكن أيضًا إيجاد تحويل باكلوند الخطي لحلول معادلة ساين-جوردون.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \varphi }$هو الحل البسيط${\displaystyle \varphi \equiv 0}$، ثم${\displaystyle \psi }$هو حل السوليتون الواحد مع${\displaystyle a}$يتعلق ذلك بالتعزيز المطبق على السوليتون.

الشحنة الطوبولوجية أو عدد اللفات للحل${\displaystyle \varphi }$يكون $${\displaystyle N={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\left[\varphi (x=\infty ,t)-\varphi (x=-\infty ,t)\right].}$$ طاقة المحلول​${\displaystyle \varphi }$يكون $${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} }dx\left({\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}+\varphi _{x}^{2})+m^{2}(1-\cos \varphi )\right)}$$حيث أُضيفت كثافة طاقة ثابتة بحيث يكون الجهد غير سالب. وبذلك، يتطابق الحدّان الأولان في متسلسلة تايلور للجهد مع جهد حقل قياسي ذي كتلة، كما ذُكر في قسم التسمية؛ ويمكن اعتبار الحدود ذات الرتبة الأعلى تفاعلات.

تبقى الشحنة الطوبولوجية محفوظة إذا كانت الطاقة محدودة. ولا تحدد الشحنة الطوبولوجية الحل، حتى مع وجود تعزيزات لورنتز. ويتمتع كل من الحل التافه وحل زوج السوليتون-مضاد السوليتون بـ${\displaystyle N=0}$.

معادلة ساين-غوردون مكافئة لانحناء سطح معين${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$- الاتصال قيد التشغيل${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$يساوي الصفر. ^{[ 12 ]}

بشكل صريح، باستخدام الإحداثيات${\displaystyle (u,v)}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$مكونات الاتصال${\displaystyle A_{\mu }}$يتم تقديمها بواسطة $${\displaystyle A_{u}={\begin{pmatrix}i\lambda &{\frac {i}{2}}\varphi _{u}\\{\frac {i}{2}}\varphi _{u}&-i\lambda \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\varphi _{u}i\sigma _{1}+\lambda i\sigma _{3},}$$$${\displaystyle A_{v}={\begin{pmatrix}-{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi &-{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi \\{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi &{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi \end{pmatrix}}=-{\frac {1}{4\lambda }}i\sin \varphi \sigma _{2}-{\frac {1}{4\lambda }}i\cos \varphi \sigma _{3},}$$ حيث${\displaystyle \sigma _{i}}$هي مصفوفات باولي . عندئذٍ تكون معادلة الانحناء الصفري $${\displaystyle \partial _{v}A_{u}-\partial _{u}A_{v}+[A_{u},A_{v}]=0}$$

وهي مكافئة لمعادلة ساين-غوردون${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi }$تُسمى معادلة الانحناء الصفري بهذا الاسم لأنها تُشير إلى أن الانحناء يساوي صفرًا إذا تم تعريفه.${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]}$.

زوج المصفوفات${\displaystyle A_{u}}$و${\displaystyle A_{v}}$تُعرف أيضًا باسم زوج لاكس لمعادلة ساين-غوردون، بمعنى أن معادلة الانحناء الصفري تستعيد المعادلة التفاضلية الجزئية بدلاً من أن تحقق معادلة لاكس.

المعادلة sinh-Gordon معطاة بواسطة ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .}$$

هذه هي معادلة أويلر-لاغرانج للدالة اللاغرانجية

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .}$$

معادلة أخرى وثيقة الصلة هي معادلة ساين-غوردون الإهليلجية أو معادلة ساين-غوردون الإقليدية ، والتي تُعطى بواسطة

$${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,}$$

أين${\displaystyle \varphi }$أصبحت الآن دالة للمتغيرين x و y . لم تعد هذه معادلة سوليتون، لكنها تتمتع بالعديد من الخصائص المشابهة، حيث إنها مرتبطة بمعادلة ساين-غوردون من خلال الاستمرار التحليلي (أو دوران ويك ) y  =  i t .

يمكن تعريف معادلة sinh-Gordon الإهليلجية بطريقة مماثلة.

معادلة أخرى مماثلة تأتي من معادلة أويلر-لاغرانج لنظرية حقل ليوفيل

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=2e^{2\varphi }.}$$

تُقدّم نظرية حقل تودا تعميمًا لهذا المفهوم . ^{[ 14 ]} وبشكل أدق، فإن نظرية حقل ليوفيل هي نظرية حقل تودا لجبر كاك-مودي المحدود.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$بينما تمثل sin(h)-غوردون نظرية حقل تودا لجبر كاك-مودي الأفيني${\displaystyle {\hat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$.

يمكن أيضًا دراسة نموذج ساين-غوردون على دائرة، ^{[ 15 ]} أو على قطعة مستقيمة، أو على نصف مستقيم. ^{[ 16 ]} من الممكن إيجاد شروط حدودية تحافظ على قابلية النموذج للتكامل. ^{[ 16 ]} على نصف مستقيم، يحتوي الطيف على حالات مقيدة حدودية بالإضافة إلى السوليتونات والموجات المتنفسة. ^{[ 16 ]}

في نظرية الحقل الكمومي، يحتوي نموذج ساين-غوردون على مُعامل يُمكن تحديده بثابت بلانك . يتألف طيف الجسيمات من سوليتون، ومضاد سوليتون، وعدد محدود (قد يكون صفرًا) من النبضات . ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} يعتمد عدد النبضات على قيمة المُعامل. يتلاشى إنتاج الجسيمات المتعددة عند غلاف الكتلة.

أجرى لودفيج فادييف وفلاديمير كوريبين عملية التكميم شبه الكلاسيكي لنموذج ساين-غوردون . ^{[ 20 ]} واكتشف ألكسندر زامولودتشيكوف مصفوفة التشتت الكمومي الدقيقة . ^{[ 21 ]} هذا النموذج هو ثنائي S لنموذج ثيرينغ ، كما اكتشفه كولمان . ^{[ 22 ]} يُعرف هذا أحيانًا باسم تناظر كولمان، ويُعد مثالًا على تناظر البوزون-الفيرميون في حالة التفاعل. كما أوضحت هذه المقالة أن الثوابت الظاهرة في النموذج تتصرف بشكل جيد عند إعادة التطبيع : فهناك ثلاثة معلمات.${\displaystyle \alpha _{0},\beta }$و${\displaystyle \gamma _{0}}$أظهر كولمان${\displaystyle \alpha _{0}}$لا تتلقى سوى تصحيح ضربي،${\displaystyle \gamma _{0}}$لا يتلقى سوى تصحيح إضافي، و${\displaystyle \beta }$لا تتم إعادة تطبيعها. علاوة على ذلك، بالنسبة لقيمة حرجة غير صفرية${\displaystyle \beta ={\sqrt {4\pi }}}$، في الواقع، هذه النظرية هي ثنائية لنظرية حقل ديراك الكتلي الحر .

ينبغي تعديل معادلة ساين-غوردون الكمومية بحيث تصبح الدوال الأسية عوامل رأسية.

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QsG}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi +{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}-\alpha (V_{\beta }+V_{-\beta })}$$

مع${\displaystyle V_{\beta }=:e^{i\beta \varphi }:}$حيث تشير الفواصل المنقوطة إلى الترتيب الطبيعي . تم تضمين حد الكتلة المحتمل.

تمت دراسة نموذج ساين-غوردون العشوائي أو الديناميكي بواسطة مارتن هاير وهاو شين ^{[ 25 ]} مما يسمح بإثبات النتائج الاستدلالية من نظرية ساين-غوردون الكمومية في إطار إحصائي.

المعادلة هي $${\displaystyle \partial _{t}u={\frac {1}{2}}\Delta u+c\sin(\beta u+\theta )+\xi ,}$$ أين${\displaystyle c,\beta ,\theta }$هي ثوابت ذات قيم حقيقية، و${\displaystyle \xi }$هو ضوضاء بيضاء في الزمكان . تم تثبيت بُعد المكان على 2. في إثبات وجود الحلول، العتبات${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {n}{n+1}}8\pi }$تلعب مرة أخرى دورًا في تحديد تقارب بعض المصطلحات.

يوجد أيضًا امتداد فائق التناظر لنموذج ساين-غوردون. ^{[ 26 ]} ويمكن إيجاد شروط حدودية تحافظ على التكامل لهذا الامتداد أيضًا. ^{[ 26 ]}

ينشأ نموذج ساين-غوردون كحد متصل لنموذج فرينكل-كونتوروفا الذي يمثل انخلاعات البلورات.

تُوصَف الديناميكيات في وصلات جوزيفسون الطويلة بشكل جيد بواسطة معادلات ساين-غوردون، وعلى العكس من ذلك، فإنها توفر نظامًا تجريبيًا مفيدًا لدراسة نموذج ساين-غوردون. ^{[ 27 ]}

يُصنَّف نموذج ساين-غوردون ضمن فئة العمومية نفسها التي يُصنَّف ضمنها الفعل الفعال لغاز كولوم من الدوامات والدوامات المضادة في نموذج XY الكلاسيكي المتصل ، وهو نموذج للمغناطيسية. ^{[ 28 ] [ 29 ]} وبالتالي، يُمكن اشتقاق انتقال كوستيرليتز-ثاوليس للدوامات من تحليل مجموعة إعادة التطبيع لنظرية حقل ساين-غوردون. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

تنشأ معادلة ساين-غوردون أيضًا كحد متصل رسمي لنموذج مختلف للمغناطيسية، وهو نموذج هايزنبرغ الكمي ، وتحديدًا نموذج XXZ. ^{[ 32 ]}

• تأثير جوزيفسون
• فلوكسون
• شكل الأمواج

• معادلة ساين-غوردون في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
• معادلة سينه-غوردون في موقع EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
• معادلة ساين-غوردون مؤرشفة بتاريخ 16-03-2012 في Wayback Machine في NEQwiki، موسوعة المعادلات غير الخطية.