منحنى يملأ الفراغ

في التحليل الرياضي ، يُعرف المنحنى الذي يملأ الفراغ بأنه منحنى يمتد مداه إلى كل نقطة في منطقة ذات أبعاد أعلى، وعادةً ما يكون مربع الوحدة (أو بشكل أعم، مكعب فائق الوحدة ذو أبعاد n ). ولأن جوزيبي بيانو (1858-1932) كان أول من اكتشفه، تُسمى المنحنيات التي تملأ الفراغ في المستوى ثنائي الأبعاد أحيانًا بمنحنيات بيانو ، ولكن هذا المصطلح يشير أيضًا إلى منحنى بيانو ، وهو المثال المحدد لمنحنى يملأ الفراغ الذي اكتشفه بيانو.

يمكن اعتبار منحنيات FASS (وهي اختصار لـ "منحنيات تملأ الفراغ تقريبًا، وتتجنب الانحراف الذاتي، وبسيطة، ومتشابهة ذاتيًا") ، ذات الصلة الوثيقة ، تقريبات محدودة لنوع معين من منحنيات ملء الفراغ. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

بشكل بديهي، يمكن اعتبار المنحنى في بعدين أو ثلاثة (أو أكثر) مسارًا لنقطة متحركة باستمرار. ولإزالة الغموض المتأصل في هذا المفهوم، قدم جوردان في عام 1887 التعريف الدقيق التالي، والذي تم اعتماده منذ ذلك الحين كوصف دقيق لمفهوم المنحنى :

في الشكل الأكثر عمومية، قد يقع مدى هذه الدالة في فضاء طوبولوجي عشوائي ، ولكن في الحالات الأكثر شيوعًا التي تمت دراستها، سيقع المدى في فضاء إقليدي مثل المستوى ثنائي الأبعاد ( منحنى مستوٍ ) أو الفضاء ثلاثي الأبعاد ( منحنى فضائي ).

أحيانًا، يُعرَّف المنحنى بصورة الدالة (مجموعة جميع القيم الممكنة للدالة)، بدلًا من الدالة نفسها. كما يُمكن تعريف المنحنيات التي لا تحتوي على نقاط نهاية على أنها دالة متصلة على خط الأعداد الحقيقية (أو على الفترة المفتوحة (0، 1) ). 

في عام ١٨٩٠، اكتشف جوزيبي بيانو منحنىً متصلاً، يُعرف الآن بمنحنى بيانو ، يمر بكل نقطة من نقاط المربع الواحدي. ^{[ ٧ ]} كان هدفه إنشاء دالة متصلة من الفترة الواحدة إلى المربع الواحدي . استلهم بيانو فكرته من نتيجة جورج كانتور السابقة غير البديهية، والتي تنص على أن العدد اللانهائي من النقاط في الفترة الواحدة يساوي عدد النقاط اللانهائي في أي فضاء متعدد الأبعاد محدود ، مثل المربع الواحدي. تمثلت المشكلة التي حلها بيانو في إمكانية أن تكون هذه الدالة متصلة؛ أي منحنى يملأ الفضاء. لم يُنشئ حل بيانو تطابقًا تامًا بين الفترة الواحدة والمربع الواحدي، بل إن هذا التطابق غير موجود (انظر قسم  الخصائص أدناه).

كان من الشائع ربط مفاهيم غامضة كالرقة والأحادية البعد بالمنحنيات؛ فجميع المنحنيات التي نصادفها عادةً قابلة للتفاضل على أجزاء (أي أن مشتقاتها متصلة على أجزاء)، ولا يمكن لهذه المنحنيات أن تملأ المربع الواحدي بالكامل. لذلك، وُجد أن منحنى بيانو الذي يملأ الفراغ منافٍ للحدس إلى حد كبير.

انطلاقاً من مثال بيانو، كان من السهل استنتاج المنحنيات المتصلة التي تشمل نطاقاتها المكعب الفائق ذي الأبعاد n (لأي عدد صحيح موجب n ). كما كان من السهل أيضاً توسيع مثال بيانو ليشمل المنحنيات المتصلة التي لا تحتوي على نقاط نهاية، والتي تملأ الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n بالكامل (حيث n يساوي 2 أو 3 أو أي عدد صحيح موجب آخر).

يتم إنشاء معظم المنحنيات المعروفة التي تملأ الفراغ بشكل تكراري كحد لتسلسل من المنحنيات الخطية المتصلة جزئيًا ، حيث يقترب كل منها بشكل أوثق من حد ملء الفراغ.

لم تتضمن مقالة بيانو الرائدة أي رسوم توضيحية لبنائه، الذي يُعرَّف بدلالة التوسعات الثلاثية وعامل الانعكاس . لكن البناء البياني كان واضحًا تمامًا بالنسبة له، فقد صنع بلاطة زخرفية تُظهر صورة المنحنى في منزله في تورينو. وتختتم مقالة بيانو أيضًا بملاحظة أنه يمكن توسيع هذه التقنية بشكل واضح لتشمل قواعد فردية أخرى إلى جانب القاعدة 3. وكان اختياره تجنب أي استخدام للتصور البياني مدفوعًا برغبة في الحصول على برهان دقيق تمامًا لا يعتمد على الصور. في ذلك الوقت (بداية تأسيس الطوبولوجيا العامة)، كانت الحجج البيانية لا تزال تُستخدم في البراهين، إلا أنها أصبحت عائقًا أمام فهم النتائج التي غالبًا ما تكون غير بديهية.

بعد عام، نشر ديفيد هيلبرت في نفس المجلة صيغة معدلة من صيغة بيانو. ^{[ 8 ]} وكانت مقالة هيلبرت أول من تضمن صورة توضيحية تساعد على تصور أسلوب الإنشاء، وهو مطابق تقريبًا لما هو موضح هنا. إلا أن الصيغة التحليلية لمنحنى هيلبرت أكثر تعقيدًا من صيغة بيانو.

يترك${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يرمز إلى فضاء كانتور${\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }}$.

نبدأ بدالة متصلة${\displaystyle h}$من مساحة كانتور${\displaystyle {\mathcal {C}}}$على كامل فترة الوحدة${\displaystyle [0,\,1]}$(يُعدّ تقييد دالة كانتور على مجموعة كانتور مثالاً على هذه الدالة). ومنها نحصل على دالة متصلة.${\displaystyle H}$من المنتج الطوبولوجي${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$على كامل مربع الوحدة${\displaystyle [0,\,1]\;\times \;[0,\,1]}$عن طريق الضبط

$${\displaystyle H(x,y)=(h(x),h(y)).\,}$$

منذ أن وضع كانتور${\displaystyle {\mathcal {C}}}$متماثلة طوبولوجيًا مع حاصل ضربها الديكارتي مع نفسها.${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$يوجد تقابل مستمر${\displaystyle g}$من مجموعة كانتور إلى${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$التركيب${\displaystyle f}$ل${\displaystyle H}$و${\displaystyle g}$هي دالة متصلة تُسقط مجموعة كانتور على المربع الكامل ذي الوحدة. (بدلاً من ذلك، يمكننا استخدام نظرية أن كل فضاء متري متراص هو صورة متصلة لمجموعة كانتور للحصول على الدالة).${\displaystyle f}$.)

وأخيرًا، يمكن للمرء أن يتوسع${\displaystyle f}$إلى دالة متصلة${\displaystyle F}$مجالها هو فترة الوحدة بأكملها${\displaystyle [0,\,1]}$يمكن القيام بذلك إما باستخدام نظرية تيتز للتمديد على كل مكون من مكونات${\displaystyle f}$أو ببساطة عن طريق التمديد${\displaystyle f}$"بشكل خطي" (أي، على كل فترة مفتوحة محذوفة)${\displaystyle (a,\,b)}$في بناء مجموعة كانتور، نحدد الجزء الممتد من${\displaystyle F}$على${\displaystyle (a,\,b)}$أن تكون القطعة المستقيمة داخل المربع الواحد التي تصل بين القيم${\displaystyle f(a)}$و${\displaystyle f(b)}$).

إذا لم يكن المنحنى أحاديًا، فيمكن إيجاد منحنيين فرعيين متقاطعين منه، يُستنتج كل منهما من خلال النظر إلى صورتين لقطعتين منفصلتين من مجال المنحنى (قطعة الوحدة المستقيمة). يتقاطع المنحنيان الفرعيان إذا كانت نقطة تقاطع الصورتين غير فارغة . قد يتبادر إلى الذهن أن معنى تقاطع المنحنيات هو بالضرورة عبورها لبعضها، كما هو الحال عند تقاطع خطين غير متوازيين من جانب إلى آخر. مع ذلك، قد يتلامس منحنيان (أو منحنيان فرعيان لمنحنى واحد) دون أن يتقاطعا، كما هو الحال، على سبيل المثال، عند مماس دائرة.

لا يمكن لمنحنى متصل غير متقاطع مع نفسه أن يملأ المربع الواحدي، لأن ذلك سيجعله تماثلاً شكلياً من الفترة الواحدية إلى المربع الواحدي (أي تقابل متصل من فضاء متراص إلى فضاء هاوسدورف هو تماثل شكلي). لكن المربع الواحدي ليس له نقطة قطع ، وبالتالي لا يمكن أن يكون متماثلاً شكلياً مع الفترة الواحدية، حيث جميع النقاط باستثناء نقاط النهاية هي نقاط قطع. توجد منحنيات غير متقاطعة مع نفسها ذات مساحة غير صفرية، وهي منحنيات أوسغود ، لكنها، بحسب نظرية نيتو، لا تملأ الفضاء. ^{[ 9 ]}

بالنسبة لمنحنيات بيانو وهيلبرت الكلاسيكية لملء الفراغ، حيث يتقاطع منحنيان فرعيان (بالمعنى التقني)، يحدث تلامس ذاتي دون تقاطع ذاتي. يمكن أن يكون منحنى ملء الفراغ متقاطعًا ذاتيًا (في كل مكان) إذا كانت منحنيات تقريبه متقاطعة ذاتيًا. يمكن أن تكون تقريبات منحنى ملء الفراغ متجنبة للتقاطع الذاتي، كما توضح الأشكال أعلاه. في ثلاثة أبعاد، يمكن أن تحتوي منحنيات التقريب المتجنبة للتقاطع الذاتي على عُقد . تبقى منحنيات التقريب ضمن جزء محدود من فضاء ذي أبعاد n ، لكن أطوالها تزداد بلا حدود.

المنحنيات التي تملأ الفراغ هي حالات خاصة من المنحنيات الكسورية . لا يمكن أن يوجد منحنى قابل للتفاضل يملأ الفراغ. وبشكل عام، يفرض التفاضل حدًا أقصى لسرعة دوران المنحنى. أثبت ميخال موراين أن فرضية الاستمرارية تُكافئ وجود منحنى بيانو بحيث يكون أحد مكوناته على الأقل قابلاً للتفاضل عند كل نقطة من خط الأعداد الحقيقية. ^{[ 10 ]}

تنص نظرية هان - مازوركيويتش على الوصف التالي للفضاءات التي تمثل الصورة المستمرة للمنحنيات:

تُسمى المساحات التي تمثل الصورة المستمرة لفترة الوحدة أحيانًا بمساحات بيانو .

في العديد من صيغ نظرية هان-مازوركيويتش، يُستبدل مصطلح "قابل للعد الثاني" بمصطلح "قابل للقياس" . هاتان الصيغتان متكافئتان. في اتجاه واحد، يكون فضاء هاوسدورف المدمج فضاءً طبيعيًا ، وبحسب نظرية أوريسون للقياس ، فإن "قابل للعد الثاني" يستلزم "قابل للقياس". وعلى العكس، فإن الفضاء المتري المدمج يكون "قابلًا للعد الثاني".

توجد أمثلة طبيعية عديدة لمنحنيات ملء الفراغ، أو بالأحرى ملء الكرة، في نظرية الزمر الكلاينية المنحلة مرتين . على سبيل المثال، بيّن كانون وثورستون (2007) أن الدائرة عند اللانهاية للغطاء الشامل لألياف طارة تطبيقية لتطبيق شبه أنوسوف هي منحنى ملء الكرة. (هنا الكرة هي الكرة عند اللانهاية للفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد ).

أشار وينر في كتابه "تكامل فورييه وبعض تطبيقاته" إلى أنه يمكن استخدام المنحنيات التي تملأ الفراغ لتقليل تكامل ليبيغ في الأبعاد الأعلى إلى تكامل ليبيغ في بُعد واحد.

• كانون، جيمس دبليو؛ ثورستون، ويليام بي (2007) [1982]، "منحنيات بيانو الثابتة للمجموعة"، الهندسة والطوبولوجيا ، 11 (3): 1315-1355 ، doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 ، ISSN 1465-3060 ، MR 2326947  
• هيلبرت د. (1891)، “Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück” ، Mathematische Annalen (في الألمانية)، 38 (3): 459–460 ، دوى : 10.1007 / BF01199431 ، S2CID 123643081 
• ماندلبروت، ب.ب. (1982)، "الفصل 7: تسخير منحنيات وحش البيانو"، الهندسة الكسورية للطبيعة ، دبليو إتش فريمان، رمز Bibcode : 1982fgn..book.....M.
• ماكينا، دوغلاس م. (1994)، "المنحنيات المربعة، والجولات على شكل حرف E، والدوامات، والهيجان: عائلات أساسية من منحنيات بيانو على الشبكة المربعة"، في غاي، ريتشارد ك .؛ وودرو، روبرت إي. (محرران)، الجانب الممتع من الرياضيات: وقائع مؤتمر يوجين سترينز التذكاري حول الرياضيات الترفيهية وتاريخها ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ص 49-73 ، ISBN  978-0-88385-516-4.
• Peano، G. (1890)، “Sur une courbe، qui remplit toute une aire Plan” ، Mathematische Annalen (بالفرنسية)، 36 (1): 157–160 ، دوى : 10.1007 / BF01199438 ، S2CID 179177780 .
• ساغان، هانز (1994)، منحنيات ملء الفراغ ، سلسلة Universitext، دار نشر سبرينغر، doi : 10.1007/978-1-4612-0871-6 ، ISBN 0-387-94265-3MR 1299533​ .

• منحنيات ملء الفراغ متعددة الأبعاد
• إثبات وجود تقابل عند قطع العقدة

تطبيقات جافا الصغيرة:

• ملء منحنيات سطح البيانو عند قطع العقدة
• منحنيات ملء المستوى لهيلبرت ومور عند قطع العقدة
• جميع منحنيات ملء سطح البيانو عند قطع العقدة