حقل منتهي

بفرض قوة أولية${\displaystyle q=p^{n}}$مع${\displaystyle p}$برايم و${\displaystyle n>1}$، المجال${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$يمكن بناؤها بشكل صريح بالطريقة التالية. أولاً، يتم اختيار متعددة حدود غير قابلة للاختزال${\displaystyle P}$في${\displaystyle \mathrm {GF} (p)[X]}$درجة علمية${\displaystyle n}$(توجد دائمًا متعددة حدود غير قابلة للاختزال كهذه). ثم حلقة القسمة$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)=\mathrm {GF} (p)[X]/(P)}$$ حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle \mathrm {GF} (p)[X]}$بواسطة المثال الرئيسي الناتج عن${\displaystyle P}$هو مجال النظام${\displaystyle q}$.

وبشكل أكثر وضوحاً، عناصر${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$كثيرات الحدود على${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$الذي تقل درجته بشكل صارم عن${\displaystyle n}$الجمع والطرح هما عمليتا كثيرات الحدود على${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$ناتج ضرب عنصرين هو باقي القسمة الإقليدية على${\displaystyle P}$من المنتج في${\displaystyle \mathrm {GF} (p)[X]}$يمكن حساب المعكوس الضربي لعنصر غير صفري باستخدام خوارزمية إقليدس الموسعة؛ انظر خوارزمية إقليدس الموسعة §  امتدادات الحقول الجبرية البسيطة .

ومع ذلك، فإن هذا التمثيل يتضمن عناصر من${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$قد يصعب تمييزها عن كثيرات الحدود المقابلة. لذلك، من الشائع تسميتها، وعادةً ما يكون ذلك باسمها.${\displaystyle \alpha }$إلى عنصر${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$وهذا يتوافق مع متعددة الحدود${\displaystyle X}$إذن، عناصر${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$تصبح كثيرات حدود في${\displaystyle \alpha }$، أين${\displaystyle P(\alpha )=0}$وعندما يصادف المرء متعددة حدود في${\displaystyle \alpha }$من درجة أكبر أو تساوي${\displaystyle n}$(على سبيل المثال، بعد عملية الضرب)، يعلم المرء أنه يجب عليه استخدام العلاقة${\displaystyle P(\alpha )=0}$لتقليل درجتها (وهذا ما يفعله القسمة الإقليدية).

باستثناء بناء${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$هناك عدة خيارات ممكنة لـ${\displaystyle P}$والتي تُنتج نتائج متماثلة. ولتبسيط عملية القسمة الإقليدية، يختار المرء عادةً لـ${\displaystyle P}$متعددة حدود من الشكل $${\displaystyle X^{n}+aX+b,}$$ مما يجعل عمليات التقسيم الإقليدي المطلوبة فعالة للغاية. ومع ذلك، بالنسبة لبعض المجالات، وخاصة في الخصائص المميزة${\displaystyle 2}$كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال من الشكل${\displaystyle X^{n}+aX+b}$قد لا يكون موجودًا. من الخصائص المميزة${\displaystyle 2}$إذا كانت متعددة الحدود${\displaystyle X^{n}+X+1}$إذا كان قابلاً للتخفيض، يُنصح باختيار${\displaystyle X^{n}+X^{k}+1}$بأقل تكلفة ممكنة${\displaystyle k}$وهذا يجعل متعددة الحدود غير قابلة للاختزال. إذا كانت جميع ثلاثيات الحدود هذه قابلة للاختزال، فسيتم اختيار "خماسيات الحدود".${\displaystyle X^{n}+X^{a}+X^{b}+X^{c}+1}$، كمتعددات حدود من الدرجة الأكبر من${\displaystyle 1}$، التي تحتوي على عدد زوجي من الحدود، لا تكون غير قابلة للاختزال في خصائصها${\displaystyle 2}$، بعد${\displaystyle 1}$كجذر. ^{[ 6 ]}

تُعدّ كثيرات حدود كونواي خيارًا ممكنًا لمثل هذه كثيرات الحدود . فهي تضمن توافقًا معينًا بين تمثيل الحقل وتمثيلات حقوله الفرعية.

في الأقسام التالية، سنوضح كيف تعمل طريقة البناء العامة الموضحة أعلاه بالنسبة للحقول المحدودة الصغيرة.

أصغر حقل غير أولي هو الحقل الذي يحتوي على أربعة عناصر، والذي يُرمز إليه عادةً بـ${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$أو${\displaystyle \mathbb {F} _{4}.}$يتكون من العناصر الأربعة${\displaystyle 0,1,\alpha ,1+\alpha }$بحيث${\displaystyle \alpha ^{2}=1+\alpha }$،${\displaystyle 1\cdot \alpha =\alpha \cdot 1=\alpha }$،${\displaystyle x+x=0}$، و${\displaystyle x\cdot 0=0\cdot x=0}$لكل${\displaystyle x\in \mathrm {GF} (4)}$ويمكن استنتاج نتائج العمليات الأخرى بسهولة من قانون التوزيع . انظر أدناه للاطلاع على جداول العمليات الكاملة.

يمكن استنتاج ذلك على النحو التالي من نتائج القسم السابق.

زيادة${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$، يوجد متعدد حدود واحد غير قابل للاختزال من الدرجة${\displaystyle 2}$: $${\displaystyle X^{2}+X+1}$$ لذلك، من أجل${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$يجب أن يتضمن بناء القسم السابق هذه المعادلة متعددة الحدود، و $${\displaystyle \mathrm {GF} (4)=\mathrm {GF} (2)[X]/(X^{2}+X+1).}$$ يترك${\displaystyle \alpha }$لنرمز إلى جذر هذه المعادلة متعددة الحدود في${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$وهذا يعني أن $${\displaystyle \alpha ^{2}=1+\alpha ,}$$ وذلك${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle 1+\alpha }$هي عناصر${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$التي ليست في${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$جداول العمليات في${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$والنتيجة لذلك هي كما يلي:

إضافة${\displaystyle x+y}$ y x 0 1 α 1 + α 0 0 1 α 1 + α 1 1 0 1 + α α α α 1 + α 0 1 1 + α 1 + α α 1 0

الضرب${\displaystyle x\cdot y}$ y x 0 1 α 1 + α 0 0 0 0 0 1 0 1 α 1 + α α 0 α 1 + α 1 1 + α 0 1 + α 1 α

متبادل x 1 / x​​ 0 — 1 1 α 1 + α 1 + α α

لم يُقدّم جدول للطرح، لأن الطرح مطابق للجمع، كما هو الحال في كل حقل ذي خاصية 2. وللقسمة، اضرب في المقلوب :${\displaystyle x/y=x\cdot (1/y)}$كما هو الحال في أي مجال، فإن القسمة على صفر غير معرفة. من الجداول، يمكن ملاحظة أن البنية الجمعية لـ${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$متماثل مع مجموعة كلاين الرباعية ، بينما البنية الضربية غير الصفرية متماثلة مع المجموعة${\displaystyle Z_{3}}$.

الخريطة $${\displaystyle \varphi :x\mapsto x^{2}}$$ هو التماثل الذاتي غير التافه للحقل، والذي يُسمى التماثل الذاتي لفروبينيوس ، والذي يُرسل${\displaystyle \alpha }$إلى الجذر الثاني${\displaystyle 1+\alpha }$من متعدد الحدود غير القابل للاختزال المذكور أعلاه${\displaystyle X^{2}+X+1}$.

لتطبيق البناء العام المذكور أعلاه للحقول المنتهية في حالة${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{2})}$، يجب إيجاد متعددة حدود غير قابلة للاختزال من الدرجة الثانية.${\displaystyle p=2}$لقد تم ذلك في القسم السابق. إذا${\displaystyle p}$إذا كان عددًا أوليًا فرديًا، فستكون هناك دائمًا كثيرات حدود غير قابلة للاختزال من الشكل${\displaystyle X^{2}-r}$، مع${\displaystyle r}$في${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$.

وبشكل أدق، متعددة الحدود${\displaystyle X^{2}-r}$لا يمكن اختزاله على${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle r}$هو باقي تربيعي modulo${\displaystyle p}$(هذا يكاد يكون تعريفًا للباقي التربيعي غير المتبقي). هناك${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}$البواقي غير التربيعية modulo${\displaystyle p}$. على سبيل المثال،${\displaystyle 2}$هو باقي تربيعي لـ${\displaystyle p=3,5,11,13,\ldots }$، و${\displaystyle 3}$هو باقي تربيعي لـ${\displaystyle p=5,7,17,\ldots }$. لو${\displaystyle p\equiv 3\mod 4}$، إنه${\displaystyle p=3,7,11,19,\ldots }$يمكن للمرء أن يختار${\displaystyle -1\equiv p-1}$باعتبارها باقية غير تربيعية، مما يسمح لنا بالحصول على متعددة حدود غير قابلة للاختزال بسيطة للغاية${\displaystyle X^{2}+1}$.

بعد اختيار باقي تربيعي${\displaystyle r}$، يترك${\displaystyle \alpha }$ليكن الجذر التربيعي الرمزي لـ${\displaystyle r}$أي رمز له الخاصية${\displaystyle \alpha ^{2}=r}$، بنفس الطريقة التي يكون بها العدد المركب${\displaystyle i}$هو الجذر التربيعي الرمزي لـ${\displaystyle -1}$ثم عناصر${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{2})}$جميع التعبيرات الخطية $${\displaystyle a+b\alpha ,}$$ مع${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$العمليات على${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{2})}$تُعرَّف العمليات بين عناصر${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$تمثل العمليات في الأحرف اللاتينية${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$): $${\displaystyle {\begin{aligned}-(a+b\alpha )&=-a+(-b)\alpha \\(a+b\alpha )+(c+d\alpha )&=(a+c)+(b+d)\alpha \\(a+b\alpha )(c+d\alpha )&=(ac+rbd)+(ad+bc)\alpha \\(a+b\alpha )^{-1}&=a(a^{2}-rb^{2})^{-1}+(-b)(a^{2}-rb^{2})^{-1}\alpha \end{aligned}}}$$

متعددة الحدود $${\displaystyle X^{3}-X-1}$$ لا يمكن اختزاله على${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$و${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$أي أنه غير قابل للاختزال modulo${\displaystyle 2}$و${\displaystyle 3}$(ولإثبات ذلك، يكفي أن نبين أنه ليس له جذر في${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$ولا في${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$(كما لو أن عاملًا تكعيبيًا يجب أن يحتوي على عامل خطي). ويترتب على ذلك أن عناصر${\displaystyle \mathrm {GF} (8)}$و${\displaystyle \mathrm {GF} (27)}$يمكن تمثيلها بتعبيرات$${\displaystyle a+b\alpha +c\alpha ^{2},}$$ أين${\displaystyle a,b,c}$هي عناصر من${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$أو${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$(على التوالي)، و${\displaystyle \alpha }$هو رمز بحيث $${\displaystyle \alpha ^{3}=\alpha +1.}$$

الجمع والمعكوس الجمعي والضرب${\displaystyle \mathrm {GF} (8)}$و${\displaystyle \mathrm {GF} (27)}$وبالتالي يمكن تعريفها على النحو التالي؛ في الصيغ التالية، العمليات بين عناصر${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$أو${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$، والتي تُمثل بأحرف لاتينية، هي العمليات في${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$أو${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$، على التوالى: $${\displaystyle {\begin{aligned}-(a+b\alpha +c\alpha ^{2})&=-a+(-b)\alpha +(-c)\alpha ^{2}\qquad {\text{(for }}\mathrm {GF} (8),{\text{this operation is the identity)}}\\(a+b\alpha +c\alpha ^{2})+(d+e\alpha +f\alpha ^{2})&=(a+d)+(b+e)\alpha +(c+f)\alpha ^{2}\\(a+b\alpha +c\alpha ^{2})(d+e\alpha +f\alpha ^{2})&=(ad+bf+ce)+(ae+bd+bf+ce+cf)\alpha +(af+be+cd+cf)\alpha ^{2}\end{aligned}}}$$

متعددة الحدود $${\displaystyle X^{4}+X+1}$$ لا يمكن اختزاله على${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$أي أنه غير قابل للاختزال modulo${\displaystyle 2}$ويترتب على ذلك أن عناصر${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$يمكن تمثيلها بتعبيرات$${\displaystyle a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3},}$$ أين${\displaystyle a,b,c,d}$إما${\displaystyle 0}$أو${\displaystyle 1}$(عناصر من${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$)، و${\displaystyle \alpha }$هو رمز بحيث $${\displaystyle \alpha ^{4}=\alpha +1}$$ (إنه،${\displaystyle \alpha }$يُعرَّف بأنه جذر لكثير الحدود غير القابل للاختزال المعطى). كخاصية لـ${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$يكون${\displaystyle 2}$كل عنصر هو معكوسه الجمعي في${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$الجمع والضرب على${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$يمكن تعريفها على النحو التالي؛ في الصيغ التالية، العمليات بين عناصر${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$تمثل العمليات في الأحرف اللاتينية${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3})+(e+f\alpha +g\alpha ^{2}+h\alpha ^{3})&=(a+e)+(b+f)\alpha +(c+g)\alpha ^{2}+(d+h)\alpha ^{3}\\(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3})(e+f\alpha +g\alpha ^{2}+h\alpha ^{3})&=(ae+bh+cg+df)+(af+be+bh+cg+df+ch+dg)\alpha \;+\\&\quad \;(ag+bf+ce+ch+dg+dh)\alpha ^{2}+(ah+bg+cf+de+dh)\alpha ^{3}\end{aligned}}}$$

المجال${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$تحتوي على ثمانية عناصر أولية (العناصر التي تحتوي جميع عناصرها غير الصفرية على${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$كقوى صحيحة). هذه العناصر هي الجذور الأربعة لـ${\displaystyle X^{4}+X+1}$ومعكوساتها الضربية . على وجه الخصوص،${\displaystyle \alpha }$هو عنصر أولي، والعناصر الأولية هي${\displaystyle \alpha ^{m}}$مع${\displaystyle m}$أقل من ومشارك في الأهمية مع${\displaystyle 15}$(أي 1، 2، 4، 7، 8، 11، 13، 14).

لو${\displaystyle a}$هو عنصر أولي في${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$ثم لأي عنصر غير صفري${\displaystyle x}$في${\displaystyle F}$يوجد عدد صحيح فريد${\displaystyle n}$مع${\displaystyle 0\leq n\leq q-2}$بحيث${\displaystyle x=a^{n}}$هذا العدد الصحيح${\displaystyle n}$يُطلق عليه اسم اللوغاريتم المنفصل لـ${\displaystyle x}$إلى القاعدة${\displaystyle a}$.

بينما${\displaystyle a^{n}}$يمكن حساب اللوغاريتم المتقطع بسرعة كبيرة، على سبيل المثال باستخدام الأسس التربيعية ، ولكن لا توجد خوارزمية فعالة معروفة لحساب العملية العكسية، أي اللوغاريتم المتقطع. وقد استُخدم هذا في العديد من بروتوكولات التشفير ، انظر اللوغاريتم المتقطع لمزيد من التفاصيل.

عندما تكون العناصر غير الصفرية لـ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$تُمثَّل هذه العمليات باللوغاريتمات المنفصلة، ​​لذا فإن الضرب والقسمة فيها سهلان، إذ يختزلان إلى الجمع والطرح بتردد ثابت.${\displaystyle q-1}$ومع ذلك، فإن عملية الجمع تعني حساب اللوغاريتم المنفصل لـ${\displaystyle a^{m}+a^{n}}$الهوية $${\displaystyle a^{m}+a^{n}=a^{n}\left(a^{m-n}+1\right)}$$ يُتيح ذلك حل هذه المشكلة عن طريق إنشاء جدول اللوغاريتمات المنفصلة لـ${\displaystyle a^{n}+1}$، والتي تُسمى لوغاريتمات زيك ، لـ${\displaystyle n=0,\ldots ,q-2}$(من الملائم تعريف اللوغاريتم المنفصل للصفر على أنه${\displaystyle -\infty }$).

تُعد لوغاريتمات زيك مفيدة للحسابات الكبيرة، مثل الجبر الخطي على الحقول متوسطة الحجم، أي الحقول الكبيرة بما يكفي لجعل الخوارزميات الطبيعية غير فعالة، ولكن ليست كبيرة جدًا، حيث يتعين على المرء حساب جدول مسبقًا بنفس حجم رتبة الحقل.

كل عنصر غير صفري في حقل منتهٍ هو جذر للوحدة ، كما${\displaystyle x^{q-1}=1}$لكل عنصر غير صفري من${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$.

لو${\displaystyle n}$هو عدد صحيح موجب،${\displaystyle n}$الجذر الأولي للوحدة هو حل للمعادلة${\displaystyle x^{n}=1}$هذا ليس حلاً للمعادلة${\displaystyle x^{m}=1}$لأي عدد صحيح موجب${\displaystyle m<n}$. لو${\displaystyle a}$هو${\displaystyle n}$الجذر البدائي للوحدة في حقل${\displaystyle F}$، ثم${\displaystyle F}$يحتوي على كل${\displaystyle n}$جذور الوحدة، وهي${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}}$.

المجال${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$يحتوي على${\displaystyle n}$الجذر الأولي للوحدة إذا وفقط إذا${\displaystyle n}$هو قاسم لـ${\displaystyle q-1}$؛ لو${\displaystyle n}$هو قاسم لـ${\displaystyle q-1}$ثم عدد العناصر الأولية${\displaystyle n}$جذور الوحدة في${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$يكون${\displaystyle \phi (n)}$( دالة أويلر للدالة الموجبة ). عدد${\displaystyle n}$جذور الوحدة في${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$يكون${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q-1)}$.

في مجال مميز${\displaystyle p}$، تحويل فروبينيوس الداخلي${\displaystyle \varphi (x)=x^{p}}$هي حقنية. إذا${\displaystyle x^{np}=1}$ثم${\displaystyle \varphi (x^{n})=x^{np}=1=\varphi (1)}$وبالتالي، بحسب خاصية الحقن${\displaystyle x^{n}=1}$هذا يدل على أن كل${\displaystyle np}$الجذر النوني للوحدة هو أيضًا${\displaystyle n}$الجذر النوني للوحدة. ويترتب على ذلك أن العدد الأولي${\displaystyle np}$لا توجد جذور الوحدة أبدًا في مجال الخصائص${\displaystyle p}$.

من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle n}$هو عدد أولي فيما بينه و${\displaystyle p}$، جذور${\displaystyle n}$تتميز كثيرات الحدود الدائرية في كل مجال من مجالات الخصائص${\displaystyle p}$لأن هذه كثيرة الحدود هي قاسم لـ${\displaystyle X^{n}-1}$، الذي يميز${\displaystyle n^{n}}$هو غير صفر modulo${\displaystyle p}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle n}$العوامل متعددة الحدود الدائرية على${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$إلى كثيرات حدود غير قابلة للاختزال متميزة لها جميعًا نفس الدرجة، على سبيل المثال${\displaystyle d}$وذلك${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{d})}$هو أصغر مجال مميز${\displaystyle p}$الذي يحتوي على${\displaystyle n}$الجذور البدائية للوحدة.

عند حساب أحرف براور ، يتم استخدام الخريطة${\displaystyle \alpha ^{k}\mapsto \exp(2\pi ik/(q-1))}$لربط القيم الذاتية لمصفوفة التمثيل بالأعداد المركبة. في ظل هذا الربط، الحقل الفرعي الأساسي${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$يتكون من نقاط متباعدة بالتساوي حول دائرة الوحدة (باستثناء الصفر).

يتمتع الحقل GF(64) بالعديد من الخصائص المثيرة للاهتمام التي لا تشترك فيها الحقول الأصغر: فهو يحتوي على حقلين فرعيين بحيث لا يحتوي أحدهما على الآخر؛ وليست كل المولدات (العناصر ذات الحد الأدنى من متعدد الحدود من الدرجة 6 على GF(2) ) عناصر أولية؛ وليست كل العناصر الأولية مترافقة تحت مجموعة غالوا .

بما أن رتبة هذا الحقل هي 2 ⁶ ، وقواسم العدد 6 هي 1، 2، 3، 6 ، فإن الحقول الجزئية لـ GF(64) هي GF(2) ، وGF(2 ² ) = GF(4) ، و GF(2 ³ ) = GF(8) ، و GF(64) نفسه. ولأن 2 و 3 عددان أوليان فيما بينهما ، فإن تقاطع GF(4) و GF(8) في GF(64) هو الحقل الأولي GF(2) .

يحتوي اتحاد GF(4) و GF(8) على 10 عناصر. أما العناصر الـ 54 المتبقية في GF(64) فتُولّد GF(64) بمعنى أنه لا يوجد حقل فرعي آخر يحتوي على أي منها. وعليه، فهي جذور لكثيرات حدود غير قابلة للاختزال من الدرجة 6 على GF(2) . وهذا يعني أنه يوجد على GF(2) تحديدًا 9 = 54 / 6 كثيرات حدود أحادية غير قابلة للاختزال من الدرجة 6. ويمكن التحقق من ذلك بتحليل X 64 − X على GF(2 ⁾ .

عناصر حقل غالوا GF(64) هي جذور الوحدة الأولية من الرتبة n ، حيث n يقسم 63. وبما أن الجذرين الثالث والسابع للوحدة ينتميان إلى حقلي غالوا GF(4) و GF(8) على التوالي، فإن المولدات الـ 54 هي جذور الوحدة الأولية من الرتبة n، حيث n ينتمي إلى المجموعة {9، 21، 63} . تُظهر دالة أويلر أن هناك 6 جذور أولية من الرتبة 9 للوحدة، و12 جذرًا أوليًا من الرتبة 21 للوحدة، و 36 جذرًا أوليًا من الرتبة 63 للوحدة. بجمع هذه الأعداد، نجد 54 عنصرًا.

بتحليل كثيرات الحدود الدائرية على${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$، يجد المرء أن:

• البدائيات الست${\displaystyle 9}$جذور الوحدة هي جذور$${\displaystyle X^{6}+X^{3}+1,}$$وجميعها مترافقة تحت تأثير مجموعة غالوا.
• الاثنا عشر البدائيون${\displaystyle 21}$جذور الوحدة هي جذور$${\displaystyle (X^{6}+X^{4}+X^{2}+X+1)(X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{2}+1).}$$يشكلان مدارين تحت تأثير زمرة غالوا. ولأن العاملين متبادلان ، فإن الجذر ومعكوسه (الضربي) لا ينتميان إلى المدار نفسه.
• ال${\displaystyle 36}$العناصر الأولية لـ${\displaystyle \mathrm {GF} (64)}$هي جذور$${\displaystyle {\begin{aligned}&(X^{6}+X^{4}+X^{3}+X+1)(X^{6}+X+1)(X^{6}+X^{5}+1)\cdot {}\\&\qquad (X^{6}+X^{5}+X^{3}+X^{2}+1)(X^{6}+X^{5}+X^{2}+X+1)(X^{6}+X^{5}+X^{4}+X+1).\end{aligned}}}$$انقسمت إلى ستة مدارات، كل منها يحتوي على ستة عناصر، تحت تأثير مجموعة غالوا.

وهذا يدل على أن الخيار الأفضل للبناء${\displaystyle \mathrm {GF} (64)}$يمكن تعريفها على أنها GF(2)[ X ] / ( X ⁶ + X + 1) . في الواقع، هذا المولد هو عنصر أولي، وهذه متعددة الحدود هي متعددة الحدود غير القابلة للاختزال التي تُنتج أسهل عملية قسمة إقليدية.

متعددة الحدود $${\displaystyle X^{q}-X}$$ يمكن تحليل هذه متعددة الحدود إلى عوامل خطية على حقل من الرتبة q . وبشكل أدق، فإن هذه متعددة الحدود هي حاصل ضرب جميع متعددات الحدود أحادية المعامل من الدرجة الأولى على حقل من الرتبة q .

هذا يعني أنه إذا كان q = p ^n، فإن X ^q − X هو حاصل ضرب جميع كثيرات الحدود الأحادية غير القابلة للاختزال على GF( p ) التي تقسم درجتها n . في الواقع، إذا كان P عاملًا غير قابل للاختزال على GF( p ) لـ X ^q − X ، فإن درجته تقسم n ، لأن حقل تجزئة P موجود في GF( p ⁿ ) . على العكس من ذلك، إذا كان P كثير حدود أحادي غير قابل للاختزال على GF( p ) من الدرجة d يقسم n ، فإنه يُعرّف امتدادًا للحقل من الدرجة d ، وهو موجود في GF( p ⁿ ) ، وجميع جذور P تنتمي إلى GF( p ⁿ ) ، وهي جذور X ^q − X ؛ وبالتالي فإن P يقسم X ^q − X. بما أن X ^q − X ليس له أي عامل مضاعف، فهو بالتالي حاصل ضرب جميع كثيرات الحدود الأحادية غير القابلة للاختزال التي تقسمه.

تُستخدم هذه الخاصية لحساب حاصل ضرب العوامل غير القابلة للاختزال لكل درجة من درجات كثيرات الحدود على GF( p ) ؛ انظر تحليل الدرجة المميزة .

يتم إعطاء عدد N ( q , n ) من كثيرات الحدود أحادية الاختزال من الدرجة n على GF( q ) بواسطة ^{[ 7 ]}$${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{n/d},}$$ حيث μ هي دالة موبيوس . هذه الصيغة هي نتيجة مباشرة لخاصية X ^q − X المذكورة أعلاه وصيغة انعكاس موبيوس .

بحسب الصيغة المذكورة أعلاه، فإن عدد كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال (ليس بالضرورة أحادية) من الدرجة n على GF( q ) هو ( q − 1) N ( q , n ) .

الصيغة الدقيقة تعني المتباينة $${\displaystyle N(q,n)\geq {\frac {1}{n}}{\biggl (}q^{n}-\sum _{\ell \mid n,\ \ell {\text{ prime}}}q^{n/\ell }{\biggr )};}$$ تكون هذه المعادلة دقيقة إذا وفقط إذا كان n قوة لعدد أولي ما. لكل q ولكل n ، يكون الطرف الأيمن موجبًا، لذا يوجد على الأقل متعدد حدود غير قابل للاختزال من الدرجة n على حقل غالوا GF( q ) .