توليد التوافقي الثاني

يحدث توليد التوافقي الثاني بثلاثة أنواع عند مطابقة الطور الحرجة، ^{[ 12 ]} ويُرمز لها بـ 0 وI وII. في النوع 0، يتحد فوتونان ذوا استقطاب غير عادي بالنسبة للبلورة لتكوين فوتون واحد بتردد/طاقة مضاعفة واستقطاب غير عادي. في النوع I، يتحد فوتونان ذوا استقطاب عادي بالنسبة للبلورة لتكوين فوتون واحد بتردد مضاعف واستقطاب غير عادي. في النوع II ، يتحد فوتونان ذوا استقطاب متعامد لتكوين فوتون واحد بتردد مضاعف واستقطاب عادي. بالنسبة لاتجاه بلوري مُحدد، يحدث نوع واحد فقط من هذه الأنواع. عمومًا، لاستخدام تفاعلات النوع 0 ، يلزم وجود بلورة ذات مطابقة طور شبه كاملة ، مثل نيوبات الليثيوم المستقطب دوريًا (PPLN).

بما أن عمليات مطابقة الطور تُطابق ببساطة المؤشرات البصرية عند ω و2ω، فإنه يُمكن إجراؤها أيضًا عن طريق التحكم في درجة الحرارة في البلورات ثنائية الانكسار حيث يعتمد المؤشر البصري على درجة الحرارة. على سبيل المثال، يُظهر LBO مطابقة طور مثالية عند 25 درجة مئوية لتوليد التوافقي الثاني (SHG) المُثار عند 1200 أو 1400 نانومتر، ^{[ 13 ]} ولكنه يحتاج إلى رفع درجة الحرارة إلى 200 درجة مئوية لتوليد التوافقي الثاني باستخدام خط الليزر المعتاد بطول موجي 1064 نانومتر. يُطلق عليه اسم "غير حرج" لأنه لا يعتمد على اتجاه البلورة، على عكس مطابقة الطور التقليدية.

أظهرت التجارب المبكرة في هذا المجال توليد التوافقي الثاني من الأسطح المعدنية. ^{[ 16 ]} وفي نهاية المطاف، استُخدم توليد التوافقي الثاني لدراسة سطح التماس بين الهواء والماء، مما أتاح الحصول على معلومات تفصيلية حول التوجه الجزيئي والترتيب على أحد أكثر الأسطح انتشارًا. ^{[ 17 ]} ويمكن إثبات أن العناصر المحددة لـ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$:

$// )\sin ^{2}(\theta )\right\rangle \alpha _{zzz}^{(2)}\end{محاذاة}}}$

حيث N _s هي كثافة المادة الممتزة، و θ هي الزاوية التي يصنعها المحور الجزيئي z مع العمودي على السطح Z ، و${\displaystyle \alpha _{zzz}^{(2)}}$يُعدّ χ(2) العنصرَ المهيمن على الاستقطابية غير الخطية للجزيء عند السطح البيني، مما يسمح بتحديد θ بمعرفة الإحداثيات المختبرية ( x , y , z ) . ^{[ 18 ]} باستخدام طريقة توليد التوافقي الثاني (SHG) التداخلية لتحديد هذه العناصر من χ (2)، أظهر أول قياس لتوجيه الجزيء أن مجموعة الهيدروكسيل في الفينول تتجه نحو الأسفل باتجاه الماء عند السطح البيني بين الهواء والماء (كما هو متوقع نظرًا لقدرة مجموعات الهيدروكسيل على تكوين روابط هيدروجينية). بالإضافة إلى ذلك، كشف توليد التوافقي الثاني (SHG) على الأسطح المستوية عن اختلافات في ^قيمة pKa والحركات الدورانية للجزيئات عند الأسطح البينية. 

يمكن أيضًا توليد الضوء التوافقي الثاني من أسطح مستوية "محليًا"، ولكنها قد تتمتع بتناظر انعكاسي (متناظر مركزيًا) على نطاق أوسع. على وجه التحديد، أثبتت نظرية حديثة أن توليد التوافقي الثاني من جسيمات كروية صغيرة (بمقياس الميكرومتر والنانومتر) ممكن من خلال المعالجة المناسبة لتشتت رايلي (التشتت دون تغيير في التردد من الموجات الممتصة إلى الموجات المنبعثة). ^{[ 19 ]} على سطح كرة صغيرة، ينكسر التناظر الانعكاسي، مما يسمح بحدوث التوافقي الثاني والتوافقيات الزوجية الأخرى.

بالنسبة لنظام غرواني من الجسيمات الدقيقة بتركيزات منخفضة نسبيًا، فإن إشارة SH الكلية${\displaystyle I_{2\omega }^{\text{total}}}$، ويتم الحصول عليها من خلال:

${\displaystyle I_{2\omega }^{\text{total}}\propto \sum \limits _{j=1}^{n}\left(E_{j}^{2\omega }\right)^{2}=n\left(E^{2\omega }\right)^{2}=nI_{2\omega }}$

أين${\displaystyle E_{j}^{2\أوميغا }}$يمثل المجال الكهربائي للتوافقي الثاني الناتج عن الجسيم j ، و n كثافة الجسيمات. ^{[ 20 ]} يكون ضوء التوافقي الثاني الناتج عن كل جسيم متماسكًا ، ولكنه يُضاف بشكل غير متماسك إلى ضوء التوافقي الثاني الناتج عن الجسيمات الأخرى (طالما كانت الكثافة منخفضة بما يكفي). وبالتالي، يتولد ضوء التوافقي الثاني فقط من أسطح التماس بين الكرات وبيئتها، وهو مستقل عن تفاعلات الجسيمات مع بعضها البعض. وقد ثبت أيضًا أن المجال الكهربائي للتوافقي الثاني${\displaystyle E(2\omega )}$تتناسب مع مكعب نصف قطر الجسيم، a ³ .

إلى جانب الكرات، دُرست جسيمات صغيرة أخرى، مثل القضبان، باستخدام تقنية توليد التوافقي الثاني (SHG). ^{[ 21 ]} ويمكن دراسة كل من الأنظمة الثابتة والغروانية للجسيمات الصغيرة. وتشمل التجارب الحديثة التي تستخدم توليد التوافقي الثاني للأنظمة غير المستوية دراسة حركية النقل عبر أغشية الخلايا الحية ^{[ 22 ]} وإثباتات استخدام تقنية توليد التوافقي الثاني في المواد النانوية المعقدة . ^{[ 23 ]}

تستخدم صناعة الليزر تقنية توليد التوافقي الثاني لإنتاج  ليزر أخضر بطول موجي 532 نانومتر من  مصدر بطول موجي 1064 نانومتر.  يُمرر ضوء 1064 نانومتر عبر بلورة غير خطية (مصنوعة عادةً من KDP أو KTP ). في ليزرات الديود عالية الجودة، تُغطى البلورة من جهة الخرج بمرشح للأشعة تحت الحمراء لمنع تسرب ضوء الأشعة تحت الحمراء المكثف بطول موجي 1064  نانومتر أو 808  نانومتر إلى الشعاع. كلا الطولين الموجيين غير مرئيين ولا يُثيران رد فعل الرمش الدفاعي في العين، وبالتالي قد يُشكلان خطرًا خاصًا على العين البشرية. علاوة على ذلك، قد تقوم بعض نظارات السلامة الليزرية المُصممة لأشعة الأرجون أو غيرها من الليزرات الخضراء بتصفية المكون الأخضر (مما يُعطي شعورًا زائفًا بالأمان)، ولكنها تسمح بمرور الأشعة تحت الحمراء. مع ذلك، ظهرت في الأسواق بعض منتجات " مؤشرات الليزر الخضراء" التي تُهمل مرشح الأشعة تحت الحمراء باهظ الثمن، غالبًا دون سابق إنذار. ^{[ 27 ]}

يُستخدم توليد التوافقي الثاني أيضًا لقياس عرض النبضات فائقة القصر باستخدام أجهزة الارتباط الذاتي . لا يمكن تحديد خصائص النبضة فائقة القصر (مثل قياس عرضها الزمني) مباشرةً باستخدام الإلكترونيات فقط، لأن المقياس الزمني أقل من 1 بيكو ثانية.${\displaystyle 10^{-12}}$(ثانية). لذلك، يلزم استخدام النبضة نفسها، غالبًا من خلال دالة الارتباط الذاتي. ونظرًا لأن توليد التوافقي الثاني (SHG) يتميز بقدرته على مزج مجالين مُدخلين لتوليد المجال التوافقي، فإنه يُعد خيارًا مناسبًا لإجراء قياسات النبضات هذه. يستخدم الارتباط الذاتي البصري ، في إصداراته المُحللة للشدة أو المُحللة للأهداب ( التداخلية )، توليد التوافقي الثاني ^{[ 28 ]،} على عكس الارتباط الذاتي للمجال الخطي . كما تستخدم معظم إصدارات FROG (المسماة SHG-FROG) توليد التوافقي الثاني لمزج المجالات المتأخرة. ^{[ 29 ]}

في العلوم البيولوجية والطبية، يُستخدم تأثير توليد التوافقي الثاني في المجهر الضوئي عالي الدقة. ونظرًا لوجود معامل توافقي ثانٍ غير صفري، فإن البنى غير المتناظرة مركزيًا فقط هي القادرة على إصدار ضوء التوافقي الثاني. ومن هذه البنى الكولاجين، الموجود في معظم الأنسجة الحاملة للأحمال. وباستخدام ليزر نبضي قصير، مثل ليزر الفيمتو ثانية، ومجموعة من المرشحات المناسبة، يمكن فصل ضوء الإثارة بسهولة عن إشارة التوافقي الثاني المنبعثة والمضاعفة التردد. وهذا يتيح دقة محورية وجانبية عالية جدًا تُضاهي دقة المجهر متحد البؤر ، دون الحاجة إلى استخدام ثقوب دقيقة. وقد استُخدم مجهر التوافقي الثاني في دراسات القرنية [ ^{30 ] والصفيحة} الغربالية للصلبة ^{[ 31 ]} ، وكلاهما يتكون أساسًا من الكولاجين. ويمكن توليد التوافقي الثاني بواسطة العديد من الأصباغ العضوية غير المتناظرة مركزيًا؛ إلا أن معظم هذه الأصباغ تُنتج أيضًا تألقًا جانبيًا إلى جانب إشارات التوافقي الثاني. ^{[ 32 ]} حتى الآن، لم يُكتشف سوى نوعين من الأصباغ العضوية التي لا تُنتج أي تألق جانبي، وتعتمد فقط على توليد التوافقي الثاني. ^{[ 32 ] [ 33 ]} مؤخرًا، وباستخدام التألق المُثار بفوتونين والمجهر القائم على توليد التوافقي الثاني، أظهر فريق من الباحثين في جامعة أكسفورد أن جزيئات البورفيرين العضوية يمكن أن تمتلك عزم ثنائي قطب انتقالي مختلفًا للتألق بفوتونين وتوليد التوافقي الثاني، ^{[ 34 ]} والذي كان يُعتقد سابقًا أنه ينشأ من نفس عزم ثنائي القطب الانتقالي. ^{[ 35 ]}

يُستخدم مجهر توليد التوافقي الثاني أيضًا في علم المواد، على سبيل المثال لتوصيف المواد النانوية التركيب. ^{[ 36 ]}

يُعد توليد التوافقي الثاني ذا أهمية بالغة في توصيف البلورات العضوية وغير العضوية ^{[ 37 ]} ، إذ يُعتبر من أسرع وأكثر التقنيات تمييزًا للكشف عن عدم التناظر المركزي ^{[ 38 ]} . إضافةً إلى ذلك، يُمكن استخدام هذه التقنية على البلورات الأحادية وعلى العينات المسحوقة. تجدر الإشارة إلى أن توليد التوافقي الثاني لا يكون ممكنًا (من الكتلة) إلا في البلورات غير المتناظرة مركزيًا . صحيح أن نسبة البلورات غير المتناظرة مركزيًا في الطبيعة أقل بكثير من نسبة البلورات المتناظرة مركزيًا (حوالي 22% من قاعدة بيانات كامبريدج الهيكلية ^{[ 39 ]} )، إلا أن تردد البلورات غير المتناظرة مركزيًا يزداد بشكل ملحوظ في المجالات الصيدلانية والبيولوجية والإلكترونية نظرًا لخصائصها الفريدة ( الكهرباء الانضغاطية ، والكهرباء الحرارية ، والأطوار القطبية، والكيرالية ، وغيرها).

في عام 1968 ^{[ 40 ]} (بعد سبع سنوات من أول دليل تجريبي على توليد التوافقي الثاني على بلورة أحادية ^{[ 9 ]} )، بدأ كورتز وبيري بتطوير محلل لتوليد التوافقي الثاني للكشف السريع عن وجود مركز تناظر أو عدمه في عينات بلورية مسحوقة. وقد ثبت أن الكشف عن إشارة توليد التوافقي الثاني اختبار موثوق وحساس للكشف عن عدم التناظر المركزي البلوري بمستوى ثقة يزيد عن 99%. وهو أداة مهمة لحل غموض المجموعة الفراغية الذي قد ينشأ عن قانون فريدل في حيود الأشعة السينية على البلورات الأحادية. ^{[ 41 ]} علاوة على ذلك، تمت الإشارة إلى هذه الطريقة في الجداول الدولية لعلم البلورات، ووُصفت بأنها "طريقة فعالة لاختبار المواد البلورية للتأكد من عدم وجود مركز تناظر". ^{[ 42 ]}

من التطبيقات المحتملة أيضًا التمييز السريع بين الأطوار الكيرالية، مثل الكونغلوميرات ، التي تحظى باهتمام خاص في الصناعات الدوائية. ^{[ 43 ]} كما يمكن استخدامها كتقنية لفحص نقاء المادة البنيوي إذا كانت إحدى الشوائب هي NC، حيث يصل مستوى الكشف إلى 1 جزء في المليون ^{[ 44 ]} باستخدام جهاز كورتز-بيري، وإلى جزء واحد في 10 مليارات حجمًا باستخدام مجهر SHG. ^{[ 45 ]}

نظراً لحساسية هذه التقنية العالية، يمكن أن تكون أداة مفيدة في تحديد مخطط الطور بدقة ^{[ 46 ]} ، ويمكن استخدامها أيضاً لمراقبة تحولات الطور ( التحول متعدد الأشكال ، والجفاف، ...) عندما يكون أحد الأطوار على الأقل من نوع NC. ^{[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ]}

أبسط حالة لتحليل توليد التوافقي الثاني هي موجة مستوية ذات سعة E ( ω ) تنتقل في وسط غير خطي في اتجاه متجه k الخاص بها . يتم توليد استقطاب عند تردد التوافقي الثاني: ^{[ 50 ]}

${\displaystyle P(2\omega )=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}E^{2}(\omega )=2\varepsilon _{0}d_{\text{eff}}(2\omega$ ;\أوميغا ,\أوميغا )E^{2}(\أوميغا ),\,}

أين${\displaystyle d_{\text{eff}}}$هو معامل بصري غير خطي فعال يعتمد على مكونات محددة من${\displaystyle \chi ^{(2)}}$التي تشارك في هذا التفاعل المحدد. معادلة الموجة عند 2ω (بافتراض فقدان ضئيل واعتماد تقريب الغلاف المتغير ببطء ) هي

${\displaystyle {\frac {\partial E(2\omega )}{\partial z}}=-{\frac {i\omega }{n_{2\omega }c}}d_{\text{eff}}E^{2}(\omega )e^{i\,\Delta k\,z}}$

أين${\displaystyle \Delta k=k(2\omega )-2k(\omega )}$.

عند كفاءة تحويل منخفضة ( E (2ω ) ≪ E ( ω ))، تكون السعة${\displaystyle E(\omega )}$يظل ثابتًا بشكل أساسي على مدار مدة التفاعل،${\displaystyle \ell }$ثم، مع شرط الحدود${\displaystyle E(2\omega ,z=0)=0}$نحصل على

${\displaystyle E(2\omega ,z=\ell )=-{\frac {i\omega d_{\text{eff}}}{n_{2\omega }c}}E^{2}(\omega )\int _{0}^{\ell }e^{i\,\Delta k\,z}\,dz=-{\frac {i\omega d_{\text{eff}}}{n_{2\omega }c}}E^{2}(\omega )\ell \,{\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}\,\Delta k\,\ell \right)}{{\frac {1}{2}}\,\Delta k\,\ell }}e^{{\frac {i}{2}}\,\Delta k\,\ell }}$

من حيث شدة الضوء،${\displaystyle I=n/2{\sqrt {\varepsilon _{0}/\mu _{0}}}|E|^{2}}$، هذا هو،

${\displaystyle I(2\omega ,\ell )={\frac {2\omega ^{2}d_{\text{eff}}^{2}\ell ^{2}}{n_{2\omega }n_{\omega }^{2}c^{3}\varepsilon _{0}}}\left({\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}\,\Delta k\,\ell \right)}{{\frac {1}{2}}\,\Delta k\,\ell }}\right)^{2}I^{2}(\omega )}$

تبلغ هذه الشدة أقصى قيمة لها عند تحقق شرط توافق الطور Δk = 0. إذا لم يكن الطور متوافقًا، فإن الاستقطاب المحرك عند ω يدخل ويخرج من طور الموجة المتولدة E (2ω ) ، ويتذبذب التحويل وفقًا لـ sin(Δkℓ / 2). يُعرَّف طول التماسك على النحو التالي:${\displaystyle \ell _{c}={\frac {\pi }{\Delta k}}}$لا يُجدي استخدام بلورة غير خطية أطول بكثير من طول التماسك. ( يوفر الاستقطاب الدوري ومطابقة الطور شبه الكاملة نهجًا آخر لهذه المشكلة).

عندما يصبح التحويل إلى التوافقي الثاني ذا أهمية، يصبح من الضروري تضمين استنزاف التردد الأساسي. ينص تحويل الطاقة على أن جميع المجالات المعنية تحقق علاقات مانلي-رو . ومن ثم، نحصل على المعادلات المترابطة التالية: ^{[ 51 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial E(2\omega )}{\partial z}}&=-{\frac {i\omega }{n_{2\omega }c}}d_{\text{eff}}E^{2}(\omega )e^{i\,\Delta k\,z},\\[5pt]{\frac {\partial E(\omega )}{\partial z}}&=-{\frac {i\omega }{n_{\omega }c}}d_{\text{eff}}^{*}E(2\omega )E^{*}(\omega )e^{-i\,\Delta k\,z},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle *}$يرمز إلى المرافق المركب. ولتبسيط الأمر، نفترض توليدًا متطابق الطور (${\displaystyle \Delta k=0}$ثم يتطلب الحفاظ على الطاقة ما يلي:

${\displaystyle n_{2\omega }\left[E^{*}(2\omega ){\frac {\partial E(2\omega )}{\partial z}}+{\text{c.c.}}\right]=-n_{\omega }\left[E(\omega ){\frac {\partial E^{*}(\omega )}{\partial z}}+{\text{c.c.}}\right]}$

أين${\displaystyle {\text{c.c.}}}$هو المرافق المركب للمصطلح الآخر، أو

${\displaystyle n_{2\omega }\left|E(2\omega )\right|^{2}+n_{\omega }|E(\omega )|^{2}=n_{2\omega }E_{0}^{2}.}$

والآن نحل المعادلات بناءً على الفرضية التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}E(\omega )&=\left|E(\omega )\right|e^{i\varphi (\omega )}\\E(2\omega )&=\left|E(2\omega )\right|e^{i\varphi (2\omega )}\end{aligned}}}$

والحصول على

${\displaystyle {\frac {d\left|E(2\omega )\right|}{dz}}=-{\frac {i\omega d_{\text{eff}}}{n_{\omega }c}}\left[E_{0}^{2}-\left|E(2\omega )\right|^{2}\right]e^{2i\varphi (\omega )-i\varphi (2\omega )}}$

مما يؤدي إلى

${\displaystyle \int _{0}^{\left|E(2\omega )\right|\ell }{\frac {d\left|E(2\omega )\right|}{E_{0}^{2}-\left|E(2\omega )\right|^{2}}}=-\int _{0}^{\ell }{\frac {i\omega d_{\text{eff}}}{n_{\omega }c}}e^{2i\varphi (\omega )-i\varphi (2\omega )}\,dz.}$

استخدام

${\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}-x^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}{\frac {x}{a}}}$

نحصل

${\displaystyle \left|E(2\omega )\right|_{z=\ell }=E_{0}\tanh \left({\frac {-iE_{0}\ell \omega d_{\text{eff}}}{n_{\omega }c}}e^{2i\varphi (\omega )-i\varphi (2\omega )}\right).}$

إذا افترضنا حقيقيا${\displaystyle d_{\text{eff}}}$يجب أن تكون الأطوار النسبية للنمو التوافقي الحقيقي بحيث${\displaystyle e^{2i\varphi (\omega )-i\varphi (2\omega )}=i}$. ثم

${\displaystyle I(2\omega ,\ell )=I(\omega ,0)\tanh ^{2}\left({\frac {E_{0}\omega d_{\text{eff}}\ell }{n_{\omega }c}}\right)}$

أو

${\displaystyle I(2\omega ,\ell )=I(\omega ,0)\tanh ^{2}(\Gamma \ell ),}$

أين${\displaystyle \Gamma =\omega d_{\text{eff}}E_{0}/nc}$. من${\displaystyle I(2\omega ,\ell )+I(\omega ,\ell )=I(\omega ,0)}$ويترتب على ذلك أيضاً أن

${\displaystyle I(\omega ,\ell )=I(\omega ,0)\operatorname {sech} ^{2}(\Gamma \ell ).}$

يمكن إثبات ما يلي: ${\displaystyle A_{n}=-i{\frac {\omega _{n}}{2n_{n\omega }c}}{\left(A_{0}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)^{n}}z_{R}^{2}\int _{-\infty }^{z}{\frac {\chi ^{(n)}(u)}{q(u)^{2}}}\,du\exp \left(ik_{n}{\frac {x^{2}+y^{2}}{2q(z)}}\right)}$

(توزيع غاوسي )، هو حل للمعادلة ( n  =  2 لـ SHG).

يُعدّ عدم التوافق الطوري المثالي حالةً أكثر واقعيةً في الممارسة العملية، لا سيما في العينات البيولوجية. ومع ذلك، يُفترض أن التقريب المحوري لا يزال صالحًا.${\displaystyle k_{n}=nk_{1}}$وفي التعبير التوافقي،${\displaystyle \chi ^{(n)}(z)}$هو الآن${\displaystyle \chi ^{(n)}(z)e^{i\,\Delta k\,z}}$.

في الحالة الخاصة لتوليد التوافقي الثاني ( n  =  2)، في وسط طوله L وموضع بؤري${\displaystyle z_{0}}$، يكتب عن شدة الحالة: ^{[ 52 ]}

${\displaystyle I_{2\omega }={\frac {2\omega ^{2}d_{\text{eff}}^{2}}{\pi c^{3}\varepsilon _{0}w_{0}^{2}n_{2\omega }n_{\omega }^{2}}}I_{\omega }^{2}\left(\int _{z_{0}}^{z_{0}+L}{\frac {e^{i\,\Delta k\,z}}{1+iz/z_{R}}}\right)^{2}\,dz.}$

أين${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء في الفراغ ،${\displaystyle \varepsilon _{0}}$سماحية الفراغ ،${\displaystyle n_{n\omega }}$معامل الانكسار للوسط عند${\displaystyle n\omega }$و${\displaystyle w_{0}}$محيط الخصر عند الإثارة.

وبالتالي، تتلاشى شدة توليد التوافقي الثاني بسرعة في الكتلة (${\displaystyle 0<z_{0}<L}$) بسبب إزاحة طور غوي للشعاع الغاوسي.

وفقًا للتجارب، تتلاشى إشارة توليد التوافقي الثاني (SHG) في المادة الصلبة (إذا كان سمك الوسط كبيرًا جدًا)، ويجب توليدها على سطح المادة؛ لذا فإن التحويل لا يتناسب طرديًا مع مربع عدد المشتتات، على عكس ما يشير إليه نموذج الموجة المستوية. ومن المثير للاهتمام أن الإشارة تتلاشى أيضًا في المادة الصلبة عند الرتب الأعلى ، مثل توليد التوافقي الثالث (THG).

• باراميسواران، ك. ر.؛ كورتز، ج. ر.؛ روسيف، م. م.؛ فيجر (2002). "ملاحظة استنزاف 99% من طاقة الضخ في توليد التوافقي الثاني أحادي المرور في دليل موجي من نيوبات الليثيوم المستقطب دوريًا". رسائل البصريات . 27 (1): 43-45 . رمز Bibcode : 2002OptL...27...43P . doi : 10.1364/ol.27.000043 . PMID 18007710 . 
• "مضاعفة التردد" . موسوعة فيزياء وتكنولوجيا الليزر . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 نوفمبر 2006 .