تاريخ علم المساحة

على الرغم من أن أقدم ذكر مكتوب لكروية الأرض يعود إلى مصادر يونانية قديمة ، إلا أنه لا يوجد سرد لكيفية اكتشاف كروية الأرض، أو ما إذا كان الأمر مجرد تخمين في البداية. ^{[ 2 ]} ويُقدم المؤرخ أوتو إي. نويغباور تفسيراً معقولاً مفاده أن "تجربة الرحالة هي التي أوحت بهذا التفسير للاختلاف في الارتفاع المرئي للقطب والتغير في مساحة النجوم القطبية، وهو تغير كان جذرياً بين المستوطنات اليونانية " ^{[ 3 ]} حول شرق البحر الأبيض المتوسط ، وخاصة تلك الواقعة بين دلتا النيل وشبه جزيرة القرم . ^{[ 3 ]}

ثمة تفسير محتمل آخر يعود إلى البحارة الفينيقيين الأوائل . يُذكر أن أول رحلة حول أفريقيا قام بها مستكشفون فينيقيون يعملون لدى الفرعون المصري نخو الثاني حوالي 610-595 قبل الميلاد . ^{[ 4 ] [ 5 ]} في كتابه "التواريخ" ، الذي كتبه بين عامي 431 و425 قبل الميلاد، شكك هيرودوت في تقرير عن رؤية الشمس مشرقة من الشمال. وذكر أن هذه الظاهرة لاحظها المستكشفون الفينيقيون أثناء رحلتهم حول أفريقيا ( التواريخ ، 4.42)، حيث زعموا أن الشمس كانت على يمينهم أثناء دورانهم في اتجاه عقارب الساعة. بالنسبة للمؤرخين المعاصرين، تؤكد هذه التفاصيل صحة تقرير الفينيقيين. يفترض المؤرخ ديمتري بانشينكو أن رحلة الفينيقيين حول أفريقيا هي التي ألهمت نظرية كروية الأرض، والتي ذكرها الفيلسوف بارمنيدس لأول مرة في القرن الخامس قبل الميلاد. ^{[ 5 ]} ومع ذلك، لم يبقَ شيء مؤكد بشأن معرفتهم بالجغرافيا والملاحة؛ لذلك، لا يملك الباحثون اللاحقون أي دليل على أنهم تصوروا الأرض كروية. ^{[ 4 ]}  

تراوحت التكهنات والنظريات بين القرص المسطح الذي دافع عنه هوميروس والجسم الكروي الذي يُنسب إلى فيثاغورس . كان أناكسيمينس ، الفيلسوف اليوناني القديم، يؤمن بشدة بأن الأرض مستطيلة الشكل. ألمح بعض الفلاسفة اليونانيين الأوائل إلى كروية الأرض، وإن كان ذلك ببعض الغموض. ^{[ 6 ]} يُقال إن فيثاغورس (القرن السادس  قبل الميلاد) كان من بين من ابتكروا هذه الفكرة، لكن هذا قد يعكس الممارسة اليونانية القديمة المتمثلة في نسبة كل اكتشاف إلى أحد حكماءهم القدماء. ^{[ 2 ]} كان فيثاغورس عالم رياضيات، ويُفترض أنه استنتج أن الآلهة ستخلق شكلاً مثالياً كان بالنسبة له كرة ، لكن لا يوجد دليل على هذا الادعاء. ^{[ ٧ ]} يبدو أن فكرة كروية الأرض كانت معروفة لدى كل من بارمنيدس وإمبيدوكليس في القرن الخامس قبل الميلاد، ^{[ ٨ ]} ورغم أنه لا يمكن نسب هذه الفكرة إلى فيثاغورس بشكل قاطع، ^{[ ٩ ]} إلا أنه من المحتمل أنها طُرحت في المدرسة الفيثاغورية في القرن الخامس قبل الميلاد ^{[ ٢ ] [ ٨ ]} مع أن البعض يخالف هذا الرأي. ^{[ ١٠ ]} بعد القرن الخامس قبل الميلاد، اعتقد عدد قليل من الكتاب اليونانيين المرموقين أن الأرض ليست كروية. ^{[ ٦ ]} وقد أيّد أرسطو لاحقًا الفكرة الفيثاغورية . ^{[ ١١ ]} وبدأت الجهود لتحديد حجم الكرة.   

 سافر أفلاطون (427-347 قبل الميلاد) إلى جنوب إيطاليا لدراسة الرياضيات الفيثاغورية . وعندما عاد إلى أثينا وأسس مدرسته، علّم أفلاطون طلابه أن الأرض كروية، دون أن يُقدّم أي تبريرات. قال: "أنا مقتنع بأن الأرض جسم كروي في مركز السماء، وبالتالي فهي لا تحتاج إلى هواء أو أي قوة مماثلة لدعمها." ^{[ 12 ]} لو استطاع الإنسان أن يُحلّق عاليًا فوق السحاب، لكانت الأرض تُشبه "إحدى تلك الكرات المُغطاة بالجلد والمُقسّمة إلى اثنتي عشرة قطعة، والمُزينة بألوان مُختلفة، تُعدّ الألوان التي يستخدمها الرسامون على الأرض نماذج منها." ^{[ 13 ]} في كتاب طيماوس ، وهو عمله الوحيد الذي كان متاحًا طوال العصور الوسطى باللغة اللاتينية، كتب أن الخالق "خلق العالم على شكل كرة، مستديرة كما لو كانت مصنوعة من مخرطة، ولها أطراف في كل اتجاه متساوية البعد عن المركز، وهي الأكثر كمالًا والأكثر شبهًا بنفسه من بين جميع الأشكال"، ^{[ 14 ]} على الرغم من أن كلمة "العالم" هنا تشير إلى السماوات.

كان أرسطو (384-322  قبل الميلاد) تلميذ أفلاطون المفضل و"عقل المدرسة". ^{[ 15 ]} لاحظ أرسطو "وجود نجوم تُرى في مصر و[...] قبرص لا تُرى في المناطق الشمالية". ولأن هذا لا يمكن أن يحدث إلا على سطح منحني، فقد اعتقد هو الآخر أن الأرض كروية "ليست كبيرة الحجم، وإلا لما كان تأثير هذا التغيير الطفيف في المكان واضحًا بسرعة". ^{[ 16 ]}

ذكر أرسطو أن محيط الأرض (الذي يزيد قليلاً عن 40,000  كيلومتر أو 24,000 ميل) يبلغ 400,000 ستاديا (45,000 ميل أو 74,000  كيلومتر). ^{[ 17 ]}

قدم أرسطو حججاً فيزيائية وملاحظاتية تدعم فكرة كروية الأرض:

• تتجه كل أجزاء الأرض نحو المركز حتى تشكل كرة بفعل الضغط والتقارب. ^{[ 18 ]}
• يرى المسافرون المتجهون جنوباً الأبراج الجنوبية ترتفع أعلى فوق الأفق.
• يكون ظل الأرض على القمر أثناء خسوف القمر مستديرًا. ^{[ 19 ]}

لقد تغلغلت مفاهيم التناظر والتوازن والتكرار الدوري في أعمال أرسطو. ففي كتابه "علم الأرصاد الجوية" ، قسّم العالم إلى خمس مناطق مناخية: منطقتان معتدلتان تفصل بينهما منطقة حارة قرب خط الاستواء ، ومنطقتان باردتان قاسيتان، "إحداهما قرب القطب الشمالي والأخرى قرب القطب الجنوبي"، وكلاهما منيعتان ومحاطتان بالجليد. ^{[ 20 ]} ورغم استحالة بقاء البشر في المناطق المتجمدة، إلا أن سكان المناطق المعتدلة الجنوبية كانوا قادرين على العيش.

استندت نظرية أرسطو عن المكان الطبيعي إلى كروية الأرض لتفسير سبب هبوط الأجسام الثقيلة (باتجاه ما اعتقد أرسطو أنه مركز الكون)، وصعود أشياء مثل الهواء والنار . في هذا النموذج الجيومركزي ، كان يُعتقد أن بنية الكون عبارة عن سلسلة من الكرات المثالية. وكان يُعتقد أن الشمس والقمر والكواكب والنجوم الثابتة تتحرك على كرات سماوية حول أرض ثابتة.

على الرغم من أن نظرية أرسطو في الفيزياء ظلت قائمة في العالم المسيحي لعدة قرون، إلا أن نموذجه الجيومركزي تم استبداله في النهاية بالنموذج الهيليومركزي كتفسير للنظام الشمسي ، بينما حلت النظرية الذرية محل العناصر الكلاسيكية مثل الأرض والماء والهواء والنار والأثير .

وضع أرخميدس ( حوالي 287 - حوالي 212 قبل الميلاد ) حدًا أعلى لمحيط الأرض.  

في القضية الثانية من الكتاب الأول من أطروحته " في الأجسام الطافية "، يُبرهن أرخميدس أن "سطح أي سائل ساكن هو سطح كرة مركزها هو نفسه مركز الأرض". ^{[ 21 ]} لاحقًا، في القضيتين الثامنة والتاسعة من العمل نفسه، يفترض نتيجة القضية الثانية، وهي أن الأرض كرة، وأن سطح أي سائل عليها هو كرة مركزها مركز الأرض. ^{[ 22 ]}

قدّر إراتوستينس (276-194  ق.م.)، وهو فلكي هلنستي من منطقة قورينا الحالية في ليبيا ، والذي كان يعمل في الإسكندرية بمصر ، محيط الأرض  حوالي عام 240 ق.م.، بحساب قيمة 252,000 ستاديون . لا يُعرف الطول الذي قصده إراتوستينس بـ"الستاديو"، لكن رقمه لا يتجاوز هامش الخطأ فيه 1 إلى 5 بالمئة. ^{[ 23 ]} وبافتراض أن قيمة الستاديوون تتراوح بين 155 و160 مترًا، فإن هامش الخطأ يتراوح بين -2.4% و+0.8%. ^{[ 23 ]} وصف إراتوستينس طريقته في كتاب بعنوان " في قياس الأرض" ، والذي لم يُحفظ. لم يتمكن إراتوستينس من قياس محيط الأرض إلا بافتراض أن المسافة إلى الشمس كبيرة جدًا لدرجة أن أشعة الشمس متوازية تقريبًا . ^{[ 24 ]}

فُقدت طريقة إراتوستينس لحساب محيط الأرض ، وما حُفظ هو النسخة المبسطة التي وصفها كليوميدس لنشر الاكتشاف. ^{[ 25 ]} يدعو كليوميدس قارئه إلى التفكير في مدينتين مصريتين، الإسكندرية وسيين ، أسوان الحديثة :

1. يفترض كليوميدس أن المسافة بين أسوان والإسكندرية كانت 5000 ستاديا (وهو رقم كان يتم التحقق منه سنوياً من قبل علماء القياس المحترفين ، mensores regii )؛ ^{[ 26 ]}
2. وهو يفترض الفرضية المبسطة بأن مدينة أسوان كانت تقع تحديداً على مدار السرطان ، قائلاً إنه في وقت الظهيرة المحلي في الانقلاب الصيفي كانت الشمس عمودية تماماً فوق الرأس؛
3. وهو يفترض الفرضية المبسطة القائلة بأن أسوان والإسكندرية تقعان على نفس خط الطول.

بحسب الافتراضات السابقة، يقول كليوميدس إنه يمكن قياس زاوية ارتفاع الشمس عند الظهيرة في الانقلاب الصيفي بالإسكندرية، باستخدام عصا عمودية ( مزنومون ) ذات طول معلوم وقياس طول ظلها على الأرض؛ ومن ثمّ يُمكن حساب زاوية أشعة الشمس، التي يزعم أنها تبلغ حوالي 7.2 درجة، أو 1/50 من محيط الدائرة. وبافتراض كروية الأرض، فإن محيطها سيكون خمسين ضعف المسافة بين الإسكندرية وأسيين، أي 250,000 ستاديا. وبما أن الستاديا المصرية الواحدة تساوي 157.5 مترًا، فإن النتيجة هي 39,375  كيلومترًا، أي أقل بنسبة 1.4% من الرقم الحقيقي، وهو 39,941  كيلومترًا.

كانت طريقة إراتوستينس في الواقع أكثر تعقيدًا، كما ذكر كليوميدس نفسه، الذي كان هدفه تقديم نسخة مبسطة من تلك الموصوفة في كتاب إراتوستينس. استندت هذه الطريقة إلى عدة رحلات مسح قام بها علماء قياس محترفون، كانت مهمتهم قياس مساحة مصر بدقة لأغراض زراعية وضرائبية. ^{[ 23 ]} علاوة على ذلك، قد يكون كون قياس إراتوستينس يُطابق تمامًا 252,000 ستاديا مقصودًا، لأنه عدد يقبل القسمة على جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10: يعتقد بعض المؤرخين أن إراتوستينس غيّر القيمة من 250,000 التي كتبها كليوميدس إلى هذه القيمة الجديدة لتبسيط الحسابات. ^{[ 27 ]} من جهة أخرى، يعتقد مؤرخون آخرون للعلوم أن إراتوستينس قدّم وحدة طول جديدة تستند إلى طول خط الزوال، كما ذكر بليني، الذي كتب عن الاستاديون "وفقًا لنسبة إراتوستينس". ^{[ 23 ] [ 28 ]}

بعد 1700 عام من إراتوستينس، درس كريستوفر كولومبوس اكتشافات إراتوستينس قبل إبحاره غربًا إلى جزر الهند. إلا أنه رفض في نهاية المطاف إراتوستينس لصالح خرائط وحجج أخرى تُفسر محيط الأرض بأنه أصغر بمقدار الثلث مما هو عليه في الواقع. ولو أن كولومبوس قبل باكتشافات إراتوستينس، لربما لم يبحر غربًا أبدًا، إذ لم يكن يملك المؤن أو التمويل اللازمين لرحلة أطول بكثير تمتد لأكثر من ثمانية آلاف ميل. ^{[ 29 ]}

كتب سلوقس السلوقي (حوالي  190  قبل الميلاد)، الذي عاش في مدينة سلوقية في بلاد ما بين النهرين ، أن الأرض كروية (وتدور في الواقع حول الشمس ، متأثرة بنظرية مركزية الشمس لأريستارخوس الساموسي ).

قام عالم يوناني آخر، هو بوسيدونيوس (حوالي 135-51 قبل الميلاد)، بقياس مماثل لحجم الأرض في العصور القديمة اللاحقة ، مستخدمًا طريقة مشابهة لطريقة إراتوستينس. فبدلًا من رصد الشمس، لاحظ أن نجم كانوبوس كان محجوبًا عن الأنظار في معظم أنحاء اليونان، ولكنه كان يلامس الأفق عند رودس. ويُفترض أن بوسيدونيوس قاس الارتفاع الزاوي لكانوبوس عند الإسكندرية، ووجد أن الزاوية تساوي 1/48 من الدائرة. واستخدم المسافة من الإسكندرية إلى رودس، وهي 5000 ستاديا، ومن ثم حسب محيط الأرض بالستاديا كالتالي: 48 × 5000 = 240,000. ^{[ 30 ]} ويرى بعض الباحثين أن هذه النتائج دقيقة إلى حد ما، نظرًا لتلاشي الأخطاء. لكن بما أن قياسات كانوبوس خاطئة بأكثر من درجة، فقد لا تكون "التجربة" أكثر من مجرد إعادة تدوير لأرقام إراتوستينس، مع تغيير 1/50 إلى 1/48 الصحيحة من الدائرة. لاحقًا، يبدو أنه أو أحد أتباعه قد عدّل المسافة الأساسية لتتوافق مع رقم إراتوستينس من الإسكندرية إلى رودس البالغ 3750 ستاديا، حيث كان محيط بوسيدونيوس النهائي 180,000 ستاديا، وهو ما يعادل 48 × 3750 ستاديا. ^{[ 31 ]} يقترب محيط بوسيدونيوس البالغ 180,000 ستاديا من المحيط الناتج عن طريقة أخرى لقياس الأرض، وهي قياس غروب الشمس على المحيط من ارتفاعات مختلفة، وهي طريقة غير دقيقة بسبب الانكسار الجوي الأفقي . علاوة على ذلك، عبّر بوسيدونيوس عن بُعد الشمس بنصف قطر الأرض. 

كانت الأحجام المذكورة أعلاه للأرض، الأكبر والأصغر، هي تلك التي استخدمها المؤلف الروماني اللاحق كلاوديوس بطليموس في أوقات مختلفة: 252,000 ستاديا في كتابه المجسطي و180,000 ستاديا في كتابه الجغرافيا . وقد أدى تحوّله في منتصف مسيرته المهنية إلى مبالغة منهجية في خطوط الطول في البحر الأبيض المتوسط ​​في كتابه الأخير، بنسبة قريبة من نسبة الحجمين المختلفين اختلافًا كبيرًا واللذين نناقشهما هنا، مما يشير إلى أن الحجم المتعارف عليه للأرض هو ما تغيّر، وليس حجم الستاديا. ^{[ 32 ]}

يُعتقد أن البحارة قدموا على الأرجح أول دليل رصدي على أن الأرض ليست مسطحة، استنادًا إلى ملاحظاتهم للأفق . وقد طرح هذا الرأي الجغرافي سترابو (حوالي  64  ق.م.  - 24  م)، الذي أشار إلى أن كروية الأرض كانت معروفة على الأرجح للبحارة حول البحر الأبيض المتوسط ​​منذ زمن هوميروس على الأقل ، ^{[ 39 ]} مستشهدًا ببيت من الأوديسة ^{[ 40 ]} كدليل على أن الشاعر هوميروس كان على دراية بذلك في وقت مبكر يعود إلى القرنين السابع أو الثامن قبل الميلاد. واستشهد سترابو بظواهر مختلفة رُصدت في البحر كدليل على كروية الأرض. فقد لاحظ أن الأضواء المرتفعة أو المناطق المرتفعة من الأرض كانت مرئية للبحارة من مسافات أبعد من تلك الأقل ارتفاعًا، وذكر أن انحناء سطح البحر هو المسؤول عن ذلك بشكل واضح. ^{[ 41 ]}

عاش كلوديوس بطليموس (90-168  م) في الإسكندرية ، مركز العلم في القرن الثاني الميلادي. وفي كتابه "المجسطي" ، الذي ظل المرجع الأساسي في علم الفلك لمدة 1400 عام، قدم العديد من الأدلة على كروية الأرض. من بينها ملاحظته أنه عندما تبحر سفينة باتجاه الجبال ، يلاحظ المراقبون أنها تبدو وكأنها ترتفع من سطح البحر، مما يدل على أنها كانت مخفية خلف سطح البحر المنحني. كما قدم أدلة منفصلة على أن الأرض منحنية من الشمال إلى الجنوب، وأنها منحنية من الشرق إلى الغرب. ^{[ 42 ]}

قام بطليموس بتأليف كتاب جغرافيا من ثمانية مجلدات ، غطى فيه كل ما كان معروفًا عن الأرض. يتناول الجزء الأول من هذا الكتاب البيانات والأساليب التي استخدمها. وكما فعل مع نموذج النظام الشمسي في كتاب المجسطي ، وضع بطليموس كل هذه المعلومات في مخطط شامل. وقد حدد إحداثيات لجميع الأماكن والمعالم الجغرافية التي عرفها، ضمن شبكة تغطي الكرة الأرضية (مع أن معظم هذه الشبكة قد فُقد). وقد قيس خط العرض من خط الاستواء ، كما هو الحال اليوم، لكن بطليموس فضّل التعبير عنه بطول أطول يوم بدلاً من درجات القوس (يزداد طول يوم منتصف الصيف من 12 ساعة إلى 24 ساعة كلما اتجهنا من خط الاستواء إلى الدائرة القطبية الشمالية ). ووضع خط الطول صفر عند أقصى أرض غربية عرفها، وهي جزر الكناري .

أشارت الجغرافيا إلى دول " سيريكا " و"سيناي" ( الصين ) في أقصى اليمين، خلف جزيرة "تابروبان" ( سريلانكا ، بحجم كبير) و"أوريا خيرسونيس" ( شبه جزيرة جنوب شرق آسيا ).

ابتكر بطليموس أيضًا خرائط للعالم المأهول ( أويكوميني ) وللمقاطعات الرومانية، وقدم تعليماتٍ حول كيفية رسمها. وفي الجزء الثاني من كتابه "الجغرافيا" ، قدّم القوائم الطبوغرافية اللازمة ، بالإضافة إلى التعليقات التوضيحية للخرائط. امتدّ عالمه المأهول (أويكوميني) على مسافة 180 درجة طولية من جزر الكناري في المحيط الأطلسي إلى الصين ، ونحو 81 درجة عرضية من القطب الشمالي إلى جزر الهند الشرقية ، وصولًا إلى عمق أفريقيا . كان بطليموس يدرك تمامًا أنه لم يكن يعرف سوى ربع الكرة الأرضية.

كان من المسلّمات في الدراسات القديمة المتأخرة معرفة كروية الأرض، سواء في الأفلاطونية المحدثة أو المسيحية المبكرة . وقد تناول كالسيديوس في تعليقه اللاتيني وترجمته لكتاب طيماوس لأفلاطون، الذي يعود إلى القرن الرابع الميلادي ، والذي يُعدّ من الأمثلة القليلة على الفكر العلمي اليوناني المعروفة في أوائل العصور الوسطى في أوروبا الغربية، استخدام هيبارخوس للظروف الهندسية للكسوف في كتابه " في الأحجام والمسافات" لحساب الأقطار النسبية للشمس والأرض والقمر. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

أثار الشك اللاهوتي، الناجم عن نموذج الأرض المسطحة الوارد في الكتاب المقدس العبري، بعض علماء المسيحية الأوائل ، مثل لاكتانتيوس ويوحنا فم الذهب وأثناسيوس الإسكندري ، لكنه ظل تيارًا شاذًا. وكان مؤلفون مسيحيون بارزون ، مثل باسيليوس القيصري وأمبروز وأوغسطينوس ، على دراية تامة بكروية الأرض. وقد استمرت "نظرية الأرض المسطحة" لفترة أطول في المسيحية السريانية ، التي أولت أهمية أكبر للتفسير الحرفي للعهد القديم. وقد قدم مؤلفون من هذا التيار، مثل كوزماس إنديكوبليستس ، الأرض مسطحة حتى القرن السادس. واختفى هذا البقية الأخيرة من النموذج القديم للكون خلال القرن السابع. ومنذ القرن الثامن وبداية العصور الوسطى ، "لم يشكك أي عالم كونيات جدير بالذكر في كروية الأرض". ^{[ 45 ]}

ناقش موسوعيون بارزون مثل ماكروبيوس ومارتيانوس كابيلا (كلاهما من القرن الخامس الميلادي) محيط كرة الأرض، وموقعها المركزي في الكون، واختلاف الفصول بين نصفي الكرة الأرضية الشمالي والجنوبي ، والعديد من التفاصيل الجغرافية الأخرى. ^{[ 46 ]} وفي تعليقه على حلم سكيبيو لشيشرون ، وصف ماكروبيوس الأرض بأنها كرة صغيرة الحجم مقارنةً ببقية الكون. ^{[ 46 ]}

تميزت التقاليد السيدانتية بمزيج فريد من الممارسات الرصدية المحلية والنماذج الفلكية التقنية. فبينما طورت الفلكية الهندية إطارها المثلثي الخاص بها - ولا سيما الاستخدام المبكر لدوال الجيب ( جيا ) - لاحظ الباحثون دمج النماذج الرياضية الهلنستية في مدونة السيدانتية بدءًا من القرون الأولى للميلاد. وقد مكّنت هذه الفترة من التبادل الفكري، التي تجلت في اعتماد معايير ومصطلحات هندسية محددة (مثل ليبتا )، علماء الفلك الهنود من تحسين حساباتهم لحركة الكواكب مع الحفاظ على إطار كوني مستقل. ^{[ 51 ] [ 49 ]}

كان عالم الفلك والرياضيات الهندي أريابهاتا (476-550 م) رائدًا في علم الفلك الرياضي في شبه القارة الهندية. وقد وصف الأرض بأنها كروية الشكل، وذكر أنها تدور حول محورها، وذلك في مواضع أخرى من كتابه السنسكريتي العظيم " أريابهاتيا ". ينقسم "أريابهاتيا" إلى أربعة أقسام: جيتيكا ، وغانيثا ("الرياضيات")، وكالاكريا ("حساب الزمن")، وغولا (" الكرة السماوية "). ويصف في "أريابهاتيا" (جيتيكا 3، 6؛ كالاكريا 5؛ غولا 9، 10) اكتشافه أن الأرض تدور حول محورها من الغرب إلى الشرق. ^{[ 52 ]} فعلى سبيل المثال، فسّر الحركة الظاهرية للأجرام السماوية بأنها مجرد وهم (غولا 9)، مستخدمًا التشبيه التالي:

وكما يرى الراكب في قارب يتحرك مع التيار الأشياء الثابتة (الأشجار على ضفاف النهر) وكأنها تتحرك عكس التيار، كذلك يرى المراقب على الأرض النجوم الثابتة وكأنها تتحرك نحو الغرب بنفس السرعة تمامًا (التي تتحرك بها الأرض من الغرب إلى الشرق).

في كتاب "أريابهاتيا" ، يُقدّر أريابهاتا محيط الأرض، حيث يبلغ 4967 يوجانا ، وقطرها 1581 وربع يوجانا. ويختلف طول اليوجانا اختلافًا كبيرًا بين المصادر (3.5 - 15  كم) ؛ فإذا اعتُبر طول اليوجانا 8  كم (4.97097 ميل)، فإن الصيغة تُعطي محيطًا قدره 39736 كم (24691 ميلًا) ، ^{[ 53 ]} وهو قريب من القيمة الاستوائية الحالية البالغة 40075 كم (24901 ميلًا ) . ^{[ 54 ] [ 55 ]}   

طوّر علماء لاحقون، مثل بهاسكارا الثاني (القرن الثاني عشر الميلادي)، هذا التقليد، إذ قدّم في كتابه "سيدانتا شيروماني" براهين رياضية مفصلة على كروية الأرض. جادل بهاسكارا الثاني بأن الأرض كرة معلقة في الفضاء، مستخدمًا مفهوم "غولا" (الكرة) لتفسير سبب انحناء ظل الأرض على القمر أثناء خسوف القمر. ^{[ 56 ]} لم ينظر هؤلاء العلماء إلى انحناء الأرض كمجرد فرضية نظرية، بل كضرورة رياضية للتنبؤ بالأحداث الفلكية عبر خطوط الطول والعرض المختلفة، مما يضمن دقة الرصد ضمن الإطار الفلكي الهندي.

في حوالي عام 830 ميلادي، كلف الخليفة المأمون مجموعة من علماء الفلك والجغرافيا المسلمين بقياس المسافة من تدمر ( تدمر حاليًا ) إلى الرقة في سوريا الحالية. ولتحديد طول درجة واحدة من خط العرض ، استخدموا حبلًا لقياس المسافة المقطوعة شمالًا أو جنوبًا ( قوس الزوال ) على أرض صحراوية منبسطة حتى وصلوا إلى نقطة تغير فيها ارتفاع القطب الشمالي بمقدار درجة واحدة.

تُشير مصادر مختلفة إلى أن قياس المأمون لمحيط الأرض بلغ 66 وثلثي ميل، و56.5 ميل، و56 ميلًا. وقد اعتمد الفرجانوس على هذه القياسات، فكانت النتيجة 56 وثلثي ميل، مما يُعطي محيطًا للأرض يبلغ 20,400 ميل (32,830 كم) . ^{[ 59 ]} وبناءً على قياس 66 وثلثي ميل ، يُحسب محيط الكوكب بـ 24,000 ميل (39,000 كم) . ^{[ 60 ] [ 61 ]}  

وقدّر علماء الفلك التابعون له أيضاً أن المسافة تبلغ 56 و2 / 3 ميلاً عربياً (111.8 كم) لكل درجة، وهو ما يعادل محيطاً يبلغ 40,248 كم، وهو قريب جداً من القيم الحديثة الحالية البالغة 111.3 كم لكل درجة و40,068 كم محيطاً على التوالي. ^{[ 62 ]}    

قدّم العالم الأندلسي الموسوعي ابن حزم برهاناً موجزاً على كروية الأرض: ففي أي وقت من الأوقات، توجد نقطة على الأرض تكون فيها الشمس عمودية تماماً (وهي تتحرك على مدار اليوم وعلى مدار السنة). ^{[ 63 ]}

كان الفرغاني (المعروف أيضًا باسم Alfraganus) فلكيًا فارسيًا من القرن التاسع الميلادي، شارك في قياس قطر الأرض بتكليف من المأمون. وكان تقديره المذكور أعلاه للدرجة الواحدة (56 و2 / 3 ميلًا عربيًا) أكثر دقة من تقدير بطليموس البالغ 60 و2 / 3 ميلًا رومانيًا (89.7 كم). وقد استخدم كريستوفر كولومبوس رقم الفرغاني دون تمحيص، كما لو كان بالميل الروماني بدلًا من الميل العربي، لإثبات أن حجم الأرض أصغر من الحجم الذي طرحه بطليموس. ^{[ 64 ]} 

أبو الريحان البيروني (973-1048)، على عكس أسلافه الذين قاسوا محيط الأرض برصد الشمس في آنٍ واحد من موقعين مختلفين، طوّر طريقة جديدة تعتمد على الحسابات المثلثية بناءً على الزاوية بين سهل وقمة جبل . وقد أسفرت هذه الطريقة عن قياسات أكثر دقة لمحيط الأرض، ومكّنت شخصًا واحدًا من قياسه من موقع واحد. ^{[ 65 ] [ 66 ] [ 67 ]} كان هدف البيروني من هذه الطريقة تجنّب "السير عبر الصحاري الحارة المتربة"، وقد خطرت له الفكرة وهو على قمة جبل شاهق في الهند ( بيند دادان خان الحالية ، باكستان). ^{[ 67 ]}

من قمة الجبل، رصد البيروني زاوية الميل، والتي استخدمها مع ارتفاع الجبل (الذي حسبه مسبقًا) في قانون الجيب لحساب انحناء الأرض. ^{[ 66 ] [ 68 ] [ 67 ]} مع أن هذه كانت طريقة جديدة بارعة، إلا أن البيروني لم يكن على دراية بانكسار الضوء في الغلاف الجوي . وللحصول على زاوية الميل الحقيقية، يجب تصحيح زاوية الميل المقاسة بمقدار 1/6 تقريبًا، مما يعني أنه حتى مع دقة القياس، لم يكن تقديره دقيقًا إلا في حدود 20% تقريبًا. ^{[ 69 ]}

استخدم البيروني أيضًا الجبر لصياغة المعادلات المثلثية، واستخدم الأسطرلاب لقياس الزوايا. ^{[ 70 ] [ 71 ]}

بحسب جون ج. أوكونور وإدموند ف. روبرتسون،

قدّم البيروني إسهاماتٍ جليلة في علم المساحة والجغرافيا . فقد أدخل تقنياتٍ لقياس الأرض والمسافات عليها باستخدام التثليث . ووجد أن نصف قطر الأرض يبلغ 6339.6 كيلومترًا (3939.2 ميلًا)، وهي قيمة لم تُكتشف في الغرب حتى القرن السادس عشر. ويحتوي كتابه "القانون المسعودي" على جدولٍ يُبيّن إحداثيات ستمائة موقع، كان على درايةٍ مباشرةٍ بمعظمها. ^{[ 72 ]} 

بحلول عام 1060، قام الفلكي الأندلسي الزرقالي بتصحيح البيانات الجغرافية من بطليموس والخوارزمي ، وتحديداً بتصحيح تقدير بطليموس لخط طول البحر الأبيض المتوسط ​​من 62 درجة إلى القيمة الصحيحة وهي 42 درجة. ^{[ 73 ]}

كانت الكرة الأرضية (كورا-آرد) من بين الهدايا التي أرسلها الفلكي الفارسي المسلم جمال الدين إلى بلاط قوبلاي خان الصيني عام ١٢٦٧. صُنعت من الخشب، ورُسمت عليها "سبعة أجزاء من الماء باللون الأخضر، وثلاثة أجزاء من اليابسة باللون الأبيض، مع أنهار وبحيرات، وما إلى ذلك". ^{[ ٧٤ ]} ويشير هو بنغ يوك إلى أنها "لم تكن تحظى على ما يبدو بأي جاذبية عامة لدى الصينيين في ذلك الوقت". ^{[ ٧٥ ]}

استخدم علماء المسلمين الذين آمنوا بكروية الأرض هذه النظرية لحساب المسافة والاتجاه من أي نقطة على سطح الأرض إلى مكة المكرمة . وقد طور علماء الرياضيات المسلمون علم المثلثات الكروية ؛ ^{[ 58 ]} وفي القرن الحادي عشر، استخدمه البيروني لتحديد اتجاه مكة من مدن عديدة، ونشره في كتابه "تحديد إحداثيات المدن" . ^{[ 76 ]} وقد حدد هذا العلم القبلة ، أو اتجاه الصلاة عند المسلمين.

كان علماء الفلك والجغرافيا المسلمون على دراية بالانحراف المغناطيسي بحلول القرن الخامس عشر، عندما قام عالم الفلك المصري عبد العزيز الوفاعي (توفي عام 1469/1471) بقياسه عند 7 درجات من القاهرة . ^{[ 77 ]}

في أوروبا في العصور الوسطى، انتقلت معرفة كروية الأرض إلى التراث المعرفي في تلك الحقبة من خلال النقل المباشر لنصوص العصور اليونانية القديمة ( أرسطو )، وعبر مؤلفين مثل إيسيدور الإشبيلي والراهب بيدا . وأصبح تتبع هذه المعرفة أكثر سهولة مع ظهور الفلسفة المدرسية والعلوم في العصور الوسطى . ^{[ 37 ]}

بعد مراجعة الأرقام المنسوبة إلى بوسيدونيوس، حدد فيلسوف يوناني آخر محيط الأرض بـ 29,000 كيلومتر (18,000 ميل) . وقد نشر بطليموس هذا الرقم الأخير من خلال خرائطه للعالم. أثرت خرائط بطليموس بشكل كبير على رسامي الخرائط في العصور الوسطى . ومن المحتمل أن كريستوفر كولومبوس ، باستخدام هذه الخرائط، اعتقد أن آسيا تقع على بعد 4800 أو 6400 كيلومتر (3,000 أو 4,000 ميل ) فقط غرب أوروبا. ^{[ 78 ]}  

ومع ذلك، لم يكن رأي بطليموس عالميًا، ويؤيد الفصل 20 من كتاب رحلات السير جون ماندفيل ( حوالي 1357) حساب إراتوستينس.

كان انتشار هذه المعرفة خارج نطاق الدراسات اليونانية الرومانية المباشرة تدريجيًا بالضرورة، ومرتبطًا بوتيرة تنصير أوروبا. فعلى سبيل المثال، يُعد أول دليل على معرفة كروية الأرض في الدول الاسكندنافية ترجمةً آيسلنديةً قديمةً من القرن الثاني عشر لكتاب "إلوسيداريوس" . ^{[ 79 ]} وقد جمع راينهارد كروجر، أستاذ الأدب الرومانسي في جامعة شتوتغارت ، قائمةً تضم أكثر من مئة كاتب لاتيني وعاميّ من أواخر العصور القديمة والعصور الوسطى كانوا على دراية بكروية الأرض. ^{[ 37 ]}

لم يُراجع مفهومه عن حجم الأرض إلا في القرن السادس عشر. خلال تلك الفترة، قام رسام الخرائط الفلمنكي، ميركاتور ، بتقليص حجم البحر الأبيض المتوسط ​​وأوروبا بأكملها بشكل متتابع، مما أدى إلى زيادة حجم الأرض.

خلال العصور الوسطى العليا ، امتدت المعرفة الفلكية في أوروبا المسيحية لتتجاوز ما نُقل مباشرةً من المؤلفين القدماء، وذلك من خلال نقل المعارف من علم الفلك الإسلامي في العصور الوسطى . وكان من أوائل دارسي هذا العلم جيربرت دورياك، الذي أصبح فيما بعد البابا سيلفستر الثاني .

صورت القديسة هيلدغارد ( هيلدغارد فون بينجن ، 1098–1179)، الأرض الكروية عدة مرات في عملها Liber Divinorum Operum . ^{[ 90 ]}

كتب يوهانس دي ساكروبوسكو (حوالي  1195 - حوالي 1256 م) كتابًا شهيرًا في علم الفلك بعنوان "رسالة في الكرة الأرضية" ، مستندًا إلى كتابات بطليموس، والذي يتناول في المقام الأول كروية السماء. ومع ذلك، يحتوي الكتاب على أدلة واضحة على كروية الأرض في الفصل الأول. ^{[ 91 ] [ 92 ]}   

اتفق العديد من المعلقين المدرسيين على كتاب أرسطو " في السماوات" وكتاب ساكروبوسكو " رسالة في الكرة" بالإجماع على أن الأرض كروية أو مستديرة. ^{[ 93 ]} ويلاحظ غرانت أنه لم يعتقد أي مؤلف درس في جامعة من العصور الوسطى أن الأرض مسطحة. ^{[ 94 ]}

يشير كتاب "إلوسيداريوم" لهونوريوس أوغوستودونينسيس (حوالي 1120)، وهو دليل هام لتعليم رجال الدين المبتدئين، والذي تُرجم إلى الإنجليزية الوسطى والفرنسية القديمة والألمانية العليا الوسطى والروسية القديمة والهولندية الوسطى والنوردية القديمة والأيسلندية والإسبانية والعديد من اللهجات الإيطالية ، صراحةً إلى كروية الأرض . [ 95 ] وبالمثل ، فإن استخدام بيرتولد ^{فون ريغنسبورغ (} منتصف القرن الثالث عشر) لصورة الأرض الكروية كمثال توضيحي في إحدى عظاته يُظهر أنه كان يفترض معرفة هذه الفكرة لدى رعيته. وقد أُلقيت العظة باللغة الألمانية العامية، وبالتالي لم تكن موجهة إلى جمهور من المتعلمين.

تصور الكوميديا ​​الإلهية لدانتي ، المكتوبة باللغة الإيطالية في أوائل القرن الرابع عشر، الأرض على أنها كرة، وتناقش الآثار المترتبة على ذلك مثل النجوم المختلفة المرئية في نصف الكرة الجنوبي ، وتغير موقع الشمس، والمناطق الزمنية المختلفة للأرض.

يذكر جوزيف نيدهام في كتابه "علم الكونيات الصيني" أن شين كو (1031-1095) استخدم نماذج خسوف القمر وكسوف الشمس لاستنتاج استدارة الأجرام السماوية. ^{[ 96 ]}

لو كانت هذه الأجرام السماوية كروية الشكل، لكانت ستعيق بعضها بعضًا عند التقائها. فأجبتُ بأن هذه الأجرام السماوية كروية بالفعل. كيف نعرف ذلك؟ من خلال مراحل اكتمال القمر وتناقصه. فالقمر نفسه لا يُصدر ضوءًا، بل هو ككرة من الفضة؛ والضوء الذي يُصدره هو ضوء الشمس (المنعكس). عندما يُرى ضوء القمر لأول مرة، تمر الشمس (ضوءها يكاد) بجانبه، فيُضاء جانبه فقط ويبدو كالهلال. وعندما تبتعد الشمس تدريجيًا، يسطع الضوء بشكل مائل، فيكون القمر بدرًا كاملًا، مستديرًا كالرصاصة. إذا غُطي نصف كرة بمسحوق (أبيض) ونُظر إليها من الجانب، فسيبدو الجزء المغطى كالهلال؛ وإذا نُظر إليها من الأمام، فستبدو مستديرة. وهكذا نعرف أن الأجرام السماوية كروية الشكل.

مع ذلك، لم تحظَ أفكار شين بقبول أو اهتمام واسع النطاق، إذ لم يكن شكل الأرض ذا أهمية لدى المسؤولين الكونفوشيوسيين الذين كانوا أكثر اهتمامًا بالعلاقات الإنسانية. ^{[ 96 ]} في القرن السابع عشر، انتشرت فكرة كروية الأرض، التي تطورت بشكل كبير بفضل علم الفلك الغربي ، إلى الصين في عهد أسرة مينغ ، عندما نجح المبشرون اليسوعيون ، الذين شغلوا مناصب رفيعة كعلماء فلك في البلاط الإمبراطوري، في دحض الاعتقاد الصيني بأن الأرض مسطحة ومربعة. ^{[ 97 ] [ 98 ] [ 99 ]}

أظهرت رسالة "غي تشي تساو " (格致草) لشيانغ مينغ يو (熊明遇)، المنشورة عام 1648، صورة مطبوعة للأرض على شكل كرة، مع نص ينص على أن "الأرض الكروية بالتأكيد ليس لها زوايا مربعة". ^{[ 100 ]} كما أشار النص إلى أن السفن الشراعية يمكنها العودة إلى ميناء انطلاقها بعد الدوران حول مياه الأرض. ^{[ 100 ]}

كان تأثير الخريطة غربيًا بشكل واضح، إذ اعتمدت الخرائط الصينية التقليدية تدريج الكرة الأرضية عند 365.25 درجة، بينما كان التدريج الغربي 360 درجة. ^{[ 100 ]} وقد صاحب تبني علم الفلك الأوروبي، الذي تيسّر بسبب فشل علم الفلك المحلي في إحراز تقدم، إعادة تفسير مركزية صينية أعلنت أن الأفكار المستوردة صينية الأصل.

حظي علم الفلك الأوروبي بتقدير كبير لدرجة أن العديد من المؤلفين الصينيين طوروا فكرة أن الصينيين القدماء قد سبقوا معظم المستجدات التي قدمها المبشرون على أنها اكتشافات أوروبية، مثل استدارة الأرض و"نموذج حامل النجوم الكروي السماوي". وباستخدامهم الماهر لعلم اللغة، أعاد هؤلاء المؤلفون تفسير أعظم الأعمال التقنية والأدبية للصين القديمة ببراعة. ومن هذا المنطلق، انبثق علم جديد مكرس بالكامل لإثبات الأصل الصيني لعلم الفلك، وبشكل أعم، لجميع العلوم والتكنولوجيا الأوروبية. ^{[ 97 ]}

على الرغم من أن التيار العلمي الصيني السائد حتى القرن السابع عشر كان يعتقد أن الأرض مسطحة ومربعة ومحاطة بالكرة السماوية ، إلا أن هذه الفكرة لاقت انتقادات من العالم يو شي (307-345) من أسرة جين ، الذي اقترح أن الأرض قد تكون مربعة أو مستديرة، وفقًا لشكل السماء. ^{[ 101 ]} أما عالم الرياضيات لي يي (1192-1279) من أسرة يوان، فقد جادل بقوة بأن الأرض كروية، تمامًا مثل شكل السماء ولكن بحجم أصغر، إذ رأى أن الأرض المربعة ستعيق حركة السماء والأجرام السماوية. ^{[ 102 ]} استخدمت رسالة "جي تشي تساو" التي تعود إلى القرن السابع عشر نفس المصطلحات لوصف شكل الأرض التي استخدمها العالم الصيني تشانغ هنغ (78-139 م) لوصف شكل الشمس والقمر (أي أن الأولى كانت مستديرة كطلقة القوس والنشاب ، والثانية كانت على شكل كرة). ^{[ 103 ]}

لقد وفرت رحلات الاستكشاف البرتغالية لأفريقيا وآسيا ، ورحلة كولومبوس إلى الأمريكتين ( 1492 ) دليلاً أكثر مباشرة على حجم وشكل العالم.

كان أول دليل مباشر على كروية الأرض هو أول رحلة حول العالم في التاريخ ، بقيادة المستكشف البرتغالي فرديناند ماجلان . ^{[ 104 ]} مولت الحكومة الإسبانية هذه الرحلة. في 10 أغسطس 1519، انطلقت السفن الخمس بقيادة ماجلان من إشبيلية . عبرت المحيط الأطلسي ، ومرت بما يُعرف الآن بمضيق ماجلان ، ثم عبرت المحيط الهادئ، ووصلت إلى سيبو ، حيث قُتل ماجلان على يد السكان الأصليين الفلبينيين في معركة. واصل مساعده، الإسباني خوان سيباستيان إلكانو ، الرحلة، وفي 6 سبتمبر 1522، وصل إلى إشبيلية، مُكملاً بذلك رحلة الدوران حول العالم. تقديرًا لإنجازه، منح كارلوس الأول ملك إسبانيا إلكانو شعارًا يحمل عبارة "Primus circumdedisti me" (باللاتينية: "لقد طفت حولي أولًا"). ^{[ 105 ]}

لا تُثبت رحلةٌ حول الأرض وحدها كرويتها، فقد تكون أسطوانية، أو كروية غير منتظمة، أو أحد الأشكال الأخرى. ومع ذلك، وبالاقتران مع الأدلة المثلثية للشكل الذي استخدمه إراتوستينس قبل 1700 عام، أزالت رحلة ماجلان أي شك معقول في الأوساط المثقفة في أوروبا. ^{[ 106 ]} وكانت رحلة ترانسغلوب (1979-1982) أول رحلة استكشافية تقوم برحلة حول القطبين، حيث جابت العالم "عموديًا" عابرةً قطبي الدوران باستخدام وسائل النقل البرية فقط.

في العصر الكارولنجي ، ناقش العلماء وجهة نظر ماكروبيوس حول المناطق المتقابلة . وأكد أحدهم، وهو الراهب الأيرلندي دونغال ، أن الفجوة الاستوائية بين منطقتنا الصالحة للسكن والمنطقة الصالحة للسكن الأخرى في الجنوب كانت أصغر مما كان يعتقده ماكروبيوس. ^{[ 107 ]}

في عام 1505، قام عالم الكونيات والمستكشف دوارتي باتشيكو بيريرا بحساب قيمة درجة قوس خط الزوال بهامش خطأ لا يتجاوز 4%، في حين أن نسبة الخطأ السائدة في ذلك الوقت كانت تتراوح بين 7 و15%. ^{[ 108 ]}

أجرى جان بيكار أول قياس حديث لقوس خط الزوال في الفترة ما بين عامي 1669 و1670. قاس خط الأساس باستخدام قضبان خشبية وتلسكوب ( لقياس الزوايا ) ولوغاريتمات (للحسابات). ثم واصل جيان دومينيكو كاسيني، ثم ابنه جاك كاسيني ، قياس قوس بيكار ( قوس خط زوال باريس ) شمالًا إلى دونكيرك وجنوبًا إلى الحدود الإسبانية . قسم كاسيني القوس المقاس إلى جزأين، أحدهما شمال باريس والآخر جنوبها. وعندما حسب طول درجة واحدة من كلا السلسلتين، وجد أن طول درجة واحدة من خط العرض في الجزء الشمالي من السلسلة أقصر من طولها في الجزء الجنوبي (انظر الرسم التوضيحي).

إذا كانت هذه النتيجة صحيحة، فإنها تعني أن الأرض ليست كروية، بل كروية متطاولة (أطول من عرضها). إلا أن هذا يتعارض مع حسابات إسحاق نيوتن وكريستيان هويغنز . ففي عام 1659، كان كريستيان هويغنز أول من اشتق الصيغة القياسية الحالية لقوة الطرد المركزي في كتابه "De vi centrifuga" . وقد لعبت هذه الصيغة دورًا محوريًا في الميكانيكا الكلاسيكية ، وأصبحت تُعرف باسم القانون الثاني من قوانين نيوتن للحركة . وتوقعت نظرية نيوتن للجاذبية، بالإضافة إلى دوران الأرض، أن تكون الأرض كروية مفلطحة (أعرض من طولها)، بنسبة تفلطح 1:230. ^{[ 109 ]}

يمكن حسم هذه المسألة بقياس العلاقة بين المسافة (في اتجاه الشمال والجنوب) والزوايا بين سمت كل نقطة على سطح الأرض . فعلى الأرض المفلطحة، تزداد المسافة الزوالية المقابلة لدرجة واحدة من خط العرض باتجاه القطبين، كما يمكن إثبات ذلك رياضياً .

أرسلت الأكاديمية الفرنسية للعلوم بعثتين استكشافيتين. الأولى (1736-1737) بقيادة بيير لويس موبيرتوي، أُرسلت إلى وادي تورن (بالقرب من القطب الشمالي للأرض). أما البعثة الثانية (1735-1744) بقيادة بيير بوغير، فأُرسلت إلى ما يُعرف اليوم بالإكوادور ، بالقرب من خط الاستواء. أظهرت قياساتهما أن الأرض مفلطحة، بنسبة تسطح 1:210. وأصبح هذا الشكل التقريبي للأرض هو الشكل الإهليلجي المرجعي الجديد .

في عام 1787، أُجري أول مسح مثلثي دقيق في بريطانيا، وهو المسح الأنجلو-فرنسي . وكان الهدف منه ربط مرصد غرينتش بمرصد باريس. ^{[ 110 ]} ويكتسب هذا المسح أهمية بالغة كونه تمهيدًا لعمل هيئة المسح الجيولوجي التي تأسست عام 1791، بعد عام واحد من وفاة ويليام روي .

أجرى يوهان جورج تراليس مسحًا لمنطقة بيرنيز أوبرلاند ، ثم لكانتون بيرن بأكمله . بعد فترة وجيزة من المسح الأنجلو-فرنسي، في عامي 1791 و1797، قام هو وتلميذه فرديناند رودولف هاسلر بقياس قاعدة غراند ماريه (بالألمانية: Grosses Moos ) بالقرب من آربرغ في زيلاند . أهّل هذا العمل تراليس لتمثيل الجمهورية الهيلفيتية في اللجنة العلمية الدولية التي اجتمعت في باريس بين عامي 1798 و1799 لتحديد طول المتر . ^{[ 111 ] [ 112 ] [ 113 ] [ 114 ]}

كلّفت الأكاديمية الفرنسية للعلوم بعثةً بقيادة جان بابتيست جوزيف ديلامبر وبيير ميشان ، استمرت من عام 1792 إلى عام 1799، سعت إلى قياس المسافة بدقة بين برج جرس في دونكيرك وقلعة مونتجويك في برشلونة عند خط طول البانثيون في باريس . عُرِّف المتر بأنه جزء من عشرة ملايين من أقصر مسافة من القطب الشمالي إلى خط الاستواء مرورًا بباريس ، بافتراض تسطح الأرض بمقدار 1/334. استنتجت اللجنة من مسح ديلامبر وميشان أن المسافة من القطب الشمالي إلى خط الاستواء تبلغ 5,130,740 تويز . ولأن المتر يجب أن يساوي جزءًا من عشرة ملايين من هذه المسافة، فقد عُرِّف بأنه 0.513074 تويز أو 443,296 خطًا من تويز بيرو (انظر أدناه). ^{[ 115 ] [ 116 ] [ 117 ] [ 118 ]}

لفت اكتشافٌ أجراه جان ريشر في الفترة ما بين عامي 1672 و1673 انتباه علماء الرياضيات إلى انحراف شكل الأرض عن الشكل الكروي. فقد أُرسل هذا الفلكي من قِبل أكاديمية العلوم في باريس إلى كايين في أمريكا الجنوبية لدراسة مقدار الانكسار الفلكي وغيره من الأجرام السماوية، ولا سيما اختلاف المنظر للمريخ بين باريس وكايين لتحديد المسافة بين الأرض والشمس . لاحظ ريشر أن ساعته، التي ضُبطت في باريس على أساس الثواني، كانت تتأخر حوالي دقيقتين ونصف _يوميًا في كايين، وأنه لكي تُضبط على التوقيت الشمسي المتوسط، كان من الضروري تقصير البندول بأكثر من خط (حوالي 1/12 من البوصة ⁾ . لم يُصدّق هذا الاكتشاف إلا بعد أن أكدته الملاحظات اللاحقة التي أجراها فارين وديشاي على سواحل أفريقيا وأمريكا. ^{[ 119 ] [ 120 ]}

لاحظ بوغير في أمريكا الجنوبية ، كما لاحظ جورج إيفرست في مسحه المثلثي العظيم للهند في القرن التاسع عشر ، أن الخط العمودي الفلكي يميل إلى الانجذاب باتجاه السلاسل الجبلية الكبيرة، نتيجةً لجاذبية هذه الكتل الصخرية الضخمة. ولأن هذا الخط العمودي عمودي في كل مكان على السطح المثالي لمستوى سطح البحر المتوسط، أو ما يُعرف بالجيود ، فإن هذا يعني أن شكل الأرض أكثر اضطرابًا من شكل القطع الناقص الدوراني. وهكذا، أصبحت دراسة " تموج الجيود " المهمة الكبرى التالية في علم دراسة شكل الأرض.

في عام 1811، تم اختيار فرديناند رودولف هاسلر لإدارة هيئة المسح الساحلي الأمريكية، وأُرسل في مهمة إلى فرنسا وإنجلترا لتوفير أدوات ومعايير القياس. ^{[ 124 ]} وحدة الطول التي تم قياس جميع المسافات بها بواسطة هيئة المسح الساحلي - التي أصبحت هيئة المسح الساحلي للولايات المتحدة في عام 1836 وهيئة المسح الساحلي والجيوديسي للولايات المتحدة في عام 1878 - هي المتر الفرنسي ، الذي أحضر هاسلر نسخة منه إلى الولايات المتحدة في عام 1805. ^{[ 125 ] [ 126 ]}

كان قوس خط الزوال الإسكندنافي الروسي، أو قوس ستروف الجيوديسي ، نسبةً إلى عالم الفلك الألماني فريدريش جورج فيلهلم فون ستروف ، عبارة عن قياس بالدرجات يتألف من  شبكة من نقاط المسح الجيوديسي يبلغ طولها حوالي 3000 كيلومتر. وكان قوس ستروف الجيوديسي أحد أدق وأكبر مشاريع قياس الأرض في ذلك الوقت. في عام 1860، نشر فريدريش جورج فيلهلم ستروف كتابه " قوس خط الزوال 25° 20′ بين نهر الدانوب والبحر الجليدي، تم قياسه من عام 1816 حتى عام 1855" . وقُدِّر تفلطح الأرض بنسبة 1/294.26، وقُدِّر نصف قطرها الاستوائي بـ 6378360.7 مترًا. ^{[ 119 ]}

في أوائل القرن التاسع عشر، أعاد الفلكيان الفرنسيان فرانسوا أراغو وجان بابتيست بيو حساب قوس خط زوال باريس بدقة أكبر بين جزر شتلاند وجزر البليار . وفي عام 1821 ، نشرا عملهما في المجلد الرابع بعد المجلدات الثلاثة لكتاب " أساسات النظام المتري العشري أو قياس قوس الزوال بين دونكيرك وبرشلونة " لديلامبر وميشان . ^{[ 127 ]}

أعلن لويس بويسان عام 1836 أمام الأكاديمية الفرنسية للعلوم أن ديلامبر وميشان قد أخطأا في قياس قوس خط الزوال الفرنسي. ورأى البعض أن أساس النظام المتري يُمكن دحضه بالإشارة إلى بعض الأخطاء التي تسللت إلى قياسات هذين العالِمين الفرنسيين. حتى أن ميشان لاحظ خطأً لم يجرؤ على الاعتراف به. ولأن هذا المسح كان جزءًا من الأساس لخريطة فرنسا، فقد راجع أنطوان إيفون فيلارسو، بين عامي 1861 و1866، العمليات الجيوديسية في ثماني نقاط من قوس خط الزوال. وتم تصحيح بعض الأخطاء في عمليات ديلامبر وميشان. وفي عام 1866، أعلن كارلوس إيبانيز إي إيبانيز دي إيبيرو، في مؤتمر الرابطة الدولية للجيوديسيا في نوشاتيل، مساهمة إسبانيا في إعادة قياس وتوسيع قوس خط الزوال الفرنسي. في عام 1870، تولى فرانسوا بيريه مسؤولية استئناف عملية التثليث بين دونكيرك وبرشلونة. وقد أُجري هذا المسح الجديد لقوس خط زوال باريس ، الذي أطلق عليه ألكسندر روس كلارك اسم قوس خط زوال غرب أوروبا - أفريقيا ، في فرنسا والجزائر تحت إشراف فرانسوا بيريه من عام 1870 حتى وفاته عام 1888. وأتم جان أنطونين ليون باسو المهمة عام 1896. ووفقًا للحسابات التي أجراها المكتب المركزي للجمعية الدولية على قوس خط الزوال الكبير الممتد من جزر شتلاند، مرورًا ببريطانيا العظمى وفرنسا وإسبانيا وصولًا إلى الأغواط في الجزائر، بلغ نصف قطر الأرض الاستوائي 6377935 مترًا، بافتراض أن الإهليلجية تساوي 1/299.15. ^{[ 128 ] [ 129 ] [ 130 ] [ 131 ] [ 119 ] [ 132 ]}

تم التخطيط للعديد من قياسات درجات خطوط الطول على طول خطوط العرض المركزية في أوروبا، ونُفذت جزئيًا في وقت مبكر من النصف الأول من القرن التاسع عشر؛ إلا أن هذه القياسات لم تكتسب أهمية إلا بعد إدخال التلغراف الكهربائي، الذي مكّن من حساب خطوط الطول الفلكية بدقة أعلى بكثير. ومن أهم هذه القياسات القياسات التي أُجريت بالقرب من خط عرض 52°، والذي امتد من فالنتيا في أيرلندا إلى أورسك في جبال الأورال الجنوبية على امتداد 69 درجة طولية. وكان إف جي دبليو ستروف، الذي يُعتبر رائد قياسات درجات خطوط العرض الروسية الإسكندنافية، هو صاحب فكرة هذا البحث. وبعد أن رتب الأمور اللازمة مع الحكومات في عام 1857، نقلها إلى ابنه أوتو، الذي حصل في عام 1860 على تعاون إنجلترا. ^{[ 119 ]}

في عام 1860، دعت الحكومة الروسية، بناءً على طلب أوتو فيلهلم فون ستورف، حكومات بلجيكا وفرنسا وبروسيا وإنجلترا لربط عمليات التثليث الخاصة بها بهدف قياس طول قوس خط العرض عند خط عرض 52 درجة، واختبار دقة الشكل وأبعاد الأرض، كما تم استنتاجها من قياسات قوس خط الزوال. ولتوحيد القياسات، كان من الضروري مقارنة المعايير الجيوديسية المستخدمة في مختلف البلدان. ​​دعت الحكومة البريطانية حكومات فرنسا وبلجيكا وبروسيا وروسيا والهند وأستراليا والنمسا وإسبانيا والولايات المتحدة ورأس الرجاء الصالح لإرسال معاييرها إلى مكتب هيئة المساحة البريطانية في ساوثهامبتون. والجدير بالذكر أن معايير فرنسا وإسبانيا والولايات المتحدة كانت تستند إلى النظام المتري، بينما تمت معايرة معايير بروسيا وبلجيكا وروسيا باستخدام التويز ، الذي يُعد تويز بيرو أقدم نموذج مادي له. تم بناء خريطة تويس في بيرو عام 1735 لصالح بوغير ودي لا كوندامين كمعيار مرجعي لهما في البعثة الجيوديسية الفرنسية ، التي أجريت في الإكوادور الحالية من عام 1735 إلى عام 1744 بالتعاون مع الضابطين الإسبانيين خورخي خوان وأنطونيو دي أولوا . ^{[ 133 ] [ 125 ]}

كان فريدريك بيسل مسؤولاً عن دراسات القرن التاسع عشر حول شكل الأرض باستخدام البندول لتحديد الجاذبية وتطبيق نظرية كليروت . وقد مثّلت دراساته التي أجراها بين عامي 1825 و1828، وتحديده لطول البندول الذي يدق الثانية في برلين بعد سبع سنوات، بداية حقبة جديدة في علم الجيوديسيا. في الواقع، يعود الفضل في اختراع البندول العكسي، كما استخدمه علماء الجيوديسيا في نهاية القرن التاسع عشر، إلى حد كبير إلى عمل بيسل، إذ لم يُدخل كلٌ من يوهان غوتليب فريدريك فون بوننبرغر ، مخترعه، وهنري كاتر، الذي استخدمه عام 1818، التحسينات التي نتجت عن مؤشرات بيسل القيّمة، والتي حوّلت البندول العكسي إلى أحد أروع الأدوات التي استخدمها علماء القرن التاسع عشر. استُخدم البندول العكسي الذي بناه الأخوان ريبسولد في سويسرا عام 1865 من قِبل إميل بلانتامور لقياس الجاذبية في ست محطات من الشبكة الجيوديسية السويسرية. وباتباع هذا النهج، وتحت رعاية الجمعية الجيوديسية الدولية، أجرت النمسا وبافاريا وبروسيا وروسيا وساكسونيا قياسات للجاذبية على أراضيها. ^{[ 134 ]}

مع ذلك، لا يمكن اعتبار هذه النتائج إلا مؤقتة، إذ لم تأخذ في الحسبان الحركات التي تُحدثها تذبذبات البندول في مستوى تعليقه، والتي تُشكل عامل خطأ هامًا في قياس كلٍ من مدة التذبذبات وطول البندول. في الواقع، يخضع تحديد الجاذبية بواسطة البندول لنوعين من الخطأ: مقاومة الهواء، والحركات التي تُحدثها تذبذبات البندول في مستوى تعليقه. كانت هذه الحركات بالغة الأهمية في الجهاز الذي صممه الأخوان ريبسولد بناءً على توجيهات بيسل، لأن البندول كان ذا كتلة كبيرة لموازنة تأثير لزوجة الهواء. وبينما كان إميل بلانتامور يُجري سلسلة من التجارب على هذا الجهاز، وجد أدولف هيرش طريقة لإبراز حركات مستوى تعليق البندول من خلال عملية تضخيم بصري مبتكرة. قام كل من إسحاق-شارل إليزيه سيليرييه، عالم الرياضيات الجنيفي، وتشارلز ساندرز بيرس، بشكل مستقل، بتطوير صيغة تصحيح من شأنها أن تجعل من الممكن استخدام الملاحظات التي تم إجراؤها باستخدام هذا النوع من مقياس الجاذبية . ^{[ 134 ] [ 135 ]}

كما ذكر كارلوس إيبانيز إي إيبانيز دي إيبيرو ، لو كانت القياسات الدقيقة بحاجة إلى مساعدة الجيوديسيا، لما استمرت في الازدهار دون مساعدة القياسات. فكيف يمكن التعبير عن جميع قياسات الأقواس الأرضية كدالة لوحدة واحدة، وجميع تحديدات قوة الجاذبية باستخدام البندول ، لو لم تُنشئ القياسات وحدة مشتركة، معتمدة ومحترمة من قبل جميع الأمم المتحضرة، ولو لم تتم مقارنة جميع مساطر قياس القواعد الجيوديسية، وجميع قضبان البندول التي استُخدمت أو ستُستخدم في المستقبل، بدقة متناهية، بنفس الوحدة؟ فقط عندما تنتهي سلسلة المقارنات القياسية هذه بخطأ محتمل يبلغ جزءًا من ألف من المليمتر، ستتمكن الجيوديسيا من ربط أعمال الأمم المختلفة ببعضها البعض، ومن ثم إعلان نتيجة قياس الكرة الأرضية. ^{[ 134 ]}

في عام 1855، فازت خريطة دوفور (بالفرنسية: Carte Dufour )، وهي أول خريطة طبوغرافية لسويسرا اعتمدت المتر كوحدة قياس للطول، بالميدالية الذهبية في المعرض العالمي. ^{[ 136 ] [ 137 ]} مع ذلك، قُيست خطوط الأساس لهذه الخريطة في عام 1834 باستخدام ثلاثة قضبان قياس طولها تويس، مُعايرة على تويس صنعه جان نيكولا فورتين عام 1821 لصالح فريدريش جورج فيلهلم فون ستروف . ^{[ 138 ] [ 139 ]} كما عرض جان برونر في المعرض المعيار الإسباني، وهو جهاز قياس جيوديسي مُعاير على المتر، ابتكره كارلوس إيبانيز إي إيبانيز دي إيبيرو وفروتوس سافيدرا مينيسيس . ^{[ 140 ] [ 141 ]} يتألف المعيار الإسباني من مسطرتين من البلاتين والنحاس، طول كل منهما 4 أمتار، تشكلان معًا مقياس حرارة معدنيًا. في وقت مبكر من عام 1834، استخدم بيسيل مساطر ثنائية المعدن تشكل مقياس حرارة معدنيًا، وفقًا للطريقة التي استخدمها بوردا ولافوازييه لقياس القوس الكهربائي بين دونكيرك وبرشلونة. حُسبت نتائج مقارنات المساطر الأربع التي شكلت أجهزة القياس مع بعضها البعض ومع المعيار المستخدم لمعايرتها بدقة متناهية باستخدام طريقة المربعات الصغرى . ^{[ 142 ]}

نشر ألكسندر روس كلارك وهنري جيمس النتائج الأولى لمقارنات المعايير في عام 1867. وفي العام نفسه، انضمت روسيا وإسبانيا والبرتغال إلى الجمعية الأوروبية لقياس المقاييس ، واقترح المؤتمر العام للجمعية المتر كمعيار موحد لقياس الأقواس، وأوصى بإنشاء مكتب دولي للأوزان والمقاييس . ^{[ 133 ] [ 143 ]}

قررت الجمعية الأوروبية لقياس الجاذبية إنشاء معيار جيوديسي دولي في مؤتمرها العام الذي عُقد في باريس عام 1875. كما تناول مؤتمر الرابطة الدولية للجيوديسيا أفضل أداة لقياس الجاذبية. وبعد نقاش مستفيض شارك فيه تشارلز ساندرز بيرس ، رجّحت الرابطة استخدام البندول العكسي، الذي كان يُستخدم في سويسرا، وتقرر إعادة قياس الجاذبية في برلين، في المحطة التي أجرى فيها بيسل قياساته الشهيرة، باستخدام أجهزة متنوعة تُستخدم في بلدان مختلفة، وذلك لمقارنتها والتوصل إلى معادلة مقاييسها. ^{[ 144 ]}

وُقِّعت اتفاقية المتر في باريس عام ١٨٧٥، وأُنشئ المكتب الدولي للأوزان والمقاييس تحت إشراف اللجنة الدولية للأوزان والمقاييس . وكان أول رئيس للجنة الدولية للأوزان والمقاييس هو الجيوديسي الإسباني كارلوس إيبانيز إي إيبانيز دي إيبيرو . كما شغل منصب رئيس اللجنة الدائمة للمسح الجيوديسي الأوروبي من عام ١٨٧٤ إلى عام ١٨٨٦. وفي عام ١٨٨٦، غيّرت الجمعية اسمها إلى الجمعية الجيوديسية الدولية ، وأُعيد انتخاب كارلوس إيبانيز إي إيبانيز دي إيبيرو رئيسًا لها، وبقي في هذا المنصب حتى وفاته عام ١٨٩١. وخلال هذه الفترة، اكتسبت الجمعية الجيوديسية الدولية أهمية عالمية بانضمام الولايات المتحدة والمكسيك وتشيلي والأرجنتين واليابان إليها. في عام ١٨٨٣، اقترح المؤتمر العام للرابطة الأوروبية للقياسات المكانية اختيار خط غرينتش كخط زوال رئيسي، على أمل انضمام الولايات المتحدة وبريطانيا العظمى إلى الرابطة. علاوة على ذلك، ووفقًا للحسابات التي أجراها المكتب المركزي للرابطة الدولية على قوس خط زوال غرب أوروبا - أفريقيا، كان خط زوال غرينتش أقرب إلى المتوسط ​​من خط زوال باريس. ^{[ ١٣٠ ] [ ١١٩ ] [ ١٤٥ ] [ ١٤٦ ]}

في عام ١٨٠٤، أصبح يوهان جورج تراليس عضوًا في أكاديمية برلين للعلوم . وفي عام ١٨١٠، أصبح أول من شغل كرسي الرياضيات في جامعة هومبولت ببرلين . وفي العام نفسه، عُيّن سكرتيرًا لقسم الرياضيات في أكاديمية برلين للعلوم. حافظ تراليس على مراسلات هامة مع فريدريك فيلهلم بيسل، ودعم تعيينه في جامعة كونيغسبرغ . ^{[ ١١١ ] [ ١٤٧ ]}

في عام ١٨٠٩، نشر كارل فريدريش غاوس طريقته لحساب مدارات الأجرام السماوية. وادعى في ذلك العمل أنه كان يمتلك طريقة المربعات الصغرى منذ عام ١٧٩٥. وقد أدى هذا بطبيعة الحال إلى نزاع حول الأسبقية مع أدريان ماري ليجندر . ومع ذلك، يُحسب لغوس أنه تجاوز ليجندر ونجح في ربط طريقة المربعات الصغرى بمبادئ الاحتمالات والتوزيع الطبيعي . وقد تمكن من إكمال برنامج لابلاس لتحديد شكل رياضي لكثافة الاحتمال للملاحظات، اعتمادًا على عدد محدود من المعلمات المجهولة، وتحديد طريقة تقدير تُقلل من خطأ التقدير. وأظهر غاوس أن المتوسط ​​الحسابي هو بالفعل أفضل تقدير لمعلمة الموقع عن طريق تغيير كل من كثافة الاحتمال وطريقة التقدير. ثم عكس المسألة بسؤاله عن الشكل الذي يجب أن تتخذه الكثافة وطريقة التقدير التي يجب استخدامها للحصول على المتوسط ​​الحسابي كتقدير لمعلمة الموقع. وفي هذه المحاولة، ابتكر التوزيع الطبيعي.

في عام 1810، وبعد قراءة أعمال غاوس، استخدم بيير سيمون لابلاس ، بعد إثباته لنظرية النهاية المركزية ، هذه النظرية لتبرير استخدام طريقة المربعات الصغرى والتوزيع الطبيعي في عينة كبيرة. وفي عام 1822، تمكن غاوس من إثبات أن طريقة المربعات الصغرى في تحليل الانحدار هي الأمثل، بمعنى أنه في نموذج خطي حيث يكون متوسط ​​الأخطاء صفرًا، وغير مترابطة، ومتساوية التباينات، فإن أفضل مُقدِّر خطي غير متحيز للمعاملات هو مُقدِّر المربعات الصغرى. تُعرف هذه النتيجة بنظرية غاوس-ماركوف .

شكّل نشر كتاب فريدريك فيلهلم بيسل " قياسات الأرض في بروسيا الشرقية" عام 1838 بداية عهد جديد في علم الجيوديسيا. فقد طُوّرت فيه طريقة المربعات الصغرى لحساب شبكة من المثلثات، واختزال الملاحظات بشكل عام. وكان الأسلوب المنهجي الذي اتّبعه بيسل في جمع جميع الملاحظات بهدف الحصول على نتائج نهائية بالغة الدقة مثيرًا للإعجاب. كما كان بيسل أول عالم يُدرك التأثير الذي عُرف لاحقًا باسم " المعادلة الشخصية" ، وهو أن العديد من الأشخاص الذين يرصدون في الوقت نفسه يُحدّدون قيمًا مختلفة قليلاً، لا سيما عند تسجيل زمن انتقال النجوم. ^{[ 119 ]}

استنبط الجيوديسي الألماني فريدريش روبرت هيلمرت معظم النظريات ذات الصلة في كتابيه الشهيرين "النظريات الرياضية والفيزيائية للجيوديسيا العليا" ، المجلدين الأول والثاني (1880 و1884 على التوالي). كما استنبط هيلمرت أول شكل بيضاوي عالمي في عام 1906 بدقة بلغت 100 متر (0.002% من نصف قطر الأرض). وفي عام 1910 تقريبًا، استنبط الجيوديسي الأمريكي هايفورد شكلًا بيضاويًا عالميًا، استنادًا إلى التوازن الأرضي بين القارات وبدقة بلغت 200  متر. وقد اعتمده الاتحاد الدولي للجيوديسيا والجيوفيزياء تحت مسمى "الشكل البيضاوي الدولي" عام 1924.

• تم أخذ نسخة مبكرة من هذه المقالة من المصدر المتاح للجمهور على الرابط التالي: http://www.ngs.noaa.gov/PUBS_LIB/Geodesy4Layman/TR80003A.HTM#ZZ4 .