نظرية بلوخ

المصدر: ^{[ 4 ]}

المصدر: ^{[ 5 ]}

نُعرّف عامل الإزاحة $$// {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n} )\end{محاذاة}}}$$ مع $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}}$$ نستخدم فرضية الجهد الدوري المتوسط $${\displaystyle U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )}$$ وتقريب الإلكترون المستقل مع هاميلتوني $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )}$$ بما أن الهاميلتوني ثابت بالنسبة للإزاحات، فإنه سيتبادل مع عامل الإزاحة. $${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0}$$ ويجب أن يكون للمؤثرين مجموعة مشتركة من الدوال الذاتية. لذلك، نبدأ بالنظر إلى الدوال الذاتية لمؤثر الإزاحة: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )}$$ منح${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }}$هو عامل جمعي $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )}$$ إذا استبدلنا هنا معادلة القيم الذاتية وقسمنا كلا الطرفين على${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$لدينا $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}}$$

هذا صحيح بالنسبة لـ $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }}$$ أين${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$إذا استخدمنا شرط التطبيع على خلية أولية واحدة بحجم V $${\displaystyle 1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} }$$ وبالتالي $${\displaystyle 1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}}$$و$${\displaystyle s=ik}$$أين${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$. أخيراً، $${\displaystyle \mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} ),}$$ وهذا ينطبق على موجة بلوخ، أي على${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$مع${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )}$

جميع التحويلات وحدوية وأبيلية . يمكن كتابة التحويلات بدلالة متجهات الوحدة .$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}}$$ يمكننا اعتبار هؤلاء بمثابة مشغلي تنقلات $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}}$$أين$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}}$$

خاصية التبادلية لـ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}}$تُعطي المؤثرات ثلاث مجموعات فرعية دورية تبادلية (بافتراض إمكانية توليدها بواسطة عنصر واحد فقط) وهي مجموعات لانهائية، أحادية البعد، وأبيلية. جميع التمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعات الأبيلية أحادية البعد. ^{[ 8 ]}

بما أن هذه المجموعات أحادية البعد، فإن تمثيلها المصفوفي وخاصيتها متطابقان . الخاصية هي تمثيل المجموعة على الأعداد المركبة، أو هي أثر هذا التمثيل ، وهو في هذه الحالة مصفوفة أحادية البعد. جميع هذه المجموعات الفرعية، كونها دورية، لها خصائص تمثل جذور الوحدة . في الواقع، لها مولد واحد.${\displaystyle \gamma }$الذي يجب أن يطيع${\displaystyle \gamma ^{n}=1}$وبالتالي الشخصية${\displaystyle \chi (\gamma )^{n}=1}$لاحظ أن هذا واضح في حالة المجموعة الدورية المنتهية، ولكن في حالة المجموعة الدورية اللانهائية القابلة للعد (أي مجموعة الإزاحة هنا)، توجد نهاية لـ${\displaystyle n\to \infty }$حيث تبقى الشخصية محدودة.

بما أن الحرف هو جذر الوحدة، فإنه يمكن كتابة الحرف لكل مجموعة فرعية على النحو التالي $${\displaystyle \chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}}$$

إذا أدخلنا شرط حدود بورن-فون كارمان على الجهد: $${\displaystyle V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )}$$ حيث L هي دورية ماكروسكوبية في الاتجاه${\displaystyle \mathbf {a} }$ويمكن اعتبار ذلك أيضًا مضاعفًا لـ${\displaystyle a_{i}}$أين${\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

هذا استبدال معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن بهاملتوني فعال بسيط $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )}$$ يُحدث دورية مع الدالة الموجية: $${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )}$$

ولكل بُعد، يوجد عامل إزاحة بفترة L$${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}}$$

ومن هنا يمكننا أن نرى أن الحرف سيظل ثابتًا أيضًا عن طريق ترجمة${\displaystyle L_{i}}$: $${\displaystyle e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}}$$ ومن المعادلة الأخيرة نحصل على شرط دوري لكل بُعد: $${\displaystyle k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}}$$ أين${\displaystyle m_{1}\in \mathbb {Z} }$هو عدد صحيح و${\displaystyle k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}}$

متجه الموجة${\displaystyle k_{1}}$تحديد التمثيل غير القابل للاختزال بنفس الطريقة التي${\displaystyle m_{1}}$، و${\displaystyle L_{1}}$يمثل طولًا دوريًا ماكروسكوبيًا للبلورة في اتجاه${\displaystyle a_{1}}$في هذا السياق، يعمل متجه الموجة كرقم كمي لمؤثر الإزاحة.

يمكننا تعميم هذا على ثلاثة أبعاد ${\displaystyle \chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}}$ وتصبح الصيغة العامة للدالة الموجية كما يلي: $${\displaystyle {\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)}$$ أي تخصيصها للترجمة $${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})}$$ وقد أثبتنا نظرية بلوخ.