الوزن (نظرية التمثيل)

يترك${\displaystyle \sigma$ لتكن :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)} تمثيلاً لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على فضاء متجهي V فوق حقل ذي خاصية 0، لنقل${\displaystyle \mathbb {C} }$ودع${\displaystyle \lambda$ لتكن الدالة الخطية على${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$، أين${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$هي جبر فرعي من كارتان${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ثمفضاء الأوزان لـVبوزنλهو الفضاء الجزئي${\displaystyle V_{\lambda }}$مقدم من

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\,(\sigma (H))(v)=\lambda (H)v\}}$.

وزن التمثيل V (يُشار إلى التمثيل غالبًا باختصار باسم الفضاء المتجهي V الذي تعمل عليه عناصر جبر لي بدلاً من الخريطة )${\displaystyle \sigma }$) دالة خطية λ بحيث يكون فضاء الأوزان المقابل لها غير صفري. تُسمى العناصر غير الصفرية في فضاء الأوزان متجهات الأوزان . أي أن متجه الوزن هو متجه ذاتي متزامن لتأثير عناصر${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$، مع القيم الذاتية المقابلة المعطاة بواسطة λ.

إذا كان V هو المجموع المباشر لفضاءات أوزانه

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

ثم يُطلق على V اسموحدة الوزن ؛وهذا يتوافق مع وجودأساس ذاتي(أساس من المتجهات الذاتية المتزامنة) لجميع العناصر الممثلة للجبر ، أي وجود مصفوفات قابلة للتقطير في وقت واحد (انظرالمصفوفة القابلة للتقطير).

إذا كانت G زمرة لي ذات جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، كل تمثيل محدود الأبعاد لـ G يُنتج تمثيلاً لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وبالتالي ، فإن وزن تمثيل G هو ببساطة وزن التمثيل المرتبط به لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يوجد فرق دقيق بين أوزان تمثيلات الزمر وتمثيلات جبر لي، وهو اختلاف مفهوم شرط التكامل في الحالتين؛ انظر أدناه. (يكون شرط التكامل أكثر تقييدًا في حالة الزمر، مما يعكس أن ليس كل تمثيل لجبر لي ينبع من تمثيل للزمرة).

للتمثيل المرافق${\displaystyle \mathrm {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})} of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الفضاء الذي يعمل عليه التمثيل هو جبر لي نفسه. عندئذٍ تُسمى الأوزان غير الصفرية جذورًا ، وتُسمى فضاءات الأوزان فضاءات الجذور ، ومتجهات الأوزان، التي هي بالتالي عناصر من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تُسمى هذه المتجهات بالمتجهات الجذرية . وبشكل أكثر تحديدًا، دالة خطية${\displaystyle \alpha }$حول الجبر الفرعي لكارتان${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$يُطلق عليه اسم الجذر إذا${\displaystyle \alpha \neq 0}$ويوجد عدد غير صفري${\displaystyle X}$في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بحيث

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

للجميع${\displaystyle H}$في${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$تشكل مجموعة الجذور نظامًا جذريًا .

من منظور نظرية التمثيل، تكمن أهمية الجذور ومتجهات الجذور في النتيجة الأولية والمهمة التالية: إذا${\displaystyle \sigma$ يمثل {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)} تمثيلاً لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، v هو متجه وزن ذو وزن${\displaystyle \lambda }$و X هو متجه جذري له جذر${\displaystyle \alpha }$، ثم

${\displaystyle \sigma (H)(\sigma (X)(v))=[(\lambda +\alpha )(H)](\sigma (X)(v))}$

لكل H في${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. إنه،${\displaystyle \sigma (X)(v)}$إما أن يكون متجهًا صفريًا أو متجه وزن ذي وزن${\displaystyle \lambda +\alpha }$وبالتالي، فإن فعل${\displaystyle X}$يرسم خريطة لمساحة الوزن باستخدام الوزن${\displaystyle \lambda }$في حيز الوزن مع الوزن${\displaystyle \lambda +\alpha }$.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}_{\mathbb {C} }(2)}$، أو${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$أصبحت المتجهات الجذرية أكثر تعقيدًا${\displaystyle {H,X,Y}}$يشمل ذلك الجبر وله أوزان${\displaystyle 0}$،${\displaystyle 1}$، و${\displaystyle -1}$على التوالي. يتم توليد الجبر الفرعي لكارتان بواسطة${\displaystyle H}$، وفعل${\displaystyle H}$يصنف مساحات الوزن. عمل${\displaystyle X}$يرسم خريطة لمساحة الوزن${\displaystyle \lambda }$إلى مساحة الوزن${\displaystyle \lambda +1}$وفعل${\displaystyle Y}$يرسم خريطة لمساحة الوزن${\displaystyle \lambda }$إلى مساحة الوزن${\displaystyle \lambda -1}$، وفعل${\displaystyle H}$تُسقط هذه الخرائط مساحات الأوزان على نفسها. في التمثيل الأساسي ، مع الأوزان${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$ومساحات الوزن${\displaystyle V_{\pm {\frac {1}{2}}}}$،${\displaystyle X}$خرائط${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$إلى الصفر و${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ل${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$، بينما${\displaystyle Y}$خرائط${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$إلى الصفر و${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ل${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$، و${\displaystyle H}$يرسم كل فضاء وزن إلى نفسه.

يترك${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ليكن الفضاء الجزئي الحقيقي لـ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ناتجة عن جذور${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، أين${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$هو فضاء الدوال الخطية${\displaystyle \lambda$ :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} } ، الفضاء الثنائي لـ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$لأغراض الحساب، من الملائم اختيار جداء داخلي ثابت تحت زمرة فايل، أي تحت الانعكاسات حول المستويات الفائقة المتعامدة مع الجذور. يمكننا بعد ذلك استخدام هذا الجداء الداخلي لتحديد${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$مع فضاء فرعي${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ل${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. وبهذا التحديد، يكون الجذر المشترك مرتبطًا بالجذر${\displaystyle \alpha }$يُعطى على النحو التالي

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

أين${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$يرمز إلى الضرب الداخلي للمتجهات${\displaystyle \alpha ,\beta .}$بالإضافة إلى هذا المنتج الداخلي، من الشائع استخدام رمز القوس الزاوي${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$يُستخدم هذا في مناقشات أنظمة الجذور ، مع تعريف القوس الزاوي على النحو التالي:${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \equiv (\lambda ,H_{\alpha }).}$لا يُمثل القوس الزاوي هنا ضربًا داخليًا، لأنه غير متناظر، وهو خطي فقط في الوسيط الأول. يجب عدم الخلط بين رمز القوس الزاوي والضرب الداخلي.${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

سنعرّف الآن مفهومين مختلفين للتكامل لعناصر${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$الدافع وراء هذه التعريفات بسيط: أوزان التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تحقق شرط التكامل الأول، بينما إذا كانت G مجموعة ذات جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، أوزان التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لـ G تحقق شرط التكامل الثاني.

عنصر${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$يكون صحيحًا جبريًا إذا

${\displaystyle (\lambda ,H_{\alpha })=2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} }$

لجميع الجذور${\displaystyle \alpha }$الدافع وراء هذا الشرط هو أن الجذر المشترك${\displaystyle H_{\alpha }}$يمكن تحديدها باستخدام عنصر الهيدروجين في معيار${\displaystyle {X,Y,H}}$أساس لـ${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$- الجبر الفرعي لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[ ^{1 ]} من خلال نتائج أولية ^لـ${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$، القيم الذاتية لـ${\displaystyle H_{\alpha }}$في أي تمثيل محدود الأبعاد، يجب أن يكون عدد صحيح. نستنتج، كما ذكرنا سابقًا، أن وزن أي تمثيل محدود الأبعاد لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$^{[ 2 ]} هو عدد صحيح جبري.

الأوزان الأساسية${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$تُعرَّف هذه الخصائص بالخاصية التي تُشكِّل أساسًا لها.${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ثنائية لمجموعة الجذور المشتركة المرتبطة بالجذور البسيطة . أي أن الأوزان الأساسية تُحدد بالشرط

${\displaystyle 2{\frac {(\omega _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}=\delta _{i,j}}$

أين ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$هي الجذور البسيطة. عنصر${\displaystyle \lambda }$تكون صحيحة جبريًا إذا وفقط إذا كانت تركيبة صحيحة للأوزان الأساسية. ^{[ 3 ]} مجموعة جميع${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الأوزان التكاملية هي شبكة في${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$يُطلق عليه اسم شبكة الوزن لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$.

يوضح الشكل مثالاً على جبر لي${\displaystyle sl(3,\mathbb {C} )}$، الذي نظامه الجذري هو${\displaystyle A_{2}}$نظام الجذور. يوجد جذران بسيطان،${\displaystyle \gamma _{1}}$و${\displaystyle \gamma _{2}}$الوزن الأساسي الأول،${\displaystyle \omega _{1}}$، ينبغي أن يكون متعامدًا مع${\displaystyle \gamma _{2}}$وينبغي أن يسقط عموديًا على نصف${\displaystyle \gamma _{1}}$وبالمثل بالنسبة لـ${\displaystyle \omega _{2}}$. ثم تصبح شبكة الوزن هي الشبكة المثلثية.

لنفترض الآن أن جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر لي لمجموعة لي G. عندئذٍ نقول إن${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$تكون دالة التكامل التحليلي ( تكامل G ) إذا كان لكل t في${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$بحيث${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$لدينا${\displaystyle (\lambda ,t)\in 2\pi i\mathbb {Z} }$والسبب في وضع هذا التعريف هو أنه إذا كان تمثيل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ينشأ من تمثيل لـ G ، وبالتالي ستكون أوزان التمثيل صحيحة بالنسبة لـ G. ^{[ 4 ]} بالنسبة لـ G شبه البسيطة، فإن مجموعة جميع الأوزان الصحيحة بالنسبة لـ G هي شبكة فرعية P ( G ) ⊂ P (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كانت G متصلة ببساطة ، فإن P ( G ) = P (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا لم تكن G متصلة ببساطة، فإن الشبكة P ( G ) تكون أصغر من P (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$) ويكون ناتج قسمتهم متماثلاً مع ^{المجموعة} الأساسية لـ G. [ ^{5 ]}

نقدم الآن ترتيبًا جزئيًا على مجموعة الأوزان، والذي سيُستخدم لصياغة نظرية الوزن الأعلى التي تصف تمثيلات${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تذكر أن R هي مجموعة الجذور؛ الآن نحدد مجموعة${\displaystyle R^{+}}$من الجذور الإيجابية .

لنفترض عنصرين${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \lambda }$ل ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$نحن مهتمون بشكل أساسي بالحالة التي${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \lambda }$هي عناصر أساسية، لكن هذا الافتراض ليس ضرورياً للتعريف الذي سنقدمه. ثم نقول إن${\displaystyle \mu }$أعلى من​${\displaystyle \lambda }$، والتي نكتبها على النحو التالي${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$، لو${\displaystyle \mu -\lambda }$يمكن التعبير عنها كمزيج خطي من جذور موجبة ذات معاملات حقيقية غير سالبة. ^{[ 6 ]} وهذا يعني، تقريبًا، أن "أعلى" تعني في اتجاهات الجذور الموجبة. ونقول بشكل مكافئ أن${\displaystyle \lambda }$هو "أقل من"${\displaystyle \mu }$، والتي نكتبها على النحو التالي${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$.

هذا مجرد ترتيب جزئي ؛ من الممكن بسهولة أن يحدث ذلك${\displaystyle \mu }$ليس أعلى ولا أقل من${\displaystyle \lambda }$.

عنصر متكامل${\displaystyle \lambda }$يكون سائداً إذا${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$لكل جذر موجب${\displaystyle \gamma }$أو بعبارة أخرى،${\displaystyle \lambda }$تكون مهيمنة إذا كانت عبارة عن توليفة عددية صحيحة غير سالبة للأوزان الأساسية. في${\displaystyle A_{2}}$في هذه الحالة، تقع العناصر التكاملية المهيمنة في قطاع زاويته 60 درجة. ولا يعني كون العنصر مهيمناً بالضرورة أنه أكبر من الصفر. لاحظ أن المنطقة الرمادية في الصورة على اليمين تمثل قطاعاً زاويته 120 درجة، ويحتوي تحديداً على القطاع الزاوي 60 درجة الذي يمثل العناصر التكاملية المهيمنة.

مجموعة جميع قيم λ (ليس بالضرورة أعدادًا صحيحة) بحيث${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$لكل الجذور الإيجابية${\displaystyle \gamma }$يُعرف باسم حجرة ويل الأساسية المرتبطة بمجموعة الجذور الموجبة المعطاة.

وزن${\displaystyle \lambda }$تمثيل${\displaystyle V}$ل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُطلق عليه اسم الوزن الأعلى إذا كان كل وزن آخر من${\displaystyle V}$أقل من${\displaystyle \lambda }$.

النظرية التي تصنف التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتم ذلك عن طريق "نظرية الوزن الأعلى". تنص النظرية على أن ^{[ 7 ]}

(1) كل تمثيل غير قابل للاختزال (ذي أبعاد محدودة) له أعلى وزن،

(2) الوزن الأعلى هو دائماً عنصر مهيمن، وعنصر متكامل جبرياً،

(3) التمثيلان غير القابلين للاختزال واللذان لهما نفس الوزن الأعلى متماثلان، و

(4) كل عنصر مهيمن، متكامل جبريًا، هو أعلى وزن لتمثيل غير قابل للاختزال.

النقطة الأخيرة هي الأصعب؛ يمكن إنشاء التمثيلات باستخدام وحدات فيرما .

تمثيل (ليس بالضرورة محدود الأبعاد) V لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُطلق عليه اسم وحدة الوزن الأعلى إذا تم توليده بواسطة متجه وزن v ∈ V يتم إفناؤه بفعل جميع فضاءات الجذور الموجبة في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$كل شيء لا يمكن اختزاله${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الوحدة ذات الوزن الأعلى هي بالضرورة وحدة ذات وزن أعلى، ولكن في حالة الأبعاد اللانهائية، لا يشترط أن تكون الوحدة ذات الوزن الأعلى غير قابلة للاختزال. لكل${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$—ليس بالضرورة مهيمنًا أو متكاملًا—يوجد وزن بسيط فريد (حتى التشاكل) ذو أعلى وزن${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وحدة نمطية ذات وزن أعلى λ، يُرمز لها بـ L (λ)، ولكن هذه الوحدة النمطية لا نهائية الأبعاد ما لم يكن λ عددًا صحيحًا مهيمنًا. يمكن إثبات أن كل وحدة نمطية ذات وزن أعلى λ هي خارج قسمة على وحدة فيرما النمطية M (λ). هذا مجرد إعادة صياغة لخاصية الشمولية في تعريف وحدة فيرما النمطية.

كل وحدة ذات وزن أعلى ذات أبعاد محدودة غير قابلة للاختزال. ^{[ 8 ]}