Gauss's lemma (polynomials)

In algebra, Gauss's lemma,^[1] named after Carl Friedrich Gauss, is a theorem^{[note 1]} about polynomials over the integers, or, more generally, over a unique factorization domain (that is, a ring that has a unique factorization property similar to the fundamental theorem of arithmetic). Gauss's lemma underlies all the theory of factorization and greatest common divisors of such polynomials.

Gauss's lemma first appeared as Article 42 in his Disquisitiones Arithmeticae as the statement that if P and Q are monic polynomials with rational coefficients, not all of them integers, then the coefficients of their product PQ also cannot all be integers.

In modern form, Gauss's lemma asserts that the product of two primitive polynomials is primitive. (A polynomial with integer coefficients is primitive if it has 1 as a greatest common divisor of its coefficients.^{[note 2]})

A corollary of Gauss's lemma, sometimes also called Gauss's lemma, is that a primitive polynomial is irreducible over the integers if and only if it is irreducible over the rational numbers. More generally, a primitive polynomial has the same complete factorization over the integers and over the rational numbers. In the case of coefficients in a unique factorization domain R, "rational numbers" must be replaced by "field of fractions of R". This implies that, if R is either a field, the ring of integers, or a unique factorization domain, then every polynomial ring (in one or several indeterminates) over R is a unique factorization domain. Another consequence is that factorization and greatest common divisor computation of polynomials with integers or rational coefficients may be reduced to similar computations on integers and primitive polynomials. This is systematically used (explicitly or implicitly) in all implemented algorithms (see Polynomial greatest common divisor and Factorization of polynomials).

تظلّ مبرهنة غاوس، بالإضافة إلى نتائجها التي لا تتضمن وجود تحليل كامل، صحيحةً على أيّ نطاق قاسم مشترك أكبر ( نطاق تكاملي توجد فيه القواسم المشتركة الكبرى). وعلى وجه الخصوص، فإنّ حلقة كثيرات الحدود على نطاق قاسم مشترك أكبر هي أيضًا نطاق قاسم مشترك أكبر. إذا أطلقنا على كثيرة الحدود التي تولّد معاملاتها المثاليّ الواحد اسم "أوليّة "، فإنّ مبرهنة غاوس تكون صحيحةً على كلّ حلقة تبديلية . ^{[ 2 ]} مع ذلك، يجب توخّي الحذر عند استخدام هذا التعريف للأوليّة ، إذ توجد، على نطاق تحليل وحيد ليس نطاقًا مثاليًا رئيسيًا ، كثيرات حدود أوليّة بالمعنى المذكور أعلاه وليست أوليّة بهذا المعنى الجديد.

لو${\displaystyle F(X)=a_{0}+a_{1}X+\dots +a_{n}X^{n}}$إذا كانت دالة كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة، فإن${\displaystyle F}$يُطلق عليه اسم العدد الأولي إذا كان القاسم المشترك الأكبر لجميع المعاملات${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$هو 1؛ بمعنى آخر، لا يوجد عدد أولي يقسم جميع المعاملات.

البرهان: من الواضح أن حاصل ضرب كثيرتي حدود أوليتين f ( x ) g ( x ) له معاملات صحيحة. لذلك، إذا لم يكن أوليًا، فلا بد من وجود عدد أولي p يقسم جميع معاملاته. لكن p لا يمكنه قسمة جميع معاملات f ( x ) أو g ( x ) (وإلا لما كانتا أوليتين). ليكن a _r x ^r الحد الأول من f ( x ) الذي لا يقبل القسمة على p، وليكن b _s x ^s الحد الأول من g ( x ) الذي لا يقبل القسمة على p . الآن، لننظر إلى الحد x ^{r + s} في حاصل الضرب، والذي معامله هو

${\displaystyle \cdots +a_{r+2}b_{s-2}+a_{r+1}b_{s-1}+a_{r}b_{s}+a_{r-1}b_{s+1}+a_{r-2}b_{s+2}+\cdots .}$

الحد a _rb s لا يقبل القسمة على p (لأن p عدد أولي)، بينما تقبل جميع الحدود المتبقية القسمة عليه، لذا لا يمكن أن يكون المجموع الكلي قابلاً للقسمة على _p . بافتراض أن جميع معاملات حاصل الضرب تقبل القسمة على p ، فإن هذا يؤدي إلى تناقض. لذلك، لا يمكن أن يكون لمعاملات حاصل الضرب قاسم مشترك، وبالتالي فهي أعداد أولية.${\displaystyle \square }$

يُقدَّم البرهان أدناه للحالة الأكثر عمومية. لاحظ أن العنصر غير القابل للاختزال في Z (عدد أولي) يظل غير قابل للاختزال عند اعتباره متعدد حدود ثابت في Z [ X ]؛ وهذا يُفسِّر الحاجة إلى استخدام كلمة "غير ثابت" في العبارة.

تنطبق مبرهنة غاوس بشكل أعم على مجالات التحليل الفريدة العشوائية . في هذه المجالات، يُمكن تعريف محتوى كثير الحدود P ، c ( P )، بأنه القاسم المشترك الأكبر لمعاملات P (وكما هو الحال مع القاسم المشترك الأكبر، فإن المحتوى في الواقع عبارة عن مجموعة من العناصر المرتبطة ). يُقال إن كثير الحدود P، الذي تقع معاملاته في مجال تحليل فريد R، هو كثير حدود أولي إذا كانت العناصر الوحيدة في R التي تقسم جميع معاملات P في آن واحد هي العناصر القابلة للعكس في R ؛ أي أن القاسم المشترك الأكبر للمعاملات يساوي واحدًا.

بيان البدائية: إذا كانت R مجموعة متعددة الحدود غير محدودة، فإن مجموعة كثيرات الحدود الأولية في R [ X ] تكون مغلقة تحت عملية الضرب. وبشكل أعم، فإن محتوى حاصل الضرب${\displaystyle fg}$ناتج كثيرات الحدود${\displaystyle c(f)c(g)}$من محتوياتها الفردية.

بيان عدم الاختزال: ليكن R مجال تحليل فريد، و F حقل كسوره . متعددة حدود غير ثابتة${\displaystyle f}$في${\displaystyle R[x]}$غير قابل للاختزال في${\displaystyle R[x]}$إذا وفقط إذا كان غير قابل للاختزال في${\displaystyle F[x]}$وبدائي في${\displaystyle R[x]}$.

(للاطلاع على الأدلة، انظر النسخة العامة أدناه.)

يترك${\displaystyle R}$ليكن مجال تحليل فريد مع حقل من الكسور${\displaystyle F}$. لو${\displaystyle f\in F[x]}$هي متعددة الحدود على${\displaystyle F}$ثم بالنسبة للبعض${\displaystyle d}$في${\displaystyle R}$،${\displaystyle df}$له معاملات في${\displaystyle R}$وبالتالي – بإخراج العامل المشترك الأكبر${\displaystyle q}$من المعاملات - يمكننا كتابة${\displaystyle df=qf'}$بالنسبة لبعض كثيرات الحدود الأولية${\displaystyle f'\in R[x]}$كما يمكن التحقق من ذلك، فإن هذه متعددة الحدود${\displaystyle f'}$يكون فريدًا حتى الضرب في وحدة واحدة ويسمى الجزء الأولي (أو الممثل الأولي ) من${\displaystyle f}$ويرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {pp} (f)}$الإجراء متوافق مع المنتج التالي:${\displaystyle \operatorname {pp} (fg)=\operatorname {pp} (f)\operatorname {pp} (g)}$.

يمكن استخدام هذا التركيب لعرض العبارة التالية:

• حلقة متعددة الحدود فوق UFD هي UFD.

في الواقع، بالاستقراء ، يكفي أن نبين${\displaystyle R[x]}$هو UFD عندما${\displaystyle R}$هو UFD. دع${\displaystyle f\in R[x]}$ليكن متعدد حدود غير صفري. الآن،${\displaystyle F[x]}$هي مجال تحليل فريد (لأنها مجال مثالي رئيسي)، وبالتالي، كمتعددة حدود في${\displaystyle F[x]}$،${\displaystyle f}$يمكن تحليلها إلى عوامل كما يلي:

${\displaystyle f=g_{1}g_{2}\dots g_{r}}$

أين${\displaystyle g_{i}}$هي كثيرات حدود غير قابلة للاختزال من${\displaystyle F[x]}$والآن، نكتب${\displaystyle f=cf'}$بالنسبة لـ gcd${\displaystyle c}$معاملات${\displaystyle f}$(و${\displaystyle f'}$(هو الجزء الأولي) ثم:

${\displaystyle f=cf'=c\operatorname {pp} (g_{1})\operatorname {pp} (g_{2})\cdots \operatorname {pp} (g_{r}).}$

الآن،${\displaystyle c}$هو نتاج عناصر أولية من${\displaystyle R}$(منذ${\displaystyle R}$هو UFD) وعنصر أساسي من${\displaystyle R}$يُعد عنصرًا أساسيًا من${\displaystyle R[x]}$، مثل${\displaystyle R[x]/(p)\cong R/(p)[x]}$هو مجال تكاملي. لذا،${\displaystyle c}$يقبل التحليل إلى عوامل أولية (أو تحليلًا فريدًا إلى عوامل غير قابلة للاختزال). بعد ذلك، لاحظ أن${\displaystyle f'=\operatorname {pp} (g_{1})\cdots \operatorname {pp} (g_{r})}$هو تحليل فريد إلى عناصر غير قابلة للاختزال من${\displaystyle R[x]}$، كما (1) كل${\displaystyle \operatorname {pp} (g_{i})}$(1) غير قابل للاختزال وفقًا لعبارة عدم الاختزال، و(2) فريد من نوعه نظرًا لتحليله إلى عوامل.${\displaystyle f'}$يمكن أيضًا اعتبارها تحليلًا إلى عوامل في${\displaystyle F[x]}$والتحليل إلى عوامل يكون فريدًا. بما أن${\displaystyle c}$و${\displaystyle f'}$يتم تحديدها بشكل فريد بواسطة${\displaystyle f}$حتى العناصر الوحدوية، فإن التحليل المذكور أعلاه لـ${\displaystyle f}$هو تحليل فريد إلى عناصر غير قابلة للاختزال.${\displaystyle \square }$

إن شرط أن " R مجال تحليل فريد" ليس شرطًا زائدًا، لأنه يعني أن كل عنصر غير قابل للاختزال في هذه الحلقة هو أيضًا عنصر أولي ، مما يعني بدوره أن كل عنصر غير صفري في R له تحليل واحد على الأكثر إلى حاصل ضرب عناصر غير قابلة للاختزال وعنصر محايد حتى الرتبة وعلاقة التجميع. في حلقة لا يكون فيها التحليل فريدًا، ولنقل pa = qb حيث p و q عنصران غير قابلين للاختزال لا يقسمان أيًا من العوامل على الجانب الآخر، فإن حاصل الضرب ( p + qX )( a + qX ) = pa + ( p + a ) qX + q²X² = q ( ^b + ( p + a ) X + qX² ) يُظهر عدم صحة شرط البدائية. كمثال ملموس، يمكننا أخذ ^R = Z [ i√5 ] ، حيث p = 1 + i√5 ، ^و a = 1 − i√5 ، و q = 2 ، و b = 3 . في هذا المثال ^، تُقدّم كثيرة الحدود 3 + 2X + 2X² (الناتجة عن قسمة الطرف الأيمن على q = 2 ) مثالًا على فشل عبارة عدم الاختزال (فهي غير قابلة للاختزال على R ، ولكنها قابلة للاختزال على حقل الكسور Q [ i√5 ] ). مثال آخر معروف هو كثيرة الحدود X² - ​​X - 1 ، التي جذورها هي النسبة الذهبية φ = (1 + √5)/2 ومرافقها (1 - √5)/2، ^مما يُبيّن أنها قابلة للاختزال على الحقل Q [√5] ، على الرغم من أنها غير قابلة للاختزال على Z [√5] غير المُختزلة، والتي يكون Q [√5] حقل كسور لها. في المثال الأخير، يمكن تحويل الحلقة إلى UFD عن طريق أخذ إغلاقها التكاملي Z [φ] في Q [√5] (حلقة الأعداد الصحيحة ديريشليه)، والتي عليها X ² − Xيصبح -1 قابلاً للاختزال، ولكن في المثال السابق R مغلق بشكل متكامل بالفعل.

يترك${\displaystyle R}$ليكن حلقة تبديلية. إذا${\displaystyle f}$هي متعددة الحدود في${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ثم نكتب${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$من أجل المثل الأعلى لـ${\displaystyle R}$الناتج عن جميع معاملات${\displaystyle f}$ويُطلق عليه محتوى${\displaystyle f}$. لاحظ أن${\displaystyle \operatorname {cont} (af)=a\operatorname {cont} (f)}$لكل${\displaystyle a}$في${\displaystyle R}$. أما الاقتراح التالي فينص على خاصية أكثر جوهرية.

متعدد الحدود${\displaystyle f}$يُقال إنه بدائي إذا${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$هل الوحدة مثالية؟${\displaystyle (1)}$[ ^{4 ]} عندما^​${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$(أو بشكل عام عندما${\displaystyle R}$( إذا كان مجال بيزو )، فإن هذا يتفق مع التعريف المعتاد لكثير الحدود الأولي. (لكن إذا${\displaystyle R}$هذا التعريف غير متسق مع تعريف البدائية في #Statements for unique factorization domains .)

البرهان: هذا سهل باستخدام الحقيقة ^{[ 5 ]} التي${\displaystyle {\sqrt {I}}=(1)}$يشير إلى${\displaystyle I=(1).}$${\displaystyle \square }$

دليل: (${\displaystyle \Rightarrow }$لاحظ أولاً أن القاسم المشترك الأكبر لمعاملات${\displaystyle f}$يساوي 1 لأنه، خلاف ذلك، يمكننا استخراج عامل مشترك ما${\displaystyle c\in R}$من معاملات${\displaystyle f}$للكتابة${\displaystyle f=cf'}$، مما يناقض عدم قابلية الاختزال لـ${\displaystyle f}$ثم، لنفترض${\displaystyle f=gh}$بالنسبة لبعض كثيرات الحدود غير الثابتة${\displaystyle g,h}$في${\displaystyle F[x]}$ثم، بالنسبة للبعض${\displaystyle d\in R}$، متعددة الحدود${\displaystyle dg}$له معاملات في${\displaystyle R}$وبالتالي، من خلال استخراج العامل المشترك الأكبر${\displaystyle q}$بالنسبة للمعاملات، نكتب${\displaystyle dg=qg'}$افعل الشيء نفسه لـ${\displaystyle h}$ويمكننا أن نكتب${\displaystyle f=cg'h'}$بالنسبة للبعض${\displaystyle c\in F}$والآن، لنبدأ${\displaystyle c=a/b}$بالنسبة للبعض${\displaystyle a,b\in R}$. ثم${\displaystyle bf=ag'h'}$ومن هذا، باستخدام القضية، نحصل على:

${\displaystyle (b)\supset \operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (bf))=(a)}$.

إنه،${\displaystyle b}$يقسم${\displaystyle a}$. هكذا،${\displaystyle c\in R}$ثم التحليل إلى عوامل${\displaystyle f=cg'h'}$يشكل ذلك تناقضًا مع عدم قابلية الاختزال لـ${\displaystyle f}$.

(${\displaystyle \Leftarrow }$) لو${\displaystyle f}$لا يمكن اختزاله على${\displaystyle F}$إذن، إما أنه غير قابل للاختزال على${\displaystyle R}$أو إذا احتوى على كثير حدود ثابت كعامل، فإن الاحتمال الثاني مستبعد بموجب هذا الافتراض.${\displaystyle \square }$

برهان القضية: من الواضح،${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)\subset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)}$. لو${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$هو مثالي أولي يحتوي${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)}$، ثم${\displaystyle fg\equiv 0}$modulo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. منذ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$إذا كانت حلقة متعددة الحدود فوق مجال تكاملي، وبالتالي فإن مجالًا تكامليًا، فإن هذا يستلزم إما${\displaystyle f\equiv 0}$أو${\displaystyle g\equiv 0}$modulo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$وبالتالي، إما${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$أو${\displaystyle \operatorname {cont} (g)}$موجود في${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. منذ${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$هو تقاطع جميع المُثُل الأولية التي تحتوي${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)}$واختيار${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$كان تعسفياً،${\displaystyle \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)\subset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$.

نثبت الآن الجزء المتعلق بـ "علاوة على ذلك". باستخراج العامل المشترك الأكبر من المعاملات، يمكننا كتابة${\displaystyle f=af'}$و${\displaystyle g=bg'}$حيث القاسم المشترك الأكبر لمعاملات${\displaystyle f',g'}$كلاهما يساوي 1. من الواضح أنه يكفي لإثبات الادعاء عندما${\displaystyle f,g}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle f',g'}$وبالتالي، نفترض أن القاسم المشترك الأكبر لمعاملات${\displaystyle f,g}$كلاهما يساوي 1. أما بقية البرهان فهي سهلة وواضحة إذا${\displaystyle R}$هي مجال تحليل فريد؛ لذا نقدم البرهان في هذه الحالة هنا (وانظر ^{[ ملاحظة 4 ]} للبرهان في حالة القاسم المشترك الأكبر). إذا${\displaystyle \gcd(\operatorname {cont} (fg))=(1)}$إذن، لا يوجد ما يُثبت. لذا، لنفترض خلاف ذلك؛ عندها يوجد عنصر غير وحدوي يقسم معاملات${\displaystyle fg}$بتحليل هذا العنصر إلى حاصل ضرب عناصر أولية، يمكننا اعتبار هذا العنصر عنصرًا أوليًا.${\displaystyle \pi }$والآن، لدينا:

${\displaystyle (\pi )={\sqrt {(\pi )}}\supset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}\supset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)}$.

وبالتالي، إما${\displaystyle (\pi )}$يتضمن${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$أو${\displaystyle \operatorname {cont} (g)}$؛ مما يتناقض مع القاسم المشترك الأكبر لمعاملات${\displaystyle f,g}$كلاهما 1.${\displaystyle \square }$

• ملاحظة : على نطاق القاسم المشترك الأكبر (مثل نطاق التحليل إلى عوامل وحيدة)، فإن القاسم المشترك الأكبر لجميع معاملات متعددة الحدود${\displaystyle f}$يُطلق على المحتوى، الفريد حتى عنصر الوحدة، أيضًا اسم محتوى${\displaystyle f}$.

يستنتج من مبرهنة جاوس أنه لكل مجال تحليل فريد${\displaystyle R}$، حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R[X_{1},X_{2},...,X_{n}]}$يُعدّ أيضًا مجال تحليل فريد (انظر #العبارات لمجالات التحليل الفريدة ). ويمكن استخدام مبرهنة جاوس لإثبات معيار أيزنشتاين لعدم الاختزال . وأخيرًا، يمكن استخدامها لإثبات أن كثيرات الحدود الدائرية (الوحدات الوحدوية ذات المعاملات الصحيحة) غير قابلة للاختزال.

تستلزم مبرهنة جاوس العبارة التالية:

• لو${\displaystyle f(x)}$هي متعددة حدود أحادية في متغير واحد بمعاملات في مجال تحليل فريد${\displaystyle R}$(أو بشكل أعم نطاق القاسم المشترك الأكبر)، ثم جذر${\displaystyle f}$هذا في مجال الكسور${\displaystyle F}$ل${\displaystyle R}$هو في${\displaystyle R}$[ ^{ملاحظة 5 ]}

لو${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ثم يقول إن الجذر النسبي لكثير الحدود أحادي المعامل على الأعداد الصحيحة هو عدد صحيح (انظر نظرية الجذر النسبي ). لتوضيح هذه العبارة، لنفترض${\displaystyle a/b}$كن جذرًا لـ${\displaystyle f}$في${\displaystyle F}$وافترض${\displaystyle a,b}$هي أعداد أولية نسبياً .${\displaystyle F[x]}$يمكننا الكتابة${\displaystyle f=(x-a/b)g}$مع${\displaystyle cg\in R[x]}$بالنسبة للبعض${\displaystyle c\in R}$. ثم

${\displaystyle cbf=(bx-a)cg}$

هو تحليل إلى عوامل في${\displaystyle R[x]}$. لكن${\displaystyle bx-a}$بدائي (بالمعنى المتبع في UFD) وبالتالي${\displaystyle cb}$يقسم معاملات${\displaystyle cg}$بحسب مبرهنة جاوس، وهكذا

${\displaystyle f=(bx-a)h}$

مع${\displaystyle h}$في${\displaystyle R[x]}$. منذ${\displaystyle f}$إذا كان أحاديًا، فهذا ممكن فقط عندما${\displaystyle b}$هي وحدة.

وتوضح حجة مماثلة ما يلي:

• يترك${\displaystyle R}$ليكن مجال القاسم المشترك الأكبر مع حقل الكسور${\displaystyle F}$و${\displaystyle f\in R[x]}$. لو${\displaystyle f=gh}$لبعض كثيرات الحدود${\displaystyle g\in R[x]}$هذا بدائي بالمعنى الذي تعنيه UFD و${\displaystyle h\in F[x]}$، ثم${\displaystyle h\in R[x]}$.

يشير بيان عدم الاختزال أيضًا إلى أن الحد الأدنى لكثير الحدود على الأعداد النسبية لعدد صحيح جبري له معاملات صحيحة.

• أتيياه، مايكل فرانسيس ؛ ماكدونالد، آي جي (1969)، مقدمة في الجبر التبادلي ، دار ويستفيو للنشر، رقم ISBN 978-0-201-40751-8
• أيزنبد، ديفيد (1995)، الجبر التبادلي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  150، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 ، ISBN 978-0-387-94268-1، MR 1322960 ، ISBN  978-0-387-94269-8