الميكانيكا النسبية

في الفيزياء ، تشير الميكانيكا النسبية إلى الميكانيكا المتوافقة مع النسبية الخاصة والنسبية العامة . وهي توفر وصفًا غير ميكانيكي كمي لنظام من الجسيمات، أو لسائل ، في الحالات التي تكون فيها سرعات الأجسام المتحركة قابلة للمقارنة بسرعة الضوء ج . ونتيجة لذلك، يتم توسيع الميكانيكا الكلاسيكية بشكل صحيح لتشمل الجسيمات التي تسافر بسرعات وطاقات عالية، وتوفر إدراجًا متسقًا للكهرومغناطيسية مع ميكانيكا الجسيمات. لم يكن هذا ممكنًا في النسبية الجليلية، حيث يُسمح للجسيمات والضوء بالسفر بأي سرعة ، بما في ذلك أسرع من الضوء. أسس الميكانيكا النسبية هي افتراضات النسبية الخاصة والنسبية العامة. توحيد النسبية الخاصة مع ميكانيكا الكم هو ميكانيكا الكم النسبية ، في حين أن محاولات توحيد النسبية العامة هي الجاذبية الكمومية ، وهي مشكلة لم يتم حلها في الفيزياء .

كما هو الحال مع الميكانيكا الكلاسيكية، يمكن تقسيم الموضوع إلى " الحركية "؛ وصف الحركة من خلال تحديد المواضع والسرعات والتسارعات ، و" الديناميكيات "؛ وصف كامل من خلال النظر في الطاقات والزخم والزخم الزاوي وقوانين الحفاظ عليها ، والقوى المؤثرة على الجسيمات أو التي تمارسها الجسيمات. ومع ذلك ، هناك دقة؛ ما يبدو أنه "متحرك" وما هو "ساكن" - وهو ما يطلق عليه " الاستاتيكا " في الميكانيكا الكلاسيكية - يعتمد على الحركة النسبية للمراقبين الذين يقيسون في إطارات مرجعية .

تنتقل بعض التعاريف والمفاهيم من الميكانيكا الكلاسيكية إلى النسبية الخاصة، مثل القوة كمشتق زمني للزخم ( قانون نيوتن الثاني )، والعمل الذي يقوم به الجسيم باعتباره التكامل الخطي للقوة المؤثرة على الجسيم على طول مسار، والقدرة كمشتق زمني للعمل المنجز. ومع ذلك، هناك عدد من التعديلات المهمة على التعاريف والصيغ المتبقية. تنص النسبية الخاصة على أن الحركة نسبية وأن قوانين الفيزياء هي نفسها لجميع المجربين بغض النظر عن إطاراتهم المرجعية بالقصور الذاتي . بالإضافة إلى تعديل مفاهيم المكان والزمان ، تجبر النسبية الخاصة المرء على إعادة النظر في مفاهيم الكتلة والزخم والطاقة ، وكلها مفاهيم مهمة في ميكانيكا نيوتن . تُظهر النسبية الخاصة أن هذه المفاهيم كلها جوانب مختلفة لنفس الكمية الفيزيائية بنفس الطريقة التي تُظهر بها أن المكان والزمان مترابطان. وبالتالي، فإن تعديلًا آخر هو مفهوم مركز كتلة النظام ، والذي يسهل تعريفه في الميكانيكا الكلاسيكية ولكنه أقل وضوحًا في النسبية - انظر مركز الكتلة النسبي للمزيد من التفاصيل.

تصبح المعادلات أكثر تعقيدًا في صيغة حساب المتجهات ثلاثية الأبعاد الأكثر شيوعًا ، بسبب عدم الخطية في عامل لورنتز ، والذي يفسر بدقة اعتماد السرعة النسبية وحد السرعة لجميع الجسيمات والحقول. ومع ذلك، فإنها تتمتع بشكل أبسط وأناقة في الزمكان رباعي الأبعاد ، والذي يتضمن فضاء مينكوفسكي المسطح (SR) والزمكان المنحني (GR)، لأنه يمكن جمع المتجهات ثلاثية الأبعاد المشتقة من الفضاء والمقياسات المشتقة من الزمن في أربعة متجهات ، أو موتر رباعي الأبعاد . يُطلق على موتر الزخم الزاوي المكون من ستة مكونات أحيانًا اسم متجه ثنائي لأنه في وجهة النظر ثلاثية الأبعاد يكون متجهين (أحدهما، الزخم الزاوي التقليدي، متجه محوري ).

يتم تعريف السرعة النسبية الرباعية، أي المتجه الرباعي الذي يمثل السرعة في النسبية، على النحو التالي:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d) \tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)}$

في ما سبق، هو الوقت المناسب للمسار عبر الزمكان ، والذي يسمى خط العالم، متبوعًا بسرعة الجسم التي يمثلها أعلاه، و ${\displaystyle {\tau }}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {X} }}=(ct,\mathbf {x} )}$

هو الموضع الرابع ؛ إحداثيات الحدث . وبسبب تمدد الزمن ، فإن الوقت المناسب هو الوقت بين حدثين في إطار مرجعي حيث يحدثان في نفس المكان. يرتبط الوقت المناسب بوقت الإحداثيات t من خلال:

${\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )}}}$

أين عامل لورنتز : ${\displaystyle {\gamma }(\mathbf {v} )}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.}$

(يمكن الاستشهاد بأي إصدار) لذلك يتبع:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v} )(c,\mathbf {v} )}$

الحدود الثلاثة الأولى، باستثناء عامل ، هي السرعة كما يراها المراقب في إطاره المرجعي الخاص. يتم تحديدها من خلال السرعة بين إطار مرجع المراقب وإطار الجسم، وهو الإطار الذي يتم فيه قياس وقته المناسب. هذه الكمية ثابتة تحت تحويل لورنتز، لذلك للتحقق من ما يراه المراقب في إطار مرجعي مختلف، يتم ببساطة ضرب متجه السرعة الرباعي بمصفوفة تحويل لورنتز بين إطاري المرجع. ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

كتلة الجسم كما تم قياسها في إطار مرجعي خاص به تسمى كتلة السكون أو الكتلة الثابتة ، وتكتب أحيانًا . إذا تحرك جسم بسرعة في إطار مرجعي آخر، فغالبًا ما تسمى الكمية "الكتلة النسبية" للجسم في ذلك الإطار. ^[1] يستخدم بعض المؤلفين للإشارة إلى كتلة السكون، ولكن من أجل الوضوح، ستتبع هذه المقالة اتفاقية استخدام الكتلة النسبية وكتلة السكون. ^[2]${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}}$${\displaystyle م}$${\displaystyle م}$${\displaystyle m_{0}}$

اقترح ليف أوكون أن مفهوم الكتلة النسبية "ليس له مبرر عقلاني اليوم" ولا ينبغي تدريسه بعد الآن. ^[3] يزعم فيزيائيون آخرون، بما في ذلك ولفجانج ريندلر وت.ر. ساندين، أن المفهوم مفيد. ^[4] انظر الكتلة في النسبية الخاصة لمزيد من المعلومات حول هذا النقاش.

يُطلق على الجسيم الذي تكون كتلته الساكنة صفرًا اسم الجسيم عديم الكتلة. ويُعتقد أن الفوتونات والجرافيتونات عديمة الكتلة ، والنيوترينوات كذلك تقريبًا .

هناك طريقتان (مكافئتان) لتعريف الزخم والطاقة في النسبية الخاصة. تستخدم إحدى الطريقتين قوانين الحفاظ . وإذا كان لهذه القوانين أن تظل صالحة في النسبية الخاصة، فيجب أن تكون صحيحة في كل إطار مرجعي ممكن. ومع ذلك، إذا أجرى المرء بعض التجارب الفكرية البسيطة باستخدام التعريفات النيوتونية للزخم والطاقة، فسيرى أن هذه الكميات ليست محفوظة في النسبية الخاصة. يمكن للمرء إنقاذ فكرة الحفاظ عن طريق إجراء بعض التعديلات الصغيرة على التعريفات لمراعاة السرعات النسبية . هذه هي التعريفات الجديدة التي يتم اعتبارها التعريفات الصحيحة للزخم والطاقة في النسبية الخاصة.

إن الزخم الرباعي لجسم ما واضح ومباشر، وهو متطابق في شكله مع الزخم الكلاسيكي، ولكن عن طريق استبدال المتجهات الثلاثة بالمتجهات الأربعة:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}$

الطاقة والزخم لجسم ذو كتلة ثابتة ، يتحرك بسرعة بالنسبة لإطار مرجعي معين، يتم إعطاؤهما على التوالي بواسطة ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{align}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0 }\mathbf {v} \end{محاذاة}}}$

يأتي هذا العامل من تعريف السرعة الرباعية الموصوفة أعلاه. ويمكن التعبير عن ظهورها بطريقة بديلة، والتي سيتم شرحها في القسم التالي. ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

يتم تعريف الطاقة الحركية بأنها${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,}$

والسرعة كدالة للطاقة الحركية تعطى بواسطة

${\displaystyle v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.}$

يمكن كتابة الزخم المكاني على النحو التالي ، مع الحفاظ على الشكل من ميكانيكا نيوتن مع استبدال الكتلة النسبية بالكتلة النيوتونية. ومع ذلك، يفشل هذا الاستبدال لبعض الكميات، بما في ذلك القوة والطاقة الحركية. علاوة على ذلك، فإن الكتلة النسبية ليست ثابتة بموجب تحويلات لورنتز، في حين أن كتلة السكون ثابتة. لهذا السبب، يفضل العديد من الأشخاص استخدام كتلة السكون وحسابها صراحةً من خلال زمن السرعة أو الإحداثيات الرباعية. ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$${\displaystyle \gamma }$

يمكن الحصول على علاقة بسيطة بين الطاقة والزخم والسرعة من تعريفات الطاقة والزخم عن طريق ضرب الطاقة في ، وضرب الزخم في ، وملاحظة أن التعبيرين متساويان. وهذا يعطي ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle c^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} }$يمكن بعد ذلك القضاء عليها عن طريق قسمة هذه المعادلة على وتربيعها، ${\displaystyle c}$

${\displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}$

تقسيم تعريف الطاقة على التربيع، ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

واستبداله:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

هذه هي العلاقة النسبية بين الطاقة والزخم .

في حين أن الطاقة والزخم يعتمدان على الإطار المرجعي الذي يتم قياسهما فيه، فإن الكمية ثابتة. قيمتها هي مضروبة في مربع مقدار متجه الزخم الرباعي . ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}}$${\displaystyle -c^{2}}$

يمكن كتابة الكتلة الثابتة للنظام على النحو التالي

${\displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}$

بسبب الطاقة الحركية وطاقة الربط، تختلف هذه الكمية عن مجموع كتل السكون للجسيمات التي يتكون منها النظام. كتلة السكون ليست كمية محفوظة في النسبية الخاصة، على عكس الوضع في الفيزياء النيوتونية. ومع ذلك، حتى لو كان الجسم يتغير داخليًا، طالما أنه لا يتبادل الطاقة أو الزخم مع محيطه، فلن تتغير كتلة سكونه ويمكن حسابها بنفس النتيجة في أي إطار مرجعي.

تنطبق معادلة الطاقة والزخم النسبية على جميع الجسيمات، حتى بالنسبة للجسيمات عديمة الكتلة حيث m ₀ = 0. في هذه الحالة:

${\displaystyle E=pc}$

عندما يتم الاستبدال في Ev  =  c ² p ، فإن هذا يعطي v  =  c : الجسيمات عديمة الكتلة (مثل الفوتونات ) تسافر دائمًا بسرعة الضوء.

لاحظ أن كتلة السكون للنظام المركب ستكون عمومًا مختلفة قليلاً عن مجموع كتل السكون لأجزائه، حيث إن طاقتها الحركية في إطار السكون ستزيد من كتلته وستقلل طاقتها الرابطة (السلبية) من كتلته. وعلى وجه الخصوص، فإن "صندوق الضوء" الافتراضي سيكون له كتلة سكون حتى لو كان مكونًا من جسيمات لا تمتلك كتلة سكون لأن زخمها سيلغى.

بالنظر إلى الصيغة أعلاه للكتلة الثابتة للنظام، يرى المرء أنه عندما يكون جسم ضخم واحد في حالة سكون ( v = 0 ، p = 0 )، تبقى كتلة غير صفرية: m ₀ = E / c ^2. يشار إلى الطاقة المقابلة، والتي هي أيضًا الطاقة الكلية عندما يكون جسيم واحد في حالة سكون، باسم "طاقة السكون". في أنظمة الجسيمات التي تُرى من إطار بالقصور الذاتي المتحرك، تزداد الطاقة الكلية وكذلك الزخم. ومع ذلك، بالنسبة للجسيمات المفردة، تظل كتلة السكون ثابتة، وبالنسبة لأنظمة الجسيمات تظل الكتلة الثابتة ثابتة، لأنه في كلتا الحالتين، تطرح الطاقة وزخم الحركة من بعضهما البعض، وتلغي. وبالتالي، فإن الكتلة الثابتة لأنظمة الجسيمات هي ثابت محسوب لجميع المراقبين، كما هي كتلة سكون الجسيمات المفردة.

بالنسبة لأنظمة الجسيمات، تتطلب معادلة الطاقة والزخم جمع متجهات الزخم للجسيمات:

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

الإطار القصوري الذي يكون فيه مجموع زخم جميع الجسيمات مساويًا للصفر يسمى إطار مركز الزخم . في هذا الإطار الخاص، تكون معادلة الطاقة-الزخم النسبية لها p = 0، وبالتالي تعطي الكتلة الثابتة للنظام كمجرد الطاقة الكلية لجميع أجزاء النظام، مقسومة على c ²

${\displaystyle m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}}$

هذه هي الكتلة الثابتة لأي نظام يتم قياسه في إطار يكون فيه الزخم الكلي صفرًا، مثل زجاجة من الغاز الساخن على الميزان. في مثل هذا النظام، تكون الكتلة التي يزنها الميزان هي الكتلة الثابتة، وتعتمد على الطاقة الكلية للنظام. وبالتالي فهي أكبر من مجموع كتل السكون للجزيئات، ولكنها تشمل أيضًا جميع الطاقات الكلية في النظام أيضًا. مثل الطاقة والزخم، لا يمكن تغيير الكتلة الثابتة للأنظمة المعزولة طالما ظل النظام مغلقًا تمامًا (لا يُسمح بدخول أو خروج أي كتلة أو طاقة)، ​​لأن الطاقة النسبية الكلية للنظام تظل ثابتة طالما لا يمكن لأي شيء دخوله أو خروجه.

إن الزيادة في طاقة مثل هذا النظام والتي تحدث بسبب ترجمة النظام إلى إطار بالقصور الذاتي ليس مركز إطار الزخم ، تسبب زيادة في الطاقة والزخم دون زيادة في الكتلة الثابتة. ومع ذلك، فإن E = m ₀ c ² لا تنطبق إلا على الأنظمة المعزولة في إطار مركز الزخم حيث يكون مجموع الزخم مساويًا للصفر.

إذا أخذنا هذه الصيغة على محمل الجد، فسوف نجد أن الكتلة في النسبية هي ببساطة طاقة ولكن باسم آخر (وتقاس بوحدات مختلفة). في عام 1927، لاحظ أينشتاين عن النسبية الخاصة، "وفقًا لهذه النظرية، فإن الكتلة ليست مقدارًا غير قابل للتغيير، بل مقدارًا يعتمد على (وحتى أنه مطابق) لكمية الطاقة". ^[5]

في النظام "المغلق تمامًا" (أي النظام المعزول )، يتم الحفاظ على إجمالي الطاقة والزخم الكلي وبالتالي إجمالي الكتلة الثابتة. ومع ذلك، تترجم صيغة أينشتاين للتغير في الكتلة إلى أبسط صورها Δ E = Δ mc ² ، فقط في الأنظمة غير المغلقة التي يُسمح فيها للطاقة بالهروب (على سبيل المثال، في شكل حرارة وضوء)، وبالتالي تقل الكتلة الثابتة. تُظهر معادلة أينشتاين أن مثل هذه الأنظمة يجب أن تفقد كتلتها، وفقًا للصيغة أعلاه، بما يتناسب مع الطاقة التي تفقدها للبيئة المحيطة. وعلى العكس من ذلك، إذا كان بإمكان المرء قياس الاختلافات في الكتلة بين النظام قبل أن يخضع لتفاعل يطلق الحرارة والضوء، والنظام بعد التفاعل عندما تهرب الحرارة والضوء، فيمكن للمرء تقدير كمية الطاقة التي تهرب من النظام.

في كل من التفاعلات النووية والكيميائية، تمثل هذه الطاقة الفرق في طاقات الارتباط للإلكترونات في الذرات (في الكيمياء) أو بين النيوكليونات في النوى (في التفاعلات الذرية). في كلتا الحالتين، يقيس الفرق في الكتلة بين المتفاعلات والمنتجات (المبردة) كتلة الحرارة والضوء التي ستفلت من التفاعل، وبالتالي (باستخدام المعادلة) تعطي الطاقة المكافئة للحرارة والضوء التي قد تنبعث إذا استمر التفاعل.

في الكيمياء، تكون فروق الكتلة المرتبطة بالطاقة المنبعثة حوالي 10 ⁻⁹ من الكتلة الجزيئية. ^[6] ومع ذلك، في التفاعلات النووية تكون الطاقات كبيرة جدًا بحيث ترتبط باختلافات الكتلة، والتي يمكن تقديرها مسبقًا، إذا تم وزن المنتجات والمتفاعلات (يمكن وزن الذرات بشكل غير مباشر باستخدام الكتل الذرية، والتي تكون دائمًا هي نفسها لكل نواة ). وبالتالي، تصبح صيغة أينشتاين مهمة عندما يقيس المرء كتل النوى الذرية المختلفة. من خلال النظر إلى الفرق في الكتل، يمكن للمرء أن يتنبأ بالنوى التي تخزن الطاقة التي يمكن إطلاقها بواسطة تفاعلات نووية معينة ، مما يوفر معلومات مهمة كانت مفيدة في تطوير الطاقة النووية، وبالتالي القنبلة النووية . تاريخيًا، على سبيل المثال، كانت ليز مايتنر قادرة على استخدام فروق الكتلة في النوى لتقدير وجود طاقة كافية متاحة لجعل الانشطار النووي عملية مواتية. وبالتالي فإن آثار هذا الشكل الخاص من صيغة أينشتاين جعلتها واحدة من أشهر المعادلات في كل العلوم.

تنطبق المعادلة E  =  m ₀ c ² فقط على الأنظمة المعزولة في إطار مركز الزخم الخاص بها . وقد أسيء فهمها بشكل شائع على أنها تعني أنه يمكن تحويل الكتلة إلى طاقة، وبعد ذلك تختفي الكتلة . ومع ذلك، فإن التفسيرات الشائعة للمعادلة كما يتم تطبيقها على الأنظمة تشمل الأنظمة المفتوحة (غير المعزولة) التي يُسمح فيها للحرارة والضوء بالهروب، عندما كانا سيساهمان بخلاف ذلك في كتلة ( كتلة ثابتة ) النظام.

تاريخيًا، كان الخلط حول "تحويل" الكتلة إلى طاقة مدعومًا بالخلط بين الكتلة و" المادة "، حيث تُعرَّف المادة بأنها جسيمات فرميونية . وفي مثل هذا التعريف، لا يُعتبر الإشعاع الكهرومغناطيسي والطاقة الحركية (أو الحرارة) "مادة". في بعض المواقف، قد تتحول المادة بالفعل إلى أشكال غير مادية من الطاقة (انظر أعلاه)، ولكن في كل هذه المواقف، لا تزال أشكال الطاقة المادية وغير المادية تحتفظ بكتلتها الأصلية.

بالنسبة للأنظمة المعزولة (المغلقة أمام كل تبادلات الكتلة والطاقة)، ​​فإن الكتلة لا تختفي أبداً في مركز إطار الزخم، لأن الطاقة لا يمكن أن تختفي. بدلاً من ذلك، تعني هذه المعادلة، في سياقها، فقط أنه عندما تضاف أي طاقة إلى نظام في مركز إطار الزخم، أو تهرب منه، فسيتم قياس النظام على أنه اكتسب أو فقد كتلة، بما يتناسب مع الطاقة المضافة أو المزالة. وبالتالي، من الناحية النظرية، إذا تم وضع قنبلة ذرية في صندوق قوي بما يكفي لتحمل انفجارها، وتفجيرها على مقياس، فإن كتلة هذا النظام المغلق لن تتغير، ولن يتحرك المقياس. فقط عندما يتم فتح "نافذة" شفافة في الصندوق المملوء بالبلازما الفائقة القوة، والسماح للضوء والحرارة بالهروب في شعاع، وتبريد مكونات القنبلة، فإن النظام يفقد الكتلة المرتبطة بطاقة الانفجار. في قنبلة 21 كيلوطن، على سبيل المثال، يتم إنشاء حوالي جرام من الضوء والحرارة. إذا سُمح لهذه الحرارة والضوء بالهروب، فإن بقايا القنبلة ستفقد جرامًا من الكتلة، مع تبريدها. في هذه التجربة الفكرية، يحمل الضوء والحرارة جرامًا من الكتلة، وبالتالي يودعان هذا الجرام من الكتلة في الأشياء التي تمتصهما. ^[7]

في الميكانيكا النسبية، عزم الكتلة المتغير مع الزمن

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}$

والزخم الزاوي المداري الثلاثي

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

يتم دمج جسيم يشبه النقطة في متجه ثنائي الأبعاد من حيث X رباعي المواضع وزخم P رباعي الأبعاد للجسيم: ^{[8] [9]}

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$

حيث ∧ يدل على حاصل الضرب الخارجي . هذا الموتر إضافي: الزخم الزاوي الكلي للنظام هو مجموع موتر الزخم الزاوي لكل مكون من مكونات النظام. لذا، بالنسبة لتجميع الجسيمات المنفصلة، ​​يتم جمع موتر الزخم الزاوي على الجسيمات، أو دمج كثافة الزخم الزاوي على مدى توزيع الكتلة المستمر.

يشكل كل مكون من المكونات الستة كمية محفوظة عند تجميعها مع المكونات المقابلة للأشياء والحقول الأخرى.

في النسبية الخاصة، لا ينطبق قانون نيوتن الثاني في صيغة F = m a ، لكنه ينطبق إذا تم التعبير عنه على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

حيث p = γ( v ) m ₀ v هو الزخم كما هو محدد أعلاه و m ₀ هي الكتلة الثابتة . وبالتالي، فإن القوة تعطى بواسطة

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma ^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\ \mathrm {where} \ \gamma =\gamma (\mathbf {v} )}$

الاشتقاق

ابتداء من ${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}{\frac {d(\gamma (\mathbf {v} )\,\mathbf {v} )}{dt}}=m_{0}\left({\frac {d\gamma (\mathbf {v} )}{dt}}\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} ){\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right).}$ تنفيذ المشتقات يعطي ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} .}$ إذا تم تقسيم التسارع إلى جزء موازٍ للسرعة ( a ∥ ) وجزء عمودي عليها ( a ⊥ ) ، بحيث: ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\perp }=0\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\,,}$ واحد يحصل ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\perp }+\mathbf {a} _{\parallel })\,.}$ من خلال البناء، فإن a ∥ و v متوازيان، لذا ( v · a ∥ ) v هو متجه بقيمة v 2 a ∥ في اتجاه v (ومن ثم a ∥ ) مما يسمح بالاستبدال: ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel })\mathbf {v} =v^{2}\mathbf {a} _{\parallel }}$ ثم ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}v^{2}}{c^{2}}}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp })\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\end{aligned}}\,}$

وبالتالي، في بعض النصوص القديمة، يشار إلى γ( v ) ^3m0 _{بالكتلة} الطولية ، ويشار إلى γ( v ) m0 بالكتلة العرضية _، والتي تساوي عدديًا نفس الكتلة النسبية . انظر الكتلة في النسبية الخاصة .

إذا عكسنا هذا لحساب التسارع من القوة، نحصل على

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.}$

القوة الموضحة في هذا القسم هي القوة الكلاسيكية ثلاثية الأبعاد والتي ليست متجهًا رباعيًا . هذه القوة ثلاثية الأبعاد هي المفهوم المناسب للقوة لأنها القوة التي تتبع قانون نيوتن الثالث للحركة . لا ينبغي الخلط بينها وبين ما يسمى بالقوة الرباعية والتي هي مجرد القوة ثلاثية الأبعاد في الإطار المتحرك للجسم المحول كما لو كان متجهًا رباعيًا. ومع ذلك، فإن كثافة القوة ثلاثية الأبعاد (الزخم الخطي المنقول لكل وحدة من أربعة أحجام ) هي متجه رباعي ( كثافة الوزن +1) عند دمجها مع السالب لكثافة القوة المنقولة.

يتم تعريف عزم الدوران المؤثر على جسيم يشبه النقطة على أنه المشتق لموتر الزخم الزاوي المعطى أعلاه فيما يتعلق بالوقت المناسب: ^{[10] [11]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$

أو في مكونات الموتر:

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$

حيث F هي القوة 4d المؤثرة على الجسيم عند الحدث X. وكما هو الحال مع الزخم الزاوي، فإن عزم الدوران يكون إضافيًا، لذلك بالنسبة لجسم ممتد، يتم الجمع أو التكامل على توزيع الكتلة.

تنص نظرية العمل والطاقة ^[12] على أن التغير في الطاقة الحركية يساوي العمل المبذول على الجسم. وفي النسبية الخاصة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

الاشتقاق

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W&=\int _{\mathbf {x} _{0}}^{\mathbf {x} _{1}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} \\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}(\gamma m_{0}\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} dt\\&=\left.\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right|_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt\\&=\left.\gamma m_{0}v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-m_{0}\int _{v_{0}}^{v_{1}}\gamma v\,dv\\&=m_{0}\left(\left.\gamma v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-c^{2}\int _{v_{0}}^{v_{1}}{\frac {2v/c^{2}}{2{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\,dv\right)\\&=\left.m_{0}\left({\frac {v^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+c^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\right)\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\left.{\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\left.{\gamma m_{0}c^{2}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\gamma _{1}m_{0}c^{2}-\gamma _{0}m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

إذا كان الجسم في الحالة الأولية في حالة سكون، بحيث v ₀  = 0 و γ ₀ ( v ₀ ) = 1، وفي الحالة النهائية تكون سرعته v ₁  =  v ، وبوضع γ ₁ ( v ₁ ) = γ( v )، تكون الطاقة الحركية عندئذ؛

${\displaystyle K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,}$

نتيجة يمكن الحصول عليها مباشرة عن طريق طرح طاقة السكون m ₀ c ² من الطاقة النسبية الكلية γ( v ) m ₀ c ² .

يمكن توسيع عامل لورنتز γ( v ) إلى سلسلة تايلور أو سلسلة ثنائية الحدين لـ ( v / c ) ² < 1، للحصول على:

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots }$

وبالتالي

${\displaystyle E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;}$

${\displaystyle \mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .}$

بالنسبة للسرعات الأصغر كثيرًا من سرعة الضوء، يمكننا إهمال المصطلحات التي تحتوي على c ² أو أعلى في المقام. ثم يتم تقليص هذه الصيغ إلى التعريفات القياسية للطاقة الحركية والزخم النيوتونيين. وهذا هو ما ينبغي أن يكون عليه الأمر، لأن النسبية الخاصة يجب أن تتفق مع ميكانيكا نيوتن عند السرعات المنخفضة.

• C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado; E. Okon (2009). "مركز الكتلة في النسبية الخاصة والعامة ودوره في الوصف الفعال للزمكان". J. Phys. Conf. Ser . 174 (1). المكسيك: 012026. arXiv : 0901.3349 . Bibcode : 2009JPhCS.174a2026C. doi : 10.1088/1742-6596/174/1/012026. S2CID  17734387.

النطاق العام والنسبية الخاصة/العامة

• PM Whelan; MJ Hodgeson (1978). Essential Principles of Physics (الطبعة الثانية). John Murray. ISBN 0-7195-3382-1.
• ج. ووان (2010). دليل كامبريدج لصيغ الفيزياء . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-57507-2.
• PA Tipler; G. Mosca (2008). الفيزياء للعلماء والمهندسين: مع الفيزياء الحديثة (الطبعة السادسة). WH Freeman and Co. ISBN 978-1-4292-0265-7.
• RG Lerner ؛ GL Trigg (2005). موسوعة الفيزياء (الطبعة الثانية). VHC Publishers، Hans Warlimont، Springer. ISBN 978-0-07-025734-4.
• مفاهيم الفيزياء الحديثة (الطبعة الرابعة)، أ. بيسر، الفيزياء، ماكجرو هيل (دولية)، 1987، ISBN 0-07-100144-1 
• سي بي باركر (1994). موسوعة ماكجرو هيل للفيزياء (الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. رقم ISBN 0-07-051400-3.
• ت. فرانكل (2012). هندسة الفيزياء (الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-1-107-60260-1.
• LH Greenberg (1978). الفيزياء مع التطبيقات الحديثة . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN 0-7216-4247-0.
• أ. هالبرن (1988). 3000 مشكلة محلولة في الفيزياء، سلسلة شوم . ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-025734-4.

الكهرومغناطيسية والنسبية الخاصة

• GAG Bennet (1974). الكهرباء والفيزياء الحديثة (الطبعة الثانية). إدوارد أرنولد (المملكة المتحدة). ISBN 0-7131-2459-8.
• IS Grant؛ WR Phillips؛ Manchester Physics (2008). Electromagnetism (الطبعة الثانية). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
• دي جي جريفثس (2007). مقدمة في الديناميكا الكهربائية (الطبعة الثالثة). بيرسون للتعليم، دورلينج كيندرسلي. رقم ISBN 978-81-7758-293-2.

الميكانيكا الكلاسيكية والنسبية الخاصة

• جيه آر فورشو؛ أيه جي سميث (2009). الديناميكيات والنسبية . وايلي. رقم ISBN 978-0-470-01460-8.
• د. كليبنر؛ ر. ج. كولينكوف (2010). مقدمة في الميكانيكا . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-19821-9.
• LN Hand؛ JD Finch (2008). ميكانيكا تحليلية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-57572-0.
• PJ O'Donnell (2015). Essential Dynamics and Relativity . CRC Press. ISBN 978-1-4665-8839-4.

النسبية العامة

• د. ماكماهون (2006). كشف غموض النسبية . ماكجرو هيل. رقم ISBN 0-07-145545-0.
• JA Wheeler؛ C. Misner؛ KS Thorne (1973). Gravitation . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
• JA Wheeler; I. ​​Ciufolini (1995). الجاذبية والقصور الذاتي . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-03323-5.
• RJA Lambourne (2010). النسبية والجاذبية وعلم الكونيات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-13138-4.