المتوسط ​​الهندسي

يمكن التعبير عن المتوسط ​​الهندسي أيضًا على أنه أس المتوسط ​​الحسابي للوغاريتمات. ^{[ 4 ]} باستخدام متطابقات اللوغاريتمات لتحويل الصيغة، يمكن التعبير عن عمليات الضرب كمجموع والأس كعملية ضرب:

متى${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0}$$${\displaystyle {\biggl (}\prod _{i=1}^{n}a_{i}{\biggr )}^{\frac {1}{n}}=\exp {\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}{\biggr )},}$$ منذ $${\displaystyle \textstyle {\vphantom {\Big |}}\ln {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{\vphantom {t}}}}={\frac {1}{n}}\ln(a_{1}a_{2}\cdots a_{n})={\frac {1}{n}}(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots +\ln a_{n}).}$$

يُطلق على هذا أحيانًا اسم المتوسط ​​اللوغاريتمي (لا ينبغي الخلط بينه وبين المتوسط ​​اللوغاريتمي ). وهو ببساطة المتوسط ​​الحسابي للقيم المحولة لوغاريتميًا لـ${\displaystyle a_{i}}$(أي المتوسط ​​الحسابي على المقياس اللوغاريتمي)، باستخدام الأس للعودة إلى المقياس الأصلي، أي أنه المتوسط ​​المعمم f مع${\displaystyle f(x)=\log x}$يمكن استخدام أي لوغاريتم ذي أساس معين بدلاً من اللوغاريتم الطبيعي. على سبيل المثال، المتوسط ​​الهندسي لـ${\displaystyle 1}$،​​${\displaystyle 2}$،​​${\displaystyle 8}$و​​${\displaystyle 16}$يمكن حسابها باستخدام اللوغاريتمات ذات الأساس 2:

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{1\cdot 2\cdot 8\cdot 16}}=2^{(\log _{2}\!1\,+\,\log _{2}\!2\,+\,\log _{2}\!8\,+\,\log _{2}\!16)/4}=2^{(0\,+\,1\,+\,3\,+\,4)/4}=2^{2}=4.}$$

وبناءً على ما سبق، يمكن ملاحظة أنه بالنسبة لعينة معينة من النقاط${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$، المتوسط ​​الهندسي هو القيمة الصغرى لـ

$${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(\log a_{i}-\log a)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(\log {\frac {a_{i}}{a}}\right)^{2},}$$

بينما المتوسط ​​الحسابي هو القيمة التي تقلل من

${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}.}$

وبالتالي، فإن المتوسط ​​الهندسي يقدم ملخصًا للعينات التي يتطابق أسها بشكل أفضل مع أسس العينات (بمعنى المربعات الصغرى).

في تطبيقات الحاسوب، قد يؤدي الضرب البسيط للعديد من الأرقام إلى حدوث تجاوز أو نقص في القيمة الحسابية . ويُعد حساب المتوسط ​​الهندسي باستخدام اللوغاريتمات إحدى طرق تجنب هذه المشكلة.

يكون المتوسط ​​الهندسي لمجموعة بيانات أقل من المتوسط ​​الحسابي لها، إلا إذا كانت جميع عناصر المجموعة متساوية، فحينها يتساوى المتوسطان الهندسي والحسابي. وهذا ما يُتيح تعريف المتوسط ​​الهندسي-الحسابي ، وهو تقاطع المتوسطين الذي يقع دائمًا بينهما.

المتوسط ​​الهندسي هو أيضاً المتوسط ​​الحسابي التوافقي بمعنى أنه إذا كان هناك متتابعتان (${\displaystyle a_{n}}$) و (${\displaystyle h_{n}}$) يتم تعريفها: $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},&a_{0}&=x,\\h_{n+1}&={\frac {2{a_{n}}{h_{n}}}{a_{n}+h_{n}}},&\quad h_{0}&=y,\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle h_{n+1}}$إذا كان المتوسط ​​التوافقي للقيم السابقة للمتتاليتين،${\displaystyle a_{n}}$و${\displaystyle h_{n}}$سوف يتقارب مع المتوسط ​​الهندسي لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$تتقارب المتتاليات إلى حد مشترك، ويتم الحفاظ على المتوسط ​​الهندسي: $${\displaystyle {\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}={\sqrt {{\frac {a_{i}+h_{i}}{2}}{\frac {2{a_{i}}{h_{i}}}{a_{i}+h_{i}}}}}={\sqrt {{a_{i}}{h_{i}}}}}$$

يؤدي استبدال المتوسط ​​الحسابي والتوافقي بزوج من المتوسطات المعممة ذات الأسس المحدودة المتعاكسة إلى نفس النتيجة.

المتوسط ​​الهندسي لمجموعة بيانات غير فارغة من الأعداد الموجبة يساوي دائمًا على الأكثر متوسطها الحسابي. يتحقق التساوي فقط عندما تكون جميع الأعداد في مجموعة البيانات متساوية؛ وإلا، يكون المتوسط ​​الهندسي أصغر. على سبيل المثال، المتوسط ​​الهندسي للعددين 2 و3 هو 2.45، بينما متوسطهما الحسابي هو 2.5. وبالتحديد، هذا يعني أنه عندما تخضع مجموعة من الأعداد غير المتطابقة لعملية توزيع تحافظ على المتوسط ​​- أي عندما تتباعد عناصر المجموعة عن بعضها البعض مع بقاء المتوسط ​​الحسابي دون تغيير - فإن متوسطها الهندسي ينخفض. ^{[ 5 ]}

لو${\displaystyle f:[a,b]\to (0,\infty )}$إذا كانت دالة حقيقية موجبة متصلة، فإن متوسطها الهندسي على هذه الفترة هو $${\displaystyle {\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)}$$

على سبيل المثال، أخذ دالة التطابق ${\displaystyle f(x)=x}$يُظهر التحليل على الفترة [0,1] أن المتوسط ​​الهندسي للأعداد الموجبة بين 0 و1 يساوي${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$.

يُعدّ المتوسط ​​الهندسي أنسب من المتوسط ​​الحسابي لوصف النمو النسبي، سواءً كان نموًا أُسّيًا (نموًا نسبيًا ثابتًا) أو نموًا متغيرًا؛ وفي مجال الأعمال، يُعرف المتوسط ​​الهندسي لمعدلات النمو بمعدل النمو السنوي المركب (CAGR). ويُعطي المتوسط ​​الهندسي للنمو على مدى فترات زمنية معدل نمو ثابتًا مكافئًا يُؤدي إلى نفس النتيجة النهائية.

على سبيل المثال، لنفترض أن شجرة برتقال أنتجت 100 برتقالة في عام واحد، ثم 180 و210 و300 برتقالة في الأعوام التالية، بمعدلات نمو بلغت 80% و16.7% و42.9% على التوالي. باستخدام المتوسط ​​الحسابي ، يُحسب متوسط ​​نمو خطي قدره 46.5% (محسوب بواسطة${\displaystyle (80\%+16.7\%+42.9\%)\div 3}$ومع ذلك، عند تطبيق ذلك على محصول البداية البالغ 100 برتقالة، ينتج عن النمو السنوي بنسبة 46.5% محصول 314 برتقالة بعد ثلاث سنوات من النمو، بدلاً من 300 برتقالة كما هو ملاحظ. المتوسط ​​الخطي يبالغ في تقدير معدل النمو.

بدلاً من ذلك، وباستخدام المتوسط ​​الهندسي، يبلغ متوسط ​​النمو السنوي حوالي 44.2% (محسوبًا بواسطة${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.167\times 1.429}}}$). بدءاً من إنتاج 100 برتقالة مع نمو سنوي بنسبة 44.2٪ يعطي إنتاج 300 برتقالة متوقع بعد ثلاث سنوات.

لتحديد متوسط ​​معدل النمو، ليس من الضروري حساب حاصل ضرب معدلات النمو المقاسة في كل خطوة. لنفترض أن الكمية معطاة على شكل متتابعة${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$، أين${\displaystyle n}$هو عدد الخطوات من الحالة الابتدائية إلى الحالة النهائية. معدل النمو بين القياسات المتتالية${\displaystyle a_{k}}$و${\displaystyle a_{k+1}}$يكون${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$إذن، المتوسط ​​الهندسي لمعدلات النمو هذه هو ببساطة: $${\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.}$$

الخاصية الأساسية للمتوسط ​​الهندسي، والتي لا تنطبق على أي متوسط ​​آخر، هي أنه بالنسبة لمتتاليتين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$متساوية الطول،

$${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}.}$$

هذا يجعل المتوسط ​​الهندسي المتوسط ​​الصحيح الوحيد عند حساب متوسط ​​النتائج المعيارية ؛ أي النتائج المعروضة كنسب إلى قيم مرجعية. ^{[ 6 ]} ينطبق هذا عند عرض أداء الحاسوب مقارنةً بحاسوب مرجعي، أو عند حساب مؤشر متوسط ​​واحد من مصادر متعددة غير متجانسة (مثل متوسط ​​العمر المتوقع، وسنوات الدراسة، ووفيات الرضع). في هذه الحالة، سيؤدي استخدام المتوسط ​​الحسابي أو التوافقي إلى تغيير ترتيب النتائج تبعًا لما يُستخدم كمرجع. على سبيل المثال، لنأخذ المقارنة التالية لأوقات تنفيذ برامج الحاسوب:

يتفق المتوسطان الحسابي والهندسي على أن الحاسوب C هو الأسرع. مع ذلك، من خلال عرض قيم مُعَيَّرة بشكل مناسب واستخدام المتوسط ​​الحسابي، يُمكننا إثبات أن أيًا من الحاسوبين الآخرين هو الأسرع. وبمعايرة النتائج باستخدام نتيجة الحاسوب A، نجد أن A هو الأسرع وفقًا للمتوسط ​​الحسابي.

بينما يؤدي التطبيع باستخدام نتيجة B إلى اعتبار B أسرع جهاز كمبيوتر وفقًا للمتوسط ​​الحسابي، ولكن A هو الأسرع وفقًا للمتوسط ​​التوافقي:

وبالمقارنة مع نتيجة C، فإن C هو أسرع جهاز كمبيوتر وفقًا للمتوسط ​​الحسابي، بينما A هو الأسرع وفقًا للمتوسط ​​التوافقي:

في جميع الحالات، يظل الترتيب الذي يعطيه المتوسط ​​الهندسي هو نفسه الترتيب الذي تم الحصول عليه باستخدام القيم غير المعيارية.

مع ذلك، فقد أُثيرت تساؤلات حول هذا المنطق. ^{[ 7 ]} فالحصول على نتائج متسقة لا يعني بالضرورة الحصول على نتائج صحيحة. عمومًا، يُعدّ من الأدقّ إسناد أوزان لكل برنامج، وحساب متوسط ​​وقت التنفيذ المرجّح (باستخدام المتوسط ​​الحسابي)، ثمّ توحيد هذه النتيجة مع أحد أجهزة الحاسوب. تُعطي الجداول الثلاثة أعلاه وزنًا مختلفًا لكل برنامج، ما يُفسّر النتائج غير المتسقة للمتوسطين الحسابي والتوافقي (يُعطي الجدول 4 وزنًا متساويًا لكلا البرنامجين، بينما يُعطي الجدول 2 وزنًا قدره 1/1000 للبرنامج الثاني، ويُعطي الجدول 3 وزنًا قدره 1/100 للبرنامج الثاني و1/10 للبرنامج الأول). ينبغي تجنّب استخدام المتوسط ​​الهندسي لتجميع أرقام الأداء قدر الإمكان، لأنّ ضرب أوقات التنفيذ لا معنى له من الناحية الفيزيائية، على عكس جمع الأوقات كما في المتوسط ​​الحسابي. ينبغي حساب متوسط ​​المقاييس التي تتناسب عكسياً مع الوقت (التسريع، IPC ) باستخدام المتوسط ​​التوافقي.

يمكن اشتقاق المتوسط ​​الهندسي من المتوسط ​​المعمم باعتباره نهايته.${\displaystyle p}$يؤول إلى الصفر. وبالمثل، هذا ممكن بالنسبة للمتوسط ​​الهندسي المرجح.

يُستخدم المتوسط ​​الهندسي من حين لآخر لحساب المؤشرات المالية (حيث يتم حساب المتوسط ​​على مكونات المؤشر). على سبيل المثال، استخدم مؤشر فايننشال تايمز 30 في الماضي المتوسط ​​الهندسي. ^{[ 8 ]} كما يُستخدم في حساب مؤشر أسعار المستهلك ^{[ 9 ]} ومؤخراً في مقياس التضخم " RPIJ " في المملكة المتحدة والاتحاد الأوروبي.

يؤدي هذا إلى التقليل من شأن تحركات المؤشر مقارنةً باستخدام المتوسط ​​الحسابي. ^{[ 8 ]}

على الرغم من أن المتوسط ​​الهندسي كان نادرًا نسبيًا في حساب الإحصاءات الاجتماعية، إلا أن مؤشر التنمية البشرية للأمم المتحدة تحول إلى هذا النمط من الحساب بدءًا من عام 2010، على أساس أنه يعكس بشكل أفضل الطبيعة غير القابلة للاستبدال للإحصاءات التي يتم تجميعها ومقارنتها:

يُقلل المتوسط ​​الهندسي من مستوى إمكانية استبدال الأبعاد [المُقارنة]، وفي الوقت نفسه يضمن أن يكون لانخفاض بنسبة 1% في متوسط ​​العمر المتوقع عند الولادة، على سبيل المثال، نفس التأثير على مؤشر التنمية البشرية كما هو الحال مع انخفاض بنسبة 1% في التعليم أو الدخل. وبالتالي، كأساس لمقارنة الإنجازات، تُعد هذه الطريقة أكثر مراعاةً للاختلافات الجوهرية بين الأبعاد من المتوسط ​​البسيط. ^{[ 10 ]}

لا تُعتبر جميع القيم المستخدمة في حساب مؤشر التنمية البشرية (HDI) مُعَيَّرة؛ بل إن بعضها يأخذ الشكل التالي:${\displaystyle \left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)}$وهذا يجعل اختيار المتوسط ​​الهندسي أقل وضوحًا مما يتوقعه المرء من قسم "الخصائص" أعلاه.

إنّ الدخل المكافئ للرفاهية الموزع بالتساوي، والمرتبط بمؤشر أتكينسون ذي معامل النفور من عدم المساواة 1.0، هو ببساطة المتوسط ​​الهندسي للدخول. أما بالنسبة للقيم الأخرى غير الواحد، فإنّ القيمة المكافئة هي معيار Lp مقسومًا على عدد العناصر، حيث p يساوي واحدًا ناقص معامل النفور من عدم المساواة.

في حالة المثلث القائم الزاوية ، يُعرَّف ارتفاعه بأنه طول الخط الممتد عموديًا من الوتر إلى رأسه القائم الزاوية. وباعتبار أن هذا الخط يقسم الوتر إلى قطعتين، فإن المتوسط ​​الهندسي لطول هاتين القطعتين هو طول الارتفاع. تُعرف هذه الخاصية بنظرية المتوسط ​​الهندسي .

في القطع الناقص ، يُمثل المحور الأصغر المتوسط ​​الهندسي لأكبر وأصغر مسافة بين القطع الناقص وإحدى بؤرتيه ؛ وهو أيضاً المتوسط ​​الهندسي للمحور الأكبر والوتر البؤري . أما المحور الأكبر للقطع الناقص، فهو المتوسط ​​الهندسي للمسافة من المركز إلى إحدى بؤرتيه، والمسافة من المركز إلى إحدى دليليه .

ويمكن التفكير في الأمر بطريقة أخرى كما يلي:

لنفترض دائرة نصف قطرها${\displaystyle r}$الآن، خذ نقطتين متقابلتين قطريًا على الدائرة، واضغط من كلا الطرفين لتشويهها إلى قطع ناقص بمحورين نصف رئيسي ونصف ثانوي بطول${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$.

بما أن مساحة الدائرة والقطع الناقص تبقى كما هي، فإن لدينا: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi r^{2}&=\pi ab\\r^{2}&=ab\\r&={\sqrt {ab}}.\end{aligned}}}$$

نصف قطر الدائرة هو المتوسط ​​الهندسي للمحورين شبه الرئيسي وشبه الثانوي للقطع الناقص المتكون من تشويه الدائرة.

المسافة إلى أفق الكرة (مع تجاهل تأثير الانكسار الجوي عند وجود الغلاف الجوي) تساوي المتوسط ​​الهندسي للمسافة إلى أقرب نقطة في الكرة والمسافة إلى أبعد نقطة في الكرة .

يُستخدم المتوسط ​​الهندسي في كل من تقريب تربيع الدائرة بواسطة إس. إيه. رامانوجان ^{[ 11 ]} وفي بناء الشكل السباعي عشري باستخدام "النسب المتوسطة". ^{[ 12 ]}

يُستخدم المتوسط ​​الهندسي في اختيار نسبة عرض إلى ارتفاع مُثلى في الأفلام والفيديوهات: فعند وجود نسبتي عرض إلى ارتفاع، يُقدّم المتوسط ​​الهندسي لهما حلاً وسطاً بينهما، حيث يُشوّه أو يقتطع كليهما بشكل متساوٍ إلى حد ما. فعلى سبيل المثال، يتقاطع مستطيلان متساويان في المساحة (لهما نفس المركز وأضلاع متوازية) بنسب عرض إلى ارتفاع مختلفة في مستطيل تكون نسبة عرضه إلى ارتفاعه هي المتوسط ​​الهندسي، ويكون محيطهما (أصغر مستطيل يحتويهما معاً) أيضاً بنسبة عرض إلى ارتفاع تساوي المتوسط ​​الهندسي.

في اختيار نسبة العرض إلى الارتفاع 16:9 من قبل جمعية مهندسي الصور المتحركة والتلفزيون (SMPTE) ، مع الموازنة بين النسبتين 2.35 و 4:3، يكون المتوسط ​​الهندسي هو${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$وبالتالي${\displaystyle 16:9=1.77{\overline {7}}\dots }$تم اختيار نسبة العرض إلى الارتفاع 1.77:1. وقد اكتشف كيرنز باورز ذلك تجريبيًا ، حيث قام بقص مستطيلات متساوية المساحة وتشكيلها لتتوافق مع كل نسبة عرض إلى ارتفاع شائعة. وعندما قام بتراكبها مع محاذاة مراكزها، وجد أن جميع هذه المستطيلات تتناسب مع مستطيل خارجي بنسبة عرض إلى ارتفاع 1.77:1، وأنها جميعًا تغطي أيضًا مستطيلًا داخليًا مشتركًا أصغر بنفس نسبة العرض إلى الارتفاع 1.77:1. ^{[ 13 ]} القيمة التي وجدها باورز هي بالضبط المتوسط ​​الهندسي لنسب العرض إلى الارتفاع القصوى، 4:3  (1.33:1) وسينما سكوب  (2.35:1)، وهي قريبة بشكل مصادفة من 1.77:1.${\displaystyle 16:9}$(${\displaystyle 1.77{\overline {7}}:1}$). لا تؤثر النسب المتوسطة على النتيجة، فقط النسبتان المتطرفتان.

بتطبيق نفس أسلوب المتوسط ​​الهندسي على النسبتين 16:9 و 4:3، نحصل تقريبًا على النسبة 14:9 (${\displaystyle 1.55{\overline {5}}}$...) نسبة العرض إلى الارتفاع، والتي تُستخدم بدورها كحل وسط بين هذه النسب. ^{[ 14 ]} في هذه الحالة، 14:9 هي بالضبط المتوسط ​​الحسابي لـ${\displaystyle 16:9}$و${\displaystyle 4:3=12:9}$بما أن 14 هو متوسط ​​16 و12، فإن المتوسط ​​الهندسي الدقيق هو${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$لكن الوسيلتين المختلفتين ، الحسابية والهندسية، متساويتان تقريبًا لأن كلا الرقمين قريبان بما فيه الكفاية من بعضهما البعض (فرق أقل من 2٪).

يُستخدم المتوسط ​​الهندسي أيضاً لحساب أحجام الورق من السلسلتين B و C.${\displaystyle B_{n}}$للشكل مساحة تمثل المتوسط ​​الهندسي لمساحات${\displaystyle A_{n}}$و${\displaystyle A_{n-1}}$على سبيل المثال، مساحة ورقة B1 هي${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$لأنه المتوسط ​​الهندسي لمساحات A0 (${\textstyle 1\mathrm {m} ^{2}}$) و A1 (${\textstyle {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$) ورق (${\textstyle {\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={}}$​${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$).

وينطبق المبدأ نفسه على سلسلة C، التي تمثل مساحتها المتوسط ​​الهندسي لمساحتي سلسلتي A وB. على سبيل المثال، تبلغ مساحة تنسيق C4 المتوسط ​​الهندسي لمساحتي A4 وB4.

تتمثل إحدى المزايا التي تأتي من هذه العلاقة في أن ورقة A4 تناسب ظرف C4، وكلاهما يناسب ظرف B4.

• التسطيح الطيفي : في معالجة الإشارات ، يُعرَّف التسطيح الطيفي ، وهو مقياس لمدى تسطح أو تذبذب الطيف، بأنه نسبة المتوسط ​​الهندسي لطيف القدرة إلى متوسطه الحسابي.
• الطلاءات المضادة للانعكاس : في الطلاءات البصرية، حيث يلزم تقليل الانعكاس بين وسطين ذوي معامل انكسار n ₀ و n ₂ ، يتم تحديد معامل الانكسار الأمثل n ₁ للطلاء المضاد للانعكاس عن طريق المتوسط ​​الهندسي:${\displaystyle n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}}$.
• مزج الألوان الطرحي : منحنى الانعكاس الطيفي لمخاليط الطلاء (ذات قوة التلوين والشفافية والتخفيف المتساوية ) هو تقريبًا المتوسط ​​الهندسي لمنحنيات الانعكاس الفردية للطلاء المحسوبة عند كل طول موجي من أطيافها . ^{[ 15 ]}
• معالجة الصور : يتم استخدام مرشح المتوسط ​​الهندسي كمرشح للضوضاء في معالجة الصور .
• تعويض العمل : اقترح يوهان فون ثونين في عام 1875 أن المتوسط ​​الهندسي لأجر الكفاف والقيمة السوقية للعمل باستخدام رأس مال صاحب العمل هو الأجر الطبيعي. ^{[ 16 ]}