ضوء الكبح

في فيزياء الجسيمات ، bremsstrahlung / ˈbrɛmʃtrɑːləŋ / [ ¹ ] ( النطق الألماني : [ ˈbʁɛms.ʃtʁaːlʊŋ ]​​​​ ^ⓘ ؛ منالألمانية bremsen "للفرامل" وStrahlung "الإشعاع") هوالإشعاع الكهرومغناطيسيالناتج عنتباطؤجسيممشحونعندما ينحرف بواسطة جسيم مشحون آخر، عادةًإلكترونبواسطةنواة ذرية. يفقد الجسيم المتحركالطاقة الحركية، والتي تتحول إلى إشعاع (أيفوتونات)، وبالتالي يفي بقانونحفظ الطاقة. يستخدم المصطلح أيضًا للإشارة إلى عملية إنتاج الإشعاع.يمتلكBremsstrahlungطيفًا مستمرًا، يصبح أكثر كثافة وتتحول شدته القصوى نحو ترددات أعلى مع زيادة تغير طاقة الجسيمات المتباطئة.

بشكل عام، فإن إشعاع الكبح هو أي إشعاع ينتج بسبب تسارع (إيجابي أو سلبي) جسيم مشحون، والذي يشمل إشعاع السنكروترون (أي انبعاث الفوتون بواسطة جسيم نسبي )، وإشعاع السيكلوترون (أي انبعاث الفوتون بواسطة جسيم غير نسبي)، وانبعاث الإلكترونات والبوزيترونات أثناء اضمحلال بيتا . ومع ذلك، غالبًا ما يستخدم المصطلح بالمعنى الضيق للإشعاع من الإلكترونات (من أي مصدر) التي تتباطأ في المادة.

يُشار أحيانًا إلى إشعاع الكبح المنبعث من البلازما باسم الإشعاع الحر الحر . يشير هذا إلى حقيقة أن الإشعاع في هذه الحالة يتم إنشاؤه بواسطة الإلكترونات الحرة (أي ليست في حالة مرتبطة ذريًا أو جزيئيًا ) قبل انبعاث الفوتون وتبقى حرة بعده. بنفس اللغة، يشير الإشعاع المرتبط المرتبط إلى خطوط طيفية منفصلة (يقفز الإلكترون بين حالتين مرتبطتين)، بينما يشير الإشعاع المرتبط الحر إلى عملية الدمج الإشعاعي، حيث يتحد الإلكترون الحر مع أيون.

تستخدم هذه المقالة وحدات النظام الدولي للوحدات، بالإضافة إلى شحنة الجسيم المفرد المقاسة . ${\displaystyle {\bar {q}}\equiv q/(4\pi \epsilon _{0})^{1/2}}$

إذا كانت التأثيرات الكمية قابلة للإهمال، فإن الجسيم المشحون المتسارع يشع طاقة كما هو موضح في صيغة لارمور وتعميمها النسبي.

القدرة المشعة الكلية هي ^[2] حيث (سرعة الجسيم مقسومة على سرعة الضوء)، هو عامل لورنتز ، هو نفاذية الفراغ ، يدل على مشتق زمني لـ ، و q هي شحنة الجسيم. في الحالة التي تكون فيها السرعة موازية للتسارع (أي الحركة الخطية)، يتم تقليل التعبير إلى ^[3] حيث هو التسارع. في حالة التسارع العمودي على السرعة ( )، على سبيل المثال في السنكروترونات ، تكون القدرة الكلية هي $${\displaystyle P={\frac {2\bar {q}}^{2}\gamma ^{4}}{3c}}\left({\dot {\beta }}^{2}+{\frac {\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}\right)^{2}}{1-\beta ^{2}}\right),}$$${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$${\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ $${\displaystyle P_{a\parallel v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}},}$$${\displaystyle a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}=0}$$${\displaystyle P_{a\perp v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{4}}{3c^{3}}}.}$$

الطاقة المشعة في الحالتين الحديتين تتناسب مع أو . نظرًا لأن ، نرى أنه بالنسبة للجسيمات ذات الطاقة نفسها فإن الطاقة المشعة الكلية تذهب كما هو أو ، وهو ما يفسر سبب فقدان الإلكترونات للطاقة بسبب إشعاع الكبح بسرعة أكبر بكثير من الجسيمات المشحونة الأثقل (مثل الميونات والبروتونات وجسيمات ألفا). هذا هو السبب في أن مصادم الإلكترونات والبوزيترونات بطاقة تيرا إلكترون فولت (مثل المصادم الخطي الدولي المقترح ) لا يمكنه استخدام نفق دائري (يتطلب تسارعًا ثابتًا)، بينما يمكن لمصادم البروتونات والبروتونات (مثل مصادم الهدرونات الكبير ) استخدام نفق دائري. تفقد الإلكترونات الطاقة بسبب إشعاع الكبح بمعدل أعلى عدة مرات من معدل فقدان البروتونات. ${\displaystyle \gamma ^{4}}$ ${\displaystyle \left(a\perp v\right)}$${\displaystyle \gamma ^{6}}$ ${\displaystyle \left(a\parallel v\right)}$${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle m^{-4}}$${\displaystyle m^{-6}}$${\displaystyle (m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^{4}\approx 10^{13}}$

الصيغة الأكثر عمومية للقدرة المشعة كدالة للزاوية هي: ^[4] حيث هو متجه وحدة يشير من الجسيم نحو المراقب، و هو زاوية صلبة لا نهائية في الصغر. $${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|{\hat {\mathbf {n} }}\times \left(\left({\hat {\mathbf {n} }}-{\boldsymbol {\beta }}\right)\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)\right|^{2}}{\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}\right)^{5}}}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\displaystyle d\Omega }$

في الحالة التي تكون فيها السرعة موازية للتسارع (على سبيل المثال، الحركة الخطية)، يتم تبسيط ذلك إلى ^[4] حيث تكون الزاوية بين واتجاه الملاحظة . $${\displaystyle {\frac {dP_{a\parallel v}}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}}}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

إن المعالجة الميكانيكية الكمومية الكاملة لإشعاع الكبح معقدة للغاية. فحالة الفراغ التي تتكون من تفاعل إلكترون واحد وأيون واحد وفوتون واحد، باستخدام جهد كولومب النقي، لها حل دقيق ربما نشره لأول مرة أرنولد سومرفيلد في عام 1931. ^[5] ويتضمن هذا الحل التحليلي رياضيات معقدة، وقد نُشرت العديد من الحسابات العددية، مثل تلك التي أجراها كارزاس ولاتر. ^[6] كما تم تقديم صيغ تقريبية أخرى، مثل تلك الموجودة في العمل الأخير الذي أجراه وينبرج ^[7] وبرادلر وسيميلروك. ^[8]

يقدم هذا القسم نظيرًا ميكانيكيًا كميًا للقسم السابق، ولكن مع بعض التبسيطات لتوضيح الفيزياء المهمة. نقدم معالجة غير نسبية للحالة الخاصة لإلكترون ذي كتلة وشحنة وسرعة أولية يتباطأ في مجال كولومب لغاز من الأيونات الثقيلة ذات الشحنة والكثافة العددية . الإشعاع المنبعث هو فوتون بتردد وطاقة . نرغب في إيجاد الانبعاثية التي هي القدرة المنبعثة لكل (زاوية صلبة في فضاء سرعة الفوتون * تردد الفوتون)، مجموعها على استقطابي الفوتون المستعرضين. نعبر عنها بنتيجة كلاسيكية تقريبية مضروبة في عامل غونت للانبعاث الحر الحر g _ff مع مراعاة التصحيحات الكمومية وغيرها: إذا ، أي أن الإلكترون لا يمتلك طاقة حركية كافية لإصدار الفوتون. توجد صيغة ميكانيكية كمومية عامة لـ ولكنها معقدة للغاية، وعادةً ما يتم إيجادها عن طريق الحسابات العددية. نقدم بعض النتائج التقريبية مع الافتراضات الإضافية التالية: ${\displaystyle m_{\text{e}}}$${\displaystyle -e}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Ze}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \nu =c/\lambda }$${\displaystyle h\nu }$${\displaystyle j(v,\nu )}$ $${\displaystyle j(v,\nu )={8\pi \over 3{\sqrt {3}}}{Z^{2}{\bar {e}}^{6}n_{i} \over c^{3}m_{\text{e}}^{2}v}g_{\rm {ff}}(v,\nu )}$$ ${\displaystyle j(\nu ,v)=0}$${\displaystyle h\nu >mv^{2}/2}$${\displaystyle g_{\rm {ff}}}$

• التفاعل الفراغي: نتجاهل أي تأثيرات للوسط الخلفي، مثل تأثيرات فحص البلازما. وهذا معقول بالنسبة لتردد الفوتون الذي يكون أكبر بكثير من تردد البلازما مع كثافة الإلكترونات البلازمية. لاحظ أن موجات الضوء تتلاشى وسوف تكون هناك حاجة إلى نهج مختلف بشكل كبير.${\displaystyle \nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}}$${\displaystyle n_{\text{e}}}$${\displaystyle \nu <\nu _{\rm {pe}}}$
• الفوتونات الناعمة: أي أن طاقة الفوتون أقل بكثير من طاقة الحركة الأولية للإلكترون.${\displaystyle h\nu \ll m_{\text{e}}v^{2}/2}$

مع هذه الافتراضات، تميز معاملان بلا وحدات العملية: ، الذي يقيس قوة تفاعل كولومب بين الإلكترون والأيون، و ، الذي يقيس "لين" الفوتون ونفترض أنه دائمًا صغير (اختيار العامل 2 هو للراحة لاحقًا). في الحد ، يعطي تقريب بورن الكمومي الميكانيكي: ${\displaystyle \eta _{Z}\equiv Z{\bar {e}}^{2}/\hbar v}$${\displaystyle \eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{\text{e}}v^{2}}$${\displaystyle \eta _{Z}\ll 1}$$${\displaystyle g_{\text{ff,Born}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}}$$

في الحد المعاكس ، يتم تقليص النتيجة الميكانيكية الكمومية الكاملة إلى النتيجة الكلاسيكية البحتة حيث هو ثابت أويلر-ماسكيروني . لاحظ أن الذي هو تعبير كلاسيكي بحت بدون ثابت بلانك . ${\displaystyle \eta _{Z}\gg 1}$$${\displaystyle g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]}$$${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$${\displaystyle 1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{\text{e}}v^{3}/\pi Z{\bar {e}}^{2}\nu }$${\displaystyle h}$

الطريقة شبه الكلاسيكية والاستكشافية لفهم عامل غونت هي كتابته على النحو التالي حيث و هما الحد الأقصى والحد الأدنى "لمعلمات التأثير" لتصادم الإلكترون والأيون، في وجود المجال الكهربائي للفوتون. مع افتراضاتنا، : بالنسبة لمعلمات التأثير الأكبر، يوفر التذبذب الجيبي لحقل الفوتون "اختلاطًا طوريًا" يقلل بشدة من التفاعل. هو الأكبر بين طول موجة دي برولي الميكانيكية الكمومية والمسافة الكلاسيكية لأقرب اقتراب حيث تكون طاقة الوضع كولومب للإلكترون والأيون قابلة للمقارنة بالطاقة الحركية الأولية للإلكترون. ${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \ln(b_{\text{max}}/b_{\text{min}})}$${\displaystyle b_{\max }}$${\displaystyle b_{\min }}$${\displaystyle b_{\rm {max}}=v/\nu }$${\displaystyle b_{\rm {min}}}$${\displaystyle \approx h/m_{\text{e}}v}$${\displaystyle \approx {\bar {e}}^{2}/m_{\text{e}}v^{2}}$

تنطبق التقريبات المذكورة أعلاه عمومًا طالما كانت حجة اللوغاريتم كبيرة، وتنهار عندما تكون أقل من الواحد. أي أن هذه الأشكال لعامل Gaunt تصبح سلبية، وهو أمر غير مادي. التقريب التقريبي للحسابات الكاملة، مع حدود Born والكلاسيكية المناسبة، هو $${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]}$$

يناقش هذا القسم انبعاث أشعة الكبح وعملية الامتصاص العكسي (تسمى أشعة الكبح العكسية) في وسط عياني. نبدأ بمعادلة النقل الإشعاعي، والتي تنطبق على العمليات العامة وليس فقط أشعة الكبح: $${\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }}$$

${\displaystyle I_{\nu }(t,\mathbf {x} )}$هي شدة الطيف الإشعاعي، أو القدرة لكل (المساحة × الزاوية الصلبة في فضاء سرعة الفوتون × تردد الفوتون) مجموعها على كلا الاستقطابين. هي الانبعاثية، على غرار ما تم تعريفه أعلاه، و هي الامتصاصية. و هي خصائص المادة، وليس الإشعاع، وتمثل جميع الجسيمات في الوسط - وليس مجرد زوج من إلكترون واحد وأيون واحد كما في القسم السابق. إذا كانت موحدة في المكان والزمان، فإن الجانب الأيسر من معادلة النقل يساوي صفرًا، ونجد ${\displaystyle j_{\nu }}$${\displaystyle j(v,\nu )}$${\displaystyle k_{\nu }}$${\displaystyle j_{\nu }}$${\displaystyle k_{\nu }}$${\displaystyle I_{\nu }}$$${\displaystyle I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }}}$$

إذا كانت المادة والإشعاع أيضًا في حالة توازن حراري عند درجة حرارة معينة، فيجب أن يكون طيف الجسم الأسود : بما أن و مستقلان عن ، فهذا يعني أن يجب أن يكون طيف الجسم الأسود كلما كانت المادة في حالة توازن عند درجة حرارة معينة - بغض النظر عن حالة الإشعاع. وهذا يسمح لنا بمعرفة كليهما على الفور وبمجرد معرفة أحدهما - للمادة في حالة توازن. ${\displaystyle I_{\nu }}$$${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T_{\text{e}})={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}-1}}}$$${\displaystyle j_{\nu }}$${\displaystyle k_{\nu }}$${\displaystyle I_{\nu }}$${\displaystyle j_{\nu }/k_{\nu }}$${\displaystyle j_{\nu }}$${\displaystyle k_{\nu }}$

ملاحظة : يقدم هذا القسم حاليًا صيغًا تنطبق على حد رايلي-جينز ، ولا يستخدم معالجة كمية (بلانك) للإشعاع. وبالتالي لا يظهر عامل معتاد مثل. يرجع ظهور في أدناه إلى المعالجة الميكانيكية الكمومية للتصادمات.${\displaystyle \hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{\text{e}})}$${\displaystyle \hbar \omega /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$${\displaystyle y}$

في البلازما ، تصطدم الإلكترونات الحرة باستمرار مع الأيونات، مما ينتج عنه إشعاع الكبح. يتطلب التحليل الكامل مراعاة كل من تصادمات كولومب الثنائية وكذلك السلوك الجماعي (العازل). يقدم بيكفي معالجة مفصلة، ^​​[9] بينما يقدم إيتشيمارو معالجة مبسطة. ^[10] في هذا القسم، نتبع معالجة بيكفي العازلة، مع تضمين التصادمات تقريبًا عبر رقم الموجة القطعية، .${\displaystyle k_{\text{max}}}$

ضع في اعتبارك بلازما موحدة، مع توزيع الإلكترونات الحرارية وفقًا لتوزيع ماكسويل بولتزمان مع درجة الحرارة . باتباع بيكفي، يتم حساب كثافة الطيف للقدرة (القدرة لكل فترة تردد زاوي لكل حجم، متكاملة على كامل sr للزاوية الصلبة، وفي كلا الاستقطابين) لإشعاع الكبح المشع، بحيث تكون حيث هو تردد بلازما الإلكترون، هو تردد الفوتون، هو كثافة عدد الإلكترونات والأيونات، والرموز الأخرى هي الثوابت الفيزيائية . العامل الثاني بين قوسين هو معامل انكسار موجة الضوء في البلازما، ويُظهر أن الانبعاث مكبوت إلى حد كبير لـ (هذا هو شرط القطع لموجة الضوء في البلازما؛ في هذه الحالة تكون موجة الضوء متلاشية ). وبالتالي فإن هذه الصيغة تنطبق فقط على . يجب جمع هذه الصيغة على أنواع الأيونات في بلازما متعددة الأنواع. ${\displaystyle T_{\text{e}}}$${\displaystyle 4\pi }$ $${\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over (k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{1/2}}E_{1}(y),}$$${\displaystyle \omega _{p}\equiv (n_{\text{e}}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{\text{e}})^{1/2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n_{\text{e}},n_{i}}$${\displaystyle \omega <\omega _{\rm {p}}}$${\displaystyle \omega >\omega _{\rm {p}}}$

يتم تعريف الدالة الخاصة في مقالة التكامل الأسي ، والكمية التي لا وحدة لها هي ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{\text{e}} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}$$

${\displaystyle k_{\text{max}}}$هو رقم موجي أقصى أو حد فاصل، ينشأ بسبب الاصطدامات الثنائية، ويمكن أن يختلف باختلاف أنواع الأيونات. تقريبًا، عندما (نموذجي في البلازما التي ليست شديدة البرودة)، حيث eV هي طاقة هارتري ، و ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} هو طول موجة دي برولي الحرارية للإلكترون . بخلاف ذلك، أين هي مسافة كولومب الكلاسيكية لأقرب اقتراب. ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}}$${\displaystyle E_{\text{h}}\approx 27.2}$${\displaystyle \lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}}$${\displaystyle k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}}$${\displaystyle l_{\text{C}}}$

بالنسبة للحالة المعتادة ، نجد ${\displaystyle k_{m}=1/\lambda _{B}}$$${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}\right]^{2}.}$$

الصيغة الخاصة بـ تقريبية، حيث أنها تتجاهل الانبعاث المعزز الذي يحدث عند قيمة أعلى قليلاً من .${\displaystyle dP_{\mathrm {Br} }/d\omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{\text{p}}}$

في الحد ، يمكننا التقريب على النحو التالي حيث هو ثابت أويلر-ماسكيروني . يُستخدم المصطلح اللوغاريتمي الرئيسي بشكل متكرر، ويشبه لوغاريتم كولومب الذي يحدث في حسابات البلازما التصادمية الأخرى. لأن المصطلح اللوغاريتمي سلبي، والتقريب غير كافٍ بشكل واضح. يقدم بيكفي تعبيرات مصححة للمصطلح اللوغاريتمي تتوافق مع حسابات التصادم الثنائي التفصيلية. ${\displaystyle y\ll 1}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)}$${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$${\displaystyle y>e^{-\gamma }}$

كثافة طاقة الانبعاث الإجمالية، المتكاملة على جميع الترددات، هي $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }d\omega {\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{\text{e}}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }dy\,y^{-{1}/{2}}\left[1-{y_{\text{p}} \over y}\right]^{1/2}E_{1}(y)\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle G(y_{\text{p}}=0)=1}$ويتناقص مع ؛ فهو دائمًا موجب. بالنسبة إلى ، نجد${\displaystyle y_{\text{p}}}$${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$

$${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}(k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}$$

لاحظ ظهور بسبب الطبيعة الكمومية لـ . في الوحدات العملية، النسخة المستخدمة بشكل شائع من هذه الصيغة هي ^[11]${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$${\displaystyle G=1}$ $${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{\text{e}}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}$$

هذه الصيغة تساوي 1.59 مرة من الصيغة المذكورة أعلاه، مع اختلاف يرجع إلى تفاصيل الاصطدامات الثنائية. غالبًا ما يتم التعبير عن هذا الغموض من خلال إدخال عامل Gaunt ، على سبيل المثال في ^[12] نجد أن كل شيء يتم التعبير عنه بوحدات CGS . ${\displaystyle g_{\rm {B}}}$$${\displaystyle \varepsilon _{\text{ff}}=1.4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{\text{e}}n_{i}Z^{2}g_{\text{B}},\,}$$

بالنسبة لدرجات الحرارة المرتفعة جدًا، توجد تصحيحات نسبية لهذه الصيغة، أي حدود إضافية من رتبة . ^[13]${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}/m_{\text{e}}c^{2}}$

إذا كانت البلازما رقيقة بصريًا ، فإن إشعاع الكبح يترك البلازما، حاملاً جزءًا من طاقة البلازما الداخلية. يُعرف هذا التأثير باسم تبريد الكبح . وهو نوع من التبريد الإشعاعي . تسمى الطاقة التي يحملها الكبح خسائر الكبح وتمثل نوعًا من الخسائر الإشعاعية. يستخدم المرء بشكل عام مصطلح خسائر الكبح في السياق عندما يكون تبريد البلازما غير مرغوب فيه، كما هو الحال في بلازما الاندماج .

إشعاع الكبح الاستقطابي (يشار إليه أحيانًا باسم "إشعاع الكبح الذري") هو الإشعاع المنبعث من الإلكترونات الذرية للهدف عندما يتم استقطاب ذرة الهدف بواسطة مجال كولومب للجسيم المشحون الوارد. ^{[14] [15]} لوحظت مساهمات إشعاع الكبح الاستقطابي في طيف إشعاع الكبح الكلي في التجارب التي تنطوي على جسيمات واردة ضخمة نسبيًا، ^[16] وعمليات الرنين، ^[17] والذرات الحرة. ^[18] ومع ذلك، لا يزال هناك بعض الجدل حول ما إذا كانت هناك مساهمات إشعاع الكبح الاستقطابي كبيرة أم لا في التجارب التي تنطوي على إلكترونات سريعة تسقط على أهداف صلبة. ^{[19] [20]}

من الجدير بالذكر أن مصطلح "الاستقطاب" لا يعني أن أشعة الكبح المنبعثة مستقطبة. كما أن التوزيع الزاوي لأشعة الكبح المستقطبة يختلف نظريًا تمامًا عن أشعة الكبح العادية. ^[21]

في أنبوب الأشعة السينية ، يتم تسريع الإلكترونات في الفراغ بواسطة مجال كهربائي نحو قطعة من المادة تسمى "الهدف". تنبعث الأشعة السينية عندما تصطدم الإلكترونات بالهدف.

بالفعل في أوائل القرن العشرين، اكتشف الفيزيائيون أن الأشعة السينية تتكون من مكونين، أحدهما مستقل عن مادة الهدف والآخر يتميز بخصائص الفلورسنت . ^[22] والآن نقول إن طيف الخرج يتكون من طيف مستمر من الأشعة السينية مع قمم حادة إضافية عند طاقات معينة. الأول يرجع إلى إشعاع الكبح، في حين أن الأخير عبارة عن أشعة سينية مميزة مرتبطة بالذرات في الهدف. لهذا السبب، يُطلق على إشعاع الكبح في هذا السياق أيضًا الأشعة السينية المستمرة . ^[23] تم تقديم المصطلح الألماني نفسه في عام 1909 بواسطة أرنولد سومرفيلد من أجل شرح طبيعة أول مجموعة متنوعة من الأشعة السينية. ^[22]

يتم وصف شكل هذا الطيف المتصل تقريبًا بواسطة قانون كرامر .

عادة ما يتم إعطاء صيغة قانون كرامرز كتوزيع للكثافة (عدد الفوتونات) مقابل الطول الموجي للإشعاع المنبعث: ^[24]${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle I(\lambda )\,d\lambda =K\left({\frac {\lambda }{\lambda _{\min }}}-1\right){\frac {d\lambda }{\lambda ^{2}}}}$$

الثابت K يتناسب طرديًا مع العدد الذري للعنصر المستهدف، وهو الحد الأدنى للطول الموجي المعطى بواسطة قانون Duane-Hunt . ${\displaystyle \lambda _{\min }}$

الطيف له حد قطع حاد عند ، وهو ما يرجع إلى الطاقة المحدودة للإلكترونات الواردة. على سبيل المثال، إذا تم تسريع إلكترون في الأنبوب عبر 60 كيلو فولت ، فإنه سيكتسب طاقة حركية تبلغ 60 كيلو فولت ، وعندما يصطدم بالهدف يمكنه إنشاء أشعة سينية بطاقة لا تزيد عن 60 كيلو فولت، وفقًا لقانون حفظ الطاقة . (هذا الحد الأعلى يتوافق مع توقف الإلكترون عن طريق إصدار فوتون أشعة سينية واحد فقط . عادةً ما يصدر الإلكترون العديد من الفوتونات، ولكل منها طاقة أقل من 60 كيلو فولت.) الفوتون الذي تبلغ طاقته 60 كيلو فولت على الأكثر له طول موجي لا يقل عن${\displaystyle \lambda _{\min }}$21  مساءً ، لذا فإن طيف الأشعة السينية المستمر له هذا القطع بالضبط، كما هو موضح في الرسم البياني. وبشكل عام، فإن صيغة القطع للطول الموجي المنخفض، قانون دوان-هانت، هي: ^[25] حيث h هو ثابت بلانك ، و c هي سرعة الضوء ، و V هو الجهد الذي تتسارع خلاله الإلكترونات، و e هي الشحنة الأولية ، و pm هي بيكومترات . $${\displaystyle \lambda _{\min }={\frac {hc}{eV}}\approx {\frac {1239.8}{V}}\,\mathrm {pm/kV} }$$

تظهر المواد التي تصدر جسيمات بيتا أحيانًا إشعاعًا ضعيفًا بطيف مستمر يرجع إلى إشعاع الكبح (انظر "إشعاع الكبح الخارجي" أدناه). في هذا السياق، يُعد إشعاع الكبح نوعًا من "الإشعاع الثانوي"، حيث يتم إنتاجه نتيجة لإيقاف (أو إبطاء) الإشعاع الأولي ( جسيمات بيتا ). وهو مشابه جدًا للأشعة السينية الناتجة عن قصف الأهداف المعدنية بالإلكترونات في مولدات الأشعة السينية (كما هو مذكور أعلاه) باستثناء أنه يتم إنتاجه بواسطة الإلكترونات عالية السرعة من إشعاع بيتا.

تنشأ أشعة الكبح "الداخلية" (المعروفة أيضًا باسم "أشعة الكبح الداخلية") من تكوين الإلكترون وفقدانه للطاقة (بسبب المجال الكهربائي القوي في منطقة النواة التي تخضع للتحلل) عندما يترك النواة. هذا الإشعاع هو سمة من سمات تحلل بيتا في النوى، ولكنه يُرى أحيانًا (بشكل أقل شيوعًا) في تحلل بيتا للنيوترونات الحرة إلى بروتونات، حيث يتم إنشاؤه عندما يترك الإلكترون بيتا البروتون.

في انبعاث الإلكترون والبوزيترون عن طريق تحلل بيتا، تأتي طاقة الفوتون من زوج الإلكترون- النوكليون ، مع تناقص طيف إشعاع الكبح باستمرار مع زيادة طاقة جسيم بيتا. في التقاط الإلكترون، تأتي الطاقة على حساب النيوترينو ، ويكون الطيف أعظم عند حوالي ثلث طاقة النيوترينو العادية، وينخفض ​​إلى طاقة كهرومغناطيسية صفرية عند طاقة النيوترينو العادية. لاحظ أنه في حالة التقاط الإلكترون، ينبعث إشعاع الكبح حتى لو لم ينبعث أي جسيم مشحون. بدلاً من ذلك، يمكن التفكير في إشعاع إشعاع الكبح على أنه ينشأ عندما يتسارع الإلكترون الملتقط نحو الامتصاص. قد يكون هذا الإشعاع عند ترددات مماثلة لإشعاع جاما الناعم ، لكنه لا يُظهر أيًا من الخطوط الطيفية الحادة لتحلل جاما ، وبالتالي فهو ليس إشعاع جاما من الناحية الفنية.

يجب مقارنة العملية الداخلية بالإشعاع الكهرومغناطيسي "الخارجي" بسبب اصطدام الإلكترونات القادمة من الخارج بالنواة (أي المنبعثة من نواة أخرى)، كما تمت مناقشته أعلاه. ^[26]

في بعض الحالات، مثل اضمحلال³²
P ، فإن إشعاع الكبح الناتج عن حجب إشعاع بيتا باستخدام المواد الكثيفة المستخدمة عادةً (مثل الرصاص ) يعد خطيرًا في حد ذاته؛ في مثل هذه الحالات، يجب إنجاز الحجب باستخدام مواد منخفضة الكثافة، مثل زجاج شبكي ( لوسايت )، أو البلاستيك ، أو الخشب ، أو الماء ؛ ^[27] نظرًا لأن العدد الذري أقل لهذه المواد، فإن شدة إشعاع الكبح تقل بشكل كبير، ولكن يلزم وجود سمك أكبر للحجب لإيقاف الإلكترونات (إشعاع بيتا).

المكون المضيء السائد في مجموعة المجرات هو الوسط الموجود داخل المجموعة والذي تتراوح درجة حرارته بين 10 ⁷ إلى 10 ⁸ كلفن . يتميز الانبعاث من الوسط الموجود داخل المجموعة بالإشعاع الكهرومغناطيسي الحراري. يقع هذا الإشعاع في نطاق طاقة الأشعة السينية ويمكن ملاحظته بسهولة باستخدام التلسكوبات الفضائية مثل مرصد تشاندرا للأشعة السينية ، و XMM-Newton ، وROSAT ، وASCA ، وEXOSAT ، و Suzaku ، و RHESSI ، والبعثات المستقبلية مثل IXO [1] وAstro-H [2].

كما أن إشعاع الكبح هو آلية الانبعاث السائدة لمناطق الهيدروجين الثنائي عند الأطوال الموجية الراديوية.

في التفريغات الكهربائية، على سبيل المثال كتفريغات معملية بين قطبين أو كتفريغات برق بين سحابة والأرض أو داخل السحب، تنتج الإلكترونات فوتونات إشعاع الكبح أثناء تشتتها عن جزيئات الهواء. تتجلى هذه الفوتونات في ومضات أشعة جاما الأرضية وهي مصدر حزم الإلكترونات والبوزيترونات والنيوترونات والبروتونات. ^[28] يؤثر ظهور فوتونات إشعاع الكبح أيضًا على انتشار وشكل التفريغات في مخاليط النيتروجين والأكسجين ذات النسب المنخفضة من الأكسجين. ^[29]

تم إجراء الوصف الميكانيكي الكمومي الكامل لأول مرة بواسطة Bethe وHeitler. ^[30] لقد افترضوا وجود موجات مستوية للإلكترونات التي تنتشر عند نواة الذرة، واستنبطوا مقطعًا عرضيًا يربط الهندسة الكاملة لهذه العملية بتردد الفوتون المنبعث. المقطع العرضي التفاضلي الرباعي، والذي يُظهر تماثلًا ميكانيكيًا كميًا لإنتاج الزوج ، هو

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

حيث هو العدد الذري وثابت البنية الدقيقة وثابت بلانك المختزل وسرعة الضوء . ترتبط الطاقة الحركية للإلكترون في الحالة الأولية والنهائية بطاقته الكلية أو زخمه عبر حيث هي كتلة الإلكترون . يعطي قانون حفظ الطاقة حيث هي طاقة الفوتون. تُعطى اتجاهات الفوتون المنبعث والإلكترون المبعثر بواسطة حيث هو زخم الفوتون. ${\displaystyle Z}$${\displaystyle \alpha _{\text{fine}}\approx 1/137}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle c}$${\displaystyle E_{{\text{kin}},i/f}}$${\displaystyle E_{i,f}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i,f}}$$${\displaystyle E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{\text{e}}c^{2}={\sqrt {m_{\text{e}}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},}$$${\displaystyle m_{\text{e}}}$$${\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,}$$${\displaystyle \hbar \omega }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {k} }$

يتم إعطاء الفروق على النحو التالي $${\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}$$

القيمة المطلقة للفوتون الافتراضي بين النواة والإلكترون هي

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}}$

يتم تحديد مدى الصلاحية من خلال تقريب بورن حيث يجب استيفاء هذه العلاقة لسرعة الإلكترون في الحالة الأولية والنهائية. $${\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}}$$${\displaystyle v}$

بالنسبة للتطبيقات العملية (على سبيل المثال في أكواد مونت كارلو ) قد يكون من المثير للاهتمام التركيز على العلاقة بين تردد الفوتون المنبعث والزاوية بين هذا الفوتون والإلكترون الوارد. قام كوهن وإيبرت بدمج المقطع العرضي التفاضلي الرباعي بواسطة بيته وهيتلر على و وحصلوا على: ^[31] مع ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Theta _{f}}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}$

و

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{f}\right|+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}}$

ومع ذلك، يمكن العثور على تعبير أبسط بكثير لنفس التكامل في ^[32] (المعادلة 2BN) وفي ^[33] (المعادلة 4.1).

يوضح تحليل المقطع العرضي التفاضلي المزدوج أعلاه أن الإلكترونات التي تكون طاقتها الحركية أكبر من طاقة السكون (511 كيلو إلكترون فولت) تصدر الفوتونات في الاتجاه الأمامي بينما تصدر الإلكترونات ذات الطاقة الصغيرة الفوتونات بشكل متساوي الخواص.

إحدى الآليات التي تعتبر مهمة للأعداد الذرية الصغيرة ، هي تشتت الإلكترون الحر عند إلكترونات غلاف الذرة أو الجزيء. ^[34] نظرًا لأن إشعاع الإلكترون-الإلكترون الكهرومغناطيسي هو دالة لـ وإشعاع الإلكترون-النواة الكهرومغناطيسي المعتاد هو دالة لـ ، فإن إشعاع الإلكترون-الإلكترون الكهرومغناطيسي مهمل بالنسبة للمعادن. ومع ذلك، بالنسبة للهواء، فإنه يلعب دورًا مهمًا في إنتاج ومضات أشعة جاما الأرضية . ^[35]${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z^{2}}$

• إيبرهارد هاوج؛ فيرنر ناكل (2004). العملية الأولية للإشعاع الكهرومغناطيسي. مذكرات المحاضرات العلمية في الفيزياء. المجلد 73. ريفر إيدج، نيوجيرسي: وورلد ساينتيفيك. رقم ISBN 978-981-238-578-9.

• فهرس مقالات Bremsstrahlung المبكرة