رقم جراشوف

قد تكون هذه المقالة تقنية للغاية بحيث يصعب على معظم القراء فهمها . يرجى المساعدة في تحسينها لجعلها مفهومة لغير المتخصصين ، دون إزالة التفاصيل التقنية. ( أغسطس 2014 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في ميكانيكا الموائع (وخاصة الديناميكا الحرارية للسوائل )، فإن رقم غراشوف ( Gr ، نسبة إلى فرانز غراشوف ^[a] ) هو رقم بلا أبعاد يقارب نسبة الطفو إلى قوى اللزوجة المؤثرة على السائل . وهو ينشأ غالبًا في دراسة المواقف التي تنطوي على الحمل الحراري الطبيعي وهو مماثل لرقم رينولدز ( Re ). ^[2]

الحمل الحراري الحر هو نتيجة لتغير كثافة السائل بسبب تغير درجة الحرارة أو التدرج . وعادة ما تقل الكثافة بسبب زيادة درجة الحرارة مما يتسبب في ارتفاع السائل. تحدث هذه الحركة بسبب قوة الطفو . والقوة الرئيسية التي تقاوم الحركة هي قوة اللزوجة . ويعد رقم جراشوف وسيلة لقياس القوى المعاكسة. ^[3]

رقم جراشوف هو:

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })L^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$للألواح المسطحة العمودية

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$للأنابيب والأجسام الصخرية

أين:

• g هو تسارع الجاذبية الأرضية
• β هو معامل التمدد الحجمي (يساوي تقريبًا 1/ T للغازات المثالية )
• Ts هي درجة حرارة _السطح
• T _∞ هي درجة الحرارة الكلية
• L هو الطول الرأسي
• د هو القطر
• ν هي اللزوجة الحركية .

تشير المؤشرات السفلية L و D إلى أساس مقياس الطول لرقم Grashof.

يحدث الانتقال إلى التدفق المضطرب في النطاق 10 ⁸ < Gr _L < 10 ⁹ للحمل الحراري الطبيعي من الصفائح المسطحة الرأسية. عند أرقام جراشوف الأعلى، تكون الطبقة الحدودية مضطربة؛ عند أرقام جراشوف المنخفضة، تكون الطبقة الحدودية رقائقية، أي في النطاق 10 ³ < Gr _L < 10 ⁶ .

هناك شكل مماثل لرقم جراشوف يستخدم في حالات مشاكل انتقال الكتلة بالحمل الحراري الطبيعي . في حالة انتقال الكتلة، يحدث الحمل الحراري الطبيعي بسبب تدرجات التركيز وليس تدرجات درجة الحرارة. ^[2]

$${\displaystyle \mathrm {Gr} _{c}={\frac {g\beta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{\nu ^{ 2}}}}$$

أين

$${\displaystyle \beta ^{*}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial C_{a}}}\right)_{T,p}}$$

و:

• g هو تسارع الجاذبية الأرضية
• C _a,s هو تركيز الأنواع a على السطح
• C _a,a هو تركيز النوع a في الوسط المحيط
• L هو الطول المميز
• ν هي اللزوجة الحركية
• ρ هي كثافة السائل
• C _a هو تركيز الأنواع a
• T هي درجة الحرارة (ثابتة)
• p هو الضغط (الثابت).

رقم رايلي ، الموضح أدناه، هو رقم بلا أبعاد يميز مشاكل الحمل الحراري في انتقال الحرارة. توجد قيمة حرجة لرقم رايلي ، والتي تحدث حركة السوائل فوقها. ^[3]

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} }$$

يمكن استخدام نسبة رقم غراشوف إلى مربع رقم رينولدز لتحديد ما إذا كان يمكن إهمال الحمل الحراري القسري أو الحر لنظام ما، أو إذا كان هناك مزيج من الاثنين . تُعرف هذه النسبة المميزة باسم رقم ريتشاردسون ( Ri ). إذا كانت النسبة أقل بكثير من واحد، فيمكن تجاهل الحمل الحراري الحر. إذا كانت النسبة أكبر بكثير من واحد، فيمكن تجاهل الحمل الحراري القسري. بخلاف ذلك، يكون النظام عبارة عن حمل حراري قسري وحر. ^[2]

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\gg 1\يتضمن {\text{تجاهل الحمل القسري}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\approx 1\implies {\text{الحمل الحراري القسري والحر المشترك}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\ll 1\يتضمن {\text{تجاهل الحمل الحراري}}}$

الخطوة الأولى لاستنتاج رقم غراشوف هي التلاعب بمعامل التمدد الحجمي، على النحو التالي. ${\displaystyle \mathrm {\beta } }$

$${\displaystyle \beta ={\frac {1}{v}}\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {-1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p}}$$

إن المعادلة أعلاه، التي تمثل الحجم النوعي ، ليست هي نفسها المعادلة في الأقسام اللاحقة من هذا الاشتقاق، والتي ستمثل السرعة. يمكن إعادة كتابة هذه العلاقة الجزئية لمعامل تمدد الحجم، ، فيما يتعلق بكثافة السائل، ، عند الضغط الثابت، على النحو التالي${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathrm {\beta } }$${\displaystyle \mathrm {\rho } }$

$${\displaystyle \rho =\rho _{0}(1-\بيتا \دلتا T)}$$

أين:

• ${\displaystyle \rho _{0}}$هي كثافة السائل السائب
• ${\displaystyle \rho }$هي كثافة الطبقة الحدودية
• ${\displaystyle \دلتا T=(T-T_{0})}$، الفرق في درجة الحرارة بين طبقة الحدود والسائل السائب.

هناك طريقتان مختلفتان لإيجاد رقم جراشوف من هذه النقطة. تتضمن الطريقة الأولى معادلة الطاقة بينما تتضمن الطريقة الأخرى قوة الطفو الناتجة عن الفرق في الكثافة بين الطبقة الحدودية والسائل الكلي.

تتناول هذه المناقشة معادلة الطاقة فيما يتعلق بالتدفق المتماثل الدوراني. وسيأخذ هذا التحليل في الاعتبار تأثير تسارع الجاذبية على التدفق ونقل الحرارة. تنطبق المعادلات الرياضية التالية على كل من التدفق المتماثل الدوراني وكذلك التدفق المستوي ثنائي الأبعاد.

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}(\rho ur_{0}^{n})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho vr_{0}^{n})=0}$$

أين:

• ${\displaystyle s}$هو اتجاه الدوران أي الاتجاه الموازي للسطح
• ${\displaystyle u}$هي السرعة المماسية، أي السرعة الموازية للسطح
• ${\displaystyle y}$هو الاتجاه المستوي، أي الاتجاه العمودي على السطح
• ${\displaystyle v}$هي السرعة العمودية، أي السرعة العمودية على السطح
• ${\displaystyle r_{0}}$هو نصف القطر.

في هذه المعادلة، يتم استخدام الرمز العلوي n للتمييز بين التدفق المتماثل دورانيًا والتدفق المستوي. تنطبق الخصائص التالية لهذه المعادلة.

• ${\displaystyle n}$= 1: تدفق متماثل دورانيًا
• ${\displaystyle n}$= 0: تدفق مستوي ثنائي الأبعاد
• ${\displaystyle g}$هو تسارع الجاذبية

تتوسع هذه المعادلة إلى ما يلي مع إضافة خصائص السوائل الفيزيائية:

$${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right)-{\frac {dp}{ds}}+\rho g.}$$

ومن هنا، يمكننا تبسيط معادلة الزخم بشكل أكبر عن طريق ضبط سرعة السائل الكلي إلى 0 ( ). ${\displaystyle u=0}$

$${\displaystyle {\frac {dp}{ds}}=\rho _{0}g}$$

تُظهر هذه العلاقة أن تدرج الضغط هو ببساطة حاصل ضرب كثافة السائل الكلي وتسارع الجاذبية. والخطوة التالية هي إدخال تدرج الضغط في معادلة الزخم.

$${\displaystyle \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+g{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho }}=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

حيث تم استبدال معامل التمدد الحجمي لعلاقة الكثافة المذكورة أعلاه وعلاقة اللزوجة الحركية في معادلة الزخم.${\displaystyle \rho -\rho _{0}=-\rho _{0}\beta (T-T_{0})}$${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$$${\displaystyle u\left({\frac {\partial u}{\partial s}}\right)+v\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

لإيجاد رقم غراشوف من هذه النقطة، يجب أن تكون المعادلة السابقة غير ذات أبعاد. وهذا يعني أن كل متغير في المعادلة يجب ألا يكون له بعد ويجب أن يكون بدلاً من ذلك نسبة مميزة لهندسة وإعداد المشكلة. يتم ذلك عن طريق قسمة كل متغير على كميات ثابتة مقابلة. يتم تقسيم الأطوال على طول مميز، . يتم تقسيم السرعات على سرعات مرجعية مناسبة، ، والتي، مع مراعاة رقم رينولدز، تعطي . يتم تقسيم درجات الحرارة على الفرق المناسب في درجة الحرارة، . تبدو هذه المعلمات عديمة الأبعاد كما يلي: ${\displaystyle L_{c}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V={\frac {\mathrm {Re} _{L}\nu }{L_{c}}}}$${\displaystyle (T_{s}-T_{0})}$

• ${\displaystyle s^{*}={\frac {s}{L_{c}}}}$,
• ${\displaystyle y^{*}={\frac {y}{L_{c}}}}$,
• ${\displaystyle u^{*}={\frac {u}{V}}}$,
• ${\displaystyle v^{*}={\frac {v}{V}}}$، و
• ${\displaystyle T^{*}={\frac {(T-T_{0})}{(T_{s}-T_{0})}}}$.

تمثل النجوم معلمة بلا أبعاد. يؤدي الجمع بين هذه المعادلات بلا أبعاد ومعادلات الزخم إلى الحصول على المعادلة المبسطة التالية.

${\displaystyle u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=-\left[{\frac {\rho _{0}g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\rho \nu ^{2}\mathrm {Re} _{L}^{2}}}\right]T^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

${\displaystyle =-\left({\frac {\rho _{0}}{\rho }}\right)\left[{\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

أين:

${\displaystyle T_{s}}$هي درجة حرارة السطح

${\displaystyle T_{0}}$هي درجة حرارة السائل السائب

${\displaystyle L_{c}}$هو الطول المميز.

المعامل عديم الأبعاد الموجود بين قوسين في المعادلة السابقة يعرف باسم رقم غراشوف:

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}.}$

هناك شكل آخر من أشكال التحليل البعدي الذي يؤدي إلى رقم غراشوف يُعرف باسم نظرية باكنغهام π . تأخذ هذه الطريقة في الاعتبار قوة الطفو لكل وحدة حجم، بسبب اختلاف الكثافة في الطبقة الحدودية والسائل السائب. ${\displaystyle F_{b}}$

$${\displaystyle F_{b}=(\rho -\rho _{0})g}$$

يمكن التلاعب بهذه المعادلة لإعطاء،

$${\displaystyle F_{b}=-\beta g\rho _{0}\Delta T.}$$

توجد أدناه قائمة المتغيرات المستخدمة في طريقة Buckingham π، إلى جانب رموزها وأبعادها.

عامل	رمز	أبعاد
طول كبير	${\displaystyle L}$	${\displaystyle \mathrm {L} }$
لزوجة السوائل	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {M}{Lt}} }$
السعة الحرارية للسوائل	${\displaystyle c_{p}}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{MT}} }$
التوصيل الحراري للسوائل	${\displaystyle k}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{LtT}} }$
معامل التمدد الحجمي	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {1}{T}} }$
تسارع الجاذبية	${\displaystyle g}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {L}{t^{2}}} }$
فرق درجة الحرارة	${\displaystyle \Delta T}$	${\displaystyle \mathrm {T} }$
معامل انتقال الحرارة	${\displaystyle h}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{L^{2}tT}} }$

بالإشارة إلى نظرية باكنغهام π، هناك 9 – 5 = 4 مجموعات بلا أبعاد. اختر L و k و g و كمتغيرات مرجعية. وبالتالي تكون المجموعات كما يلي: ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{1}=L^{a}\mu ^{b}k^{c}\beta ^{d}g^{e}c_{p}}$,

${\displaystyle \pi _{2}=L^{f}\mu ^{g}k^{h}\beta ^{i}g^{j}\rho }$,

${\displaystyle \pi _{3}=L^{k}\mu ^{l}k^{m}\beta ^{n}g^{o}\Delta T}$,

${\displaystyle \pi _{4}=L^{q}\mu ^{r}k^{s}\beta ^{t}g^{u}h}$.

حل هذه المجموعات يعطي: ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\mu (c_{p})}{k}}=\mathrm {Pr} }$,

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {l^{3}g\rho ^{2}}{\mu ^{2}}}}$,

${\displaystyle \pi _{3}=\beta \Delta T}$,

${\displaystyle \pi _{4}={\frac {hL}{k}}=\mathrm {Nu} }$

من المجموعتين والناتج يشكل رقم غراشوف: ${\displaystyle \pi _{2}}$${\displaystyle \pi _{3},}$

${\displaystyle \pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}}{\mu ^{2}}}=\mathrm {Gr} .}$

من الممكن أن نحصل على المعادلة السابقة بنفس النتيجة من خلال استنباط رقم جراشوف من معادلة الطاقة. ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$${\displaystyle \Delta T=(T_{s}-T_{0})}$

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\beta g\Delta TL^{3}}{\nu ^{2}}}}$

في الحمل الحراري القسري، يتحكم رقم رينولدز في تدفق السوائل. ولكن في الحمل الحراري الطبيعي، يكون رقم جراشوف هو المعامل عديم الأبعاد الذي يتحكم في تدفق السوائل. يوفر استخدام معادلة الطاقة والقوة الطافية مع التحليل البعدي طريقتين مختلفتين لاستنتاج رقم جراشوف.

ومن الممكن أيضًا استنتاج عدد غراشوف من خلال التعريف الفيزيائي للعدد على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\mathrm {Buoyancy~Force} }{\mathrm {Friction~Force} }}={\frac {mg}{\tau A}}={\frac {L^{3}\rho \beta (\Delta T)g}{\mu (V/L)L^{2}}}={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu V}}}$$

ومع ذلك، فإن التعبير أعلاه، وخاصة الجزء الأخير على الجانب الأيمن، يختلف قليلاً عن رقم جراشوف الذي يظهر في المراجع. ويمكن استخدام مقياس الأبعاد الصحيح من حيث اللزوجة الديناميكية للحصول على الشكل النهائي.

$${\displaystyle \mathrm {\mu } =\rho VL}$$الكتابة فوق المقياس في Gr تعطي؛

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {L^{3}\beta (\Delta T)g}{\nu ^{2}}}}$$إن التفكير الفيزيائي مفيد لفهم معنى الرقم. ومن ناحية أخرى، يمكن استخدام تعريف السرعة التالي كقيمة سرعة مميزة لجعل سرعات معينة غير ذات أبعاد.

$${\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu Gr}}}$$

في بحث حديث أجري حول تأثيرات رقم جراشوف على تدفق السوائل المختلفة المدفوعة بالحمل الحراري على أسطح مختلفة. ^[4] باستخدام منحدر خط الانحدار الخطي من خلال نقاط البيانات، استنتج أن الزيادة في قيمة رقم جراشوف أو أي معلمة مرتبطة بالطفو تعني زيادة في درجة حرارة الجدار وهذا يجعل الرابطة (الروابط) بين السائل تصبح أضعف، وقوة الاحتكاك الداخلي تنخفض، والجاذبية تصبح أقوى بما يكفي (أي تجعل الوزن النوعي مختلفًا بشكل ملحوظ بين طبقات السوائل المباشرة المجاورة للجدار). تكون تأثيرات معلمة الطفو مهمة للغاية في التدفق الصفحي داخل الطبقة الحدودية المتكونة على أسطوانة تتحرك رأسياً. لا يمكن تحقيق ذلك إلا عند مراعاة درجة حرارة السطح الموصوفة (PST) وتدفق الحرارة الموصوفة للجدار (WHF). يمكن استنتاج أن معلمة الطفو لها تأثير إيجابي مهمل على رقم نوسلت المحلي. هذا صحيح فقط عندما يكون حجم رقم براندتل صغيرًا أو عند مراعاة تدفق الحرارة الموصوفة للجدار (WHF). رقم شيروود، ورقم بيجان، وتوليد الإنتروبيا، ورقم ستانتون، وتدرج الضغط هي خصائص متزايدة لمعامل الطفو، في حين أن أنماط التركيز، وقوة الاحتكاك، والكائنات الحية الدقيقة المتحركة هي خصائص متناقصة.

• سينجل، يونس أ. (2003). انتقال الحرارة والكتلة: نهج عملي (الطبعة الثالثة). بوسطن: ماكجرو هيل.
• إيكرت، إرنست آر جي ؛ دريك، روبرت إم. (1972). تحليل انتقال الحرارة والكتلة . نيويورك: ماكجرو هيل.
• جالوريا، يوجيش (1980). انتقال الحرارة والكتلة بالحمل الطبيعي . نيويورك: مطبعة بيرغامون.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• ويلتي، جيمس ر. (1976). أساسيات الزخم والحرارة وانتقال الكتلة . نيويورك: جون وايلي وأولاده.