تحليل المكونات الرئيسية

لتحقيق أقصى قدر من التباين، يجب أن يحقق متجه الوزن الأول w _{(1) الشرط التالي:}

$// _ {i}\left(\mathbf {x} _{(i)}\cdot \mathbf {w} \right)^{2}\right\}}$

وبصورة مكافئة، فإن كتابة هذا في شكل مصفوفة يعطي

${\displaystyle \mathbf {w} _{(1)}=\arg \max _{\left\|\mathbf {w} \right\|=1}\left\{\left\|\mathbf {Xw} \right\|^{2}\right\}=\arg \max _{\left\|\mathbf {w} \right\|=1}\left\{\mathbf {w} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Xw} \right\}}$

بما أن w ₍₁₎ قد تم تعريفه على أنه متجه وحدة، فإنه يحقق أيضاً بشكل مكافئ ما يلي:

${\displaystyle \mathbf {w} _{(1)}=\arg \max \left\{{\frac {\mathbf {w} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Xw} }{\mathbf {w} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} }}\right\}}$

يمكن التعرف على الكمية المراد تعظيمها على أنها حاصل قسمة رايلي . ومن النتائج الشائعة لمصفوفة شبه موجبة مثل X ^T X أن القيمة القصوى الممكنة لحاصل القسمة هي أكبر قيمة ذاتية للمصفوفة، والتي تتحقق عندما يكون w هو المتجه الذاتي المقابل .

بعد إيجاد w ₍₁₎ ، يمكن بعد ذلك إعطاء المكون الرئيسي الأول لمتجه البيانات x _{( i )} كدرجة t _{1( i )} = x _{( i )} ⋅ w ₍₁₎ في الإحداثيات المحولة، أو كمتجه مقابل في المتغيرات الأصلية، { x _{( i )} ⋅ w ₍₁₎ } w ₍₁₎ .

يمكن إيجاد المكون رقم k عن طريق طرح المكونات الرئيسية k  −  1 الأولى من X :

${\displaystyle \mathbf {\hat {X}} _{k}=\mathbf {X} -\sum _{s=1}^{k-1}\mathbf {X} \mathbf {w} _{(s)}\mathbf {w} _{(s)}^{\mathsf {T}}}$

ثم إيجاد متجه الوزن الذي يستخرج أكبر قدر من التباين من مصفوفة البيانات الجديدة هذه

${\displaystyle \mathbf {w} _{(k)}=\mathop {\operatorname {arg\,max} } _{\left\|\mathbf {w} \right\|=1}\left\{\left\|\mathbf {\hat {X}} _{k}\mathbf {w} \right\|^{2}\right\}=\arg \max \left\{{\tfrac {\mathbf {w} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {X}} _{k}^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {X}} _{k}\mathbf {w} }{\mathbf {w} ^{T}\mathbf {w} }}\right\}}$

يتضح أن هذا يُعطي المتجهات الذاتية المتبقية للمصفوفة X ^T X ، حيث تُعطى القيم القصوى للكمية بين قوسين بقيمها الذاتية المقابلة. وبالتالي، فإن متجهات الوزن هي متجهات ذاتية للمصفوفة X ^T X.

وبالتالي يمكن إعطاء المكون الرئيسي رقم k لمتجه البيانات x _{( i )} كدرجة t _{k ( i )} = x _{( i )} ⋅ w _{( k )} في الإحداثيات المحولة، أو كمتجه مقابل في فضاء المتغيرات الأصلية، { x _{( i )} ⋅ w _{( k )} } w _{( k )} ، حيث w _{( k )} هو المتجه الذاتي رقم k لـ X ^T X .

وبالتالي، يمكن التعبير عن تحليل المكونات الرئيسية الكامل لـ X على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {X} \mathbf {W} }$

حيث W مصفوفة أوزان من الرتبة p × p ، أعمدتها هي المتجهات الذاتية للمصفوفة X. ^يُطلق على منقولة W أحيانًا اسم تحويل التبييض أو تحويل التكوير . تُسمى أعمدة W مضروبة في الجذر التربيعي للقيم الذاتية المناظرة، أي المتجهات الذاتية مضروبة في التباينات، معاملات التحميل في تحليل المكونات الرئيسية (PCA) أو في تحليل العوامل.

يمكن اعتبار X ^T X نفسها متناسبة مع مصفوفة التغاير ^{التجريبية} لمجموعة البيانات X. ^{[ 13 ]} : ^30-31

يُعطى التباين المشترك Q بين اثنين من المكونات الرئيسية المختلفة على مجموعة البيانات بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(\mathrm {PC} _{(j)},\mathrm {PC} _{(k)})&\propto (\mathbf {X} \mathbf {w} _{(j)})^{\mathsf {T}}(\mathbf {X} \mathbf {w} _{(k)})\\&=\mathbf {w} _{(j)}^{\mathsf {T}}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \mathbf {w} _{(k)}\\&=\mathbf {w} _{(j)}^{\mathsf {T}}\lambda _{(k)}\mathbf {w} _{(k)}\\&=\lambda _{(k)}\mathbf {w} _{(j)}^{\mathsf {T}}\mathbf {w} _{(k)}\end{aligned}}}$

حيث استُخدمت خاصية القيمة الذاتية للمتجه w _{( k ) للانتقال من السطر 2 إلى السطر 3. مع ذلك، فإن المتجهين الذاتيين} w _{( j )} و w _{( k )} المناظرين للقيم الذاتية لمصفوفة متناظرة يكونان متعامدين (إذا كانت القيم الذاتية مختلفة)، أو يمكن جعلهما متعامدين (إذا تصادف أن يشترك المتجهان في قيمة متكررة متساوية). وبالتالي، فإن حاصل الضرب في السطر الأخير يساوي صفرًا؛ إذ لا يوجد تباين مشترك بين المكونات الرئيسية المختلفة في مجموعة البيانات.

وبالتالي، هناك طريقة أخرى لتوصيف تحويل المكونات الرئيسية وهي التحويل إلى إحداثيات تقوم بقطرية مصفوفة التغاير التجريبية للعينة.

يمكن كتابة مصفوفة التغاير التجريبية للمتغيرات الأصلية في شكل مصفوفة

${\displaystyle \mathbf {Q} \propto \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} =\mathbf {W} \mathbf {\Lambda } \mathbf {W} ^{\mathsf {T}}}$

تصبح مصفوفة التغاير التجريبية بين المكونات الرئيسية

${\displaystyle \mathbf {W} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} \mathbf {W} \propto \mathbf {W} ^{\mathsf {T}}\mathbf {W} \,\mathbf {\Lambda } \,\mathbf {W} ^{\mathsf {T}}\mathbf {W} =\mathbf {\Lambda } }$

حيث Λ هي المصفوفة القطرية للقيم الذاتية λ _{( k )} لـ X ^T X . λ _{( k )} يساوي مجموع المربعات على مجموعة البيانات المرتبطة بكل مكون k ، أي أن λ _{( k )} = Σ _i t _k ² _{( i )} = Σ _i ( x _{( i )} ⋅ w _{( k )} ) ² .

التحويل P = X W يُحوّل متجه البيانات x _{( i )} من فضاء أصلي مكون من x متغيرات إلى فضاء جديد مكون من p متغيرات غير مترابطة عبر مجموعة البيانات. ولجعل البيانات المركزية غير بُعدية، لنفترض أن X_{_c} يُمثل القيم المميزة لمتجهات البيانات X_{_i} ، كما يلي:

• ${\displaystyle \|X\|_{\infty }}$(المعيار الأقصى)،
• ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\|X\|_{1}}$(المتوسط ​​المطلق)، أو
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|X\|_{2}}$(المعيار الإقليدي المعياري)،

بالنسبة لمجموعة بيانات بحجم n ، تُستخدم هذه المعايير لتحويل الفضاء الأصلي للمتغيرات x و y إلى فضاء جديد من المتغيرات غير المرتبطة p و q (مع إعطاء Y _c بنفس المعنى)، بحيث${\displaystyle p_{i}={\frac {X_{i}}{X_{c}}},\quad q_{i}={\frac {Y_{i}}{Y_{c}}}}$والمتغيرات الجديدة مرتبطة خطيًا كما يلي:${\displaystyle q=\alpha p}$لإيجاد العلاقة الخطية المثلى، نقوم بتقليل إجمالي مربع خطأ إعادة البناء: ${\displaystyle E(\alpha )={\frac {1}{1-\alpha ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(\alpha p_{i}-q_{i})^{2}}$بحيث يؤدي ضبط مشتقة دالة الخطأ إلى الصفر${\displaystyle (E'(\alpha )=0)}$ينتج عنه:${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}\left(-\lambda \pm {\sqrt {\lambda ^{2}+4}}\right)}$أين${\displaystyle \lambda ={\frac {p\cdot p-q\cdot q}{p\cdot q}}}$[ ^{14 ]​}

يُعدّ تقليل الأبعاد خطوةً بالغة الأهمية لتصوّر ومعالجة مجموعات البيانات عالية الأبعاد، مع الحفاظ على أكبر قدر ممكن من التباين فيها. فعلى سبيل المثال، يُحدّد اختيار L  =  2 والاحتفاظ بالمكوّنين الرئيسيين الأولين فقط المستوى ثنائي الأبعاد الذي يمرّ عبر مجموعة البيانات عالية الأبعاد، حيث تكون البيانات أكثر تباعدًا. لذا، إذا احتوت البيانات على تجمعات ، فقد تكون هذه التجمعات أيضًا أكثر تباعدًا، وبالتالي أكثر وضوحًا عند تمثيلها بيانيًا في مخطط ثنائي الأبعاد. أما إذا تم اختيار اتجاهين عشوائيًا عبر البيانات (أو متغيرين من المتغيرات الأصلية)، فقد تكون التجمعات أقل تباعدًا عن بعضها، بل وقد تتداخل بشكل كبير، ما يجعل تمييزها صعبًا.

وبالمثل، في تحليل الانحدار ، كلما زاد عدد المتغيرات التفسيرية المسموح بها، زادت احتمالية المبالغة في ملاءمة النموذج، مما ينتج عنه استنتاجات لا يمكن تعميمها على مجموعات بيانات أخرى. يتمثل أحد الأساليب، خاصةً عند وجود ارتباطات قوية بين المتغيرات التفسيرية المختلفة المحتملة، في اختزالها إلى عدد قليل من المكونات الرئيسية ثم إجراء الانحدار عليها، وهي طريقة تُسمى انحدار المكونات الرئيسية .

قد يكون تقليل الأبعاد مناسبًا أيضًا عندما تكون المتغيرات في مجموعة البيانات مشوشة. إذا احتوى كل عمود من أعمدة مجموعة البيانات على ضوضاء غاوسية مستقلة ومتطابقة التوزيع، فإن أعمدة المصفوفة T ستحتوي أيضًا على ضوضاء غاوسية متطابقة التوزيع (هذا التوزيع ثابت تحت تأثير المصفوفة W ، والتي يمكن اعتبارها دورانًا عالي الأبعاد لمحاور الإحداثيات). مع ذلك، نظرًا لتركز جزء أكبر من التباين الكلي في المكونات الرئيسية القليلة الأولى مقارنةً بتباين الضوضاء نفسه، فإن التأثير النسبي للضوضاء يكون أقل - إذ تحقق المكونات القليلة الأولى نسبة إشارة إلى ضوضاء أعلى . وبالتالي، يمكن أن يؤدي تحليل المكونات الرئيسية (PCA) إلى تركيز جزء كبير من الإشارة في المكونات الرئيسية القليلة الأولى، والتي يمكن استخلاصها بسهولة عن طريق تقليل الأبعاد؛ بينما قد تهيمن الضوضاء على المكونات الرئيسية اللاحقة، وبالتالي يمكن التخلص منها دون خسارة كبيرة. إذا لم تكن مجموعة البيانات كبيرة جدًا، فيمكن اختبار أهمية المكونات الرئيسية باستخدام إعادة التوزيع المعياري (parametric bootstrap )، كوسيلة مساعدة في تحديد عدد المكونات الرئيسية التي يجب الاحتفاظ بها. ^{[ 15 ]}

يمكن أيضًا ربط تحويل المكونات الرئيسية بتحليل مصفوفة آخر، وهو تحليل القيم المفردة (SVD) للمصفوفة X.

${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {W} ^{T}}$

هنا Σ هي مصفوفة قطرية مستطيلة من الرتبة n × p من الأعداد الموجبة σ _{( k )} ، تسمى القيم المفردة لـ X ؛ U هي مصفوفة من الرتبة n × n ، أعمدتها عبارة عن متجهات وحدة متعامدة بطول n تسمى المتجهات المفردة اليسرى لـ X ؛ و W هي مصفوفة من الرتبة p × p أعمدتها عبارة عن متجهات وحدة متعامدة بطول p وتسمى المتجهات المفردة اليمنى لـ X.

من حيث هذا التحليل، يمكن كتابة المصفوفة X ^T X على النحو التالي

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} ^{T}\mathbf {X} &=\mathbf {W} \mathbf {\Sigma } ^{\mathsf {T}}\mathbf {U} ^{\mathsf {T}}\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {W} ^{\mathsf {T}}\\&=\mathbf {W} \mathbf {\Sigma } ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Sigma } \mathbf {W} ^{\mathsf {T}}\\&=\mathbf {W} \mathbf {\hat {\Sigma }} ^{2}\mathbf {W} ^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \mathbf {\hat {\Sigma }} }$هي المصفوفة القطرية المربعة التي تحتوي على القيم المفردة لـ X والأصفار الزائدة التي تم حذفها والتي تحقق${\displaystyle \mathbf {{\hat {\Sigma }}^{2}} =\mathbf {\Sigma } ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Sigma } }$تُظهر المقارنة مع تحليل المتجهات الذاتية لـ X ^T X أن المتجهات المفردة اليمنى W لـ X تُكافئ المتجهات الذاتية لـ X ^T X ، بينما القيم المفردة σ _{( k )} لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$تساوي الجذر التربيعي للقيم الذاتية λ _{( k )} لـ X ^T X .

باستخدام تحليل القيم المفردة، يمكن كتابة مصفوفة النتائج T

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} &=\mathbf {X} \mathbf {W} \\&=\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {W} ^{\mathsf {T}}\mathbf {W} \\&=\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \end{aligned}}}$

إذن ، يُعطى كل عمود من T بأحد المتجهات المفردة اليسرى لـ X مضروبًا في القيمة المفردة المناظرة. هذا الشكل هو أيضًا التحليل القطبي لـ T.

توجد خوارزميات فعالة لحساب SVD لـ X دون الحاجة إلى تكوين المصفوفة X ^T X ، لذا فإن حساب SVD هو الآن الطريقة القياسية لحساب تحليل المكونات الرئيسية من مصفوفة البيانات ، ^{[ 16 ]} ما لم تكن هناك حاجة إلى عدد قليل من المكونات فقط.

كما هو الحال مع تحليل القيم الذاتية، يمكن الحصول على مصفوفة درجات مقطوعة بحجم n × L، T _L، من خلال النظر فقط في أول L قيمة مفردة كبيرة ومتجهاتها المفردة:

${\displaystyle \mathbf {T} _{L}=\mathbf {U} _{L}\mathbf {\Sigma } _{L}=\mathbf {X} \mathbf {W} _{L}}$

يؤدي اقتطاع المصفوفة M أو T باستخدام تحليل القيمة المفردة المقتطعة بهذه الطريقة إلى إنتاج مصفوفة مقتطعة هي أقرب مصفوفة ممكنة من الرتبة L إلى المصفوفة الأصلية، بمعنى أن الفرق بين الاثنين له أصغر معيار فروبينيوس ممكن ، وهي نتيجة تُعرف باسم نظرية إيكارت-يونغ [1936].

نظرية (الملاءمة المثلى ذات الأبعاد k). لتكن P مصفوفة بيانات n×m تم توسيط أعمدتها وتوحيد مقياسها، ولتكن ${\displaystyle P=U\,\Sigma \,V^{T}}$ ليكن تحليلها إلى قيم مفردة. عندئذٍ يكون أفضل تقريب من الرتبة k لـ P بمعنى المربعات الصغرى (معيار فروبينيوس) هو ${\displaystyle P_{k}=U_{k}\,\Sigma _{k}\,V_{k}^{T}}$حيث تتكون V _k من الأعمدة k الأولى من V. علاوة على ذلك، فإن التباين المتبقي النسبي هو ${\displaystyle R(k)={\frac {\sum _{j=k+1}^{m}\sigma _{j}^{2}}{\sum _{j=1}^{m}\sigma _{j}^{2}}}}$.

^{[ 14 ]}

تتضمن بعض خصائص تحليل المكونات الرئيسية ما يلي: ^{[ 13 ]}

الخاصية 1 : لأي عدد صحيحq، 1 ≤q≤pالتحويل الخطيالمتعامد

${\displaystyle y=\mathbf {B'} x}$

أين${\displaystyle y}$هو متجه مكون من q عنصر و${\displaystyle \mathbf {B'} }$هي مصفوفة ( q × p )، ولتكن${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{y}=\mathbf {B'} \mathbf {\Sigma } \mathbf {B} }$لتكن مصفوفة التباين والتباين المشترك لـ${\displaystyle y}$ثم أثر${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{y}}$، المشار إليه${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {\Sigma } _{y})}$، يتم تحقيق أقصى قدر من خلال أخذ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {A} _{q}}$، أين${\displaystyle \mathbf {A} _{q}}$يتكون من أول q عمود من${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle (\mathbf {B'} }$هو منقول${\displaystyle \mathbf {B} )}$. (${\displaystyle \mathbf {A} }$(غير مُعرَّف هنا)

الخاصية 2 : لننظر مرة أخرى فيالتحويل المتعامد المعياري

${\displaystyle y=\mathbf {B'} x}$

مع${\displaystyle x,\mathbf {B} ,\mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{y}}$كما هو موضح سابقاً. ثم${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {\Sigma } _{y})}$يتم تقليله عن طريق الأخذ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {A} _{q}^{*},}$أين${\displaystyle \mathbf {A} _{q}^{*}}$يتكون من آخر q عمود من${\displaystyle \mathbf {A} }$.

يُشير هذا إلى أن المكونات الرئيسية الأخيرة ليست مجرد بقايا غير منظمة بعد إزالة المكونات الرئيسية المهمة. ولأن تباينات هذه المكونات الأخيرة ضئيلة للغاية، فإنها تُعدّ مفيدة بحد ذاتها. إذ تُساعد في الكشف عن علاقات خطية شبه ثابتة غير متوقعة بين عناصر المتغير x ، وقد تكون مفيدة أيضًا في الانحدار ، وفي اختيار مجموعة فرعية من المتغيرات من x ، وفي الكشف عن القيم الشاذة.

الخاصية 3 : (التحليل الطيفي لـ Σ )

${\displaystyle \mathbf {\Sigma } =\lambda _{1}\alpha _{1}\alpha _{1}'+\cdots +\lambda _{p}\alpha _{p}\alpha _{p}'}$

قبل أن نتناول استخدامها، سنلقي نظرة أولاً على العناصر القطرية ،

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{j})=\sum _{k=1}^{P}\lambda _{k}\alpha _{kj}^{2}}$

لعلّ أهمّ دلالة إحصائية لهذه النتيجة هي أنه لا يمكننا فقط تحليل التباينات المُجمّعة لجميع عناصر x إلى مساهمات متناقصة ناتجة عن كل مُكوّن رئيسي، بل يمكننا أيضًا تحليل مصفوفة التغاير بأكملها إلى مساهمات.${\displaystyle \lambda _{k}\alpha _{k}\alpha _{k}'}$من كل جهاز كمبيوتر. على الرغم من أنها ليست متناقصة تمامًا، إلا أن عناصر${\displaystyle \lambda _{k}\alpha _{k}\alpha _{k}'}$سيميل إلى أن يصبح أصغر كلما${\displaystyle k}$يزداد، مع${\displaystyle \lambda _{k}\alpha _{k}\alpha _{k}'}$غير متزايدة بالنسبة للزيادة${\displaystyle k}$بينما عناصر${\displaystyle \alpha _{k}}$تميل إلى البقاء بنفس الحجم تقريبًا بسبب قيود التطبيع:${\displaystyle \alpha _{k}'\alpha _{k}=1,k=1,\dots ,p}$.

كما ذُكر أعلاه، تعتمد نتائج تحليل المكونات الرئيسية على مقياس المتغيرات. ويمكن معالجة ذلك عن طريق قياس كل خاصية بانحرافها المعياري، بحيث نحصل في النهاية على خصائص عديمة الأبعاد ذات تباين موحد. ^{[ 19 ]}

إن قابلية تطبيق تحليل المكونات الرئيسية (PCA) كما هو موضح أعلاه محدودة ببعض الافتراضات (الضمنية) ^{[ 20 ]} التي بُنيت عليها عملية اشتقاقه. على وجه الخصوص، يستطيع تحليل المكونات الرئيسية رصد الارتباطات الخطية بين الميزات، ولكنه يفشل عند انتهاك هذا الافتراض (انظر الشكل 6أ في المرجع). في بعض الحالات، يمكن لتحويلات الإحداثيات استعادة افتراض الخطية، ومن ثم يمكن تطبيق تحليل المكونات الرئيسية (انظر تحليل المكونات الرئيسية باستخدام النواة ).

من القيود الأخرى عملية إزالة المتوسط ​​قبل بناء مصفوفة التغاير لتحليل المكونات الرئيسية (PCA). في مجالات مثل علم الفلك، تكون جميع الإشارات غير سالبة، وستؤدي عملية إزالة المتوسط ​​إلى جعل متوسط ​​بعض التعريضات الفلكية يساوي صفرًا، مما ينتج عنه تدفقات سالبة غير منطقية ^{[ 21 ]} ، ولذا يجب إجراء نمذجة أمامية لاستعادة القيمة الحقيقية للإشارات [ ^{22 ]} . كبديل، يُعد تحليل المصفوفات غير السالبة ، الذي يركز فقط على العناصر غير السالبة في المصفوفات ^، مناسبًا تمامًا للرصد الفلكي [23] [24] [25]. ^{للمزيد ، انظر العلاقة بين تحليل المكونات الرئيسية وتحليل} المصفوفات غير السالبة .

تُعاني تقنية تحليل المكونات الرئيسية (PCA) من قصورٍ إذا لم يتم توحيد البيانات قبل تطبيق الخوارزمية عليها. إذ تُحوّل PCA البيانات الأصلية إلى بياناتٍ ذات صلةٍ بالمكونات الرئيسية لتلك البيانات، مما يعني أن متغيرات البيانات الجديدة لا يُمكن تفسيرها بنفس طريقة تفسير المتغيرات الأصلية، بل هي تفسيراتٌ خطيةٌ لها. كما أن عدم تطبيق PCA بشكلٍ صحيحٍ يزيد من احتمالية فقدان المعلومات. ^{[ 26 ]}

تعتمد تقنية تحليل المكونات الرئيسية (PCA) على نموذج خطي. إذا احتوت مجموعة البيانات على نمط غير خطي كامن، فقد تُؤدي هذه التقنية إلى توجيه التحليل في الاتجاه المعاكس تمامًا. ^{[ 27 ]} اكتشف باحثون في جامعة ولاية كانساس أن خطأ المعاينة في تجاربهم يؤثر على تحيز نتائج تحليل المكونات الرئيسية. "إذا كان عدد العينات أو المجموعات أقل من 30، و/أو كان الباحث مهتمًا بالمكونات الرئيسية التي تتجاوز المكون الأول، فقد يكون من الأفضل تصحيح الارتباط التسلسلي قبل إجراء تحليل المكونات الرئيسية". ^{[ 28 ]} كما وجد الباحثون في جامعة ولاية كانساس أن تحليل المكونات الرئيسية قد يكون "متحيزًا بشكل كبير إذا لم يتم التعامل مع بنية الارتباط الذاتي للبيانات بشكل صحيح". ^{[ 28 ]}

يؤدي تقليل الأبعاد إلى فقدان المعلومات بشكل عام. ويميل تقليل الأبعاد القائم على تحليل المكونات الرئيسية إلى تقليل فقدان المعلومات هذا، في ظل نماذج إشارة وضوضاء معينة.

بافتراض أن

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {s} +\mathbf {n} ,}$

أي أن متجه البيانات${\displaystyle \mathbf {x} }$هو مجموع الإشارة المطلوبة الحاملة للمعلومات${\displaystyle \mathbf {s} }$وإشارة ضوضاء${\displaystyle \mathbf {n} }$يمكن للمرء أن يثبت أن تحليل المكونات الرئيسية (PCA) يمكن أن يكون الأمثل لتقليل الأبعاد، من وجهة نظر نظرية المعلومات.

وعلى وجه الخصوص، أظهر لينسكر أنه إذا${\displaystyle \mathbf {s} }$هو توزيع غاوسي و${\displaystyle \mathbf {n} }$إذا كان الضجيج غاوسيًا بمصفوفة تباين تتناسب مع مصفوفة الوحدة، فإن تحليل المكونات الرئيسية (PCA) يزيد من المعلومات المتبادلة.${\displaystyle I(\mathbf {y}$ ;\mathbf {s} )} بين المعلومات المطلوبة${\displaystyle \mathbf {s} }$والناتج ذو الأبعاد المخفضة${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {W} _{L}^{T}\mathbf {x} }$[ ^{29 ]​}

إذا كانت الضوضاء لا تزال غاوسية ولها مصفوفة تباين تتناسب مع مصفوفة الوحدة (أي مكونات المتجه)${\displaystyle \mathbf {n} }$هي مستقلة ومتطابقة التوزيع)، ولكن الإشارة الحاملة للمعلومات${\displaystyle \mathbf {s} }$إذا كان غير غاوسي (وهو سيناريو شائع)، فإن PCA على الأقل يقلل من الحد الأعلى لفقدان المعلومات ، والذي يتم تعريفه على النحو التالي ^{[ 30 ] [ 31 ]}

${\displaystyle I(\mathbf {x}$ ;\mathbf {s} )-I(\mathbf {y}  ;\mathbf {s} ).}

يتم الحفاظ على مثالية تحليل المكونات الرئيسية أيضًا إذا كان التشويش${\displaystyle \mathbf {n} }$هي مستقلة ومتطابقة التوزيع، وعلى الأقل أكثر غاوسية (من حيث تباعد كولباك-لايبير ) من الإشارة الحاملة للمعلومات${\displaystyle \mathbf {s} }$^{[ 32 ]} بشكل عام ، حتى لو كان نموذج الإشارة المذكور أعلاه صحيحًا، فإن تحليل المكونات الرئيسية يفقد مثاليته من الناحية النظرية للمعلومات بمجرد ظهور الضوضاء${\displaystyle \mathbf {n} }$يصبح معتمداً على غيره.

إحدى طرق حساب المكون الرئيسي الأول بكفاءة ^{[ 41 ]} موضحة في الكود الزائف التالي، لمصفوفة بيانات X ذات متوسط ​​صفري، دون حساب مصفوفة التباين الخاصة بها.

r = متجه عشوائي طوله p r = r / norm( r ) كرر العملية c مرة: s = 0 (متجه طوله p ) لكل صف x في X s = s + ( x ⋅ r ) x λ = r T s // λ هي القيمة الذاتية الخطأ = |λ ⋅ r − s | r = s / norm( s ) اخرج إذا كان الخطأ < التسامح أرجع λ، r

تقوم خوارزمية التكرار الأسي هذه ببساطة بحساب المتجه X ^T (X r) ، ثم تُعَيِّره، وتُعيد النتيجة إلى r . تُقَرِّب القيمة الذاتية بواسطة r ^T (X ^T X) r ، وهي حاصل قسمة رايلي على متجه الوحدة r لمصفوفة التغاير X ^T X. إذا كانت أكبر قيمة مفردة منفصلة جيدًا عن القيمة التي تليها في الحجم، فإن المتجه r يقترب من المكون الرئيسي الأول لـ X خلال عدد التكرارات c ، وهو عدد صغير نسبيًا مقارنةً بـ p ، بتكلفة إجمالية قدرها 2cnp . يمكن تسريع تقارب التكرار الأسي دون التضحية بشكل ملحوظ بالتكلفة المنخفضة لكل تكرار باستخدام طرق أكثر تطورًا لا تعتمد على المصفوفات ، مثل خوارزمية لانكزوس أو طريقة التدرج المترافق المُهيأ مسبقًا الأمثل محليًا ( LOBPCG ).

يمكن حساب المكونات الرئيسية اللاحقة بشكل فردي باستخدام تقنية الانكماش، أو بشكل متزامن كوحدة واحدة. في الطريقة الأولى، تؤثر عدم الدقة في المكونات الرئيسية التقريبية المحسوبة مسبقًا بشكل تراكمي على دقة المكونات الرئيسية المحسوبة لاحقًا، مما يزيد الخطأ مع كل عملية حساب جديدة. أما الطريقة الثانية، وهي طريقة القوة الكتلية، فتستبدل المتجهين المفردين r و s بمتجهات كتلية، وهي المصفوفات R و S. يُقارب كل عمود من R أحد المكونات الرئيسية الرائدة، بينما تُكرر جميع الأعمدة في آن واحد. وتتمثل العملية الحسابية الرئيسية في حساب حاصل ضرب X ^T (XR) . عند تطبيق هذه الطريقة، كما في LOBPCG ، يُزيل التجميع الفعال تراكم الأخطاء، ويسمح باستخدام دوال ضرب المصفوفات عالية المستوى من مكتبة BLAS ، ويؤدي عادةً إلى تقارب أسرع مقارنةً بتقنية المتجه المفرد.

تُعدّ طريقة المربعات الصغرى الجزئية التكرارية غير الخطية (NIPALS) صيغةً مُعدّلة من طريقة التكرار الأسي الكلاسيكية مع تقليص المصفوفة بالطرح، وتُستخدم لحساب المكونات القليلة الأولى في تحليل المكونات الرئيسية أو تحليل المربعات الصغرى الجزئية . بالنسبة لمجموعات البيانات عالية الأبعاد، مثل تلك المُولّدة في علوم *omics (على سبيل المثال، علم الجينوم ، علم الأيض )، عادةً ما _{يكون من الضروري حساب المكونات الرئيسية القليلة الأولى فقط. تُحدّث خوارزمية المربعات الصغرى الجزئية التكرارية غير الخطية (NIPALS) التقريبات التكرارية للدرجات والأوزان الرئيسية t₁ و r₁T} ^من خلال تكرار أسي، حيث يتم الضرب في كل _تكرار بالمتغير X من اليسار واليمين، أي يتم تجنب حساب مصفوفة التغاير، تمامًا كما هو الحال في تطبيق التكرار الأسي الخالي من المصفوفات للمتغير XᵀX ، استنادًا إلى الدالة التي تُقيّم حاصل الضرب Xᵀ (Xᵀr) ⁼ ( (Xᵀr) ^ᵀX ) ^{ᵀ .}

يتم إجراء عملية تقليص المصفوفة بالطرح عن طريق طرح حاصل الضرب الخارجي، t ₁ r ₁ ^T، من X، مما ينتج عنه مصفوفة البواقي المُقلّصة التي تُستخدم لحساب المكونات الرئيسية الرئيسية اللاحقة. ^{[ 42 ]} بالنسبة لمصفوفات البيانات الكبيرة، أو المصفوفات التي تتميز بدرجة عالية من الارتباط الخطي بين الأعمدة، يعاني برنامج NIPALS من فقدان تعامد المكونات الرئيسية نتيجة لأخطاء التقريب الناتجة عن دقة الآلة والمتراكمة في كل تكرار، بالإضافة إلى تقليص المصفوفة بالطرح. ^{[ 43 ]} وللتخلص من هذا الفقدان للتعامد، يتم تطبيق خوارزمية غرام -شميدت لإعادة التعامد على كل من الدرجات والأوزان في كل خطوة تكرارية. ^{[ 44 ]} لا يمكن لـ NIPALS الاعتماد على عمليات الضرب أحادية المتجه للاستفادة من BLAS عالي المستوى ويؤدي إلى تقارب بطيء للقيم المفردة الرائدة المجمعة - يتم حل كلا هذين القصورين في حلول الكتل الأكثر تطورا الخالية من المصفوفات، مثل طريقة التدرج المترافق المشروط مسبقًا للكتل الأمثل محليًا ( LOBPCG ).

في حالة "البث المباشر" أو "التدفق المستمر" حيث تصل البيانات على دفعات بدلاً من تخزينها في دفعة واحدة، من المفيد تقدير إسقاط تحليل المكونات الرئيسية (PCA) الذي يمكن تحديثه بشكل متسلسل. يمكن القيام بذلك بكفاءة، ولكنه يتطلب خوارزميات مختلفة. ^{[ 45 ]}

كان أول تطبيق لتحليل العوامل في تحديد وقياس مكونات الذكاء البشري. ساد الاعتقاد بأن الذكاء يتألف من مكونات متعددة غير مترابطة، مثل الذكاء المكاني، والذكاء اللفظي، والاستقراء، والاستنتاج، وغيرها، وأن درجات هذه المكونات يمكن استخلاصها من نتائج اختبارات مختلفة باستخدام تحليل العوامل، للحصول على مؤشر واحد يُعرف باسم حاصل الذكاء (IQ). وقد طوّر عالم النفس الإحصائي الرائد، سبيرمان، تحليل العوامل في عام 1904 لنظريته الثنائية للذكاء، مضيفًا بذلك أسلوبًا رسميًا إلى علم القياس النفسي . وفي عام 1924، بحث ثورستون عن 56 عاملًا للذكاء، مطورًا مفهوم العمر العقلي. وتستند اختبارات حاصل الذكاء القياسية اليوم إلى هذا العمل المبكر. ^{[ 53 ]}

في عام ١٩٤٩، قدّم شيفكي وويليامز نظرية البيئة العاملية ، التي هيمنت على دراسات التمايز السكني من خمسينيات القرن العشرين إلى سبعينياته. ^{[ ٥٤ ]} كانت الأحياء في المدينة قابلة للتمييز عن بعضها البعض من خلال خصائص مختلفة يمكن اختزالها إلى ثلاثة باستخدام تحليل العوامل. عُرفت هذه الخصائص باسم "الرتبة الاجتماعية" (مؤشر على الوضع الوظيفي)، و"الترابط الأسري" أو حجم الأسرة، و"العرق". بعد ذلك، يمكن تطبيق تحليل التجميع لتقسيم المدينة إلى مجموعات أو مناطق وفقًا لقيم متغيرات العوامل الرئيسية الثلاثة. وقد تطورت أدبيات واسعة النطاق حول البيئة العاملية في الجغرافيا الحضرية، لكن هذا النهج تراجع بعد عام ١٩٨٠ لكونه بدائيًا من الناحية المنهجية ولا مكان له في النماذج الجغرافية ما بعد الحداثية.

لطالما تمثّلت إحدى مشكلات تحليل العوامل في إيجاد أسماء مقنعة للعوامل الاصطناعية المختلفة. في عام 2000، أعاد فلود إحياء منهج علم البيئة العاملي ليُبيّن أن تحليل المكونات الرئيسية يُقدّم إجابات ذات مغزى بشكل مباشر، دون اللجوء إلى تدوير العوامل. كانت المكونات الرئيسية في الواقع متغيرات ثنائية أو أسعارًا ضمنية لـ"قوى" تدفع الناس إلى التجمع أو التباعد في المدن. كان المكون الأول هو "إمكانية الوصول"، وهو المفاضلة الكلاسيكية بين الطلب على السفر والطلب على المساحة، والتي يقوم عليها الاقتصاد الحضري الكلاسيكي. أما المكونان التاليان فهما "الحرمان"، الذي يُبقي الأشخاص ذوي الوضع الاجتماعي المماثل في أحياء منفصلة (بوساطة التخطيط)، والعرق، حيث يسعى الأشخاص ذوو الخلفيات العرقية المتشابهة إلى التواجد في نفس المكان. ^{[ 55 ]}

في نفس الفترة تقريبًا، حدد مكتب الإحصاء الأسترالي مؤشرات متميزة للميزة والعيب، معتمدًا على المكون الرئيسي الأول لمجموعات من المتغيرات الأساسية التي اعتُبرت مهمة. تُنشر هذه المؤشرات (SEIFA) بانتظام لمختلف المناطق القضائية، وتُستخدم بكثرة في التحليل المكاني. ^{[ 56 ]}

يمكن استخدام تحليل المكونات الرئيسية (PCA) كطريقة رسمية لتطوير المؤشرات. وكبديل لذلك، تم اقتراح تحليل المكونات التأكيدي لتطوير المؤشرات وتقييمها. ^{[ 57 ]}

طُوِّر مؤشر تنمية المدن من قِبَل شركة PCA استنادًا إلى حوالي 200 مؤشر لنتائج المدن، وذلك في مسح أُجري عام 1996 وشمل 254 مدينة عالمية. خضع المكون الرئيسي الأول لتحليل الانحدار التكراري، حيث أُضيفت المتغيرات الأصلية بشكل منفرد حتى تم تفسير حوالي 90% من تباينه. استخدم المؤشر في نهاية المطاف حوالي 15 مؤشرًا، ولكنه كان مؤشرًا جيدًا للعديد من المتغيرات الأخرى. توافقت قيمته المقارنة بشكل كبير مع التقييم الذاتي لحالة كل مدينة. كانت معاملات بنود البنية التحتية متناسبة تقريبًا مع متوسط ​​تكاليف توفير الخدمات الأساسية، مما يشير إلى أن المؤشر كان في الواقع مقياسًا للاستثمار المادي والاجتماعي الفعال في المدينة.

إن مؤشر التنمية البشرية على مستوى الدولة (HDI) من برنامج الأمم المتحدة الإنمائي ، والذي تم نشره منذ عام 1990 ويستخدم على نطاق واسع في دراسات التنمية، ^{[ 58 ]} له معاملات متشابهة للغاية على مؤشرات مماثلة، مما يشير بقوة إلى أنه تم إنشاؤه في الأصل باستخدام PCA.

في عام 1978، كان كافالي-سفورزا وآخرون من الرواد في استخدام تحليل المكونات الرئيسية (PCA) لتلخيص البيانات المتعلقة بتغير ترددات الجينات البشرية عبر المناطق. وقد أظهرت المكونات أنماطًا مميزة، بما في ذلك التدرجات والموجات الجيبية. وفسروا هذه الأنماط على أنها ناتجة عن أحداث هجرة قديمة محددة.

منذ ذلك الحين، أصبح تحليل المكونات الرئيسية (PCA) شائع الاستخدام في علم الوراثة السكانية، حيث استخدمته آلاف الأبحاث كآلية عرض. تختلف الوراثة بشكل كبير تبعًا للقرب الجغرافي، لذا فإن أول مكونين رئيسيين يُظهران التوزيع المكاني، ويمكن استخدامهما لرسم خريطة الموقع الجغرافي النسبي لمجموعات سكانية مختلفة، مما يُظهر الأفراد الذين هاجروا من مواقعهم الأصلية. ^{[ 59 ]}

لطالما أثارت تقنية تحليل المكونات الرئيسية (PCA) في علم الوراثة جدلاً واسعاً من الناحية التقنية، إذ طُبقت على متغيرات منفصلة غير طبيعية، وغالباً على علامات أليلية ثنائية. كما يُعدّ غياب أي مقاييس للخطأ المعياري في هذه التقنية عائقاً أمام استخدامها بشكل أكثر اتساقاً. في أغسطس 2022، نشر عالم الأحياء الجزيئية إران إلحايك ورقة بحثية نظرية في مجلة "ساينتيفيك ريبورتس" تُحلل 12 تطبيقاً لتقنية PCA. وخلص إلى سهولة التلاعب بهذه الطريقة، مما أدى، في رأيه، إلى نتائج "خاطئة ومتناقضة وغير منطقية". وعلى وجه التحديد، جادل بأن النتائج التي تم التوصل إليها في علم الوراثة السكانية اتسمت بانتقاء البيانات بشكل انتقائي والاستدلال الدائري . ^{[ 60 ]}

لطالما كان البحث التسويقي من أكثر مستخدمي تحليل المكونات الرئيسية (PCA). يُستخدم هذا التحليل لتطوير مؤشرات رضا العملاء أو ولائهم للمنتجات، وبالتزامن مع التجميع، يُستخدم لتحديد شرائح السوق التي يمكن استهدافها بحملات إعلانية، على غرار ما يفعله علم البيئة العاملي لتحديد المناطق الجغرافية ذات الخصائص المتشابهة. ^{[ 61 ]}

تُحوّل تقنية تحليل المكونات الرئيسية (PCA) كميات هائلة من البيانات بسرعة إلى متغيرات أصغر وأسهل فهمًا، ما يُتيح تحليلها بشكل أسرع وأسهل. في أي استبيان للمستهلكين، توجد سلسلة من الأسئلة المصممة لاستخلاص آراء المستهلكين، وتبحث المكونات الرئيسية عن المتغيرات الكامنة وراء هذه الآراء. على سبيل المثال، استطلعت دراسة أكسفورد للإنترنت عام 2013 آراء 2000 شخص حول آرائهم ومعتقداتهم، ومن خلال هذه الأسئلة، استخلص المحللون أربعة أبعاد للمكونات الرئيسية، حددوها على أنها "الهروب"، و"التواصل الاجتماعي"، و"الكفاءة"، و"خلق المشكلات". ^{[ 62 ]}

في مثال آخر، استخلص جو فلود في عام 2008 مؤشرًا للاتجاهات نحو السكن من 28 سؤالًا حول الاتجاهات في مسح وطني شمل 2697 أسرة في أستراليا. مثّل المكون الرئيسي الأول اتجاهًا عامًا نحو العقارات وامتلاك المنازل. ويمكن إدخال هذا المؤشر، أو أسئلة الاتجاهات التي يتضمنها، في نموذج خطي عام لاختيار نوع السكن. وكان المؤشر هو المحدد الأقوى للاستئجار الخاص، متجاوزًا الدخل أو الحالة الاجتماعية أو نوع الأسرة. ^{[ 63 ]}

في التمويل الكمي ، يتم استخدام PCA ^{[ 64 ]} في إدارة المخاطر المالية ، وقد تم تطبيقه على مشاكل أخرى مثل تحسين المحفظة .

يُستخدم تحليل المكونات الرئيسية (PCA) بشكل شائع في المشكلات المتعلقة بالأوراق المالية ذات الدخل الثابت والمحافظ الاستثمارية ، ومشتقات أسعار الفائدة . تعتمد التقييمات هنا على منحنى العائد بأكمله ، والذي يتضمن العديد من الأدوات المترابطة ارتباطًا وثيقًا، ويُستخدم تحليل المكونات الرئيسية لتحديد مجموعة من المكونات أو العوامل التي تُفسر تحركات أسعار الفائدة، ^{[ 65 ]} مما يُسهل عملية النمذجة. أحد التطبيقات الشائعة لإدارة المخاطر هو حساب القيمة المعرضة للخطر (VaR)، وذلك بتطبيق تحليل المكونات الرئيسية على محاكاة مونت كارلو . ^{[ 66 ]} هنا، لكل عينة محاكاة، يتم اختبار المكونات، ثم تُعاد بناء أسعار الفائدة، وبالتالي قيم الخيارات ؛ مع حساب القيمة المعرضة للخطر في النهاية على مدار عملية المحاكاة بأكملها. يُستخدم تحليل المكونات الرئيسية أيضًا في التحوط من التعرض لمخاطر أسعار الفائدة ، مع الأخذ في الاعتبار المدد الجزئية والحساسيات الأخرى. ^{[ 65 ]} في كلتا الحالتين، تُعد المكونات الرئيسية الثلاثة الأولى للنظام، والتي تُمثل عادةً "التحول" و"الالتواء" و"التقوس"، ذات أهمية. يتم اشتقاق هذه المكونات الرئيسية من تحليل القيم الذاتية لمصفوفة التغاير للعائد عند آجال استحقاق محددة مسبقًا؛ ^{[ 67 ]} حيث يكون تباين كل مكون هو قيمته الذاتية (وبما أن المكونات متعامدة ، فلا حاجة لإدراج أي ارتباط في النمذجة اللاحقة).

في مجال الأسهم ، تُعتبر المحفظة المثلى تلك التي تُحقق أقصى عائد متوقع لمستوى معين من المخاطر، أو تلك التي تُقلل المخاطر إلى أدنى حد ممكن لعائد معين؛ انظر نموذج ماركويتز للمزيد من التفاصيل. وبالتالي، يتمثل أحد الأساليب في تقليل مخاطر المحفظة، حيث تُطبق استراتيجيات التخصيص على "المحافظ الرئيسية" بدلاً من الأسهم الأساسية . أما الأسلوب الثاني فيتمثل في تعزيز عائد المحفظة، باستخدام المكونات الرئيسية لاختيار أسهم الشركات ذات إمكانات النمو. ^{[ 68 ] [ 69 ]} كما استُخدم تحليل المكونات الرئيسية (PCA) لفهم العلاقات ^{[ 64 ]} بين أسواق الأسهم الدولية ، وداخل الأسواق بين مجموعات الشركات في الصناعات أو القطاعات .

يمكن تطبيق تحليل المكونات الرئيسية (PCA) أيضًا على اختبارات الضغط ، ^{[ 70 ]} وهي في جوهرها تحليل لقدرة البنك على تحمل سيناريو اقتصادي سلبي افتراضي . تكمن فائدتها في "تبسيط المعلومات الواردة في [عدة] متغيرات اقتصادية كلية إلى مجموعة بيانات أكثر قابلية للإدارة، والتي يمكن استخدامها بعد ذلك في التحليل". ^{[ 70 ]} هنا، يتم ربط العوامل الناتجة، على سبيل المثال، بأسعار الفائدة - بناءً على أكبر عناصر المتجه الذاتي للعامل - ثم تتم ملاحظة كيف تؤثر "صدمة" لكل عامل على الأصول الضمنية لكل بنك.

يُستخدم أحد أشكال تحليل المكونات الرئيسية في علم الأعصاب لتحديد الخصائص المحددة للمنبه التي تزيد من احتمالية توليد جهد فعل في العصبون . ^{[ 71 ] [ 72 ]} تُعرف هذه التقنية بتحليل التغاير المُحفَّز بالنبضات . في تطبيق نموذجي، يُقدِّم الباحث عملية ضوضاء بيضاء كمنبه (عادةً إما كمدخل حسي لعينة الاختبار، أو كتيار يُحقن مباشرةً في العصبون) ويسجل سلسلة من جهود الفعل، أو النبضات، التي ينتجها العصبون نتيجةً لذلك. من المفترض أن بعض خصائص المنبه تجعل العصبون أكثر عرضةً لتوليد النبضات. لاستخراج هذه الخصائص، يحسب الباحث مصفوفة التغاير لمجموعة النبضات المُحفَّزة ، وهي مجموعة جميع المنبهات (المُعرَّفة والمُجزَّأة على مدى فترة زمنية محدودة، عادةً في حدود 100 مللي ثانية) التي سبقت النبضة مباشرةً. تشير المتجهات الذاتية للفرق بين مصفوفة التغاير المُحفَّزة بالنبضات ومصفوفة التغاير لمجموعة المحفزات السابقة (مجموعة جميع المحفزات، المُعرَّفة على نفس الفترة الزمنية) إلى الاتجاهات في فضاء المحفزات التي اختلف فيها تباين مجموعة المحفزات المُحفَّزة بالنبضات اختلافًا كبيرًا عن تباين مجموعة المحفزات السابقة. وبالتحديد، تتوافق المتجهات الذاتية ذات القيم الذاتية الموجبة الأكبر مع الاتجاهات التي أظهر فيها تباين مجموعة المحفزات المُحفَّزة بالنبضات أكبر تغير إيجابي مقارنةً بتباين المجموعة السابقة. وبما أن هذه هي الاتجاهات التي أدى فيها تغيير المحفز إلى حدوث نبضة، فإنها غالبًا ما تُمثل تقريبات جيدة لخصائص المحفزات المطلوبة.

في علم الأعصاب، يُستخدم تحليل المكونات الرئيسية (PCA) أيضًا لتحديد هوية العصبون من خلال شكل جهد الفعل الخاص به. يُعدّ فرز النبضات إجراءً هامًا لأن تقنيات التسجيل خارج الخلوي غالبًا ما تلتقط إشارات من أكثر من عصبون. في فرز النبضات، يُستخدم تحليل المكونات الرئيسية أولًا لتقليل أبعاد فضاء أشكال موجات جهد الفعل، ثم يُجرى تحليل التجميع لربط جهود فعل محددة بعصبونات فردية.

تُعدّ تقنية تحليل المكونات الرئيسية (PCA) لتقليل الأبعاد مناسبة بشكل خاص للكشف عن الأنشطة المنسقة لمجموعات الخلايا العصبية الكبيرة. وقد استُخدمت في تحديد المتغيرات الجماعية، أي معلمات الترتيب ، أثناء التحولات الطورية في الدماغ. ^{[ 73 ]}

طُوِّر تحليل التوافق (CA) على يد جان بول بنزكري ^{[ 74 ]} ، وهو مشابهٌ من حيث المفهوم لتحليل المكونات الرئيسية (PCA)، ولكنه يُعيد تحجيم البيانات (التي ينبغي أن تكون غير سالبة) بحيث تُعامل الصفوف والأعمدة معاملةً متساوية. ويُطبَّق تقليديًا على جداول التوافق . يُحلِّل تحليل التوافق إحصائية مربع كاي المرتبطة بهذا الجدول إلى عوامل متعامدة. ^{[ 75 ]} ولأن تحليل التوافق أسلوبٌ وصفي، يُمكن تطبيقه على الجداول التي تكون إحصائية مربع كاي مناسبةً لها أو غير مناسبة. تتوفر عدة أنواع من تحليل التوافق، بما في ذلك تحليل التوافق المُعدَّل وتحليل التوافق الكنسي . ومن الامتدادات الخاصة تحليل التوافق المتعدد ، الذي يُمكن اعتباره نظيرًا لتحليل المكونات الرئيسية للبيانات الفئوية. ^{[ 76 ]}

يُنشئ تحليل المكونات الرئيسية متغيراتٍ عبارة عن تراكيب خطية من المتغيرات الأصلية. وتتميز هذه المتغيرات الجديدة بأنها متعامدة. يُمكن أن يكون تحويل تحليل المكونات الرئيسية مفيدًا كخطوة تمهيدية قبل التجميع. يُعد تحليل المكونات الرئيسية منهجًا يركز على التباين، ويسعى إلى إعادة إنتاج التباين الكلي للمتغير، حيث تعكس المكونات التباين المشترك والفريد للمتغير. يُفضل استخدام تحليل المكونات الرئيسية عمومًا لأغراض تقليل البيانات (أي تحويل فضاء المتغيرات إلى فضاء العوامل الأمثل)، ولكنه غير مناسب عندما يكون الهدف هو الكشف عن البنية الكامنة أو العوامل.

يُشبه تحليل العوامل تحليل المكونات الرئيسية في كونه يتضمن أيضًا تراكيب خطية للمتغيرات. وعلى عكس تحليل المكونات الرئيسية، يركز تحليل العوامل على الارتباطات، ساعيًا إلى إعادة إنتاج الارتباطات المتبادلة بين المتغيرات، حيث تمثل العوامل "التباين المشترك للمتغيرات، باستثناء التباين الفريد". ^{[ 77 ]} وفيما يتعلق بمصفوفة الارتباط، يتوافق هذا مع التركيز على تفسير العناصر غير القطرية (أي التباين المشترك)، بينما يركز تحليل المكونات الرئيسية على تفسير العناصر القطرية. ومع ذلك، وكنتيجة جانبية، عند محاولة إعادة إنتاج العناصر القطرية، يميل تحليل المكونات الرئيسية أيضًا إلى مطابقة الارتباطات غير القطرية بشكل جيد نسبيًا. ^{[ 13 ] : 158} تتشابه نتائج تحليل المكونات الرئيسية وتحليل العوامل في معظم الحالات، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا، وهناك بعض المشكلات التي تختلف فيها النتائج اختلافًا كبيرًا. يُستخدم تحليل العوامل عمومًا عندما يكون الغرض من البحث هو الكشف عن بنية البيانات (أي البنى الكامنة أو العوامل) أو النمذجة السببية . إذا تمت صياغة نموذج العوامل بشكل غير صحيح أو لم يتم استيفاء الافتراضات، فإن تحليل العوامل سيعطي نتائج خاطئة. ^{[ 78 ]}

لقد زُعم أن الحل المُبسّط لتجميع البيانات باستخدام خوارزمية k -means ، والمُحدد بمؤشرات التجميع، يُعطى بالمكونات الرئيسية، وأن فضاء تحليل المكونات الرئيسية (PCA) المُمتد بواسطة الاتجاهات الرئيسية يُطابق فضاء مركز التجميع. ^{[ 79 ] [ 80 ]} ومع ذلك، فإن كون تحليل المكونات الرئيسية (PCA) تبسيطًا مفيدًا لتجميع البيانات باستخدام خوارزمية k -means لم يكن نتيجة جديدة، ^{[ 81 ]} ومن السهل العثور على أمثلة مضادة لعبارة أن فضاء مركز التجميع مُمتد بواسطة الاتجاهات الرئيسية. ^{[ 82 ]}

يُعدّ تحليل المصفوفات غير السالبة (NMF) أسلوبًا لتقليل الأبعاد، حيث تُستخدم فيه العناصر غير السالبة فقط في المصفوفات، مما يجعله أسلوبًا واعدًا في علم الفلك، ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} نظرًا لأن الإشارات الفيزيائية الفلكية غير سالبة. تكون مكونات تحليل المكونات الرئيسية (PCA) متعامدة فيما بينها، بينما تكون جميع مكونات تحليل المصفوفات غير السالبة غير سالبة، وبالتالي تُنشئ أساسًا غير متعامد.

في تحليل المكونات الرئيسية (PCA)، يُرتب إسهام كل مكون بناءً على قيمة قيمته الذاتية المقابلة، والتي تُعادل التباين الجزئي المتبقي (FRV) في تحليل البيانات التجريبية. ^{[ 21 ]} أما في تحليل المصفوفات غير السالبة (NMF)، فتُرتب مكوناته بناءً على منحنيات التباين الجزئي المتبقي التجريبية فقط. ^{[ 25 ]} وتُظهر مخططات القيم الذاتية الجزئية المتبقية، أي${\displaystyle 1-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}{\Big /}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}$كدالة لعدد المكونات${\displaystyle k}$بالنظر إلى إجمالي${\displaystyle n}$تتميز مكونات تحليل المكونات الرئيسية (PCA) بثباتها عند مستوى ثابت، حيث لا يتم جمع أي بيانات لإزالة الضوضاء شبه الساكنة، ثم تنخفض المنحنيات بسرعة كمؤشر على فرط التخصيص (الضوضاء العشوائية). ^{[ 21 ]} أما منحنيات FRV لتحليل المصفوفات غير السالبة (NMF) فتنخفض باستمرار ^{[ 25 ]} عند إنشاء مكونات NMF بالتتابع ، ^{[ 24 ]} مما يشير إلى استمرار جمع الضوضاء شبه الساكنة؛ ثم تتقارب إلى مستويات أعلى من PCA، ^{[ 25 ]} مما يشير إلى انخفاض خاصية فرط التخصيص في NMF.

غالباً ما يصعب تفسير المكونات الرئيسية عندما تتضمن البيانات العديد من المتغيرات ذات الأصول المختلفة، أو عندما تكون بعض المتغيرات نوعية. وهذا ما يدفع مستخدم تحليل المكونات الرئيسية إلى حذف بعض المتغيرات بحذر. فإذا كان للملاحظات أو المتغيرات تأثير مفرط على اتجاه المحاور، فينبغي إزالتها ثم إدراجها كعناصر تكميلية. إضافةً إلى ذلك، من الضروري تجنب تفسير التقارب بين النقاط القريبة من مركز المستوى العاملي.

أما أيقونات الارتباطات ، على النقيض من ذلك، والتي لا تُمثل إسقاطًا على نظام محاور، فلا تعاني من هذه العيوب. ولذلك، يمكننا الاحتفاظ بجميع المتغيرات.

يتمثل مبدأ الرسم البياني في تسليط الضوء على الارتباطات "الرائعة" لمصفوفة الارتباط، بخط متصل (ارتباط إيجابي) أو خط منقط (ارتباط سلبي).

لا يُعدّ الارتباط القوي "ملفتًا للنظر" إذا لم يكن مباشرًا، بل ناتجًا عن تأثير متغير ثالث. وعلى العكس، قد تكون الارتباطات الضعيفة "ملفتة للنظر". فعلى سبيل المثال، إذا كان المتغير Y يعتمد على عدة متغيرات مستقلة، فإن ارتباطات Y بكل منها تكون ضعيفة، ومع ذلك تُعدّ "ملفتة للنظر".

من أبرز عيوب تحليل المكونات الرئيسية (PCA) أن المكونات الرئيسية عادةً ما تكون تراكيب خطية لجميع متغيرات الإدخال. يتغلب تحليل المكونات الرئيسية المتفرق ( Sparse PCA ) على هذا العيب من خلال إيجاد تراكيب خطية تحتوي على عدد قليل فقط من متغيرات الإدخال. وهو يوسع نطاق طريقة تحليل المكونات الرئيسية الكلاسيكية (PCA) لتقليل أبعاد البيانات بإضافة قيد التفرق على متغيرات الإدخال. وقد تم اقتراح العديد من المناهج، بما في ذلك

• إطار الانحدار، ^{[ 83 ]}
• إطار عمل للبرمجة شبه المحددة/الاسترخاء المحدب، ^{[ 84 ]}
• إطار عمل عام لطريقة القوة ^{[ 85 ]}
• إطار عمل التحسين المتناوب ^{[ 86 ]}
• البحث الجشع الأمامي والخلفي والأساليب الدقيقة باستخدام تقنيات التفرع والتقييد، ^{[ 87 ]}
• إطار الصياغة البايزية. ^{[ 88 ]}

تم استعراض التطورات المنهجية والنظرية لتقنية تحليل المكونات الرئيسية المتفرقة (Sparse PCA) بالإضافة إلى تطبيقاتها في الدراسات العلمية مؤخرًا في ورقة بحثية. ^{[ 89 ]}

تستند معظم الطرق الحديثة لتقليل الأبعاد غير الخطية إلى جذورها النظرية والخوارزمية في تحليل المكونات الرئيسية (PCA) أو خوارزمية K-means. كانت فكرة بيرسون الأصلية هي اختيار خط مستقيم (أو مستوى) يمثل "أفضل تطابق" لمجموعة من نقاط البيانات. وقد طوّر تريفور هاستي هذا المفهوم باقتراح المنحنيات الرئيسية ^{[ 93 ]} كامتداد طبيعي للتفسير الهندسي لتحليل المكونات الرئيسية، والذي يقوم بإنشاء متعدد الشعب لتقريب البيانات ، ثم إسقاط النقاط عليه. انظر أيضًا خوارزمية الخريطة المرنة وتحليل الجيوديسية الرئيسية ^{[ 94 ]} . ومن التعميمات الشائعة الأخرى تحليل المكونات الرئيسية باستخدام النواة ، والذي يتوافق مع تحليل المكونات الرئيسية الذي يتم إجراؤه في فضاء هيلبرت ذي النواة المُستنسخة المرتبط بنواة موجبة التحديد.

في مجال تعلم الفضاءات الفرعية متعددة الخطوط ، ^{[ 95 ] [ 96 ] [ 97 ]} تم تعميم تحليل المكونات الرئيسية (PCA) إلى تحليل المكونات الرئيسية متعدد الخطوط (MPCA) الذي يستخلص الميزات مباشرةً من تمثيلات الموترات. يتم حل MPCA من خلال تطبيق تحليل المكونات الرئيسية على كل نمط من أنماط الموترات بشكل تكراري. وقد طُبقت MPCA في مجالات مثل التعرف على الوجوه، والتعرف على المشية، وغيرها. كما تم توسيع نطاق MPCA ليشمل تحليل المكونات الرئيسية غير المرتبط، وتحليل المكونات الرئيسية غير السالب، وتحليل المكونات الرئيسية القوي.

يمكن إجراء تحليل المكونات الرئيسية N -way باستخدام نماذج مثل تحليل Tucker ، و PARAFAC ، وتحليل العوامل المتعددة، وتحليل التماثل المشترك، و STATIS، و DISTATIS.

على الرغم من أن تحليل المكونات الرئيسية (PCA) يجد الطريقة المثلى رياضيًا (أي تقليل مربع الخطأ)، إلا أنه لا يزال حساسًا للقيم الشاذة في البيانات التي تُنتج أخطاءً كبيرة، وهو أمرٌ يسعى التحليل لتجنبه في المقام الأول. لذلك، من الممارسات الشائعة إزالة القيم الشاذة قبل حساب تحليل المكونات الرئيسية. مع ذلك، في بعض السياقات، قد يصعب تحديد القيم الشاذة. ^{[ 98 ]} على سبيل المثال، في خوارزميات استخراج البيانات مثل التجميع الارتباطي ، لا يكون تخصيص النقاط للمجموعات والقيم الشاذة معروفًا مسبقًا. وقد ساهم تعميمٌ مُقترحٌ حديثًا لتحليل المكونات الرئيسية ^{[ 99 ]} ، قائمٌ على تحليل المكونات الرئيسية الموزون، في زيادة المتانة من خلال تخصيص أوزان مختلفة لعناصر البيانات بناءً على مدى ملاءمتها المُقدَّرة.

كما تم اقتراح متغيرات مقاومة للقيم الشاذة من تحليل المكونات الرئيسية، استنادًا إلى صيغ معيار L1 ( L1-PCA ). ^{[ 7 ] [ 5 ]}

يُعد تحليل المكونات الرئيسية القوي (RPCA) عبر التفكيك في مصفوفات منخفضة الرتبة ومتفرقة تعديلًا لتحليل المكونات الرئيسية (PCA) يعمل بكفاءة مع البيانات المشوهة بشدة. ^{[ 100 ] [ 101 ] [ 102 ]}

يتم توجيه تحليل المكونات المستقلة (ICA) إلى مشاكل مماثلة لتحليل المكونات الرئيسية، ولكنه يجد مكونات قابلة للفصل بشكل إضافي بدلاً من التقريبات المتتالية.

بالنظر إلى مصفوفة${\displaystyle E}$، يحاول تحليلها إلى مصفوفتين بحيث${\displaystyle E=AP}$يتمثل أحد الاختلافات الرئيسية عن تقنيات مثل PCA وICA في أن بعض مدخلات${\displaystyle A}$يتم تقييدها لتكون صفرًا. هنا${\displaystyle P}$يُطلق عليها اسم الطبقة التنظيمية. في حين أن هذا التفكيك يمكن أن يكون له حلول متعددة بشكل عام، إلا أنها تثبت أنه إذا تحققت الشروط التالية  :

1. ${\displaystyle A}$يتمتع بترتيب كامل في العمود
2. كل عمود من${\displaystyle A}$يجب أن يكون لديه على الأقل${\displaystyle L-1}$أصفار حيث${\displaystyle L}$عدد أعمدة${\displaystyle A}$(أو بدلاً من ذلك عدد صفوف${\displaystyle P}$). إن مبرر هذا المعيار هو أنه إذا تمت إزالة عقدة من الطبقة التنظيمية مع جميع عقد الإخراج المتصلة بها، فيجب أن تظل النتيجة مميزة بمصفوفة اتصال ذات رتبة عمودية كاملة.
3. ${\displaystyle P}$يجب أن يكون الصف كاملاً.

عندئذٍ يكون التفكيك فريدًا حتى الضرب في عدد قياسي. ^{[ 103 ]}

يُعدّ تحليل التمييز للمكونات الرئيسية (DAPC) أسلوبًا متعدد المتغيرات يُستخدم لتحديد ووصف مجموعات الأفراد ذوي الصلة الجينية. يُقسّم التباين الجيني إلى مُكوّنين: التباين بين المجموعات والتباين داخل المجموعات، ويُركّز هذا الأسلوب على الأول. تُمثّل المُميّزات الخطية توليفات خطية من الأليلات التي تُفرّق بين المجموعات على أفضل وجه. وبالتالي، فإنّ الأليلات التي تُساهم بشكلٍ أكبر في هذا التمييز هي تلك التي تختلف بشكلٍ ملحوظ بين المجموعات. يُمكن أن تُتيح مُساهمات الأليلات في التجميعات التي يُحدّدها تحليل التمييز للمكونات الرئيسية (DAPC) تحديد مناطق الجينوم التي تُؤدّي إلى التباين الجيني بين المجموعات ^{[ 104 ]} . في تحليل التمييز للمكونات الرئيسية (DAPC)، تُحوّل البيانات أولًا باستخدام تحليل المكونات الرئيسية (PCA)، ثم تُحدّد المجموعات باستخدام تحليل التمييز (DA).

يمكن تنفيذ تحليل DAPC في لغة R باستخدام حزمة Adegenet. (للمزيد من المعلومات: adegenet على الإنترنت )

يُعد تحليل المكونات الاتجاهية (DCA) أسلوبًا يُستخدم في علوم الغلاف الجوي لتحليل مجموعات البيانات متعددة المتغيرات. ^{[ 105 ]} وكما هو الحال في تحليل المكونات الرئيسية (PCA)، يُتيح هذا الأسلوب تقليل الأبعاد، وتحسين التصور، وتعزيز قابلية تفسير مجموعات البيانات الكبيرة. ومثل تحليل المكونات الرئيسية، يعتمد تحليل المكونات الاتجاهية على مصفوفة التغاير المُستمدة من مجموعة البيانات المُدخلة. ويكمن الفرق بين تحليل المكونات الرئيسية وتحليل المكونات الاتجاهية في أن الأخير يتطلب إدخال اتجاه متجه، يُشار إليه بالتأثير. فبينما يُعظّم تحليل المكونات الرئيسية التباين المُفسَّر، يُعظّم تحليل المكونات الاتجاهية كثافة الاحتمال بالنظر إلى التأثير. ويكمن الدافع وراء استخدام تحليل المكونات الاتجاهية في إيجاد مكونات مجموعة البيانات متعددة المتغيرات التي تكون مُحتملة (تُقاس باستخدام كثافة الاحتمال) وهامة (تُقاس باستخدام التأثير). وقد استُخدم تحليل المكونات الاتجاهية لإيجاد أنماط موجات الحر الأكثر احتمالًا والأكثر خطورة في مجموعات التنبؤات الجوية، ^{[ 106 ]} والتغيرات الأكثر احتمالًا والأكثر تأثيرًا في هطول الأمطار نتيجة لتغير المناخ. ^{[ 107 ]}