التوزيع ذو الحدين

إذا كان المتغير العشوائي X يتبع التوزيع ذي الحدين بمعاملات${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$إذا كان ( عددًا طبيعيًا ) و p ∈ [ 0, 1 ] ، فإننا نكتب X ~ B( n , p ) . ويُعطى احتمال الحصول على k نجاحات بالضبط في n تجربة برنولي مستقلة (بنفس المعدل p ) بواسطة دالة الكتلة الاحتمالية : $${\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{nk}}$$ لـ k = 0، 1، 2، ...، n ، حيث $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!}}}$$ يمثل معامل ذات الحدين . يمكن فهم الصيغة على النحو التالي: p k q n - k هو احتمال الحصول على سلسلة من n تجربة برنولي مستقلة، حيث تكون k تجربة "ناجحة" والتجارب المتبقية n - k "فاشلة". بما أن التجارب مستقلة وتظل الاحتمالات ثابتة بينها، فإن أي سلسلة من n تجربة مع k نجاحات (و n - k إخفاقات) لها نفس احتمال التحقق (بغض النظر عن مواقع النجاحات داخل السلسلة).${\textstyle {\binom {n}{k}}}$مثل هذه المتتاليات، لأن معامل ذي الحدين${\textstyle {\binom {n}{k}}}$يحسب هذا التوزيع عدد الطرق الممكنة لاختيار مواقع النجاحات k من بين n محاولة. يهتم التوزيع ذو الحدين باحتمالية الحصول على أي من هذه المتتاليات، أي أنه يجب جمع احتمالية الحصول على إحداها ( p k q n - k ).${\textstyle {\binom {n}{k}}}$مرات، ومن ثم${\displaystyle \textstyle \Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{nk}}$⁠ .

عند إنشاء جداول مرجعية لاحتمالية التوزيع ذي الحدين، عادةً ما يتم ملء الجدول حتى ⁠${\displaystyle \textstyle {\tfrac {n}{2}}}$القيم . هذا لأن لـ${\displaystyle \textstyle k>{\tfrac {n}{2}}}$، ويمكن حساب الاحتمالية من خلال مكملتها كما يلي $${\displaystyle f(k,n,p)=f(nk,n,1-p).}$$

بالنظر إلى التعبير f ( k , n , p ) كدالة لـ k ، نجد قيمة لـ k تُعظّم هذا التعبير. ويمكن إيجاد هذه القيمة لـ k عن طريق حساب$${\displaystyle {\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={\frac {(nk)p}{(k+1)(1-p)}}}$$ ومقارنته بـ 1. يوجد دائمًا عدد صحيح M يحقق ^{[ 2 ]}$${\displaystyle (n+1)p-1\leq M<(n+1)p.}$$

تكون الدالة f ( k , n , p ) متزايدة بشكل رتيب عندما يكون k < M ، ومتناقصة بشكل رتيب عندما يكون k > M ، باستثناء الحالة التي يكون فيها ( n + 1) p عددًا صحيحًا. في هذه الحالة، توجد قيمتان تكون عندهما f في أقصى قيمة لها: ( n + 1) p و ( n + 1) p - 1. يمثلM النتيجة الأكثر احتمالًا (أي الأكثر ترجيحًا، على الرغم من أن هذا قد يظل غير مرجح بشكل عام) لتجارب برنولي، ويُسمى المنوال .

لنفترض أن عملة معدنية غير متوازنة تظهر صورة بنسبة 0.3 عند رميها. ما هي احتمالية رؤية 4 صور بالضبط في 6 رميات؟ $${\displaystyle f(4,6,0.3)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}$$

يمكن التعبير عن دالة التوزيع التراكمي على النحو التالي :$${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},}$$ أين${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$هو "الحد الأدنى" تحت k ؛ أي أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي k .

ويمكن تمثيلها أيضًا من حيث دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة ، على النحو التالي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)\\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt,\end{aligned}}}$$ وهو ما يعادل دوال التوزيع ^{التراكمي} لتوزيع بيتا وتوزيع F : [ ^{4 ]}$${\displaystyle F(k;n,p)=F_{\text{beta-distribution}}\left(x=1-p;\alpha =n-k,\beta =k+1\right)}$$$${\displaystyle F(k;n,p)=F_{F{\text{-distribution}}}\left(x={\frac {1-p}{p}}{\frac {k+1}{n-k}};d_{1}=2(n-k),d_{2}=2(k+1)\right).}$$

ترد أدناه بعض الحدود المغلقة لدالة التوزيع التراكمي .

إذا كان X ~ B( n , p ) ، أي أن X متغير عشوائي ذو توزيع ثنائي الحدين ، حيث n هو العدد الإجمالي للتجارب و p هو احتمال أن تؤدي كل تجربة إلى نتيجة ناجحة ، فإن القيمة المتوقعة لـ X هي: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np.}$$

وينتج هذا عن خطية القيمة المتوقعة، بالإضافة إلى حقيقة أن X هو مجموع n من المتغيرات العشوائية المتطابقة من نوع برنولي، لكل منها قيمة متوقعة p . بعبارة أخرى، إذا${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$_إذا كانت المتغيرات العشوائية برنولي متطابقة (ومستقلة) ذات المعامل p ، فإن X = X1 + ... + Xn _و$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=\operatorname {E} [X_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X_{n}]=p+\cdots +p=np.}$$

التباين هو :$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=npq=np(1-p).}$$

ويتبع هذا بالمثل حقيقة أن تباين مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة هو مجموع التباينات.

اللحظات المركزية الست الأولى ، والتي تُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle \mu _{c}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{c}\right]}$يتم تقديمها بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=np\left(1-p\right),\\\mu _{3}&=np\left(1-p\right)\left(1-2p\right),\\\mu _{4}&=np\left(1-p\right)\left[1+\left(3n-6\right)p\left(1-p\right)\right],\\\mu _{5}&=np\left(1-p\right)\left(1-2p\right)\left[1+\left(10n-12\right)p\left(1-p\right)\right],\\\mu _{6}&=np\left(1-p\right)\left[1-30p\left(1-p\right)\left[1-4p(1-p)\right]+5np\left(1-p\right)\left[5-26p\left(1-p\right)\right]+15n^{2}p^{2}\left(1-p\right)^{2}\right].\end{aligned}}}$$

اللحظات غير المركزية تحقق $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=np,\\\operatorname {E} [X^{2}]&=np(1-p)+n^{2}p^{2},\end{aligned}}}$$ وبشكل عام ^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]=\sum _{k=0}^{c}\left\{{c \atop k}\right\}n^{\underline {k}}p^{k},}$$ أين${\textstyle \left\{{c \atop k}\right\}}$هي أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني ، و${\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$هو${\displaystyle k}$قوة السقوط من الدرجة الثالثة${\displaystyle n}$. يتبع ذلك حد بسيط ^{[ 8 ]} عن طريق تحديد عزمات ذات الحدين عبر عزمات بواسون الأعلى : $${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]\leq \left[{\frac {c}{\ln \left(1+{\frac {c}{np}}\right)}}\right]^{c}\leq (np)^{c}\exp \left({\frac {c^{2}}{2np}}\right).}$$ هذا يدل على أنه إذا${\displaystyle c=O({\sqrt {np}})}$، ثم${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]}$هو على الأكثر عامل ثابت بعيدًا عن${\displaystyle \operatorname {E} [X]^{c}}$.

دالة توليد العزوم هي${\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} [e^{tX}]=(1-p+pe^{t})^{n}}$.

عادةً ما يكون المنوال لتوزيع ذي الحدين B( n , p ) مساوياً لـ${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$، أين${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$دالة الجزء الصحيح هي دالة الجزء الصحيح . مع ذلك، عندما يكون ( n + 1) p عددًا صحيحًا، و p ليس صفرًا ولا واحدًا، فإن التوزيع له نمطان: ( n + 1) p و ( n + 1) p - 1. عندما تكون p تساوي صفرًا أو واحدًا، يكون النمط صفرًا و n على التوالي. يمكن تلخيص هذه الحالات كما يلي: $${\displaystyle {\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{if }}(n+1)p{\text{ is 0 or a noninteger}},\\(n+1)\,p\ {\text{ and }}\ (n+1)\,p-1&{\text{if }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{if }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}}$$

البرهان: ليكن $${\displaystyle f(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.}$$

ل${\displaystyle p=0}$فقط${\displaystyle f(0)}$له قيمة غير صفرية مع${\displaystyle f(0)=1}$. ل${\displaystyle p=1}$نجد${\displaystyle f(n)=1}$و${\displaystyle f(k)=0}$ل${\displaystyle k\neq n}$وهذا يثبت أن المنوال يساوي صفرًا لـ${\displaystyle p=0}$و${\displaystyle n}$ل${\displaystyle p=1}$.

يترك${\displaystyle 0<p<1}$نجد $${\displaystyle {\frac {f(k+1)}{f(k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}.}$$

ويترتب على ذلك $${\displaystyle {\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)<f(k)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)=f(k)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)>f(k)\end{aligned}}}$$

لذلك عندما${\displaystyle (n+1)p-1}$إذا كان عددًا صحيحًا،${\displaystyle (n+1)p-1}$و${\displaystyle (n+1)p}$هو نمط. في حالة أن${\displaystyle (n+1)p-1\notin \mathbb {Z} }$عندها فقط${\displaystyle \lfloor (n+1)p-1\rfloor +1=\lfloor (n+1)p\rfloor }$هو نمط. ^{[ 9 ]}

بشكل عام، لا توجد صيغة واحدة لإيجاد الوسيط لتوزيع ذي الحدين، بل قد يكون غير فريد. ومع ذلك، فقد تم التوصل إلى عدة نتائج خاصة:

• إذا كان np عددًا صحيحًا، فإن المتوسط ​​والوسيط والمنوال تتطابق وتساوي np . ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• يجب أن يقع أي وسيط m ضمن الفترة${\displaystyle \lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil }$[ ^{12 ]​}
• لا يمكن أن يكون الوسيط ( م) بعيدًا جدًا عن المتوسط ​​الحسابي:${\displaystyle |m-np|\leq \min\{{\ln 2},\max\{p,1-p\}\}}$[ ^{13 ]​}
• الوسيط فريد ويساوي m = round ( np ) عندما يكون | m − np | ≤ min { p , 1 − p } (باستثناء الحالة التي يكون فيها p = 1/2 ويكون n عددًا فرديًا). ^{[ 12 ]}
• عندما يكون p عددًا نسبيًا (باستثناء p = 1/2 و n عدد فردي)، يكون الوسيط فريدًا. ^{[ 14 ]}
• متى${\textstyle p={\tfrac {1}{2}}}$وإذا كان n فرديًا، فإن أي عدد m يقع في الفترة${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(n-1\right)\leq m\leq {\frac {1}{2}}\left(n+1\right)}$ هو الوسيط في التوزيع ذي الحدين. إذا${\textstyle p={\tfrac {1}{2}}}$وإذا كان n عدداً زوجياً، فـ ${\textstyle m={\tfrac {n}{2}}}$هو الوسيط الفريد.

بالنسبة لـ k ≤ np ، يمكن اشتقاق حدود عليا للذيل السفلي لدالة التوزيع التراكمي${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)}$، احتمال وجود عدد نجاحات لا يتجاوز k . بما أن${\displaystyle \Pr(X\geq k)=F(n-k;n,1-p)}$ويمكن اعتبار هذه الحدود أيضًا حدودًا للذيل العلوي لدالة التوزيع التراكمي لـ k ≥ np .

تُعطي متباينة هوفدينغ الحد البسيط $${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-2n\left(p-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right),\!}$$ إلا أن هذا ليس دقيقًا جدًا. على وجه الخصوص، بالنسبة لـ p = 1 ، لدينا أن F ( k ; n , p ) = 0 (لقيم ثابتة لـ k و n حيث k < n )، لكن حد هوفدينغ يُقيّم إلى ثابت موجب.

يمكن الحصول على حد أكثر دقة من حد تشيرنوف : ^{[ 15 ]}$${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-nD{\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)}\right)}$$ حيث D ( a ∥ p ) هي الإنتروبيا النسبية (أو تباعد كولباك-لايبير) بين عملة a وعملة p (أي بين توزيع برنولي ( a ) وتوزيع برنولي ( p ) ): $${\displaystyle D(a\parallel p)=(a)\ln {\frac {a}{p}}+(1-a)\ln {\frac {1-a}{1-p}}.\!}$$

من الناحية التقاربية، يكون هذا الحد ضيقًا بشكل معقول؛ انظر ^{[ 15 ]} لمزيد من التفاصيل.

يمكن أيضًا الحصول على حدود دنيا للذيل F ( k ; n , p ) ، والمعروفة بحدود التركيز المضاد. من خلال تقريب معامل ذي الحدين باستخدام صيغة ستيرلينغ، يمكن إثبات أن ^{[ 16 ]}$${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {8n{\tfrac {k}{n}}(1-{\tfrac {k}{n}})}}}\exp \left(-nD{\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)}\right),}$$ وهذا يعني الحد الأبسط ولكنه الأقل صرامة $${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {2n}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right).}$$

بالنسبة لـ p = 1/2 و k ≥ 3 n /8 بالنسبة لـ n الزوجي ، من الممكن جعل المقام ثابتًا: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle F(k;n,{\tfrac {1}{2}})\geq {\frac {1}{15}}\exp \left(-16n\left({\frac {1}{2}}-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right).\!}$$

عندما تكون قيمة n معروفة، يمكن تقدير المعامل p باستخدام نسبة النجاحات: $${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {x}{n}}.}$$ يُحسب هذا المُقدِّر باستخدام مُقدِّر الاحتمال الأقصى وطريقة العزوم . وهو غير متحيز ومُنتظم ذو تباين أدنى ، كما هو مُثبت باستخدام نظرية ليمان-شيفيه ، لأنه يعتمد على إحصائية كافية وكاملة دنيا (أي x ). كما أنه متسق من حيث الاحتمال ومتوسط ​​مربع الخطأ . هذه الإحصائية طبيعية تقاربياً بفضل نظرية النهاية المركزية ، لأنها تُعادل حساب المتوسط ​​على عينات برنولي. تباينها هو${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {p}})={\frac {p(1-p)}{n}}}$، وهي خاصية تستخدم بطرق مختلفة، مثل فترات الثقة لوالد .

يوجد أيضًا مُقدِّر بايزي ذو صيغة مغلقة لـ p عند استخدام توزيع بيتا كتوزيع مسبق مترافق . عند استخدام توزيع عام${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$كقيمة أولية، يكون متوسط ​​التقدير اللاحق هو: $${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+\alpha }{n+\alpha +\beta }}.}$$ يُعدّ مُقدِّر بايز فعالاً تقاربياً ، وعندما يقترب حجم العينة من اللانهاية ( n → ∞ )، فإنه يقترب من حل تقدير الاحتمال الأقصى . ^{[ 18 ]} مُقدِّر بايز متحيز (تعتمد درجة تحيزه على التوزيعات الاحتمالية المسبقة)، ومقبول ، ومتسق احتمالياً. ويمكن استخدام مُقدِّر بايز مع توزيع بيتا في أخذ عينات طومسون .

في الحالة الخاصة لاستخدام التوزيع المنتظم القياسي كتوزيع احتمالي مسبق غير إعلامي ،${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha {=}1,\,\beta {=}1)=U(0,1)}$يصبح مقدر المتوسط ​​اللاحق كما يلي: $${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+1}{n+2}}.}$$ ( يجب أن يؤدي الوضع اللاحق إلى المقدر القياسي.) تسمى هذه الطريقة قاعدة التتابع ، والتي تم تقديمها في القرن الثامن عشر بواسطة بيير سيمون لابلاس .

عند الاعتماد على التوزيع الاحتمالي المسبق لجيفري ، يكون التوزيع الاحتمالي المسبق هو${\textstyle \operatorname {Beta} (\alpha {=}{\tfrac {1}{2}},\,\beta {=}{\tfrac {1}{2}})}$، ^{[ 19 ]} مما يؤدي إلى المُقدِّر: $${\displaystyle {\widehat {p}}_{\mathrm {Jeffreys} }={\frac {x+{\frac {1}{2}}}{n+1}}.}$$

عند تقدير قيمة p في حالة الأحداث النادرة جدًا وقيمة n صغيرة (على سبيل المثال، إذا كانت x = 0 )، فإن استخدام المُقدِّر القياسي يؤدي إلى${\displaystyle {\widehat {p}}=0,}$وهو ما قد يكون غير واقعي وغير مرغوب فيه أحيانًا. في مثل هذه الحالات، توجد العديد من المُقدِّرات البديلة. ^{[ 20 ]} إحدى هذه الطرق هي استخدام مُقدِّر بايز.${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}}$مما يؤدي إلى: $${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {1}{n+2}}.}$$ هناك طريقة أخرى وهي استخدام الحد الأعلى لفترة الثقة التي تم الحصول عليها باستخدام قاعدة الثلاثة : $${\displaystyle {\widehat {p}}_{\text{rule of 3}}={\frac {3}{n}}.}$$

حتى بالنسبة للقيم الكبيرة نسبيًا لـ n ، فإن التوزيع الفعلي للمتوسط ​​يكون غير طبيعي بشكل ملحوظ. ^{[ 21 ]} وبسبب هذه المشكلة، تم اقتراح العديد من الطرق لتقدير فترات الثقة.

في المعادلات الخاصة بفترات الثقة أدناه، تحمل المتغيرات المعاني التالية:

• يمثل n ₁ عدد النجاحات من أصل n ، وهو العدد الإجمالي للمحاولات
• ${\displaystyle {\widehat {p\,}}={\frac {n_{1}}{n}}}$نسبة النجاحات
• ${\displaystyle z}$هو${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha }$الكمية المئوية للتوزيع الطبيعي القياسي (أي، بروبيت ) المقابلة لمعدل الخطأ المستهدف${\displaystyle \alpha }$على سبيل المثال، عند مستوى ثقة 95%، يكون الخطأ${\displaystyle \alpha =0.05}$، لذا${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha =0.975}$و${\displaystyle z=1.96}$.

إذا كان X ~ B( n , p ) و Y ~ B( m , p ) متغيرين ثنائيين مستقلين لهما نفس الاحتمال p ، فإن X + Y هو أيضًا متغير ثنائي؛ توزيعه هو Z = X + Y ~ B( n + m , p ) : ^{[ 28 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}}$$

يمكن اعتبار المتغير العشوائي X ~ B( n , p ) الموزع وفقًا لتوزيع ذي الحدين بمثابة مجموع n من المتغيرات العشوائية الموزعة وفقًا لتوزيع برنولي. لذا، فإن مجموع متغيرين عشوائيين موزعين وفقًا لتوزيع ذي الحدين، وهما X ~ B( n , p ) و Y ~ B( m , p ) ، يكافئ مجموع n + m من المتغيرات العشوائية الموزعة وفقًا لتوزيع برنولي، أي Z = X + Y ~ B( n + m , p ) . ويمكن إثبات ذلك مباشرةً باستخدام قاعدة الجمع.

ومع ذلك، إذا لم يكن لـ X و Y نفس الاحتمال p ، فإن تباين المجموع سيكون أصغر من تباين متغير ذي حدين موزع على النحو B( n + m , p ) .

يُعد التوزيع ذو الحدين حالة خاصة من توزيع بواسون ذي الحدين ^، وهو توزيع مجموع n من تجارب برنولي المستقلة غير المتطابقة B( pi ₎ . ^{[ 29} ]

تم التوصل إلى هذه النتيجة لأول مرة بواسطة كاتز وزملاؤه في عام 1978. ^{[ 30 ]}

ليكن X ~ B( n , p ₁ ) و Y ~ B( m , p ₂ ) مستقلين. وليكن T = ( X / n ) / ( Y / m ) .

ثم يتم توزيع log( T ) بشكل طبيعي تقريبًا بمتوسط ​​log( p1 / p2 ₎ وتباين ((1/ _p1 ) - 1)/ _n + ((1/ p2 ₎ - 1)/ m .

إذا كان X ~ B( n , p ) و Y | X ~ B( X , q ) (التوزيع الشرطي لـ Y ، بالنظر إلى X )، فإن Y هو متغير عشوائي بسيط ذو توزيع Y ~ B( n , pq ) . 

على سبيل المثال، تخيل رمي n كرة في سلة U _X، ثم أخذ الكرات التي أصابت السلة ورميها في سلة أخرى U _Y. إذا كان احتمال إصابة U _X هو p ، فإن X ~ B( n , p ) هو عدد الكرات التي أصابت U _X. وإذا كان احتمال إصابة U _Y هو q ، فإن عدد الكرات التي أصابت U _Y هو Y ~ B( X , q ) ، وبالتالي Y ~ B( n , pq ) .

يُعدّ توزيع برنولي حالة خاصة من التوزيع ذي الحدين، حيث n = 1. ويرمز له بالرمز X ~ B(1, p ) بنفس معنى X ~ Bernoulli( p ) . وبالعكس، فإن أي توزيع ذي حدين، B( n , p ) ، هو توزيع مجموع n من تجارب برنولي المستقلة ، Bernoulli( p ) ، لكل منها نفس الاحتمال p . ^{[ 31 ]}

إذا كانت قيمة n كبيرة بما يكفي، فإن انحراف التوزيع لا يكون كبيرًا جدًا. في هذه الحالة، يُعطى تقريب معقول لـ B( n , p ) بواسطة التوزيع الطبيعي.$${\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)),}$$ ويمكن تحسين هذا التقريب الأساسي بطريقة بسيطة باستخدام تصحيح مناسب للاستمرارية . يتحسن التقريب الأساسي عمومًا مع زيادة قيمة n (بحد أدنى 20)، ويكون أفضل عندما لا تكون قيمة p قريبة من 0 أو 1. ^{[ 32 ]} يمكن استخدام قواعد عامة مختلفة لتحديد ما إذا كانت n كبيرة بما يكفي، وما إذا كانت p بعيدة بما يكفي عن القيم القصوى للصفر أو الواحد.

• تنص إحدى القواعد ^{[ 32 ]} على أنه بالنسبة لـ n > 5، يكون التقريب الطبيعي كافيًا إذا كانت القيمة المطلقة للانحراف أقل من 0.3؛ أي إذا$${\displaystyle {\frac {|1-2p|}{\sqrt {np(1-p)}}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<0.3.}$$

ويمكن تحقيق ذلك بدقة باستخدام نظرية بيري-إيسين .

• تنص قاعدة أقوى على أن التقريب الطبيعي يكون مناسبًا فقط إذا كان كل شيء ضمن 3 انحرافات معيارية عن متوسطه يقع ضمن نطاق القيم الممكنة؛ أي فقط إذا$${\displaystyle \mu \pm 3\sigma =np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n).}$$

إن قاعدة الانحراف المعياري الثلاثة هذه تعادل الشروط التالية، والتي تتضمن أيضًا القاعدة الأولى المذكورة أعلاه.$${\displaystyle n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).}$$

• من القواعد الشائعة الأخرى أن تكون قيمتا np و n (1 − p ) أكبر من أو تساوي 5 ^{[ 33 ] [ 34 ]}  . مع ذلك، يختلف العدد المحدد من مصدر لآخر، ويعتمد على مدى دقة التقريب المطلوب. على وجه الخصوص، إذا استُخدم  9 بدلًا من  5، فإن القاعدة تُشير إلى النتائج المذكورة في الفقرات السابقة.

فيما يلي مثال على تطبيق تصحيح الاستمرارية . لنفترض أننا نريد حساب احتمال أن يكون X أقل من أو يساوي 8 لمتغير عشوائي ذي حدين X. إذا كان Y يتبع التوزيع الطبيعي، فإن احتمال أن يكون X أقل من أو يساوي 8 يُقارب باحتمال أن يكون Y أقل من أو يساوي 8.5 . إضافة 0.5 هي تصحيح الاستمرارية؛ أما التقريب الطبيعي غير المصحح فيعطي نتائج أقل دقة بكثير.

يُعدّ هذا التقريب، المعروف باسم نظرية دي مويفر-لابلاس ، موفرًا هائلًا للوقت عند إجراء الحسابات يدويًا (إذ تُعدّ الحسابات الدقيقة مع قيم n الكبيرة مُرهقة للغاية). تاريخيًا، كان هذا أول استخدام للتوزيع الطبيعي، والذي طُرح في كتاب أبراهام دي مويفر " مذهب الاحتمالات" عام 1738. يُمكن اعتباره اليوم نتيجةً لنظرية النهاية المركزية، حيث أن B( n , p ) هو مجموع n من متغيرات برنولي المستقلة والمتطابقة التوزيع ذات المعامل p . تُشكّل هذه الحقيقة أساس اختبار الفرضية ، "اختبار النسبة z"، لقيمة p باستخدام x / n ، وهي نسبة العينة ومُقدِّر p ، في إحصائية اختبار مشتركة . ^{[ 35 ]} 

على سبيل المثال، لنفترض أننا اخترنا عينة عشوائية من n شخصًا من مجتمع كبير وسألناهم عما إذا كانوا يوافقون على عبارة معينة. ستعتمد نسبة الموافقين بالطبع على العينة. إذا تم اختيار مجموعات من n شخصًا بشكل متكرر وعشوائي تمامًا، فإن النسب ستتبع توزيعًا طبيعيًا تقريبيًا بمتوسط ​​يساوي النسبة الحقيقية p للموافقة في المجتمع، وانحراف معياري قدره 1. $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$$

يتقارب التوزيع ذو الحدين نحو توزيع بواسون عندما يؤول عدد المحاولات إلى اللانهاية، بينما يتقارب حاصل الضرب np إلى حدٍّ نهائي. لذا، يمكن استخدام توزيع بواسون ذي المعامل λ = np كتقريب لـ B( n , p ) للتوزيع ذي الحدين إذا كانت n كبيرة بما يكفي و p صغيرة بما يكفي. وفقًا لقواعد عامة، يكون هذا التقريب جيدًا إذا كانت n ≥ 20 و p ≤ 0.05 ^{[ 36 ]} بحيث يكون np ≤ 1 ، أو إذا كانت n > 50 و p < 0.1 بحيث يكون np < 5 ^{[ 37 ]} ، أو إذا كانت n ≥ 100 و np ≤ 10 [ ^{38 ] [ 39 ] .}

فيما يتعلق بدقة تقريب بواسون، انظر نوفاك، ^{[ 40 ]} الفصل 4، والمراجع الواردة فيه.

• نظرية نهاية بواسون : عندمايقترب n من ∞ ويقترب p من 0 مع ثبات حاصلالضرب np ، فإن توزيع ذي الحدين ( n ، p ) يقترب من توزيع بواسون بقيمة متوقعة λ = np . ^{[ 38 ]}
• نظرية دي موافر-لابلاس : عندمايقترب n من ∞ بينما يظل p ثابتًا، فإن توزيع$${\displaystyle {\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}$$يقترب من التوزيع الطبيعي بقيمة متوقعة  0 وتباين  1. تُصاغ هذه النتيجة أحيانًا بشكل غير دقيق بالقول إن توزيع X طبيعي تقاربيًا بقيمة متوقعة  0 وتباين  1. هذه النتيجة هي حالة خاصة من نظرية النهاية المركزية .

يمثل التوزيع ذو الحدين وتوزيع بيتا وجهين مختلفين لنفس نموذج تجارب برنولي المتكررة. التوزيع ذو الحدين هو دالة الكتلة الاحتمالية لـ k نجاحات معطى n حدثًا مستقلًا، لكل منها احتمال نجاح p . رياضيًا، عندما α = k + 1 و β = n − k + 1 ، يرتبط التوزيع بيتا والتوزيع ذو الحدين بمعامل n + 1 . $${\displaystyle \operatorname {Beta} (p;\alpha$$ ;\beta )=(n+1)\mathrm {B} (k;n;p)}

توفر توزيعات بيتا أيضًا مجموعة من توزيعات الاحتمال المسبق لتوزيعات ذات الحدين في الاستدلال البايزي : ^{[ 41 ]}$${\displaystyle P(p;\alpha ,\beta )={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}}.}$$ بافتراض توزيع احتمالي مسبق منتظم، فإن التوزيع الاحتمالي اللاحق لاحتمال النجاح p بالنظر إلى n من الأحداث المستقلة مع k من النجاحات المرصودة هو توزيع بيتا. ^{[ 42 ]}

تُعدّ طرق توليد الأرقام العشوائية، حيث يكون التوزيع الهامشي توزيعًا ثنائيًا، راسخةً ومعروفة. ^{[ 43 ] [ 44 ]} إحدى طرق توليد عينات متغيرات عشوائية من توزيع ثنائي هي استخدام خوارزمية عكسية. وللقيام بذلك، يجب حساب احتمال أن يكون Pr( X = k ) لجميع قيم k من 0 إلى n . (يجب أن يكون مجموع هذه الاحتمالات قريبًا من الواحد، لتغطية فضاء العينة بالكامل). بعد ذلك، باستخدام مولد أرقام شبه عشوائية لتوليد عينات موزعة بانتظام بين 0 و1، يمكن تحويل العينات المحسوبة إلى أرقام منفصلة باستخدام الاحتمالات المحسوبة في الخطوة الأولى.