وظيفة جرين

في الرياضيات ، دالة جرين (أو دالة جرين ) هي استجابة النبضة لمشغل تفاضلي خطي غير متجانس يتم تعريفه على مجال بشروط أولية أو شروط حدودية محددة.

وهذا يعني أنه إذا كان عامل تفاضلي خطي، إذن ${\displaystyle L}$

• دالة جرين هي حل المعادلة ، حيث هي دالة دلتا ديراك ؛${\displaystyle G}$${\displaystyle LG=\delta }$${\displaystyle \delta }$
• الحل لمشكلة القيمة الأولية هو الالتفاف ( ).${\displaystyle لي=ف}$ ${\displaystyle G\ast f}$

من خلال مبدأ التراكب ، نظرًا لمعادلة تفاضلية عادية خطية (ODE)، ، يمكننا أولاً حل ، لكل s ، وإدراك أنه نظرًا لأن المصدر هو مجموع دوال دلتا ، فإن الحل هو مجموع دوال جرين أيضًا، من خلال خطية L.${\displaystyle لي=ف}$${\displaystyle LG=\delta _{s}}$

سميت دوال جرين على اسم عالم الرياضيات البريطاني جورج جرين ، الذي طور المفهوم لأول مرة في عشرينيات القرن التاسع عشر. في الدراسة الحديثة لمعادلات التفاضل الجزئي الخطية ، تتم دراسة دوال جرين إلى حد كبير من وجهة نظر الحلول الأساسية بدلاً من ذلك.

في ظل نظرية الأجسام المتعددة ، يُستخدم المصطلح أيضًا في الفيزياء ، وتحديدًا في نظرية المجال الكمومي ، والديناميكا الهوائية ، والصوتيات الهوائية ، والديناميكا الكهربائية ، وعلم الزلازل ، ونظرية المجال الإحصائي ، للإشارة إلى أنواع مختلفة من وظائف الارتباط ، حتى تلك التي لا تناسب التعريف الرياضي. في نظرية المجال الكمومي، تلعب وظائف جرين دور المروج .

دالة جرين، G ( x , s ) ، لمشغل تفاضلي خطي L = L ( x ) يعمل على التوزيعات على مجموعة فرعية من الفضاء الإقليدي ، عند النقطة s ، هي أي حل لـ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle L\,G(x,s)=\delta (sx)\,,}$$

( 1 )

حيث δ هي دالة دلتا ديراك . يمكن استغلال خاصية دالة جرين لحل المعادلات التفاضلية من النموذج

$${\displaystyle L\,u(x)=f(x)\,.}$$

( 2 )

إذا كانت نواة L غير تافهة، فإن دالة جرين ليست فريدة. ومع ذلك، في الممارسة العملية، فإن بعض التركيبات من التناظر وشروط الحدود و /أو معايير أخرى مفروضة خارجيًا ستعطي دالة جرين فريدة. يمكن تصنيف دوال جرين، حسب نوع شروط الحدود التي تم تلبيتها، حسب رقم دالة جرين . أيضًا، دوال جرين بشكل عام هي توزيعات ، وليست بالضرورة دوال لمتغير حقيقي.

تُعد دوال جرين أيضًا أدوات مفيدة في حل معادلات الموجة ومعادلات الانتشار . في ميكانيكا الكم ، تُعد دالة جرين للهاميلتونيان مفهومًا رئيسيًا له روابط مهمة بمفهوم كثافة الحالات .

دالة جرين كما تستخدم في الفيزياء عادة ما يتم تعريفها بالإشارة المعاكسة، أي أن هذا التعريف لا يغير بشكل كبير أيًا من خصائص دالة جرين بسبب تساوي دالة دلتا ديراك. $${\displaystyle LG(x,s)=\delta (xs)\,.}$$

إذا كان المشغل ثابتًا في الترجمة ، أي عندما يكون له معاملات ثابتة بالنسبة إلى x ، فيمكن اعتبار دالة جرين نواة التفاف ، أي في هذه الحالة، تكون دالة جرين هي نفسها استجابة النبضة لنظرية النظام الخطي الثابت في الزمن . ${\displaystyle L}$$${\displaystyle G(x,s)=G(xs)\,.}$$

وبعبارة فضفاضة، إذا كان من الممكن إيجاد مثل هذه الدالة G للمشغل L ، فإذا ضربنا المعادلة 1 لدالة جرين في f ( s ) ، ثم قمنا بالتكامل بالنسبة إلى s ، نحصل على، لأن المشغل خطي ويعمل فقط على المتغير x ( وليس على متغير التكامل s )، فيمكننا أخذ المشغل خارج التكامل، مما ينتج عنه هذا يعني أن $${\displaystyle \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (xs)\,f(s)\,ds=f(x)\,.}$$${\displaystyle L=L(x)}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.}$$

$${\displaystyle u(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds}$$

( 3 )

هو حل للمعادلة${\displaystyle Lu(x)=f(x)\,.}$

وبالتالي ، يمكن الحصول على الدالة u ( x ) من خلال معرفة دالة جرين في المعادلة 1 والمصطلح المصدر على الجانب الأيمن في المعادلة 2. وتعتمد هذه العملية على خطية العامل L.

بعبارة أخرى، يمكن تحديد حل المعادلة 2 ، u ( x ) ، من خلال التكامل المعطى في المعادلة 3. وعلى الرغم من معرفة f ( x ) ، لا يمكن إجراء هذا التكامل إلا إذا كانت G معروفة أيضًا. تكمن المشكلة الآن في إيجاد دالة جرين G التي تلبي المعادلة 1. ولهذا السبب ، تسمى دالة جرين أحيانًا أيضًا الحل الأساسي المرتبط بالمشغل L.

لا تقبل كل العمليات دالة جرين. يمكن أيضًا اعتبار دالة جرين معكوسًا أيمنًا لـ L. وبصرف النظر عن الصعوبات المتمثلة في إيجاد دالة جرين لمشغل معين، فقد يكون من الصعب جدًا تقييم التكامل في المعادلة 3. ومع ذلك، تقدم الطريقة نتيجة دقيقة من الناحية النظرية.${\displaystyle L}$

يمكن اعتبار ذلك بمثابة توسع لـ f وفقًا لأساس دالة دلتا ديراك (إسقاط f على ؛ وتراكب الحل على كل إسقاط . تُعرف مثل هذه المعادلة التكاملية بمعادلة فريدهولم التكاملية ، والتي تشكل دراستها نظرية فريدهولم . ${\displaystyle \delta (xs)}$

الاستخدام الأساسي لوظائف جرين في الرياضيات هو حل مشكلات القيمة الحدية غير المتجانسة . في الفيزياء النظرية الحديثة ، تُستخدم وظائف جرين عادةً أيضًا كموزعات في مخططات فاينمان ؛ غالبًا ما يُستخدم مصطلح وظيفة جرين لأي دالة ارتباط .

ليكن عامل Sturm–Liouville ، عامل تفاضلي خطي من النموذج وليكن عامل شروط الحدود بقيمة متجهية${\displaystyle L}$$${\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}$$${\displaystyle \mathbf {D} }$$${\displaystyle \mathbf {D} u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ إل )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.}$$

ليكن دالة مستمرة في . افترض أيضًا أن المشكلة "عادية"، أي أن الحل الوحيد لـ لكل x هو . ^[أ]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [0,\ell ]\,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle u(x)=0}$

هناك حل واحد فقط يلبي الشروط ويعطى بواسطة حيث تكون دالة جرين تلبي الشروط التالية: ${\displaystyle u(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$$${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,}$$${\displaystyle G(x,s)}$

1. ${\displaystyle G(x,s)}$مستمرة في و .${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$
2. ل ، .${\displaystyle x\neq s\,}$   ${\displaystyle LG(x,s)=0}$
3. ل ، .${\displaystyle s\neq 0\,}$   ${\displaystyle \mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0} }$
4. المشتق "القفزة": .  ${\displaystyle G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,}$
5. التماثل: .  ${\displaystyle G(x,s)=G(s,x)\,}$

لا تعتبر دالة جرين فريدة بالضرورة، حيث أن إضافة أي حل للمعادلة المتجانسة إلى دالة جرين واحدة ينتج عنها دالة جرين أخرى. لذلك، إذا كانت المعادلة المتجانسة تحتوي على حلول غير تافهة، فإن دوال جرين المتعددة موجودة. في بعض الحالات، من الممكن العثور على دالة جرين واحدة غير متلاشية فقط لـ ، والتي تسمى دالة جرين المتخلفة، ودالة جرين أخرى غير متلاشية فقط لـ ، والتي تسمى دالة جرين المتقدمة. في مثل هذه الحالات، فإن أي تركيبة خطية من دالتي جرين هي أيضًا دالة جرين صالحة. المصطلحان المتقدم والمتخلف مفيدان بشكل خاص عندما يتوافق المتغير x مع الوقت. في مثل هذه الحالات، يعتمد الحل المقدم باستخدام دالة جرين المتخلفة فقط على المصادر الماضية ويكون سببيًا بينما يعتمد الحل المقدم باستخدام دالة جرين المتقدمة فقط على المصادر المستقبلية ويكون غير سببي. في هذه المشكلات، غالبًا ما يكون الحل السببي هو الحل المهم فيزيائيًا. يعد استخدام دالة جرين المتقدمة والمتأخرة شائعًا بشكل خاص لتحليل حلول معادلة الموجة الكهرومغناطيسية غير المتجانسة . ${\displaystyle s\leq x}$${\displaystyle s\geq x}$

في حين أنه لا يحدد بشكل فريد الشكل الذي ستتخذه دالة جرين، فإن إجراء تحليل أبعادي لإيجاد الوحدات التي يجب أن تكون لدالة جرين هو فحص عقلاني مهم لأي دالة جرين تم العثور عليها من خلال وسائل أخرى. يُظهر الفحص السريع للمعادلة المحددة أن وحدات تعتمد ليس فقط على وحدات ولكن أيضًا على عدد ووحدات الفضاء الذي تكون متجهات الموضع و عناصره. يؤدي هذا إلى العلاقة: حيث يتم تعريفها على أنها "الوحدات الفيزيائية لـ " ^{[ بحاجة لشرح إضافي ]} ، و هو عنصر الحجم للفضاء (أو الزمكان ). $${\displaystyle LG(x,s)=\delta (xs),}$$${\displaystyle G}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle [[G]]=[[L]]^{-1}[[dx]]^{-1},}$$${\displaystyle [[G]]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle dx}$

على سبيل المثال، إذا كان و الزمن هو المتغير الوحيد، فإن: إذا كان و عامل دالمبيرت و الفضاء يحتوي على 3 أبعاد، فإن: ${\displaystyle L=\partial _{t}^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{time}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]],\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]].\end{aligned}}}$$${\displaystyle L=\square ={\tfrac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{length}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]][[{\text{length}}]]^{3},\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]]^{-1}[[{\text{length}}]]^{-1}.\end{aligned}}}$$

إذا كان عامل التفاضل L يسمح بمجموعة من المتجهات الذاتية Ψ _n ( x ) (أي مجموعة من الدوال Ψ _n والمتغيرات القياسية λ _n بحيث L Ψ _n = λ _n Ψ _n  ) وهي مكتملة، فمن الممكن إنشاء دالة جرين من هذه المتجهات الذاتية والقيم الذاتية .

"كاملة" تعني أن مجموعة الدوال {Ψ _n } تلبي علاقة الاكتمال التالية ، $${\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x').}$$

ثم يأتي التالي:

حيث يمثل الاقتران المعقد. ${\displaystyle \dagger }$

يؤدي تطبيق العامل L على كل جانب من هذه المعادلة إلى علاقة الاكتمال التي تم افتراضها.

الدراسة العامة لدالة جرين المكتوبة بالشكل أعلاه، وعلاقتها بمساحات الدالة التي تشكلها المتجهات الذاتية، تُعرف باسم نظرية فريد هولم .

هناك عدة طرق أخرى لإيجاد دوال جرين، بما في ذلك طريقة الصور ، وفصل المتغيرات ، وتحويلات لابلاس . ^[1]

إذا كان من الممكن تحليل عامل التفاضل على أنه، فيمكن إنشاء دالة جرين من دوال جرين لـ و : تتبع الهوية أعلاه على الفور من أخذ أن يكون تمثيل العامل الأيمن المعكوس لـ ، على غرار كيف بالنسبة للعامل الخطي القابل للعكس ، المحدد بواسطة ، يتم تمثيله بواسطة عناصر المصفوفة الخاصة به .${\displaystyle L}$${\displaystyle L=L_{1}L_{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$ $${\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.}$$${\displaystyle G(x,s)}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$${\displaystyle C_{i,j}}$

تتبع هوية أخرى للمشغلات التفاضلية التي هي كثيرات حدود قياسية للمشتقة، . تضمن النظرية الأساسية للجبر ، جنبًا إلى جنب مع حقيقة أن يتبادل مع نفسه ، أنه يمكن تحليل كثيرات الحدود، ووضعها في الشكل: حيث توجد أصفار . بأخذ تحويل فورييه لـ بالنسبة إلى كل من و يعطي: يمكن بعد ذلك تقسيم الكسر إلى مجموع باستخدام تحلل الكسور الجزئية قبل تحويل فورييه مرة أخرى إلى والفضاء . تنتج هذه العملية هويات تربط بين تكاملات دوال جرين ومجموعات نفس الشيء. على سبيل المثال، إذا كان أحد أشكال دالة جرين هو: في حين أن المثال المقدم قابل للتحليل تحليليًا، إلا أنه يوضح عملية تعمل عندما لا يكون التكامل تافهًا (على سبيل المثال، عندما يكون المشغل في كثيرات الحدود). ${\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})}$${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle L}$$${\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),}$$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle P_{N}(z)}$${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\displaystyle L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \nabla ^{2}}$

يقدم الجدول التالي نظرة عامة على دوال جرين للمشغلات التفاضلية التي تظهر بشكل متكرر، حيث ، ، هي دالة خطوة هيفيسايد ، هي دالة بيسل ، هي دالة بيسل معدلة من النوع الأول ، و هي دالة بيسل معدلة من النوع الثاني . ^[2] حيث يظهر الوقت ( t ) في العمود الأول، يتم سرد دالة جرين المتأخرة (السببية). ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ ${\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle \Theta (t)}$${\textstyle J_{\nu }(z)}$${\textstyle I_{\nu }(z)}$${\textstyle K_{\nu }(z)}$

عامل التفاضل L	دالة جرين G	مثال للتطبيق
${\displaystyle \partial _{t}^{n+1}}$	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)}$
${\displaystyle \partial _{t}+\gamma }$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)te^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$أين${\displaystyle \gamma <\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}}$   مع   ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$	مذبذب توافقي منخفض التخميد أحادي الأبعاد
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$أين${\displaystyle \gamma >\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sinh(\omega t)}{\omega }}}$   مع   ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$	مذبذب توافقي مفرط التخميد أحادي الأبعاد
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$أين${\displaystyle \gamma =\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}t}$	مذبذب توافقي مخفف بشكل حرج أحادي الأبعاد
عامل لابلاس أحادي الأبعاد${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$	${\displaystyle \left(x-s\right)\Theta (x-s)+x\alpha (s)+\beta (s)}$	معادلة بواسون أحادية الأبعاد
عامل لابلاس ثنائي الأبعاد ${\displaystyle \nabla _{\text{2D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho }$   مع   ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	معادلة بواسون ثنائية الأبعاد
عامل لابلاس ثلاثي الأبعاد ${\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{4\pi r}}}$   مع   ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$	معادلة بواسون
مشغل هلمهولتز ${\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}+k^{2}}$	${\displaystyle {\frac {-e^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}H_{1/2}^{(2)}(kr)=i{\frac {k}{4\pi }}\,h_{0}^{(2)}(kr)}$   أين   هي دالة هانكل من النوع الثاني ، و   هي دالة هانكل الكروية من النوع الثاني${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}}$${\displaystyle h_{0}^{(2)}}$	معادلة شرودنجر ثلاثية الأبعاد الثابتة للجسيمات الحرة
عامل التباعد${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\right\|^{3}}}}$
${\displaystyle \nabla ^{2}-k^{2}}$في الأبعاد${\displaystyle n}$	${\displaystyle -\left(2\pi \right)^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}$	جهد يوكاوا ، مروج فينمان ، معادلة بواسون المحجوبة
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (t-|x/c|)}$	معادلة الموجة أحادية الأبعاد
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)}$	معادلة الموجة ثنائية الأبعاد
مشغل دالمبيرت ${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\delta (t-{r}/{c})}{4\pi r}}}$	معادلة الموجة ثلاثية الأبعاد
${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\Theta (t)e^{-x^{2}/4kt}}$	انتشار أحادي الأبعاد
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\Theta (t)e^{-\rho ^{2}/4kt}}$	انتشار ثنائي الأبعاد
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\Theta (t)e^{-r^{2}/4kt}}$	انتشار ثلاثي الأبعاد
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)\left(\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right)+\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}(\mu u)\right]}$   مع   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	معادلة كلاين-جوردون أحادية البعد
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{2D}}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[\left(1+\cos(\mu ct)\right){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} (\mu u)\right]}$   مع   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	معادلة كلاين-جوردون ثنائية الأبعاد
${\displaystyle \square +\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta {\left(t-{\frac {r}{c}}\right)}}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}{\left(\mu u\right)}}{u}}\right]}$   مع   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	معادلة كلاين-جوردون ثلاثية الأبعاد
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-|x|)\left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}\right)\right]}$   مع   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	معادلة التلغراف
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[\left(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t\right){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma u^{2}-3c^{2}t}{cu^{3}}}\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {3\gamma t}{u^{2}}}\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right]}$   مع   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	التوصيل الحراري النسبي ثنائي الأبعاد
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}+{\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}\right)\right]}$   مع   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	التوصيل الحراري النسبي ثلاثي الأبعاد

يمكن استخدام وظائف جرين للمشغلات التفاضلية الخطية التي تتضمن لابلاس بسهولة باستخدام الثانية من هويات جرين .

لاستنتاج نظرية جرين، ابدأ بنظرية التباعد (المعروفة أيضًا باسم نظرية جاوس )، $${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.}$$

دعونا نعوض في قانون جاوس. ${\displaystyle \mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }$

احسب وطبق قاعدة الضرب لمشغل ∇، ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}$$

يؤدي إدخال هذا في نظرية التباعد إلى إنتاج نظرية جرين ، $${\displaystyle \int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.}$$

افترض أن عامل التفاضل الخطي L هو لابلاسيان ، ∇ ² ، وأن هناك دالة جرين G للابلاسيان. لا تزال الخاصية المحددة لدالة جرين قائمة، $${\displaystyle LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').}$$

دعونا ندخل في هوية جرين الثانية، انظر هويات جرين . ثم، ${\displaystyle \psi =G}$$${\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

باستخدام هذا التعبير، من الممكن حل معادلة لابلاس ∇ ² φ ( x ) = 0 أو معادلة بواسون ∇ ² φ ( x ) = − ρ ( x ) ، مع مراعاة شروط حدود نيومان أو ديريتشليت . بعبارة أخرى، يمكننا الحل لـ φ ( x ) في كل مكان داخل الحجم حيث (1) تكون قيمة φ ( x ) محددة على السطح المحيط بالحجم (شروط حدود ديريتشليت)، أو (2) تكون المشتقة العمودية لـ φ ( x ) محددة على السطح المحيط (شروط حدود نيومان).

افترض أن المشكلة هي الحل لـ φ ( x ) داخل المنطقة. ثم يتم تقليل التكامل إلى φ ( x ) ببساطة بسبب الخاصية المحددة لدالة دلتا ديراك ولدينا $${\displaystyle \int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '}$$$${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

يعبر هذا الشكل عن الخاصية المعروفة للدوال التوافقية ، وهي أنه إذا كانت القيمة أو المشتقة العمودية معروفة على سطح محدد، فإن قيمة الدالة داخل الحجم تكون معروفة في كل مكان .

في الكهروستاتيكية ، يتم تفسير φ ( x ) على أنه الجهد الكهربائي ، و ρ ( x ) على أنها كثافة الشحنة الكهربائية ، والمشتق العمودي على أنه المكون العمودي للمجال الكهربائي. ${\displaystyle \nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}$

إذا كانت المشكلة هي حل مشكلة قيمة حدود ديريتشليت، فيجب اختيار دالة جرين بحيث تختفي G ( x ، x ′) عندما يكون x أو x′ على السطح المحدد. وبالتالي يبقى أحد الحدين فقط في التكامل السطحي . إذا كانت المشكلة هي حل مشكلة قيمة حدود نيومان، فقد يبدو من المنطقي اختيار دالة جرين بحيث يختفي مشتقها الطبيعي على السطح المحدد. ومع ذلك، فإن تطبيق نظرية جاوس على المعادلة التفاضلية التي تحدد دالة جرين يعطي معنى مفاده أن المشتق الطبيعي لـ G ( x ، x ′) لا يمكن أن يختفي على السطح، لأنه يجب أن يتكامل إلى 1 على السطح. ^[3]$${\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,}$$

أبسط شكل يمكن أن يأخذه المشتق الطبيعي هو شكل ثابت، أي 1/ S ، حيث S هي مساحة السطح. يصبح حد السطح في الحل حيث هو القيمة المتوسطة للجهد الكهربي على السطح. هذا الرقم غير معروف بشكل عام، ولكنه غالبًا ما يكون غير مهم، حيث يكون الهدف غالبًا هو الحصول على المجال الكهربائي المعطى بواسطة تدرج الجهد الكهربي، وليس الجهد الكهربي نفسه. $${\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}}$$${\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}$

بدون شروط حدودية، تكون دالة جرين لمعادلة لابلاس ( دالة جرين لمعادلة لابلاس ثلاثية المتغيرات ) هي $${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.}$$

بافتراض أن السطح المحدد يمتد إلى ما لا نهاية، وإدخال هذا التعبير لدالة جرين يعطي في النهاية التعبير القياسي للإمكانات الكهربائية من حيث كثافة الشحنة الكهربائية كما يلي:

أوجد دالة جرين للمسألة التالية، حيث يكون رقم دالة جرين هو X11: $${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)=0.\end{aligned}}}$$

الخطوة الأولى: يتم تعريف دالة جرين للمشغل الخطي الحالي على أنها الحل لـ

$${\displaystyle G''(x,s)+k^{2}G(x,s)=\delta (x-s).}$$

(المعادلة * )

إذا ، فإن دالة دلتا تعطي صفرًا، والحل العام هو ${\displaystyle x\neq s}$$${\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}$$

بالنسبة إلى ، فإن الشرط الحدودي عند يستلزم إذا و . ${\displaystyle x<s}$${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}$$${\displaystyle x<s}$${\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}$

بالنسبة لـ ، فإن الشرط الحدودي عند يعني ${\displaystyle x>s}$${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}}$$${\displaystyle G\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}$$

يتم تخطي المعادلة لأسباب مماثلة. ${\displaystyle G(0,s)=0}$

ولتلخيص النتائج حتى الآن: $${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}$$

الخطوة الثانية: المهمة التالية هي تحديد و .${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$

إن ضمان الاستمرارية في وظيفة الخضر يعني ${\displaystyle x=s}$$${\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}$$

يمكن ضمان عدم الاستمرارية المناسبة في المشتقة الأولى عن طريق تكامل المعادلة التفاضلية المحددة (أي المعادلة * ) من إلى وأخذ الحد كما يذهب إلى الصفر. لاحظ أننا نقوم فقط بتكامل المشتقة الثانية حيث سيكون الحد المتبقي متصلاً بالإنشاء. ${\displaystyle x=s-\varepsilon }$${\displaystyle x=s+\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}$$

يمكن حل معادلتي عدم الاستمرارية للحصول على ${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$$${\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}$$

لذا فإن دالة جرين لهذه المشكلة هي: $${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}$$

• ليكن n = 1 وليكن المجموعة الجزئية هي كل R. وليكن L هو . إذن، تكون دالة هيفيسايد المتدرجة Θ( x − x ₀ ) دالة جرين لـ L عند x ₀ .${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$
• ليكن n = 2 وليكن المجموعة الجزئية هي ربع المستوى {( x , y ) : x , y ≥ 0} وليكن L هو لابلاس . افترض أيضًا أن شرط حدود دي ريتشليه مفروض عند x = 0 وشرط حدود نيومان مفروض عند y = 0. عندئذٍ تكون دالة X10Y20 Green هي$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}$$
• ليكن ، و جميع الثلاثة عناصر من الأعداد الحقيقية. إذن، لأي دالة ذات مشتقة سالبة قابلة للتكامل على الفترة : دالة جرين في المعادلة أعلاه، ، ليست فريدة. كيف يتم تعديل المعادلة إذا أضيفت إلى ، حيث يفي بجميع (على سبيل المثال، مع )؟ قارن أيضًا المعادلة أعلاه بشكل متسلسلة تايلور التي مركزها .${\displaystyle a<x<b}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle [a,b]}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.}$$${\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)}$${\displaystyle g(x-s)}$${\displaystyle G(x,s)}$${\displaystyle g(x)}$${\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}$${\displaystyle x\in [a,b]}$${\displaystyle g(x)=-x/2}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle x=a}$

• "الدالة الخضراء"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة جرين". MathWorld .
• دالة جرين للمشغل التفاضلي في PlanetMath .
• دالة جرين في PlanetMath .
• الوظائف الخضراء والتخطيط المطابق في PlanetMath .
• مقدمة لتقنية Keldysh Nonequilibrium Green Function بقلم AP Jauho
• مكتبة وظائف جرين
• دروس تعليمية حول وظائف جرين
• طريقة العناصر الحدودية (لبعض الأفكار حول كيفية استخدام دوال جرين مع طريقة العناصر الحدودية لحل المشكلات المحتملة عدديًا) محفوظ في 2012-02-07 على موقع Wayback Machine
• في سيتيزنديوم
• محاضرة فيديو من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا حول دالة جرين
• باولي، روجر. "جورج جرين ووظائف جرين". ستون رمزًا . برادي هاران لجامعة نوتنغهام .