نظرية التناظر الفائق للديناميكيات العشوائية

إن طريقة الفيزيائيين في النظر إلى المعادلة التفاضلية العشوائية هي في الأساس نظام ديناميكي غير مستقل ذو زمن مستمر يمكن تعريفه على النحو التالي: $${\displaystyle {\dot {x}}(t)=F(x(t))+(2\Theta )^{1/2}G_{a}(x(t))\xi ^{a}(t)\equiv {\mathcal {F}}(\xi (t)),}$$ أين${\textstyle x\in X}$هي نقطة في مشعب مغلق أملس ،${\textstyle X}$يُطلق عليه في نظرية الأنظمة الديناميكية اسم فضاء الحالة، بينما في الفيزياء، حيث${\displaystyle X}$غالباً ما يكون فضاءً تماثلياً نصف متغيراته تحمل معنى الزخم، ويُطلق عليه فضاء الطور . علاوة على ذلك،${\displaystyle F\in TX}$هو حقل متجه تدفق سلس بدرجة كافية من الفضاء المماسي لـ${\displaystyle X}$بمعنى قانون التطور الحتمي، و${\displaystyle G_{a}\in TX,a=1,\ldots ,D_{\xi }}$هي مجموعة من حقول المتجهات السلسة بدرجة كافية والتي تحدد كيفية اقتران النظام بالضوضاء المتغيرة مع الزمن،${\displaystyle \xi (t)\in \mathbb {R} ^{D_{\xi }}}$والتي تسمى جمعية / ضربية اعتمادًا على ما إذا${\displaystyle G_{a}}$تكون المتغيرات مستقلة/تابعة للموقع على${\displaystyle X}$.

سيتم التطرق إلى عشوائية الضوضاء لاحقاً. أما الآن، فالضوضاء دالة حتمية للزمن، والمعادلة أعلاه هي معادلة تفاضلية عادية (ODE) ذات حقل متجه تدفق يعتمد على الزمن.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$تكون حلول/مسارات هذه المعادلة التفاضلية العادية قابلة للتفاضل بالنسبة للشروط الابتدائية حتى بالنسبة للشروط غير القابلة للتفاضل${\displaystyle \xi (t)}$^{[ 33 ]} بعبارة أخرى، توجد عائلة من التماثلات التفاضلية ذات المعلمتين والتي تعتمد على تكوين الضوضاء : $${\displaystyle M(\xi )_{tt'}:X\to X,M(\xi )_{tt'}\circ M(\xi )_{t't''}=M(\xi )_{tt''},\left.M(\xi )_{tt'}\right|_{t=t'}={\text{Id}}_{X},}$$ بحيث يكون حل المعادلة التفاضلية العادية مع الشرط الابتدائي${\displaystyle x(t')=x'}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي${\displaystyle x(t)=M(\xi )_{tt'}(x')}$.

يمكن الآن تعريف الديناميكيات على النحو التالي: إذا في وقت${\displaystyle t'}$يتم وصف النظام بواسطة التوزيع الاحتمالي${\displaystyle P(x)}$ثم القيمة المتوسطة لدالة ما${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$في وقت لاحق${\displaystyle t}$يُعطى بواسطة: $${\displaystyle {\bar {f}}(t)=\int _{X}f\left(M(\xi )_{tt'}(x)\right)P(x)dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{D}=\int _{X}f(x){\hat {M}}(\xi )_{t't}^{*}\left(P(x)dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{D}\right).}$$ هنا${\displaystyle {\hat {M}}(\xi )_{t't}^{*}}$هل الحركة أو التراجع ناتج عن الخريطة العكسية ؟${\displaystyle M(\xi )_{tt'}^{-1}=M(\xi )_{t't}}$، حول توزيع الاحتمالية المفهوم في إطار خالٍ من الإحداثيات كشكل تفاضلي من الدرجة العليا .

تُعدّ عمليات السحب العكسي مفهوماً أوسع، ويتم تعريفها أيضاً بالنسبة للأشكال التفاضلية من الدرجات k، أي الأشكال التفاضلية من الدرجات k الأخرى الممكنة.${\displaystyle 0\leq k\leq D=dimX}$،${\displaystyle \psi (x)=\psi _{i_{1}....i_{k}}(x)dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{k}\in \Omega ^{(k)}(x)}$، أين${\displaystyle \Omega ^{(ك)}(x)}$يمثل الفضاء جميع الأشكال من الرتبة k عند النقطة x. وفقًا للمثال أعلاه، يُعطى التطور الزمني للأشكال من الرتبة k بالصيغة التالية: $${\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {M}}(\xi )_{t't}^{*}|\psi (t')\rangle ,}$$ أين${\displaystyle |\psi \rangle \in \Omega (X)=\bigoplus \nolimits _{k=0}^{D}\Omega ^{(k)}(X)}$هي "دالة موجية" تعتمد على الزمن، وتعتمد مصطلحات نظرية الكم.

على عكس، على سبيل المثال، المسارات أو المواقع في${\displaystyle X}$، عمليات السحب هي كائنات خطية حتى بالنسبة للنماذج غير الخطية${\displaystyle X}$باعتباره كائنًا خطيًا، يمكن حساب متوسط ​​التراجع على تكوينات الضوضاء مما يؤدي إلى عامل النقل المعمم (GTO) ^{[ 4 ] [ 5 ]} - وهو نظير نظرية الأنظمة الديناميكية لعامل التطور العشوائي في نظرية المعادلات التفاضلية العشوائية و/أو نهج باريسي-سورلاس. بالنسبة للضوضاء البيضاء الغاوسية ،${\displaystyle \langle \xi ^{a}(t)\rangle _{\text{noise}}=0,\langle \xi ^{a}(t)\xi ^{b}(t')\rangle _{\text{noise}}=\delta ^{ab}\delta (t-t')}$...، سيارة GTO هي $${\displaystyle {\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=\langle {\hat {M}}(\xi )_{t't}^{*}\rangle _{\text{noise}}=e^{-(t-t'){\hat {H}}}.}$$ هنا، فإن GTO المتناهي الصغر هو عامل التطور العشوائي في تفسير ستراتونوفيتش في النهج التقليدي للمعادلات التفاضلية العشوائية، ^{[ 34 ]}$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {L}}_{F}-\Theta {\hat {L}}_{G_{a}}{\hat {L}}_{G_{a}},}$$ أين${\displaystyle {\hat {L}}_{F}}$يمثل هذا المشتق اللي على طول حقل المتجهات المحدد في الرمز السفلي. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن معناه الرياضي الأساسي - وهو التراجع المتوسط ​​على الضوضاء - يضمن أن يكون GTO فريدًا (انظر تمثيل المؤثر أدناه).

باستخدام صيغة كارتان ، يمكن القول إن مشتقة لي "دقيقة من الدرجة د"، أي يمكن التعبير عنها على سبيل المثال،${\displaystyle {\hat {L}}_{A}=[{\hat {d}},{\hat {\imath }}_{A}]}$حيث تشير الأقواس المربعة إلى المبدل ثنائي التدرج و${\displaystyle {\hat {d}}}$و${\displaystyle {\hat {\imath }}_{A}}$وهما، على التوالي، المشتقة الخارجية والضرب الداخلي على طول A ، كما يلي صراحةً

يمكن الحصول عليها، حيث${\displaystyle {\hat {\bar {d}}}={\hat {\imath }}_{\mathcal {F}}-\Theta {\hat {\imath }}_{G_{a}}{\hat {L}}_{G_{a}}}$هذا الشكل من مُعامل التطور يُشابه نظيره في ميكانيكا الكم الفائقة التناظر ، وهو سمة أساسية لنظريات الحقول الطوبولوجية من نوع ويتن. ^{[ 26 ]} ويفترض أن GTO يتبادل مع${\displaystyle {\hat {d}}}$وهي تناظر (فائق) للنموذج. يُشار إلى هذا التناظر بالتناظر الفائق الطوبولوجي (TS)، خاصةً لأن المشتق الخارجي يلعب دورًا أساسيًا في الطوبولوجيا الجبرية . يُقرن التناظر الفائق الطوبولوجي الحالات الذاتية لـ GTO في أزواج.

المؤثر GTO هو مؤثر شبه هيرميتي. ^{[ 21 ]} يمتلك نظام قيم ذاتية ثنائي التعامد كامل، حيث ترتبط المتجهات الذاتية اليسرى واليمنى، أو المتجهات الذاتية اليمنى واليسرى، ارتباطًا غير بديهي. تتمتع أنظمة القيم الذاتية للمؤثر GTO بمجموعة معينة من الخصائص العامة التي تحد من الأطياف الممكنة للنماذج ذات الدلالة الفيزيائية - تلك التي لها أطياف منفصلة وأجزاء حقيقية من القيم الذاتية محدودة من الأسفل - إلى الأنواع الرئيسية الثلاثة الموضحة في الشكل على اليمين. ^{[ 35 ]} تشمل هذه الخصائص ما يلي:

• تكون القيم الذاتية إما حقيقية أو تأتي في أزواج مركبة مترافقة تُسمى في نظرية الأنظمة الديناميكية رنينات رول-بوليكوت. يشير هذا الشكل من الطيف إلى وجود تناظر شبه انعكاسي زمني.
• لكل حالة ذاتية درجة محددة جيدًا.
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{(0,D)}}$لا تقم بكسر TS،${\displaystyle {\text{min Re}}(\operatorname {spec} {\hat {H}}^{(0,D)})=0}$.
• توفر كل مجموعة تماثلية من مجموعات دي رام "مجموعة مفردة" فائقة التناظر ذات قيمة ذاتية صفرية بحيث${\displaystyle {\hat {d}}|\theta \rangle =0,\langle \theta |{\hat {d}}=0}$القميص الداخلي من${\displaystyle {\hat {H}}^{(D)}}$هو توزيع الاحتمال الثابت المعروف باسم "الصفر الإرجودي".
• جميع الحالات الذاتية الأخرى هي "مزدوجات" غير متناظرة فائقة مرتبطة بـ TS:${\displaystyle {\hat {H}}|\alpha \rangle =H_{\alpha }|\alpha \rangle ,\;{\hat {H}}|\alpha '\rangle =H_{\alpha }|\alpha '\rangle }$و${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {H}}=\langle \alpha |H_{\alpha },\langle \alpha '|{\hat {H}}=\langle \alpha '|H_{\alpha }}$، أين${\displaystyle H_{\alpha }}$وهي القيمة الذاتية المقابلة، و${\displaystyle |\alpha '\rangle ={\hat {d}}|\alpha \rangle ,\;\langle \alpha |=\langle \alpha '|{\hat {d}}}$.

في نظرية الأنظمة الديناميكية، يمكن وصف النظام بأنه فوضوي إذا كان نصف قطر الطيف لـ GTO ذي الزمن المحدود أكبر من الواحد. في ظل هذا الشرط، تكون دالة التوزيع، $${\displaystyle Z_{tt'}=Tr{\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=\sum \nolimits _{\alpha }e^{-(t-t')H_{\alpha }},}$$ ينمو هذا الشرط نموًا أُسّيًا في حالة التطور اللانهائي، مما يشير إلى النمو الأُسّي لعدد الحلول المغلقة، وهي السمة المميزة للديناميكيات الفوضوية. وبالنسبة لنظرية التذبذب المداري الغاوسي المتناهي الصغر ، يُكتب هذا الشرط على النحو التالي: $${\displaystyle \Delta =-\min _{\alpha }{\text{Re }}H_{\alpha }>0,}$$ أين${\displaystyle \Delta }$يمثل معدل النمو الأسي المعروف باسم "الضغط"، وهو أحد أنواع الإنتروبيا الديناميكية مثل الإنتروبيا الطوبولوجية . ويحقق الطيفان b و c في الشكل هذا الشرط.

تتمثل إحدى المزايا البارزة لتعريف الفوضى العشوائية بهذه الطريقة، مقارنةً بالأساليب الأخرى الممكنة، في تكافؤها مع الانهيار التلقائي للتناظر الفائق الطوبولوجي (انظر أدناه). وبالتالي، من خلال نظرية غولدستون، لديها القدرة على تفسير البصمة التجريبية للسلوك الفوضوي، والمعروفة باسم ضوضاء 1/f .

ومن بين الأشياء الأخرى التي تستحق الاهتمام الأثر الحاد لمتجه الانتقال الجغرافي. $${\displaystyle W=Tr(-1)^{\hat {k}}{\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{k_{\alpha }}e^{-(t-t')H_{\alpha }},}$$ أين${\displaystyle {\hat {k}}|\psi _{\alpha }\rangle =k_{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle }$مع${\displaystyle {\hat {k}}}$باعتباره مؤثر درجة الشكل التفاضلي. هذا عنصر أساسي ذو طبيعة طوبولوجية يُعرف في الفيزياء باسم مؤشر ويتن . من خصائص نظام القيم الذاتية لـ GTO، لا تُساهم في مؤشر ويتن إلا القيم المفردة المتناظرة الفائقة.${\displaystyle W=\sum \nolimits _{k=0}^{D}(-1)^{k}B_{k}=Eu.Ch(X)}$، أين${\displaystyle Eu.Ch.}$تمثل خاصية أويلر، و B عدد المفردات الفائقة التناظر من الدرجة المقابلة. وتساوي هذه الأعداد أعداد بيتي، وذلك استنادًا إلى إحدى خصائص GTO، وهي أن كل فئة من فئات تماثل دي رام توفر مفردة فائقة التناظر واحدة.

تعتمد فكرة طريقة باريسي-سورلاس على إعادة كتابة دالة تجزئة الضوضاء بدلالة المتغيرات الديناميكية للنموذج باستخدام إجراء تثبيت القياس BRST . ^{[ 25 ] [ 26 ]} والتعبير الناتج هو مؤشر ويتن، الذي يمثل معناه الفيزيائي (حتى عامل طوبولوجي) دالة تجزئة الضوضاء.

يمكن تمثيل مؤشر ويتن باستخدام التكامل المساري في ثلاث خطوات: (1) إدخال المتغيرات الديناميكية في دالة تجزئة الضوضاء؛ (2) تثبيت التكامل على المسارات باستخدام مقياس BRST، والذي يُمثل مسارات معادلة تفاضلية عشوائية، والتي يمكن اعتبارها نسخًا من غريبوف ؛ (3) تكامل الضوضاء. ويمكن التعبير عن ذلك كما يلي:

هنا، يُفترض أن الضوضاء بيضاء غاوسية، وتشير pbc إلى شروط الحدود الدورية.${\displaystyle \textstyle J(\xi )}$هل يعوض المصفوفة اليعقوبية (حتى إشارة واحدة) المصفوفة اليعقوبية من${\displaystyle \delta }$-وظيفي،${\displaystyle \Phi }$هي مجموعة الحقول التي تتضمن، بالإضافة إلى الحقل الأصلي${\displaystyle x}$أشباح فادييف- بوبوف${\displaystyle \chi ,{\bar {\chi }}}$ومضاعف لاغرانج،${\displaystyle B}$، التناظر الفائق الطوبولوجي و/أو تناظر BRST الفائق هو، $${\displaystyle Q=\textstyle \int d\tau (\chi ^{i}(\tau )\delta /\delta x^{i}(\tau )+B_{i}(\tau )\delta /\delta {\bar {\chi }}_{i}(\tau )),}$$ يمكن اعتبار ذلك بمثابة نسخة تكامل المسار للمشتق الخارجي، وفيرميون القياس ${\textstyle \Psi =\int d\tau (\imath _{\dot {x}}-{\bar {d}})}$مع ${\textstyle \textstyle {\bar {d}}=\textstyle \imath _{F}-\Theta \imath _{G_{a}}L_{G_{a}},{\text{ and }}L_{G_{a}}=(Q,\imath _{G_{a}})}$و${\textstyle \imath _{A}=i{\bar {\chi }}A}$كونها نسخ التكامل المساري لمشتقة لي والضرب الداخلي.

تتميز طريقة باريسي-سورلاس بكونها تُشبه تثبيت القياس لنظرية فارغة، حيث يُمثل حد تثبيت القياس الجزء الوحيد من الفعل. وهذه سمة مميزة لنظريات الحقول الطوبولوجية من نوع ويتن . لذا، تُعد طريقة باريسي-سورلاس نظرية حقول طوبولوجية ^{[ 26 ] [ 25 ] [ 27 ] [ 29 ] [ 3 ] [ 30 ]} ، وكنظرية حقول طوبولوجية، فهي تحتوي على عناصر تُمثل ثوابت طوبولوجية. تُعد دالة باريسي-سورلاس إحدى هذه العناصر، وهي في جوهرها تمثيل تكاملي مساري لمؤشر ويتن.${\displaystyle W}$يتضح ذلك من خلال ملاحظة أن خاصية تثبيت المقياس للدالة تضمن أن حلول المعادلة التفاضلية العشوائية فقط هي التي تساهم. كل حل يوفر إما وحدة موجبة أو سالبة. $${\displaystyle W=\langle \iint _{p.b.c}J(\xi )\left(\prod \nolimits _{\tau }\delta ^{D}({\dot {x}}(\tau )-{\mathcal {F}}(x(\tau ),\xi (\tau )))\right){\mathcal {D}}x\rangle _{\text{noise}}=\textstyle \left\langle I_{N}(\xi )\right\rangle _{\text{noise}},}$$ مع${\displaystyle I_{N}(\xi )=\sum \nolimits _{\text{solutions}}\operatorname {sign} J(\xi )}$باعتبارها مؤشر ما يسمى بخريطة نيكولاي، وهي الخريطة من فضاء المسارات المغلقة إلى تكوينات الضوضاء التي تجعل هذه المسارات المغلقة حلولاً للمعادلة التفاضلية العشوائية،${\textstyle \xi ^{a}(x)=G_{i}^{a}({\dot {x}}^{i}-F^{i})/(2\Theta )^{1/2}}$يمكن اعتبار مؤشر الخريطة بمثابة تحقيق لنظرية بوانكاريه-هوبف على الفضاء اللانهائي الأبعاد للمسارات المغلقة، حيث تلعب المعادلة التفاضلية العشوائية دور حقل المتجهات، وتلعب حلول هذه المعادلة دور النقاط الحرجة ذات المؤشر.${\displaystyle \operatorname {sign} J(\xi )=\operatorname {sign} {\text{Det }}\delta \xi /\delta x.}$${\textstyle I_{N}(\xi )}$هو كائن طوبولوجي مستقل عن تكوين الضوضاء. وهو يساوي متوسطه العشوائي الخاص، والذي بدوره يساوي مؤشر ويتن .

تمامًا مثل دالة التوزيع للضوضاء التي يمثلها، لا يحتوي مؤشر ويتن على أي معلومات حول ديناميكيات النظام، ولا يمكن استخدامه مباشرةً لدراسة هذه الديناميكيات. تكمن المعلومات المتعلقة بالديناميكيات في عامل التطور العشوائي (SEO) - وهو تكامل مسار باريسي-سورلاس مع شروط حدودية مفتوحة. باستخدام الصيغة الصريحة للفعل${\displaystyle (Q,\Psi (\Phi ))=\int _{t'}^{t}d\tau (iB{\dot {x}}+i{\dot {\chi }}{\bar {\chi }}-H)}$، أين${\displaystyle H=(Q,{\bar {d}})}$يمكن اشتقاق تمثيل المشغل لـ SEO على النحو التالي $${\displaystyle \iint _{{x\chi (t')=x_{i}\chi _{i}} \atop {x\chi (t)=x_{f}\chi _{f}}}e^{\int _{t'}^{t}d\tau (iB{\dot {x}}+i{\dot {\chi }}{\bar {\chi }}-H)}{\mathcal {D}}\Phi =\langle x_{f}\chi _{f}|e^{-(t-t'){\hat {H}}}|x_{i}\chi _{i}\rangle ,}$$ حيث تحسين محركات البحث المتناهي الصغر${\displaystyle {\hat {H}}=\left.H(xB\chi {\bar {\chi }})\right|_{B,{\bar {\chi }}\to {\hat {B}},{\hat {\bar {\chi }}}}}$، مع${\displaystyle i{\hat {B}}_{i}=\partial /\partial x^{i},i{\hat {\bar {\chi }}}_{i}=\partial /\partial \chi ^{i}}$. يحتوي الشكل الصريح لـ SEO على غموض ناتج عن عدم تبادلية عوامل الزخم والموضع:${\displaystyle Bx}$يسمح تمثيل المسار التكاملي بـ${\displaystyle \alpha }$- مجموعة من التفسيرات في تمثيل المشغل:${\displaystyle \alpha {\hat {B}}{\hat {x}}+(1-\alpha ){\hat {x}}{\hat {B}}.}$يظهر نفس الغموض في نظرية المعادلات التفاضلية العشوائية، حيث توجد خيارات مختلفة لـ${\displaystyle \alpha }$يُشار إليها باسم تفسيرات مختلفة للمعادلات التفاضلية العشوائية مع${\displaystyle \alpha =1{\text{ and }}1/2}$وهما تفسيرا إيتو وستراتونوفيتش على التوالي .

يمكن إزالة هذا الغموض بشروط إضافية. في نظرية الكم، الشرط هو هيرميتية الهاميلتوني، وهو شرط يتحقق بقاعدة تناظر فايل المقابلة لـ${\displaystyle \alpha =1/2}$في نظرية STS، الشرط هو أن يكون SEO مساويًا لـ GTO، وهو ما يتحقق أيضًا عند${\displaystyle \alpha =1/2}$بمعنى آخر، تفسير ستراتونوفيتش للمعادلات التفاضلية العشوائية هو التفسير الوحيد المتوافق مع منهج نظرية الأنظمة الديناميكية . أما التفسيرات الأخرى فتختلف باختلاف حقل متجه التدفق المُزاح في نظام المعادلات التفاضلية العشوائية المقابل.${\displaystyle F_{\alpha }=F-\Theta (2\alpha -1)(G_{a}\cdot \partial )G_{a}}$.

تمثل فرميونات نظرية النفق الكمومي العشوائي (STS) تفاضلات الدوال الموجية، والتي تُفهم على أنها أشكال تفاضلية. ^{[ 3 ]} ترتبط هذه التفاضلات و/أو الفرميونات ارتباطًا جوهريًا بأسس ليابونوف العشوائية ^{[ 2 ]} التي تُعرّف تأثير الفراشة . لذلك، فإن نظرية المجال الفعّالة لهذه الفرميونات هي نظرية تأثير الفراشة. ويمكن تعريفها من خلال الدالة المولدة.

أين${\displaystyle \eta }$هي حقول استشعار خارجية متصلة بالنظام و${\displaystyle g}$الحالة الأرضية هي حالة ذاتية لمذبذب GTO، مختارة من مجموعة الحالات الذاتية ذات الجزء الحقيقي الأدنى من قيمها الذاتية - وهو شرط ضروري لضمان استقرار الاستجابة. تمثل الحالة الأرضية النظام الذي سُمح له بالتطور لفترة طويلة دون اضطرابات. يصف المولد الوظيفي كيفية استجابة الحالة الأرضية للاضطرابات الخارجية.

عندما ينكسر تناظر تاو تلقائيًا، تصبح الحالة الأرضية متحللة، ويمكن إثارة النظام بسهولة. في النظريات ذات الأبعاد الأعلى، يتطور هذا التحلل إلى فرع من الإثارات عديم الفجوة فوق الحالة الأرضية يُسمى غولدستينو . نظرًا لانعدام فجوة الغولدستينو، يجب أن تكون نظرية المجال الفعالة الناتجة ثابتة المقياس، أو نظرية مجال توافقي ^{[ 37 ]} مع بعض الارتباطات طويلة المدى. ^{[ 38 ]} يفسر هذا نوعيًا الانتشار الواسع للسلوك طويل المدى في الديناميكيات الفوضوية المعروف باسم ضوضاء 1/f . ^{[ 22 ]} ولا يزال إيجاد تفسير نظري أكثر دقة لضوضاء 1/f مشكلة مفتوحة.

منذ أواخر الثمانينيات، ^{[ 39 ] [ 40 ]} برز مفهوم " حافة الفوضى" - وهي مرحلة محدودة العرض تقع على حدود الفوضى التقليدية، حيث تهيمن على الديناميكيات غالبًا عمليات آنية موزعة وفقًا لقانون القوة، مثل التوهجات الشمسية والزلازل والانهيارات العصبية. ^{[ 41 ]} وقد اعتُرف بهذه المرحلة أيضًا باعتبارها ذات أهمية محتملة لمعالجة المعلومات. ^{[ 42 ] [ 43 ]} ويستند فهمها الظاهري إلى حد كبير على مفهومي التكيف الذاتي والتنظيم الذاتي . ^{[ 44 ] [ 45 ]}

تقدم نظرية STS التفسير التالي لحافة الفوضى (انظر الشكل على اليمين). ^{[ 22 ] [ 46 ]} في وجود الضوضاء، يمكن أن تنكسر نظرية STS تلقائيًا ليس فقط بسبب عدم قابلية تكامل حقل متجه التدفق، كما هو الحال في الفوضى الحتمية، ولكن أيضًا بسبب اللحظات الآنية الناتجة عن الضوضاء. ^{[ 47 ]} في ظل هذه الحالة، يجب أن تهيمن اللحظات الآنية ذات التوزيعات الأسية على الديناميكيات ، كما تنص عليه نظرية غولدستون. في الحد الحتمي، تتلاشى اللحظات الآنية الناتجة عن الضوضاء، مما يؤدي إلى انهيار الطور الذي يستضيف هذا النوع من الديناميكيات الناتجة عن الضوضاء على حدود الفوضى الحتمية (انظر الشكل على اليمين).