شكل الأرض

أبسط نموذج لشكل الأرض بأكملها هو الكرة. نصف قطر الأرض هو المسافة من مركزها إلى سطحها، ويبلغ حوالي 6371 كيلومترًا (3959 ميلًا) . مع أن "نصف القطر" عادةً ما يكون سمة من سمات الكرات المثالية، إلا أن الأرض تنحرف عن الشكل الكروي بنسبة ثلث بالمئة فقط، وهي نسبة قريبة بما يكفي لاعتبارها كرة في كثير من السياقات، مما يبرر استخدام مصطلح "نصف قطر الأرض".  

يعود مفهوم كروية الأرض إلى حوالي القرن السادس قبل الميلاد ، ^{[ 2 ]} ولكنه ظل موضع تكهنات فلسفية حتى القرن الثالث قبل الميلاد . وقدّم إراتوستينس أول تقدير علمي لنصف قطر الأرض حوالي عام 240  قبل الميلاد، وتراوحت تقديرات دقة قياسه بين -1% و15%.

الأرض كروية الشكل تقريبًا، لذا لا توجد قيمة واحدة تمثل نصف قطرها الطبيعي. تتراوح المسافات من نقاط على سطحها إلى مركزها بين 6353 كيلومترًا (3948 ميلًا) و 6384 كيلومترًا (3967 ميلًا) . وتُعطي عدة طرق مختلفة لنمذجة الأرض ككرة نصف قطر متوسطًا قدره 6371 كيلومترًا (3959 ميلًا) . وبغض النظر عن النموذج المُستخدم، يقع أي نصف قطر بين الحد الأدنى عند القطبين، والذي يبلغ حوالي 6357 كيلومترًا (3950 ميلًا) ، والحد الأقصى عند خط الاستواء، والذي يبلغ حوالي 6378 كيلومترًا (3963 ميلًا) . ويُشير الفرق البالغ 21 كيلومترًا (13 ميلًا) إلى أن نصف القطر عند القطبين أقصر بنسبة 0.3% تقريبًا من نصف القطر عند خط الاستواء.            

كما نظّر إسحاق نيوتن وكريستيان هويغنز ، ^{[ 3 ] : [ 4 ] [ 5 ] فإن} الأرض مُفلطحة عند القطبين ومُحدّبة عند خط الاستواء . ولذلك، يُمثّل علم الجيوديسيا شكل الأرض على هيئة كروية مُفلطحة . والكروية المُفلطحة، أو الإهليلجية المُفلطحة ، هي إهليلجية دورانية ناتجة عن دوران إهليلج حول محوره الأقصر. وهي الشكل الهندسي المنتظم الذي يُقارب شكل الأرض إلى حد كبير. ويُطلق على الشكل الكروي الذي يصف شكل الأرض أو أي جرم سماوي آخر اسم الإهليلجية المرجعية . ويُطلق على الإهليلجية المرجعية للأرض اسم إهليلجية الأرض .

يُعرَّف القطع الناقص الدوراني بشكل فريد بكميتين. تُستخدم عدة اصطلاحات للتعبير عن هاتين الكميتين في علم المساحة، لكنها جميعًا متكافئة وقابلة للتحويل فيما بينها:

• نصف القطر الاستوائي${\displaystyle a}$(يسمى المحور شبه الرئيسي )، ونصف القطر القطبي${\displaystyle b}$(يسمى المحور شبه الأصغر )؛
• ${\displaystyle a}$والغرابة​${\displaystyle e}$؛
• ${\displaystyle a}$والتسطيح${\displaystyle f}$.

الانحراف المركزي والتسطح طريقتان مختلفتان للتعبير عن مدى انضغاط القطع الناقص. عندما يظهر التسطح كأحد الكميات الأساسية في علم الجيوديسيا، فإنه يُعبَّر عنه عادةً بمقلوبه. على سبيل المثال، في الشكل الكروي WGS 84 المستخدم في أنظمة تحديد المواقع العالمية (GPS) الحالية، يكون مقلوب التسطح${\displaystyle 1/f}$من المقرر أن تكون القيمة بالضبط 298.257 223 563 .

الفرق بين الكرة الأرضية والقطع الناقص المرجعي للأرض ضئيل، إذ يبلغ جزءًا واحدًا فقط من 300. تاريخيًا، كان يُحسب التسطح من قياسات الانحدار . أما اليوم، فتُستخدم الشبكات الجيوديسية والجيوديسيا عبر الأقمار الصناعية . عمليًا، طُوّرت العديد من القطع الناقصة المرجعية على مر القرون من مسوحات مختلفة. وتختلف قيمة التسطح اختلافًا طفيفًا من قطعة ناقصة مرجعية إلى أخرى، مما يعكس الظروف المحلية وما إذا كانت القطعة الناقصة المرجعية مُصممة لنمذجة الأرض بأكملها أو جزء منها فقط.

للكرة نصف قطر انحناء واحد ، وهو ببساطة نصف قطر الكرة. أما الأسطح الأكثر تعقيدًا فلها أنصاف أقطار انحناء متغيرة على سطحها. يصف نصف قطر الانحناء نصف قطر الكرة الذي يُقارب السطح بأفضل شكل عند تلك النقطة. تتميز الأشكال الإهليلجية المفلطحة بنصف قطر انحناء ثابت من الشرق إلى الغرب على طول خطوط العرض ، إذا رُسمت شبكة إحداثيات على سطحها، ولكن بانحناء متغير في أي اتجاه آخر. بالنسبة للشكل الإهليلجي المفلطح، فإن نصف قطر الانحناء القطبي${\displaystyle r_{p}}$أكبر من خط الاستواء

${\displaystyle r_{p}={\frac {a^{2}}{b}},}$

لأن القطب مُسطّح: فكلما كان السطح أكثر تسطحًا، كلما زاد حجم الكرة اللازمة لتقريبه. وعلى العكس من ذلك، فإن نصف قطر انحناء القطع الناقص من الشمال إلى الجنوب عند خط الاستواء${\displaystyle r_{e}}$أصغر من القطب

${\displaystyle r_{e}={\frac {b^{2}}{a}}}$

أين${\displaystyle a}$هي المسافة من مركز القطع الناقص إلى خط الاستواء (نصف المحور الأكبر)، و${\displaystyle b}$هي المسافة من المركز إلى القطب. (نصف المحور الأصغر)

يميل علم الجيوديسيا الحديث إلى الاحتفاظ بالقطع الناقص الدوراني كقطع ناقص مرجعي، ويتعامل مع التناظر ثلاثي المحاور والشكل الكمثري كجزء من شكل الجيود : ويتم تمثيلها بمعاملات التوافق الكروي.${\displaystyle C_{22},S_{22}}$و${\displaystyle C_{30}}$، على التوالي، بما يتوافق مع درجات وأرقام الترتيب 2.2 للثلاثية المحورية و 3.0 لشكل الكمثرى.

ذُكر سابقًا أن القياسات تُجرى على السطح الظاهري أو الطبوغرافي للأرض، وقد شُرح للتو أن الحسابات تُجرى على سطح بيضاوي. ثمة سطح آخر يُستخدم في القياس الجيوديسي، وهو الجيود. في المسح الجيوديسي، يُجرى حساب الإحداثيات الجيوديسية للنقاط عادةً على سطح بيضاوي مرجعي يُقارب حجم وشكل الأرض في منطقة المسح. مع ذلك، تُنسب القياسات الفعلية التي تُجرى على سطح الأرض باستخدام أدوات معينة إلى الجيود. السطح البيضاوي هو سطح منتظم مُحدد رياضيًا بأبعاد معينة. أما الجيود، فهو السطح الذي ستتخذه المحيطات على كامل سطح الأرض لو كانت حرة في التكيف مع التأثير المُجتمع لجاذبية كتلة الأرض ( الجاذبية الأرضية ) وقوة الطرد المركزي الناتجة عن دورانها . نتيجة للتوزيع غير المتكافئ لكتلة الأرض، فإن السطح الجيودي غير منتظم، وبما أن الإهليلج سطح منتظم، فإن الفواصل بين الاثنين، والتي يشار إليها باسم تموجات الجيود أو ارتفاعات الجيود أو فواصل الجيود، ستكون غير منتظمة أيضًا.

The geoid is a surface along which the gravity potential is equal everywhere and to which the direction of gravity is always perpendicular. The latter is particularly important because optical instruments containing gravity-reference leveling devices are commonly used to make geodetic measurements. When properly adjusted, the vertical axis of the instrument coincides with the direction of gravity and is, therefore, perpendicular to the geoid. The angle between the plumb line which is perpendicular to the geoid (sometimes called "the vertical") and the perpendicular to the ellipsoid (sometimes called "the ellipsoidal normal") is defined as the deflection of the vertical. It has two components: an east–west and a north–south component.^[3]

Simpler local approximations are possible.

Local tangent plane

The local tangent plane is appropriate for analysis across small distances.

Osculating sphere

The best local spherical approximation to the ellipsoid in the vicinity of a given point is the Earth's osculating sphere. Its radius equals Earth's Gaussian radius of curvature, and its radial direction coincides with the geodetic normal direction. The center of the osculating sphere is offset from the center of the ellipsoid, but is at the center of curvature for the given point on the ellipsoid surface. This concept aids the interpretation of terrestrial and planetary radio occultationrefraction measurements and in some navigation and surveillance applications.^[17][18]